研究性学习(30)向量的三点共线模型的相关问题研究

1

平面向量中“三点共线向量定理”探究

三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在.0.abbabab向量共线定理：对平面内的任意两个向量 、 ， // 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：

121212+= OAOBOPOPOAOBR三点共线定理：已知平面内一组基底 ， 及任一向量 ,， ,

则A ，B ，P 三点共线，当且仅当1.1122121,,1,=1,,+= ABPAPABOPOAOBOAOPOAOOPOAOBB证明：如图 ， 三点共线，当且仅当有唯一一个实数 ， ，且使令则1.

1212112212=1,1;2+= OAOPOPOAOBOPOAOBOAAPABOBOPOAOB 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图， 且1征：向量， 的系数点P的位置是随着令 ，

当点P在线段AB内12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110=1=101.此时 此时，0，当点P在线段AB的延长线上时， ，点P在线段AB反向延长线上时， ，当点P与点A， ，当点P与点B 重合时， 时此时此时此时，， ，重合时,111APPBOPOAOB推论：在OAB中，P为直线AB上的一点，且则

PBAO1 2 1.,,2,21522112....33333333ABCABcACbDBDDCADAbcBcbCbcDbc定理应用1：由三角形边上的分点引出向量问题例在中，若点 满足 则

三点共线满足的向量条件

【摘要】

三点共线是几何中常见的一个概念，表示三个点可以在一条直线上。在向量表示中，我们可以利用向量的线性组合来描述共线的特性，同时通过向量的数量积和叉积来进行相关计算。通过一系列向量条件的判定，我们可以推导出三点共线的具体条件。在实际应用中，向量在几何中有着广泛的应用，例如在物理学中描述力的作用。三点共线不仅仅是几何中的一个概念，还具有十分重要的实际意义，可以帮助我们更好地理解空间中的关系。通过本文的介绍，读者将能够深入理解三点共线的概念及其相关向量条件，从而更好地应用于实际问题中。

【关键词】

三点共线、向量、线性组合、向量条件、数量积、叉积、判定定理、应用举例、实际意义

1. 引言

1.1 三点共线的定义

三点共线是指三个点位于同一条直线上的几何性质。换言之，如果三个点A、B、C在同一条直线上，则这三个点共线。 在向量的表示方法中，我们可以用向量来描述点的位置关系。假设有三点A、B、C，它们的位置向量分别为a、b、c，则当且仅当存在实数λ，μ，使得c=λa + μb时，点A、B、C三者共线。

换句话说，如果存在实数λ，μ，使得c=λa + μb成立，则点A、B、C三者共线。

三点共线的向量条件在几何学和向量运算中有着重要的应用和意义，通过向量的线性组合和数量积、叉积等运算，我们可以更直观地理解和证明三点共线的性质。接下来我们将详细探讨向量共线的定义、向量的线性组合、向量的数量积以及向量的叉积等相关内容。

1.2 向量的表示方法

向量的表示方法是描述向量的位置和方向的一种方式。在数学中，向量通常用箭头来表示，箭头的起点代表向量的起点，箭头的方向代表向量的方向，箭头的长度代表向量的大小。在二维空间中，一个向量可以用两个实数表示，分别表示向量在横轴和纵轴上的分量。在三维空间中，一个向量可以用三个实数表示，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。

关于三点共线向量式的教学与解题探讨

王加成(陕西省白河高级中学ꎬ陕西安康７２５８０１)

摘　要:利用从特殊到一般的方法阐述三点共线的向量式问题ꎬ剖析ｔ的含义ꎬ帮助学生更好

地理解三点共线向量式的结论ꎬ通过求解典型例题说明该定理在具体解题中的应用.关键词:三点共线ꎻ向量ꎻ教学

中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００２１－０３

收稿日期:２０２３－０４－０５

作者简介:王加成(１９７３.２－)ꎬ男ꎬ陕西省白河县人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究. 高考中ꎬ通过考查向量间的相互表示可考查学

生对向量的加、减、数乘运算的掌握情况ꎬ亦可考查

学生对平面向量基本定理、共线向量定理的理解程

度.此时ꎬ紧抓基底能解决相关的问题ꎬ但遇到三点

共线向量时ꎬ使用三点共线向量式解题会更为简便.

在人民教育出版社Ａ版２０１９年６月第１版数

学必修第二册教课书２６页中有如下一道例题:

如图１ꎬＯＡ→ꎬＯＢ→不共线ꎬ且ＡＰ→＝ｔＡＢ→(ｔ∈Ｒ)ꎬ用

ＯＡ→ꎬＯＢ→表示ＯＰ→.

结论:ＯＰ→＝(１－ｔ)ＯＡ→＋ｔＯＢ→.

图１　三点共线图旁注里写到:“观察ＯＰ→＝(１－ｔ)ＯＡ→＋ｔＯＢ→ꎬ你有

什么发现?”

笔者看到本题ꎬ很是熟悉ꎬ与北京师范大学出版

社２０１４年７月第８版数学必修四第８４页例３属于

同一道题(仅仅字母变了ꎬ题意一样ꎬ结论一样).旁

注里写到:“例３给出了判断三个点共线的一个方

法”.

在人民教育出版社Ｂ版２０２０年７月第一版数学

必修第二册教课书第１５５页也有一道相似的例题.在不同版本的新老教材中均出现此题目ꎬ笔者

认为此题想说明以下两个道理.

道理１　从直线外一点指向同一条直线上不同

三点的三个向量ꎬ可用任意两个向量线性表示另一

向量ꎬ且系数之和为１.

道理２　若三个向量共起点ꎬ一个向量可用其

余两个向量线性表示ꎬ且系数之和为１ꎬ则这三个向

量的终点共线.

但是教材上给的题目较为抽象ꎬ如何让学生体

会到编者的用意?成为了教学中要考虑的一个问

向量三点共线定理例题

三点一线的神秘向量舞步——一起探索共线定理的魅力

嗨，朋友们！今天咱们要揭开一个数学王国中的小秘密，那就是“向量三点共线定理”。这听起来似乎有点高深莫测，但只要你跟随我的脚步，保证让你恍然大悟，拍案叫绝。就让我们在这段奇妙之旅中，领略数学的韵律与灵动吧！

想象一下，在浩渺的几何空间里，有三个点A、B、C在跳一场别开生面的舞蹈。每个点都像是一位舞者，手持着代表自身位置的向量指挥棒，翩翩起舞。现在，我们假设这三个点之间存在着某种神秘的连线规则，只要它们仨能够通过各自的向量指挥棒指向同一条直线，那就意味着，它们已经完美演绎了这场“三点共线”的几何芭蕾。

那么，究竟怎样才算是“共线”呢？这就需要用到我们的向量大佬——向量三点共线定理。简单来说，如果从点A到点B的向量AB和从点A到点C的向量AC满足这样的关系：存在某个实数λ（这个家伙就是我们的“比例因子”，相当于舞蹈编排中的节拍），使得向量AC等于λ乘以向量AB，即AC = λ·AB，那么，恭喜你，点A、B、C三位舞者就在同一直线上默契共舞了！

比如说，有一次，在数学世界的璀璨舞台上，点A、B、C三剑客各据一隅。我们计算得出，从A指向B的向量AB长度是5单位，而从A指向C的向量AC恰好是10单位，而且方向一致。这时候，聪明如你一定想到了，既然AC是AB的两倍长，那λ不就是2吗？对喽，这样一来，根据向量三点共线定理，我们就知道A、B、C三位选手在同一直线上携手共舞，画面简直美不胜收！

这就是向量三点共线定理在实际应用中的生动诠释，它就像一把钥匙，帮我们解锁了隐藏在几何图案背后的规律之美。当你下次再看到三个点悄然排列，不妨试着用这条定理去探寻它们之间的微妙联系，或许你会发现，原来数学也可以如此贴近生活，如此富有诗意！

所以，亲爱的朋友，下回当你面对复杂的几何问题时，别忘了召唤这位“向量三点共线定理”小助手哦！只要轻轻挥动它的魔法棒，任何看似杂乱无章的点阵都将化为曼妙的一线舞姿，让人为之惊叹：“哇塞，原来这就是共线的魅力所在！”