用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题1

专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明： 若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →， 即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析 由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点， 所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析 解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、 答案1/34、 解析 设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。

向量三点共线定理等于1的几何意义向量三点共线定理是高中数学中的一个重要定理，它描述的是三个点在平面上共线的几何条件。

这个定理是在向量的基础上得出的，所以我们首先要了解什么是向量，向量的性质和运算规则，然后再来讨论向量三点共线定理的几何意义。

首先，向量是数学中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的一个点到另一个点的位移。

向量通常用箭头表示，箭头的方向表示位移的方向，箭头的长度表示位移的大小。

向量有一些重要的性质，比如零向量的长度为0，且方向无所谓；两个向量相等当且仅当它们的长度相等且方向相同；向量的加法满足交换律和结合律等等。

在向量的基础上，我们可以定义向量的数量积和向量的叉积，这两种积在几何上有着重要的意义。

数量积是一个标量，它可以用来计算向量的夹角和长度，而叉积是一个向量，它可以用来表示一个平行四边形的面积。

通过向量的数量积和叉积，我们可以定义出两个向量的夹角、平行和垂直等几何性质。

接下来，我们来讨论向量三点共线定理的几何意义。

向量三点共线定理的表述是：三个点A、B、C在平面上共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。

这个定理意味着如果三个点在平面上共线，那么它们的位移向量之间存在一定的线性关系。

几何上，这个定理的意义可以通过向量的线性组合来描述。

假设三个点A、B、C在平面上共线，则它们的位移向量可以表示为向量AB和向量AC。

根据向量三点共线定理，存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。

这意味着向量AB和向量AC是线性相关的，它们的方向是一致的，只是长度不同。

也就是说，从A到B的位移是从A到C的位移的k倍，这就是三点共线的几何意义。

进一步地，我们可以将向量三点共线定理应用到实际问题中。

比如，如果我们知道一个平面上的三个点共线，可以利用这个定理来求出它们的线性关系，进而解决一些几何问题。

另外，向量三点共线定理还可以用来证明一些三角形的性质和定理，比如中垂线定理、垂径定理等等。

在日常生活中，我们也会经常遇到向量三点共线的情况。

向量三点共线结论
向量三点共线是线性代数中一个重要且基础的概念，其结论是指
在三维空间中，若存在三个点A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)、C(x3, y3, z3)，如果向量AB和向量AC共线，则这三个点共线。

这个结论也可以表示为向量AB和向量AC的向量积为零，即(AB)×(AC) = 0。

这个结论是由向量叉积的定义推得的，向量叉积定
义为向量的乘积，垂直于两个向量的平面。

利用向量三点共线结论，我们可以快速求解一些与平面相关的问题。

例如，我们可以利用三点共线结论来判断三角形是否为等腰三角
形或者等边三角形，或者计算平面几何中的面积等问题。

此外，向量三点共线结论还能应用到其他一些数学问题中。

例如，我们可以利用这个结论来解决某些最优化问题，或者优化回归模型、
分类问题等数学问题。

最后，我们需要注意的是，在现实世界中，我们通过测量三个点
的坐标并不总是完全准确的，误差往往是存在的。

因此，在应用向量
三点共线结论时，我们需要注意误差的来源，并进行充分的数据处理
和调整，以保证结论的准确性。

总之，向量三点共线结论是线性代数中一个基础而重要的结论，
具有广泛的应用。

我们可以利用这个结论来解决许多数学和几何问题，是我们学习和应用线性代数的一个重要知识点。

若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。

《用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题》教案说明向量是数与形的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平面几何问题时能起到奇特的作用。

在用向量解决平面几何问题时，首先就是要将几何关系转化为向量表示（即选择适当的基底），然后再借助向量运算来解决。

因此，本节课实际就是让学生学会：在三点共线条件下，知道将几何关系转化为向量问题来解决。

本节课的教学目标是按三维目标来确定的。

它包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。

知识与技能目标有4点，它们是相互联系层层递进的关系。

目标1是基础，目标2是内容，目标3是获得技能，目标4才是这节课的根本意图。

我国新一轮课程改革提出：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极的学习态度，使获得知识与形成技能的过程成为学会学习和形成价值观的过程。

这就要求我们的教学过程应更多的考虑学生，要让他们在课堂上参与适应的探索并能在这一过程中感受成功的喜悦。

本内容是学生学习了向量的一些基本概念、向量的加法与减法、向量共线的充要条件、平面向量基本定理和三点共线的向量结论后进行的一节探究式的习题课。

平面向量基本定理这一节的例5学生知道了这样一个结论：A 、B 、C 三点共线的充要条件是：有唯一的实数对λ、μ，使OC OA OB λμ=+，其中λ+μ=1。

并且通过上节课的学习，学生还知道了在三点共线条件下写向量表达式的一种方法：如右图,图1 图2分母m+n 代表线段AB 的份数，即右边两向量终点表示的线段，m 代表线段CB 的份数，即左边向量OC 和右边向量OB 两向量终点表示的线段，n 代表线段CA 的份数，即左边向量OC 和右边向量OA 两向量终点表示的线段。

系数m 、n 与它对应的线段恰好是交叉关系；当分点在线段的外部时，添加一个负号，其位置由系数和为1确定。

在三点共线的条件下学生能较为熟练的写出向量表达式作为基础来进行这节课的教学。

AOm n OC OA OBm nm n=+++m+nnm对λμ的几何意义的探求分四个阶段进行：先由1、2两个特例得猜想：λμ=CBCA；再由检验特例2的系数完善猜想，得猜想2：|λμ|=CBCA；然后指出这一猜想的正确性（不证明）；最后通过课堂的应用1、应用2和课堂练习来巩固知识。

向量三点共线结论证明摘要：1.向量共线的定义和性质2.证明向量三点共线的条件3.举例说明向量三点共线的应用4.总结向量三点共线结论的重要性正文：在数学和物理领域，向量是一个重要的基本概念。

向量三点共线是一个基本的向量性质，掌握这个性质对我们理解和解决实际问题有很大帮助。

接下来，我们将详细探讨向量三点共线的结论及其证明，并探讨其在实际问题中的应用。

首先，我们来了解一下向量共线的定义和性质。

向量共线指的是两个或多个向量在平面上或空间中，沿着同一条直线。

换句话说，如果两个向量之间的角度为零或π，那么这两个向量就是共线的。

在向量共线的性质中，最重要的是平行四边形法则，它告诉我们，共线的向量可以相互平移，而平移后的向量仍然共线。

接下来，我们来证明向量三点共线的条件。

设三点A、B、C的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，对应的向量分别为→AB、→BC、→AC。

根据向量共线的性质，如果→AB与→AC共线，那么→BC与→AC也共线。

我们可以通过计算向量→AB和→AC的叉乘来判断它们是否共线。

如果→AB与→AC的叉乘结果为零向量，那么→AB与→AC共线。

同样地，计算向量→BC和→AC的叉乘，如果结果为零向量，那么→BC与→AC也共线。

通过这种方法，我们可以证明向量三点共线的条件。

在实际问题中，向量三点共线的结论有很多应用。

例如，在几何学中，如果一条直线与两个定点确定，那么这条直线是唯一的。

这是因为通过两个定点可以确定一个平面，而直线在该平面上，因此第三个点必须在该直线上，从而保证了直线的唯一性。

另一个应用是在物理学中的力的合成，当三个力共线时，它们可以合并为一个合力，使得物体受到的合力为零。

总之，向量三点共线结论在数学、物理等领域具有广泛的应用。

通过理解并向量共线的定义和性质，我们可以更好地解决实际问题，并加深对向量这一基本概念的认识。

平面向量三点共线结论
平面向量三点共线结论是指在平面上，如果三个不共线的向量都在同一直线上，则这三个向量共线。

该定理可用来证明三个点是否共线，从而得出相应的结论。

首先，我们来回顾一下向量的基本概念，在数学中，向量是一种有方向性的对象。

它表示从一个位置指向另一个位置的直线，它可以用大写字母来表示，例如a、b、c。

向量可以用二维和三维空间来表示，它的方向可以沿着X 轴，Y轴或Z轴方向改变，它的大小也可以改变。

平面向量三点共线结论是指，如果在平面上有三个不共线的向量，即a、b、c，且这三个向量都在同一直线上，则这三个向量共线。

证明：
假设a、b、c是平面上三个不共线的向量，且这三个向量都在同一直线上，则有：
(1) 向量a、b、c在同一平面内。

(2) 向量a、b、c的头部和尾部都在同一直线上。

(3) 向量a、b、c有一定的比例关系，即
a/b=c/d=e/f，其中d、e和f也是向量。

由此可知，如果三个不共线的向量都在同一直线上，则这三个向量共线。

这里给出的证明是在平面空间中的三点共线定理，而同样的定理也适用于空间三点共线定理，即当三个向量分别位于三个不同的点时，如果这三个点都在同一直线上，则这三个向量共线。

该定理的应用非常广泛，可以用来证明三个点是否共线，同时也可用于证明两点之间的向量是否平行，从而得出相应的结论。

三点共线向量式的巧妙运用三点共线向量式是利用向量的几何性质来解决几何问题的一种方法。

它是基于以下事实：如果三点A、B、C在同一直线上，那么向量AB与向量BC是共线的。

这个性质可以用来解决很多几何问题，下面我们将介绍几个巧妙运用三点共线向量式的例子。

例子1：判断四边形的对角线是否相交考虑一个四边形ABCD，我们想判断它的对角线AC和BD是否相交。

我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AC=C-A向量AD=D-A向量AB=B-A如果AC与AD共线，即向量AC与向量AD的方向相同或相反，那么对角线AC与BD相交；如果AC与AB共线，即向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么对角线AC与BD不相交。

例子2：判断线段是否相交考虑两条线段AB和CD，我们想判断它们是否相交。

首先，我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AC共线且AB与AD共线，即向量AB与向量AC以及向量AB与向量AD的方向相同或相反，那么线段AB和线段CD相交；如果AB与AC共线但AB与AD不共线，即向量AB与向量AC的方向相同或相反但向量AB与向量AD的方向不同，那么线段AB和线段CD不相交。

例子3：判断四边形是否能构成平行四边形考虑四边形ABCD，我们想判断它是否能构成平行四边形。

我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。

向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AD共线且AC与AB共线，即向量AB与向量AD以及向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么四边形ABCD能构成平行四边形；如果AB与AD共线但AC与AB不共线，即向量AB与向量AD的方向相同或相反但向量AC与向量AB的方向不同，那么四边形ABCD不能构成平行四边形。

以上是三点共线向量式的几个巧妙运用，它们可以帮助我们在解决几何问题时更加便捷地判断线段是否相交、对角线是否相交以及判断四边形是否能构成平行四边形。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量a,b（b^O\a//b的充要条件是：存在唯一的实数2,使心疝由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的0,存在唯一的一对实数x,y使得：OP = xOA + yOB且x+y = l。

特别地有：当点P在线段AB上时，x>0,y>0当点P在线段AB之外时，巧<0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用，供同行交流。

例1 （06年江西高考题理科第1题）已知等差数列｛窟的前n项和为Sn,若OB =a x OA+a^OC,且A、B、C三点共线，（设直线不过点0）,则鼻二（）A. 100B. 101C. 200D. 201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a’+吐。

二1, ••”缈二沁字血= 100,故选A。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

—►—・---- ► 1 4例2已知P是AABC的边BC上的任一点，且:满足AP = xAB+yAQx.y w R，则一+ —xy 的最小值是—解：•.•点P落在“BC的边BC上.•.B, P,C三点共线••• AP = xAB + yAC :.x+y = \且x>0, y>01 4 J 4X 1 1 4x z x t y 4x . c y 4.v・•.一 + — = (- + —)xl = (- + —)x(x+y)=l + — + — + 4 = 5 + — + —x y x y x y x y x yV x>0, y>0 -.2：>0,—>0 由基本不等式可知：2 + 11>2 gx—=4,取等号时X y X y Vx yy 4 V* "»■»] 2 —=—.•・ y2 = 4x2 /. y = ±2x •/ x>0,y>0 :. y = 2x x+y = \ :.x = -,y = —,符合x y・ 3 ” 3所以丄+ 土的最小值为9 兀y点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3 （湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2,在AABC中，丽=1疋，点P是BC上的一点，^AP = mAB + — AC,则实数m的3 11值为（）A 9 n 5 厂3 n 2图2 A. — B. — C. — D.—11 11 11 11解：••• BP N三点共线,乂••• AP = mAB + — AC = mAB + —x 4AN = mAB + —AN11 11 118 3= 1 Hl = -j-y ,故选C例4 (07年江西高考题理科)如图3,在AABC中，点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若丽=mAM , AC = 的值为解：•••因为0是BC的中点，故连接A0,如图4,由向量加法的平行四边形法则可知：皿弓丽+0 ••• AB=mAM , AC = nANAO = — (mAM + nAN):,AO=^AM+!L AN2 2乂三点共线,由平面内三点共线定理可得:分严—2例5 （广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G是△OAB的重心，P、Q分别是边04、OB上的动点，且P、G、Q三点共线.设OP = xOA , OQ = yOB，证明：丄+丄是泄值：x yn证明：•••因为G是△OAB的重心,_ 2 1 - _ 1 _ _OG = -x-(OA + OB) = -(OA + OB)3 2 3OP = xOA•9OA = -OP - OQ = yOB x：.OB = -OQy^OG =L(OA+OB)=L(L OP+丄宛)乂・.・p,G,0三点共线，.•£+存1 .-4+7=3•••士为定值3例6 （汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示, 在平行四边形ABCD中，AE = ^-AB9 AF = -AD,CE与BF相交于G3 4点，i^AB = a, AD = b9则走=人2- 1 72- 3厂「3- 1 rA. —“ + ―彷B. -a + — b C・—a + —Z?7 7 7 7 7 7分析：本题是以平面儿何为背景，为载体, 想到点F、G、B以及E, G,C三点在一条直线上，4 -* 2 厂D. —u + — b7 7求向量的问题，可用平面内三点共线定理求解。

向量中三点共线常用结论在向量的研究中，三点共线是一个重要的概念。

当三个点在一条直线上时，我们称它们为共线点。

在向量中，我们可以利用一些常用结论来判断三个向量是否共线。

本文将介绍向量中三点共线的常用结论，并对其进行详细解析。

1. 三点共线的定义在二维平面上，设有三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，如果这三个点满足以下关系式：(x2 - x1)(y3 - y1) = (x3 - x1)(y2 - y1)则称A、B、C三个点共线。

2. 向量表示法判断在向量表示法中，设有两个向量AB和AC，如果这两个向量满足以下关系式：AB = k * AC其中k为一个实数，则可以判断A、B、C三个点共线。

3. 向量坐标法判断在向量坐标法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量满足以下关系式：AB = r * i + s * j AC = p * i + q * j其中i和j分别为x轴和y轴的单位向量，则可以通过计算行列式来判断A、B、C 三个点共线。

行列式的计算公式为：r s |p q |若行列式值为0，则A、B、C三个点共线。

4. 向量夹角法判断在向量夹角法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量的夹角θ满足以下关系式：cosθ = AB·AC / (|AB| * |AC|)其中·表示向量的数量积，|AB|和|AC|分别表示向量AB和AC的模长，则可以通过计算夹角的余弦值来判断A、B、C三个点共线。

若cosθ等于1或-1，则A、B、C 三个点共线。

5. 向量比例法判断在向量比例法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量满足以下关系式：AB/AC = k其中k为一个实数，则可以通过计算向量的比例来判断A、B、C三个点共线。

6. 解析几何法判断在解析几何法中，设有两条直线L1和L2，若这两条直线满足以下关系式：L1: Ax + By + C1 = 0 L2: Ax + By + C2 = 0其中A、B、C1和C2为常数，则可以通过计算直线方程的系数来判断A、B、C三个点共线。