平面向量中三点共线定理的应用与推广

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

向量三点共线定理等于1的几何意义向量三点共线定理是高中数学中的一个重要定理，它描述的是三个点在平面上共线的几何条件。

这个定理是在向量的基础上得出的，所以我们首先要了解什么是向量，向量的性质和运算规则，然后再来讨论向量三点共线定理的几何意义。

首先，向量是数学中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的一个点到另一个点的位移。

向量通常用箭头表示，箭头的方向表示位移的方向，箭头的长度表示位移的大小。

向量有一些重要的性质，比如零向量的长度为0，且方向无所谓；两个向量相等当且仅当它们的长度相等且方向相同；向量的加法满足交换律和结合律等等。

在向量的基础上，我们可以定义向量的数量积和向量的叉积，这两种积在几何上有着重要的意义。

数量积是一个标量，它可以用来计算向量的夹角和长度，而叉积是一个向量，它可以用来表示一个平行四边形的面积。

通过向量的数量积和叉积，我们可以定义出两个向量的夹角、平行和垂直等几何性质。

接下来，我们来讨论向量三点共线定理的几何意义。

向量三点共线定理的表述是：三个点A、B、C在平面上共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。

这个定理意味着如果三个点在平面上共线，那么它们的位移向量之间存在一定的线性关系。

几何上，这个定理的意义可以通过向量的线性组合来描述。

假设三个点A、B、C在平面上共线，则它们的位移向量可以表示为向量AB和向量AC。

根据向量三点共线定理，存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。

这意味着向量AB和向量AC是线性相关的，它们的方向是一致的，只是长度不同。

也就是说，从A到B的位移是从A到C的位移的k倍，这就是三点共线的几何意义。

进一步地，我们可以将向量三点共线定理应用到实际问题中。

比如，如果我们知道一个平面上的三个点共线，可以利用这个定理来求出它们的线性关系，进而解决一些几何问题。

另外，向量三点共线定理还可以用来证明一些三角形的性质和定理，比如中垂线定理、垂径定理等等。

在日常生活中，我们也会经常遇到向量三点共线的情况。

若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。

高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-．
则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】 因为1212121(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。

点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

第 1 页共 2 页高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数
m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线
m+n=1，且OP mOA nOB 成立；（2）上述条件成立
A 、
B 、P 三点共线．【证明】（1）由三点共线m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数使AP AB ，即()OP OA
OB OA ，∴(1)OP OA OB ．令1m ，n=，则OP mOA nOB 且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1
A 、
B 、P 三点共线．若OP mOA nOB 且m+n=1，则(1)OP mOA m OB ．
则()OP OB m OA OB ，即BP mBA ．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e ，12BC e e ，1269CD e e ，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】因为121212
1(4)()233AC AB BC e e e e e e CD ，所以AC 与CD 共线．。

共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中 龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景，向量知识成高考的热点。

在高二下册B 版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。

下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。

一、推论的叙述及变式。

如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式：(1)OP OA ta=+在l 上取AB a =，则（1）式可化为OP OA t AB =+因为AB OB OA =- ∴(1)(2)OP t OA tOB=-+由（2）式可看出等号的左边向量OP 的系数1刚好等于右边的向量OA 与OB 的系数之和1-t +t ，由推论易知此时A 、B 、P 三点同在一条直线上。

O 为直线外一点，即P 为△OAB 边AB 上的点，线段OB 、OP 、OA 是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。

线段OP 刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量(1)OP t OA tOB =-+，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。

图（一）a二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论： 结论一：在△ABC 中，D 为BC 边上的点，如果BD x =DCy，则以A 点为起点的三个向量的中间一个向量AD =AC AB x y x y x y+++。

证明：BD BC,BD=AD AB,BC=AC-AB xx y=-+即可证明。

结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。

结论三：在结论一中如果点D 不在边BC ，是在三角形ABC 的内部或外部，在图（三）中，AD=xAC+yAB ，则 1x y +<，在图（四）中AD AC AB x y =+，则 1x y +>，证明先找到AD 与BC 的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理a b λ=进行转化。

2021年第07期总第500期数理化解题研究向量中有关三点共线的一个结论的简单应用孙红(浙江省青田中学；2；900)摘 要：向量具有几何和代数的双重属性，它是沟通几何与代数的桥梁，注重运用向量解决数学问题,体现了几何与代数的融合，有利于培养学生的数学思维能力，有利于提升数学学科核心素养.本文结合具体的实例，探讨了向量中三点共线的一个结论的简单应用•关键词：向量；三点共线；应用中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：；008 -0333(202；)07 -0049 -03向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是 解决解析几何的有力工具,有着丰富的实际背景和深刻 的几何背景.向量来源于物理，并且兼有”数”和”形”的特点，坐标表示使平面内的向量和坐标建立了一一对应的 关系，将“数”与“形”紧密结合起来’从而将图形的基本性 质转化为向量的运算体系•在平面向量的解题中涉及到三点共线时经常用到下面的结论,我们一起来探讨一下•结论 已知0，A ,B ，C 四点共面，若0C 二入°4 + “ OB(入，“ e R ),则A ,B ,C 三点在同一条直线上的充要条件是 入 + “ - 1.证明 (先证必要性) 若A ,B , C 三点在同一条直 线上，则存在t e R ,使得A C - t AB.所以O B - 04 -t ( O B - B ).即 B - (1 - t )04 + t 0B -入 B + /zO B .则r -；-t ，此时入+“-1.z 二t ,(再证充分性)若入+ z - 1,则0C -入04 + z 0B - (1 -z )0B + z 0B .所以0B - 0B -z (0B - 0B ).即A C -/zA B .所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.综上所述,A ,B , C 三点在同一条直线上的充要条件 是入+ z — ； •点评平面向量三点共线结论中三个向量04,0B , 0B 必须是同起点，其中蕴含了一个几何特征，即三点共线 和一个代数结论入+ z -1 •上述结论中包含了两个方面：(；)若A ,B ,C 三点在同一条直线上，则入+ z -1； (2)若入+ z -；,则A , B , C 三点在同一条直线上•在向量解题中 要注意灵活应用,即结论的正用和逆用,下面一起来看一 下结论的简单应用.题1在A ABC 中,D ,E 分别是线段BC 上(除端点外)的两个动点,B + B -% A b + yA c ,求丄+ 4的最小值.%y分析因为B ,D ,C 三点共线，所以存在m E R ，使得A 力-mA B + (1 - m )A C . ①同理，由B , E , C 三点共线，则存在n e R ,使得A B -nA B + (1 - n )AC.②所以AD + AE - (m + n )A B + (2 - m - n )AC - % A B +% - m + n , “ …y AC ,即｛解得 % + y -2•y - 2 - m - n ,又分别是线段BC 上的两个动点,所以0 < m <1,0 < n < 1.2% - 3、时等号成立.4y -；所以 0 <%,y <2.所以丄+ -y -I I 1 +%y 2 V %/5+2 弹・4% ]-9,V %y 丿2,'% + y -2,当且仅当y 4%即V %y ,:0( %+y )-2 f 5 + % +4；所以丄+ ~~的最小值为刍.% y 2点评 本题条件不多，解题时要充分利用已知条件找到%,y 满足的关系式•上述解题过程中利用了平面向量 三点共线的一个结论’根据B ,D ,C 三点共线和B ,E ,C 三点共线可得到等式①和②，结合已知条件可得% + y -2,因此 本题就转化为在% + y -2和0<%,y <2的条件下，求丄+ 土%y收稿日期：2020 -12 -05作者简介:孙红(1979 -)，女，安徽省宿县人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.— 49—数理化解题研究2021年第07期总第500期的最小值问题，利用1的代换容易求出最小值题2 已知0为△ 4BC 所在平面内的一点,0》—4 0》,0力—1 0》,4D 与BC 交于点M ,设0》—a , 0》—b .用a ,b 表示0》.分析这是学生作业本上的一道习题，学生拿到这道题可能会感觉无从下手,题目中涉及的向量比较多，事 实上,根据题目条件4,M ,D 三点共线，存在m e R ,使得而—m 0》+ (1 - m )0》—m a +辽％①同理B ,M ,C 三点共线，存在n e R ,使得》—n0》+ (1 - n )0》—a + (1 - n )b .②一n m 二才，由等式①和②可得，解得＜1 - m v4n — .1 ；所以0M — 7 a + 7 b .当然本题也可以利用平面图形的几何性质来解决. 过点》作04交BC 于点N ,根据题意容易得到，DN—1 0C — 1 C4.所以》M — 1 M4,—1》》—2 6 6 77 (0》-0》)—7 卜-1 bj— ； a -[[b .所以0》—0》+—；a + 7 b .题3 已知0为△ 4BC 外接圆的圆心,4B —6,4C —15,40 — % 4》+ y 4》,2% +3y — 1,求 cosZ B4C 的值.分析 40 — % 4》+ y 4C — 2% x 2 4》 + 3 y x ； 4》,令4》丁 — 1 4》,4C ； — 1 4》,贝V 40 —2% 4》；+ 3y 4C ；.因为 2%+ 3y — 1,所以0,B',C '三点共线•又0为厶4BC 外接圆的圆心,B ；是线段4B 的中点,所以B'C ；是线段4B 的中垂 线•在 RtA 4B'C ；中，有 4B ； — 1 4B —3,4C ； — ； 4C — 5,4B ；cos/B'4C ‘ — 4》3—5 •即 cosZ B4C35点评 上述解题过程利用了平面向量中三点共线的 结论，因为题目条件中给出等式2% +3y — 1,有时我们会 想能否利用三点共线的结论,而要利用结论必须要出现 系数2%和3y ,因此需要对已知等式进行恒等变形，即40—%4》+ y4》—2% x 2 4》+ 3y x ； 4》,这时只需令4》—1 4》,4》—；4》,贝V 4》—2% 4》+3y4》.又 2% +3y — 1, 容易得到0,B ；,C ；三点共线,这是三点共线结论的逆用, 通过对已知等式进行恒等变形，结合已知条件构造三点共线进行解题，这种解题思路在向量解题中经常运用.题4给定两个长度为1的平面向量0》和0》,它们的夹角为120°,点C 在以0为圆心的圆弧4B 上变动，若0C — % 0》+ y 0》(% ,y e R )，求% + y 的最大值•分析 连接4B 交0C 于点》，因为4,B ,》三点共线,则存在 m , n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1(m ,n e R ).又0,》,C 三点共线,所以存在t e R ,使得0》 -t0》 — tm 0》 + tn 0》—% 0》+ y 0》.即｛，解得 % + y — t ( m + n ) — t.y — tn.又t俑—嵩，当0》丄4B 时」轨占此时t唤—2,即% + y 的最大值为2 •点评 上述解题过程中利用了 4,B ,》三点共线，存 在m ,n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1,以及0, D , C 三点共线，存在t e R ,使得0》—t 0》,从而得到等式% +y — t.又t — 0》— J ,因此要求% + y 的最大值，即求|0》 |0》0》的最小值,结合图形容易求得答案•事实上，假若%+ y — 1,则4,B ,C 三点共线，但是因为点C 在圆弧4B 上运动，因此只需将直线4B 平移至4'B ‘，使得直线4'B ；与圆 弧4B 有交点,即为点C.根据等和线定理容易得到,% + y —-p0》l — 10》|•又'0》e [t ，1 ]，所以%+ y 的最大值为2 ,此时直线4'B ‘与圆弧4B 相切，切点为点C.思路1根据平面向量分解定理，按照向量加法的几何意义及平行四边形法则,等式0》—%0》+ y 0》表明了 将0》向0》和0》方向上进行分解，在0》和0》方向上的投影分别是%,y ,因此我们可以利用余弦定理得到等式%2 + y 2- %y — 1,然后再结合基本不等式知识或△法求解% + y 的最大值.思路2引入变量Z C0B — a ,利用正弦定理将% + y的最大值问题转化为关于a 的三角函数的最值问题.思路3建立平面直角坐标系，将本题转化为向量的代数运算.比如以0》所在直线为%轴，以点0为坐标原点建立平面直角坐标系，容易得到4 (1,0),B设C (cos 0,sin 0)〔0三0三；n )根据0C — % 0》+ y 0》.将 % + y 的最大值问题转化为关于0的三角函数的最值问题.变式 若本题的其他条件不变，求2% + y 的最大值. 上述几种方法同样适用，若用到等和线定理,则需将—50—2021年第07期总第500期数理化解题研究已知等式进行恒等变形•事实上’OC-%04+y O B-2%X ；04+y O B,令O M-；04,即M为线段OA的中点，则OC-2%O M+y O B.连接MB交OC于点N，假设2%+y -1,则C,M,B三点共线,但是因为点C在圆弧AB上运动,根据等和线定理,只需将直线MB平移至M'B，,使得直线M‘B，与圆弧相切’切点为点C,此时(2%+y)喰-临-侖，根据图形可得OC丄M'B',MB〃MW.所以OC丄MB,即ON丄MB,在△ABM中利用面积法可求得O/V•题5(2019年浙江高考卷)已知点F(1,0)为抛物线y2-2p%(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得A ABC的重心G在%轴上，直线AC交%轴于点Q,且点Q在点F的右侧，记A AFG,△CQG的面积分别是S；,S2•(1)求卩的值及抛物线的准线方程；S(2)求S；的最小值及此时点G的坐标.S2分析解析几何是高考重点考查的内容之一,本题考查的是抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系,同时考查了学生的转化与化归能力、数形结合能力、运算求解能力,以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养•(；)抛物线的标准方程为y2-4%；(2)思路1设点法•设点A(t2,21),写出直线AF的方程，联立抛物线方程可求得点B的坐标(用t表示),结S合已知条件从而求得点C,G,Q的坐标,进而得到S；的表S2达式，可写成关于变量t的函数，最后利用换元法以及基本不等式等知识求得函数的最小值.思路2设出直线AB的方程，如Z AB:%-my+ 1,将直线AB的方程与抛物线方程联立,设A(%；,y；),B(%2,y2),利用韦达定理，结合题目条件容易求得点C,G,Q的坐标, S从而得到S；的表达式，因此问题就转化为求函数的最小S2值问题•这两种方法都比较好,但解题中计算量非常大，很难将解题进行到底，解决此题需要一定的综合解题的能力.思路3有些同学是利用向量知识进行求解，相比较而言计算量较小，在解题过程中利用了平面向量中三点共线的一个结论，及三角形中的重心的性质等知识,最终S将S；最大值问题转化为求函数的最大值问题•下面是利S2用向量法求解本题的部分解析•因为点G是A ABC的重心，则S△agb-S△agc.令A F-入A V,AQ-/zAC(0<入，“<1),贝卩S；-S“G-^S△ABG，S2-S△CQG-(1-z)S△AGC.所以-；—延长AG 交BC于点M,则A M-；(A F+A C),AG-；A M-；(A B+A C).又F,G,Q三点共线，所以存在t e R,使A F -tAF+(1-t)AQ-入tAB+z(；-t)A C-；(AB+AC).即｛入t-V，解得入二2"[•门、13"-；z(；-1)二亍又0<入,z<；,所以2<z<；•A A所以S；二入__S21-z(3z-；)(；-仏)-3^z2+4z-；■3--1+孚——；、三3z+^丿+4-23+4当且仅当｛”-丄,z；；；C T+7-3,即｛\3+3入二6时等号成立.73“-；所以的最小值为；+£•(点G的坐标求解略)解析几何中有关面积最值或范围问题是高考的热点和难点之一，一般来讲有两种常见的解题思路：(1)构造关于所求量的函数,将有关面积的最值或范围问题转化为函数的最值或范围问题；(2)构造关于所求量的不等式来求解最值或范围.解题过程中经常将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离、基本不等式等知识•解析几何作为高考解答题之一，常作为压轴题,解答题重视数学思想、数学方法的理解、掌握与灵活运用，综合性强，难度较大，体现了对学生数学素养的考查.对于本题相比较前面涉及到的三种解题方法中，利用向量法求解本题计算量较少,容易求解.参考文献:[1]何振华.例谈高中数学一题多解的“套路”[J].福建中学数学,2018(12)：38-40.[责任编辑:李璟]—51—。

平面向量中三点共线定理的推广及应用
三点共线定理是指在平面向量中，三个点A，B，C，如果向
量AB与向量AC的夹角为0°或180°，则三点A，B，C共线。

三点共线定理的推广及应用主要有以下几点：
1. 平面向量中四点共线定理：在平面向量中，如果四个点A，B，C，D满足向量AB与向量AC的夹角为0°或180°，向量BC与向量CD的夹角也为0°或180°，则四点A，B，C，D共线。

2. 平面向量中多点共线定理：在平面向量中，如果n个点A，B，C，D，…，P满足，任意两个相邻的向量的夹角为0°或180°，则n个点共线。

3. 平面向量中两点共线定理：在平面向量中，如果两个点A，B满足向量AB的夹角为0°或180°，则两点A，B共线。

4. 平面向量中多边形共线定理：在平面向量中，如果n边形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n边形共线。

5. 平面向量中多角形共线定理：在平面向量中，如果n角形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n角形共线。

6. 平面向量中多条直线共线定理：在平面向量中，如果n条直线的每两条直线的夹角都为0°或180°，则n条直线共线。

以上是平面向量中三点共线定理的推广及应用，它们在几何图形中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析几何图形。

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。