第二章2.1.2知能演练轻松闯关

1．(2013·杭州高二检测)“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为( )

A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

解析：选B.根据“三段论”的形式知，S——四边形ABCD，P——对角线相等，M——矩形．∴大前提“M是P”是指矩形都是对角线相等的四边形．

2．(2013·黄冈高二检测)用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是( )

A．增函数的定义

B．函数y＝x3满足增函数的定义

C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)

D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)

解析：选B.“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.

3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋1an－1)(n≥2)，由此推出{an}的通项公式

解析：选A.选项B为类比推理，选项C，D为归纳推理，选项A为演绎推理，符合三段论．

4．(2013·黄冈高二检测)已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c的关系是( )

A．成等差数列但不成等比数列

B．成等差数列且成等比数列

C．成等比数列但不成等差数列

D．不成等比数列也不成等差数列

解析：选A.由条件可知a＝log23，

b＝log26，c＝log212.

∵a＋c＝log23＋log212＝log236＝2log26

＝2b，∴a，b，c成等差数列．

又∵ac＝log23log212≠(log26)2＝b2，

∴a，b，c不成等比数列．故选A.

5．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数，则θ＝( )

A.kπ2＋π4(k∈Z) B.kπ2(k∈Z)

C．kπ＋π2(k∈Z) D．kπ(k∈Z)

解析：选D.∵f(x)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)即f(－x)－f(x)＝0. 由于f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数，

∴cos(－2x＋θ)－cos(2x＋θ)＝0，

－2sin θsin(－2x)＝0即sin θsin 2x＝0.

又x∈R，∴sin θ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)．

6．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>3a2＋a＋1”的推理过程中，其大前提是________．

解析：∵a2＋a＋1＝a＋122＋34>0.

∴(a2＋a＋1)x>3⇒x>3a2＋a＋1.

其前提依据为不等式的乘法法则：a>0，b>c⇒ab>ac.

答案：a>0，b>c⇒ab>ac

7．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．

解析：当0

a＝5－12∈(0,1)，

所以函数f(x)＝5－12x为减函数．

故由f(m)>f(n)得m

答案：m

8．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.

解析：因为奇函数f(x)在x＝0处有定义则f(0)＝0，而奇函数f(x)＝a－12x＋1的定义域为R，所以f(0)＝a－120＋1＝0.

解得a＝12.

答案：12

9．已知函数f(x)＝2x－12x＋1(x∈R)．

(1)判定函数f(x)的奇偶性；

(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．

解：(1)对∀x∈R有－x∈R，

并且f(－x)＝2－x－12－x＋1＝1－2x1＋2x＝－2x－12x＋1＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：

任取x1，x2∈R，并且x1>x2，

则f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1

＝2x1－12x2＋1－2x2－12x1＋12x1＋12x2＋1

＝22x1－2x22x1＋12x2＋1.

∵x1>x2，∴2x1>2x2>0，

∴2x1－2x2>0,2x1＋1>0,2x2＋1>0. ∴22x1－2x22x1＋12x2＋1>0.

∴f(x1)>f(x2)．

∴f(x)在R上为单调递增函数．

10．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x2)＝2f(x)；

(2)求f(1)的值；

(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．

解：(1)证明：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)．

∴f(x2)＝f(x·x)

＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．

(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，

∴f(1)＝0.

(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2

＝2f(2)＝f(4)，

且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴ x＞0x＋3＞0xx＋3≤4，解得0＜x≤1.

1．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(

)

A．AC⊥β

B．AC⊥EF

C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上

D．AC与α，β所成的角相等

解析：选D.只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.

2．(2013·西城高二检测)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则f2f1＋f4f3＋„＋f2 014f2 013＝________.

解析：利用三段论．

∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．

令b＝1，则fa＋1fa＝f(1)＝2(小前提)．

∴f2f1＝f4f3＝„＝f2 014f2 013＝2(结论)，

答案：2 014

3．(2012·高考广东卷)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．

(1)证明：PH⊥平面ABCD；

(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E-BCF的体积；

(3)证明：EF⊥平面PAB.

解：(1)证明：因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，

所以PH⊥AB.

因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.

因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，

所以PH⊥平面ABCD.

(2)

如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.

因为E是PB的中点，

所以EG∥PH，且EG＝12PH＝12.

因为PH⊥平面ABCD，

所以EG⊥平面ABCD.

因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，

所以VE-BCF＝13S△BCF·EG＝13·12·FC·AD·EG＝212.

(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.

因为E是PB的中点，所以ME12AB.

又因为DF12AB，所以MEDF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.

因为PD＝AD，所以MD⊥PA.

因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.

因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，

所以EF⊥平面PAB.

4．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.

解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)

f′(x) － 0 ＋

f(x) ↘ 2(1－ln 2＋a) ↗

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2]，

单调递增区间是[ln 2，＋∞)，

f(x)在x＝ln 2处取得极小值， 极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．

(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.

于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，

所以g(x)在R内单调递增．

于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，

都有g(x)＞g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，

g(x)＞0.

即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.