2019~2020学年度第一学期高一年级期末教学质量监测数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|6A x x =>,{}2,5,6,8,10B =,则()R C A B =( )A. {}8,10B. {}2,5C. {}6,8,10D. {}2,5,6【★答案★】D 【解析】 【分析】 先求得{}|6RA x x =≤,再由交集的定义求解即可【详解】由题,{}|6RA x x =≤,所以(){}2,5,6R AB ⋂=,故选：D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,属于基础题 2.已知向量()5,5a =-，()0,3b =-，则2a b +=( )A. ()5,1-B. ()5,1--C. ()5,11-D.()10,7-【★答案★】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由向量()5,5a =-，()0,3b =-，则()()()25,520,35,1a b +=-+-=--. 故选：B【点睛】本题考查了向量的线性坐标运算，属于基础题. 3.若1sin 4θ=，则cos2θ= （ ） A. 1516-B.1516C.78D. 78-【★答案★】C 【解析】根据二倍角余弦公式计算可得. 【详解】解：41sin θ=， 217cos 212sin 188θθ∴=-=-=，故选：C.【点睛】本题考查二倍角余弦公式的应用，属于基础题. 4.下列各组函数相同的是（ ） A. 2yx 和2(1)y x =+ B. 0y x =和1()y x R =∈C. 22()()x f x x=和4()()xg x x = D. 1y x =-和211x y x -=+【★答案★】C 【解析】 【分析】根据定义域和解析式,可判断两个函数是否为相同函数. 【详解】对于A,2yx 和2(1)y x =+,函数解析式不同,所以不是相同函数;对于B,0y x =中70x ≠,1()y x R =∈,所以两个函数定义域不同,不是相同函数;对于C,22()1(),0x f x x x x==>,41(),0()x g x x x x ==>,所以两个函数定义域相同,解析式相同,是相同函数.对于D,1y x =-中1x ≠,211x y x -=+中1x ≠-,所以两个函数定义域不同,不是相同函数;综上可知,C 中两个函数为相同函数 故选:C【点睛】本题考查了相同函数的判断,从定义域可解析式两个方面分析即可,属于基础题. 5.函数31()102f x x x =--+的零点所在的大致区间为（ ） A. (1,0)- B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)【★答案★】D 【解析】根据函数的单调性,结合零点存在定理即可判断零点所在区间. 【详解】因为函数31()102f x x x =--+在R 上单调递减, (2)10f =>,(3)0f <,所以零点所在的大致区间为(2,3) 故选:D【点睛】本题考查了零点所在区间的判断,需先判断函数的单调性,才能说明零点的唯一性,属于基础题. 6.若1tan 2α=，1tan 3β=-，则tan()αβ+=（ ）A. 57-B. 57 C. 17D. 17-【★答案★】C 【解析】 【分析】根据正切的和角公式,代入即可求解.【详解】由正切函数的和角公式,代入化简可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-112311123⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭17=故选:C【点睛】本题考查了正切函数和角公式的应用,属于基础题. 7.已知22018log 2019a =，2log 5b =，0.92c =，则（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c b a <<D. b a c <<【★答案★】B 【解析】根据对数函数与指数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数与指数函数的图像与性质可得22018log 02019a =<, 2log 52b =>,0.9122c <=<,∴a c b << 故选:B【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的图像与性质,指数与对数式的大小比较,属于基础题. 8.在ABC 中，12AD DB =，14CE EA =，点M 为线段DE 的中点，则BM = （ ） A.2556AC AB - B.5166AC AB - C. 1566AC AB + D.3156AC AB + 【★答案★】A 【解析】 【分析】根据向量加法与减法的线性运算,即可得解. 【详解】ABC ∆中,12AD DB =,14CE EA =,点M 为线段DE 的中点,位置关系如下图所示:由向量的线性运算可得12BM BD DM BD DE =+=+1()2BD AE AD =+-21413253AB AC AB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2556AC AB =-. 故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,根据线段关系用基底表示向量,属于基础题.9.已知函数ln ,0,()e 1,0,xx x f x x >⎧=⎨-⎩()()g x f x x a =+- ，若()g x 恰有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A. (0,)+∞ B. (,0)-∞C. [1,)+∞D. (0,1]【★答案★】A 【解析】 【分析】根据零点定义可得()f x x a =-+.作出ln ,0,()e 1,0,xx x f x x >⎧=⎨-⎩和()f x x a =-+的图像.根据图像即可分析出有一个交点时a 的取值范围.【详解】根据零点定义可得()0g x =,即()f x x a =-+, 作出函数()y f x =的图象和函数y x a =-+的图象,如下图所示由函数图像可知,当0a >时,两函数图象有一个交点,即函数()g x 有一个零点. 故选:A【点睛】本题考查了函数零点定义,分段函数图像画法,由函数图像交点个数研究零点问题,属于中档题.10.已知函数log ,1,()(21)3,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 11,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭【★答案★】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性,可得关于a 的不等式组,解不等式组即可确定a 的取值范围.【详解】函数log ,1,()(21)3,1a x x f x a x a x >⎧=⎨-+⎩在R 上为减函数 所以满足01,210,(21)130,a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-⋅+⎩解不等式组可得1152a <. 故选:D【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用,根据分段函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.11.已知函数1()log 1x b f x a x -=+-（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则()f x 的图象过定点（ ） A. （0,1） B. （1,1）C. （1,0）D. （0,0）【★答案★】C 【解析】 【分析】令1x =，求得函数值，即可求得函数恒过的定点.【详解】当1x =时，0()(1)log 111010b f x f a ==+-=+-=，()f x ∴的图象过定点（1,0）.故选：C.【点睛】本题考查指数型和对数型函数恒过的定点，属基础题.12.函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示,BC ∥x 轴当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,若不等式()sin 2f x m x -恒成立,则m 的取值范围是( )A. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [3,)+∞D. [1,)+∞【★答案★】A 【解析】 【分析】根据,B C 两点的对称性求得()f x 的一条对称轴方程，由此结合()f x 的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x 的解析式，利用分离常数法化简()sin 2f x m x -，结合三角函数值域的求法，求得m 的取值范围. 【详解】因为//BC x ,所以()f x 的图像的一条对称轴方程为2723212x πππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x 图像过π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，由23k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.()sin 2f x m x -，等价于()sin 2f x x m -,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭. 由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x 的最大值为32,所以32m . 故选：A查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题：把★答案★填在答题卡中的横线上.13.已知向量(,6)a m =-，(4,3)b =-，若//a b ，则m =_______. 【★答案★】8 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系,可得关于m 的方程,解方程即可求得m 的值. 【详解】向量(,6)a m =-,(4,3)b =- 因为//a b ,所以324m =, 解得8m =. 故★答案★为:8【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系,属于基础题. 14.函数()2f x x x =-+的最小值是_______.【★答案★】2 【解析】 【分析】根据函数定义域及函数单调性,可求得函数的最小值. 【详解】函数()2f x x x =-+,定义域是[2,)+∞,且单调递增,所以()f x 的最小值是(2)2f =. 故★答案★为:2【点睛】本题考查了函数定义域的求法,根据函数单调性求函数的最值,属于基础题. 15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x a x a =+.若()4f e -=，则()()01f f +=__________.【★答案★】-2 【解析】 【分析】由奇函数定义由()f e -求出()f e ，从而可求得a ，而(0)0f =，再求出(1)f 即可．【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()24f e f e a -=-=-=，可得2a =-.所以当0x >时，()2ln 2f x x =--，所以12f .又()00f =，所以()()012f f +=-.故★答案★为：2-．【点睛】本题考查函数的奇偶性，由奇函数的定义求函数值，属于基础题． 16.已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=__________. 【★答案★】710【解析】 【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用22sin cos αα+代换化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α求值．【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故★答案★为：710． 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考查“1”的代换．解题时注意关于sin ,cos αα的齐次式的化简求值方法．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.计算或化简：（1）1123021273log 81664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅-++.【★答案★】（1）12（2）2- 【解析】 【分析】（1）根据指数与对数的运算性质,化简即可得解. （2）根据对数的运算性质,化简即可得解. 【详解】（1）根据指数与对数的运算性质,化简可得112321273log 81664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1133249313164⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦731344=++- 12=. （2）根据指数与对数的运算性质,化简可得6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅-++323log 313lg 10=--+314222=-+=-. 【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质,属于基础题. 18.已知向量()1,3a =，()1,3b =-，(),2c λ=. （1）若3a mb c =+，求实数m ，λ的值；（2）若()()2a b b c +⊥-，求a 与2b c +的夹角θ的余弦值.【★答案★】（1）01m λ=⎧⎨=-⎩（2）31010【解析】 分析】（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得m ,λ的值. （2）根据向量坐标的加减法运算,可得2,a b +,b c -结合向量垂直的坐标关系,即可求得λ的值.进而表示出2b c +,即可由向量的坐标运算求得夹角θ的余弦值. 【详解】（1）由3a mb c =+,得()()()1,3,33,6m m λ=-+,即13336m m λ=-+⎧⎨=+⎩,解得01m λ=⎧⎨=-⎩.()()因为()()2a b b c +⊥-,所以190λ--+=,即8λ=. 令()26,8d b c =+=, 则3031010cos 1010a d a dθ==⨯⋅=.【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.19.某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x ωϕ+2ππ32π 2πx512π1112π()sin A x ωϕ+ 02(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【★答案★】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1 【解析】 【分析】（1）由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin 22A π=可得2A =,则()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而补全表格即可；（2）由图像变换原则可得()2sin g x x =,进而将236x π=代入求解即可【详解】解:(1)根据表中已知数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin22A π=,所以2A =,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 数据补全如下表:x ωϕ+0 2π π32π 2πx6π 512π 23π1112π76π ()sin A x ωϕ+ 02-2(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力 20.已知二次函数()f x 的图象过原点，且满足(1)()2f x f x x +-=. （1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()3f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 【★答案★】（1）2()f x x x =- （2）(,4)-∞-【解析】 【分析】（1）根据二次函数过原点,所以(0)0f =.设出解析式,由(1)()2f x f x x +-=即可求得二次函数解析式.（2）将二次函数解析式代入不等式,分离参数后构造函数2()4g x x x =-,即可由二次函数的图像与性质求得最小值,进而求得m 的取值范围.【详解】（1）由题意,(0)0f =,设2()f x ax bx =+,则2(1)(1)(1)f x a x b x +=+++, ∴(1)()2f x f x ax a b +-=++.由题意,(1)()2f x f x x +-=对x ∈R 恒成立,∴22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩∴2()f x x x =-.（2）不等式()3f x x m >+恒成立,即24m x x <-, 令2()4g x x x =-,则2()(2)4g x x =--, ∴min ()4g x =-,∴4m <-,即实数m 的取值范围为(,4)-∞-.【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,一元二次不等式恒成立问题,属于基础题. 21.已知向量sin,cos33a x x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量(3,1)b =，函数()22f x a b =⋅+. （1）求()f x 在[3,6]-上的单调递增区间； （2）令3()(2)22g x f x f x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的最大值. 【★答案★】（1）[]2,1-，[]4,6； （2）62 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积运算,结合辅助角公式化简,即可求得()f x .根据正弦函数单调递增区间,即可求得()f x 在[3,6]-上的单调递增区间;（2）根据()f x 解析式即可求得()g x 解析式.根据10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,结合正弦函数的图像与性质即可求得()g x 的最大值.【详解】（1）根据平面向量数量积定义,结合辅助角公式化简可得()223sincos2233f x a b x x ππ=⋅+=++2sin 2236x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令222362k x k ππππππ-+++,k ∈Z ,即2616k x k -++,k ∈Z .因为k ∈Z ,所以()f x 的单调递增区间为[]2,1-,[]4,6.（2）由（1）可知2sin ()2236x x f ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,代入可得3()(2)22g x f x f x ⎛⎫=++⎪⎝⎭222sin 2sin 4236326x x πππππ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222sin cos 423636x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2522sin 42312x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2557,3121212x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 当253122x πππ+=, 即18x时,()g x 的最大值为1628g ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,正弦函数单调区间的求法,正弦函数图像与性质的应用,属于基础题.22.已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数. （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x -在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围； 【★答案★】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠ （2）52n - 【解析】 【分析】（1）根据()f x 解析式及(2)y f x =-是偶函数,代入即可求得m 的值,进而求得()g x 的解析式.（2）利用换元法,令ln x t =,结合21,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭求得t 的范围.将不等式分离参数,即可将不等式转化为关于1t 的二次函数.令1s t=,结合二次函数性质即可求得n 的取值范围.【详解】（1）∵2()(2)f x x m x m =+--,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-. ∵(2)y f x =-是偶函数, ∴60m -=,∴6m =. ∴2()46f x x x =+-, ∴6()4(0)g x x x x=-+≠. （2）令ln x t =, ∵21,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, ∴[2,0)t ∈-,不等式(ln )ln 0g x n x -在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立,等价于()0g t nt -在[2,0)t ∈-上恒成立,∴2264646411t t n t t t t t-+=-+=-++.令2641z t t =-++,1s t =,则12s -, 256412z s s =-++-,∴52n -.【点睛】本题考查由偶函数求参数的值,函数解析式的求法,利用换元法对函数解析式变形为二次函数型的函数,分离参数法在不等式恒成立中的应用,属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
