江苏省2021年高二数学上学期期中考试卷(三)

2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )A.B.C.D.2.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A. B.C.D.3.阿基米德公元前287年-公元前212年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C 的离心率为，面积为，则椭圆C 的方程为( )A. B. C.D.4.直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，则r 的值为( )A.B.C.D.5.已知直线l ：，直线m ：，若直线l 与m 的交点在第一象限，则数k 的取值范围为( )A.B. C.D.或6.已知在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.7.陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一，传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为12cm ，圆柱部分高度为9cm ，底面圆半径为已知该陀螺由密度为克的合成材料做成，则此陀螺质量最接近注：物体质量=密度体积( )A. 432克B. 477克C. 495克D. 524克8.已知在直角坐标系xOy 中，点，O 为坐标原点，直线l ：上存在点P 满足，则实数m 的取值范围是( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是( )A.B.C.D.10.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数( )A. 1B. C. 3D.11.已知圆M ：，点P 是直线l ：上一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，下列说法正确的有( ) A. 圆M 上恰有一个点到直线l 的距离为 B. 切线长PA 的最小值为1 C. 四边形AMBP 面积的最小值为2 D. 直线AB 恒过定点12.如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，，，以下正确的结论有( )A. 直线BC 与直线所成的角为B. 直线直线C.直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱柱的体积为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知焦点在x 轴上的椭圆C ：，其焦距为，则实数__________.14.若，，是一个单位正交基底，且向量，，则__________.15.已知圆的方程为，则当该圆面积最小时，圆心的坐标为__________.16.已知在边长为6的正方体中，点M，N分别为线段和上的动点，当__________时，线段MN取得最小值__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.设x∈R，则“ x2−5x<0”是“ |x−1|<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由|x−1|<1得，0<x<2由x2−5x<0得0<x<5由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出0<x<5故“ 0<x<5”是“ |x−1|<1”的必要而不充分条件.故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可.2.不等式2x+1<1的解集是（）．A．(−∞,−1)B．(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−1,1)【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由题意，不等式2x+1<1，可化为2x+1−1=1−xx+1<0，即x−1x+1>0，解得x<−1或x>1，即不等式2x+1<1的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞).故答案为：C．【分析】化简不等式为x−1x+1>0，结合分式不等式的解法，即可求解.3.已知数列{a n}中，a1=2，a n=1−1a n−1(n≥2)，则a2021等于（）A． -1B．−12C．12D．2【答案】C【考点】数列递推式【解析】因为a1=2，所以a2=1−1a1=12,a3=1−1a2=−1,a4=1−1a3=2,......所以a n+3=1−1a n+2=1−11−1a n+1=1−11−11−1an=1−11−a na n−1=1−a n−1−1=a n，所以{a n}是周期为3的周期数列，所以a2021=a3×673+2=a2=12，故答案为：C．【分析】先计算出{a n}的前几项，然后分析{a n}的周期性，根据周期可将a2021=a3×673+2= a2，结合a1=2求解出结果.4.已知a>b>c，ac>0，则下列关系式一定成立的是（）A．c2>bc B．bc(a−c)>0C．a+b>c D．a2>b2【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】ac>0，∴a,c同号，又a>b>c，从而a,b,c同号，所以bc>0，而a−c> 0，所以bc(a−c)>0，B符合题意．c>0时，A不符合题意，a<0时，C,D都错．故答案为：B．【分析】根据不等式性质求解．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1=4，a5=2，∴a1+a5=6，数列的前5项和为S5=5×a1+a52=5×3=15．即金锤共重15斤，故答案为：D．【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a5=2a4+3a3，则a6=（）A．2B．54C．162D．243【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解得q=3，∴a6=a2q4=162.故答案为：C【分析】由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案.7.已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n}的前n项和S n取得最大值的正整数n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0．∴−2a1d=9，可得：2a1+9d=0，∴a1=−9d2．∴a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)，可得：a5=−d2>0，a6=d2<0．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数的值是5．故答案为：B．【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],可得:0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0，可得−2a1d =9，a1=−9d2，于是a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)即可判断出结论.8.设S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1=2a n S n，且a n>0，则S100=（）A．10B．3√11C．10−3√11D．11【答案】A【考点】数列递推式【解析】∵a n2+1=2a n S n∴a12+1=2a1S1∴a12=1∵a n>0∴a1=1∵a n2+1=2a n S n∴(S n−S n−1)2+1=2(S n−S n−1)S n,(n≥2)∴S n2−S n−12=1,(n≥2)因此数列{S n2}为等差数列，首项为1，公差为1，即S n2=1+(n−1)⋅1=n∵a n>0∴S n>0∴S n=√n∴S100=10故答案为：A【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出S n2−S n−12= 1,(n≥2)(常数),最后求出数列的通项公式，进一步确定结果.二、多选题9..关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则下列正确的是（）A．a<0B．关于x的不等式bx+c>0的解集为(−∞,−6)C．a+b+c>0D ． 关于x 的不等式 cx 2−bx +a >0 的解集为 (−∞,−13)∪(12,+∞)【答案】 A,C,D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】A ．由已知可得 a <0 且 −2,3 是方程 ax 2+bx +c =0 的两根，A 符合题意，B ．由根与系数的关系可得： {−2+3=−ba −2×3=c a，解得 b =−a,c =−6a ，则不等式 bx +c >0 可化为： −ax −6a >0 ，即 x +6>0 ，所以 x >−6 ，B 不符合题意，C ．因为 a +b +c =a −a −6a =−6a >0 ，C 符合题意，D ．不等式 cx 2−bx +a >0 可化为： −6ax 2+ax +a >0 ，即 6x 2−x −1>0 ，解得 x >12 或 x <−13 ，D 符合题意， 故答案为：ACD ．【分析】 先由已知可得a <0且b =−a,c =−6a ，然后代入各个选项验证是否正确即可得出答案.10.当 x ≥1 时，下列函数的最小值为4的有（ ） A ． y =4x +1x B ． y =4x 2−4x+52x−1C ． y =x 2+5√x 2+1D ． y =5x −1x【答案】 B,C,D 【考点】平均值不等式【解析】【解答】A ．根据对勾函数的单调性可知： y =4x +1x 在 [1,+∞) 上单调递增，所以函数最小值为： 4×1+11=5 ，故不符合；B ． y =4x 2−4x+52x−1=(2x−1)2+42x−1=(2x −1)+42x−1≥2√(2x −1)⋅42x−1=4 ，取等号时 {2x −1=42x−1x ≥1，即 x =32，所以函数的最小值为4，故符合； C ． y =2√x 2+1=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1⋅√x 2+14 ，取等号时 {√x 2+1=√x 2+1x ≥1，即 x =√3 ，所以函数的最小值为4，故符合； D ． y =5x −1x 在 [1,+∞) 为单调递增函数，所以函数的最小值为 5×1−1×1=4 ，故符合；故答案为：BCD ．【分析】 直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A 、B 、C 、D 的结论.11.设首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=2S n+n−1，则下列结论正确的是（）A．数列{S n+n}为等比数列B．数列{a n}的通项公式为a n=2n−1−1 C．数列{a n+1}为等比数列D．数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比关系的确定【解析】因为S n+1=2S n+n−1，所以S n+1+n+1S n+n =2S n+2nS n+n=2．又S1+1=2，所以数列{S n+n}是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；所以S n+n=2n，则S n=2n−n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−1，但a1≠21−1−1，B不符合题意；由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4，即a3+1a2+1≠a2+1a1+1，C不符合题意；因为2S n=2n+1−2n，所以2S1+2S2+...+2S n=22−2×1+23−2×2+...+2n+1−2n=22+23+...+2n+1−2(1+2+...+n)=4(1−2n)1−2−2[n+n(n−1)2]=2n+2−n2−n−4所以数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4，D符合题意．故答案为：AD．【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列{S n+n}是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列{a n}的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列{a n}的通项公式，由数列的通项公式即可得出该数列为等比数列，借助等比数列的前n项和公式整理即可得出数列{2S n}的前n项和公式；由此对选项逐一判断即可得出答案.12.已知{a n}为等比数列，下列结论正确的是（）A．若a3=−2，则a22+a42≥8B．a32+a52≥2a42C．若a3=a5，则a1=a2D．若a5>a3，则a7>a5【答案】A,B,D【考点】基本不等式，等比数列的性质【解析】【解答】A．因为a22+a42≥2a2a4=2a32=8，取等号时a2=a4=±2，故正确；B．因为a32+a52≥2a3a5=2a42，取等号时a3=a5，故正确；C．设等比数列的公比为q，因为a3=a5，所以q2=a5a3=1，所以q=±1，当q=−1时，a1=−a2，故错误；D．设等比数列的公比为q，因为a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7> a5，故正确；故答案为：ABD．【分析】对于A,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于B,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于C,由a3=a5，得q=±1，当q=−1时，a1=−a2可判断C；由a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7>a5，即可判断D.三、填空题13..命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为1．【答案】∀x>0，x3+x≥0【考点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为“ ∀x>0，x3+x≥0” 故答案为：∀x>0，x3+x≥0．【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可.14..已知实数x，y满足y>32且6xy−9x+2y−4=0，则3x+y的最小值是1.【答案】2√2+12【考点】基本不等式【解析】由6xy−9x+2y−4=0，可得y=9x+46x+2，∵y>32，∴9x+46x+2>32，解不等式可得，x>−13，则3x+y=3x+9x+46x+2=3x+3(3x+1)+12(3x+1)=3x+12(3x+1)+32，=3x+1+12(3x+1)+12⩾2√12+12=√2+12，当且仅当3x+1=12(3x+1)即x=√2−26时上式取等号，∴3x+y的最小值是√2+12，故答案为√2+12．【分析】由6xy-9x+2y-4=0，化为y=9x+46x+2，根据y>32求出x的取值范围，把3x+y化为只含有x的式子，根据x的取值范围求出3x+y的最小值.15..数列 {a n } 满足 a 1+2a 2+22a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ，若对任意 λ>0 ，所有的正整数n 都有 λ2−kλ+2>a n 成立，则实数k 的取值范围是 1 ． 【答案】 (−∞,√312)【考点】基本不等式，数列的函数特性【解析】【解答】记 b n =2n−1a n ，设 S n =a 1+2a 2+222a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ， 当 n =1 时， b 1=12−72=−3 ；当 n ≥2 时， b n =S n −S n−1=12n 2−72n −[12(n −1)2−72(n −1)]=n −4 ． 当 n =1 时， b 1=−3 也满足上式，所以 b n =n −4(n ∈N *) ，即 a n =n−42n−1 ． 显然当 n ≤3 时， a n <0 ， a 4=0 ，当 n ≥5 时， a n >0 ，因此 a n 的最大值若存在，必为正值． 当 n ≥5 时，a n+1a n=n−32(n−4) ，因为a n+1a n−1=5−n 2(n−4)≤0 ，当且仅当 n =5 时取等号．所以 a n 的最大值为 116．故 λ2−kλ+2>(a n )max =116，变形得， k <λ+3116λ，而 λ+3116λ≥2√3116=√312，当且仅当 λ=√314时取等号，所以 k <√312．故答案为： (−∞,√312) ．【分析】 先由题设求得a n ,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ> 0，所有的正整数n 都有λ2−kλ+2>a n 成立转化为k <λ+3116λ， 对任意λ> 0恒成立，再利用基本不等式求得λ+3116λ的最小值，即可得到答案.16.已知数列 {a n } 满足： a n ={12,(n =1)[1+2⋅(−1)λ]a n−1+2(n ≥2) ， {a n } 的前 n 项和为 S n ，则当 λ=1 时， S 11= ________；当 λ=2 时，数列 {a n } 的通项公式为 a n = ________. 【答案】212；a n =3n 2−1【考点】数列的函数特性，数列的求和【解析】【解答】当 λ=1 时， a n =−a n−1+2 ，即 a n +a n−1=2 ，所以 S 11=(a 11+a 10)+(a 9+a 8)+(a 7+a 6)+(a 5+a 4)+(a 3+a 2)+a 1=2×5+12=212，λ=2 时， a n =3a n−1+2 ， 所以有 a n +1=3(a n−1+1) ，所以{a n+1}是以a1+1=32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n+1=32⋅3n−1，所以a n=3n2−1，故答案为：①212；②a n=3n2−1.【分析】根据题意分情况讨论；当λ=1时，由数列的通项公式整理即可得出a n+a n−1=2结合已知计算出结果即可；当λ=2时，整理数列的通项公式即可得出a n+1=3(a n−1+1)进而得出数列{a n+1}为等比数列，由等比数列的通项公式即可求出a n+1=32⋅3n−1整理即可得到a n=3n2−1，从而得出答案.四、解答题17.已知关于x的不等式ax2−2x+a<0的解集为空集，函数f(x)=x+22x+1+m在x∈(−12,+∞)上的值域为B．（1）.求实数a的取值集合A及函数f(x)的值域B；（2）.对（1）中的集合A，B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）1°若a=0，则−2x<0不符合；2°若a>0，则Δ=4−4a2≤0，则a≤−1或a≥1，∴a≥1；3°若a<0不成立；综上，a≥1，∴A=[1,+∞)．令t=2x+1∈(0,+∞)，则x=t−12．∴g(t)=t−12+2t+m=t2+2t+m−12≥2√t2⋅2t+m−12．当且仅当t2=4即t=2时等号成立，此时g(t)min=32+m．∴B=[32+m,+∞)．（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B是A的真子集，则32+m>1，解得m>−12．【考点】集合关系中的参数取值问题，基本不等式【解析】【分析】(1)通过讨论a的范围,求出集合A,根据函数的单调性求出B即可;(2)求出B是A的真子集,得到关于m的不等式，求出m的范围即可.18.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列.（1）.求{a n}的通项公式；（2）.设b n=a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n【答案】（1）设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，又∵2a 1 ， a 2 ， a 3+1成等比数列，∴a 22=2（a 2-d ）（a 2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去）， ∴a n =a 2+（n -2）d=3n -2 （2）b n =a n 3n =3n−23n，∴ T n =1×13+4×132+7×133+⋯+(3n −2)×13n①①× 13得 13T n =1×132+4×133+7×134+⋯+(3n −5)×13n +(3n −2)×13n+1②①-②得 23T n =13+3×132+3×133+⋯+3×13n −(3n −2)×13n+1 =13+3×132×(1−13n−1)1−13−(3n −2)×13n+1=56−12×13n−1−(3n −2)×13n+1，∴ T n =54−14×13n−2−3n−22×13n =54−6n+54×13n ．【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【解析】 (1)利用等差数列的性质以及S 3=12求出a 2=4，再由 2a 1,a 2,a 3+1 成等比数列求出公差即可求 {a n } 的通项公式； (2)把(1)的结论代入 b n =a n 3n,再利用错位相减法求T n .19..小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x 万件时，该产品需另投入流动成本 W(x) 万元．在年产量不足8万件时， W(x)=13x 2+x ，在年产量不小于8万件时， W(x)=6x +100x−38 ．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为 L(x) （单位：万元）．（1）.若年利润 L(x) （单位：万元）不小于6万元，求年产量x （单位：万件）的范围． （2）.年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）由题意得： L(x)=5x −W(x)−3当 x ∈(0,8) 时， L(x)=5x −(13x 2+x)−3=−13x 2+4x −3 ．∴ −13x 2+4x −3≥6 ，整理得： x 2−12x +27≤0 ，解得 3≤x ≤9 ．又∵ x ∈(0,8) ，∴ 3≤x <8 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=5x −(6x +100x−38)−3=35−(x +100x) ，∴ 35−(x +100x)≥6 ，整理得 x 2−29x +100≤0 ，解得 4≤x ≤25 ，又∵ x ∈[8,+∞) ，∴ 8≤x ≤25 ． 综上，x 的取值范围为 3≤x ≤25 ．（2）由（1）可知当 x ∈(0,8) 时， L(x)=−13x 2+4x −3=−13(x −6)2+9 ． ∴当 x =6 时， L(x)max =9 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=35−(x +100x)≤35−2√x ⋅100x=15 ．当且仅当 x =100x即 x =10 时， L(x)max =15 ．∵9<15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，且最大利润是15万元．【考点】二次函数的性质，根据实际问题选择函数类型，基本不等式【解析】(1)由题意可知L(x)=5x−W(x)−3，分段求出L(x)的解析式，令L(x)≥6,即可求出x的取值范围；(2)由(1)可知当x∈(0,8)时L(x)=5x−(13x2+x)−3=−13x2+4x−3，利用二次函数的性质求出L(x)的最大值，当x∈[8,+∞)时L(x)=5x−(6x+100x−38)−3=35−(x+ 100x)，利用基本不等式求出L(x)的最大值，再比较两者的大小，较大者即为L(x)的最大值.20.设函数f(x)=ax2−(3a+2)x+6．（1）.若f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1在x∈[−1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；（2）.解关于x的不等式ax2−(3a+2)x+6>0．【答案】（1）∵f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1，∴2x2−(2a+1)x+5>0在x∈[−1,+∞)恒成立．令g(x)=2x2−(2a+1)x+5，则g(x)的最小值大于0，1°当2a+14≤−1，则a≤−52，x=−1时，g(x)min=g(−1)=8+2a>0，则a>−4，∴−4<a≤−522°当2a+14>−1，则a>−52，x=2a+14时，g(x)min=g(2a+14)>0，即Δ=(2a+1)2−40<0，∴−2√10<2a+1<2√10，−2√10−12<a<2√10−12，∴−52<a<2√10−12．综上−4<a<2√10−12．（2）1°当a=0时，则−2x+6>0，∴x<32°当a>0时，Δ=(3a+2)2−24a=(3a−2)2≥0，所以(ax−2)(x−3)>0，方程根为x1=2a或x2=3，①2a <3，即a>23时，x<2a或x>3；②2a >3，即0<a<23时，x<3或x>2a；③2a =3，即a=23时，x≠3．3°当a<0时，则x1=2a ，x2=3，∴2a<x<3．综上， a <0 解集为 (2a ,3) ； a =0 解集为 (−∞,3) ； 0<a <23 解集为 (−∞,3)∪(2a ,+∞) ； a =23 解集为 {x ∣x ≠3} ； a >23 解集为 (−∞,2a )∪(3,+∞) ． 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】 (1)将不等式化简归零,然后构造函数,研究函，数的单调性，令该函数的最小值大于零即可;(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解.21.设数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，满足 S n +a n =An 2+Bn +1 ．且 a 1=1 ， a 2=32 ．（1）.求证：数列 {a n −n +1} 是等比数列并求数列 {a n } 的通项公式；（2）.令 b n =1a n −n+1 ，求数列 {b n(b n +1)(b n+1+1)} 的前n 项和 T n ，若对任意n 都有 T n >m ，求实数m 的取值范围．【答案】 （1）解：分别令 n =1、2 ，代入条件，得 {2a 1=A +B +12a 2+a 1=4A +2B +1又 a 1=1 ， a 2=32 ，解得 A =12 ， B =12 ． ∴ a n +S n =12n 2+12n +1 ，n ≥2 时， a n−1+S n−1=12(n −1)2+12(n −1)+1 ，∴ 2a n −a n−1=12(2n −1)+12=n ，∴ a n−1=2a n −n ，∵ a 1−1+1=1≠0 ，∴ a n −n+1a n−1−(n−1)+1=a n−n+12a n −2n+2=12 （常数）． ∴ {a n −n +1} 为等比数列且首项为1，公比为 12 ， ∴ a n −n +1=(12)n−1 ，∴ a n =n +(12)n−1−1 ． （2）b n =1an −n+1=2n−1 ∴ b n (b n +1)(b n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1 ∴ T n =(120+1−121+1)+(121+1−122+1)+(122+1−123+1)+⋅⋅⋅+(12n−1+1−12n +1)=12−12n +1又∵ T n 在 n ∈N ∗ 递增，∴ n =1 时， (T n )min =12−13=16 ．∴ m <16 ．【考点】数列的求和，数列递推式【解析】(1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和，进步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的范围.22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{a n}满足na n+1−(n+ 1)a n=1(n∈N∗)，且a1=1．（1）.求数列{a n}的通项公式；（2）.求λ的值使数列{√4S n+4n+λ}为等差数列；（3）.数列{b n}满足b n=14S n−1，T n为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k(1< m<k)，使得T k=3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）na n+1−(n+1)a n=1，两边同时除以n(n+1)得：a n+1 n+1−a nn=1n−1n+1，从而有：a nn −a n−1n−1=1n−1−1n，……，a22−a11=1−12．叠加可得：a nn −a11=1−1n，a n=2n−1(n≥2)．又n=1满足等式，从而a n=2n−1．（2）因为a n+1−a n=2，所以{a n}是首项为1，公差为2为等差数列，所以S n=n+n(n−1)2×2=n2，假设√4S1+4+λ，√4S2+8+λ，√4S3+12+λ成等差数列，所以2√4S2+8+λ= √4S1+4+λ+√4S3+12+λ，解得λ=1．检验当λ=1时，√4S n+4n+λ=2n+1，√4S n+1+4(n+1)+λ=2n+3，√4S n+1+4(n+1)+λ−√4S n+4n+λ=2，∴当λ=1时，{√4S n+4n+λ}为等差数列．（3）∴b n=14n2−1=12(12n−1−12n+1)，∴T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n，=12[(1−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−3−12n−1)+(12n−1−12n+1)]，=12(1−12n+1)=n2n+1，若T k=3T m2，则k2k+1=3m2(2m+1)2，整理得k=3m24m+1−2m2，又k>m>1，∴{3m24m+1−2m2>mm>1，整理得{2m2−m−14m+1−2m2>0m>1，解得1<m<1+√62又m∈N∗，∴m=2，∴k=12∴存在m=2，k=12满足题意【考点】数列的求和，等差数列的性质【解析】(1)直接利用关系式的变换的应用和叠加法的应用求出数列的通项公式；(2)利用关系式的变换和存在性问题的应用求出参数的值；(3)利用裂项相消法和存在性问题的应用求出结果.。

2021-2022学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求.1．直线l过A（2，3）和B（4，5）两点，则直线l的倾斜角是（）A．30°B．45°C．135°D．150°2．已知圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2＝4B．（x+2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣2）2+（y+1）2＝4D．（x﹣2）2+（y+1）2＝13．若直线l1：x+ay＝2a+2，直线l2：ax+y＝a+1平行，则a＝（）A．﹣1B．±1C．1D．04．经过点P（2，﹣3）作圆C：x2+y2+2x﹣24＝0的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程是（）A．x+y+5＝0B．x+y﹣5＝0C．x﹣y+5＝0D．x﹣y﹣5＝05．两圆C1：x2+（y﹣3）2＝4与C2：（x﹣4）2+y2＝9的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．已知点F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线√3x﹣y+3＝0相切，则抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y=2√33C．y＝2D．y=√27．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB＝20√10米，上底面直径CD＝20√2米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A．20米B．10√5米C．10√3米D．10米8．已知实数x ，y 满足方程√(x −√3)2+y 2+√(x +√3)2+y 2=4，则|x +2y +3√2|的最大值是（ ）A ．√10B ．2√10C ．2√5D ．5√2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ）A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣410．已知曲线C 的方程为x 29−k +y 2k−1=1（k ∈R ），则（ ）A ．当k ＝5时，曲线C 是半径为2的圆B ．当k ＝0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =±13xC ．存在实数k ，使得曲线C 为离心率为√2的双曲线D ．“k ＞1”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件11．已知直线l ：x sin α+y cos α＝1与圆O ：x 2+y 2＝6交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角为π﹣αB ．线段AB 的长度为定值C ．线段AB 的中点轨迹方程为x 2+y 2＝1D ．圆O 上总有4个点到l 的距离为212．在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点之间的“曼哈顿距离“，则下列说法正确的是（ ）A ．若点C 在线段AB 上，则有d （A ，C ）+d （C ，B ）＝d （A ，B ）B ．若A 、B 、C 是三角形的三个顶点，则有d （A ，C ）+d （C ，B ）＞d （A ，B ）C ．若O 为坐标原点，点B 在直线x +y −2√2=0上，则d （O ，B ）的最小值为2D ．若O 为坐标原点，点P 满足d （O ，P ）＝1，则P 所形成图形的面积为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，A ，A ′，B 分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，且AB ∥OP ，则椭圆的离心率为 ．14．无论k 取任何实数，直线l ：（1+4k ）x ﹣（2﹣3k ）y +（2﹣14k ）＝0必经过一个定点，该定点坐标为 ；当k ＝ 时，原点O 到直线l 的距离最大．15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤5，河岸线所在直线方程为x +y ＝8，若将军从点A （4，0）处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．16．直线l 与椭圆x 22+y 2=1相交于A 、B 两点，线段AB 的中点在直线x =−12上，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线l 1：2x ﹣y +6＝0和l 2：x ﹣y +1＝0的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线l 3：4x ﹣3y ﹣5＝0平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m 的方程．18．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0与C2：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0．（1）过点P（3，5）作直线l与圆C1相切，求l的方程；（2）若圆C1与圆C2相交于A、B两点，求AB的长．19．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），半径为1的圆C的圆心在直线l：y＝﹣2x+4上．（1）若圆C被直线3x+4y﹣11＝0所截得的弦长为√3，求圆C的标准方程；（2）若圆C上存在点M，使得MA＝2MO，求圆心C的横坐标的取值范围．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到双曲线x 23−y 2=1的渐近线的距离为1．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上一点P 到F 的距离是4，求P 的坐标； （3）若不过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求证：直线l 过定点．21．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝16，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．（1）若点M 满足QP →=2QM →，求点M 的轨迹方程；（2）若过点N （2，1）且斜率分别为k 1，k 2的两条直线与（1）中M 的轨迹分别交于点A 、B ，C 、D ，并满足|NA |•|NB |＝|NC |•|ND |，求k 1+k 2的值．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），离心率为2，直线x =a 2c 与C 的一条渐近线交于点P ，且PF =√3．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，在x 轴上是否存在定点M ，使得∠QFM ＝2∠QMF ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2021-2022学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求.1．直线l过A（2，3）和B（4，5）两点，则直线l的倾斜角是（）A．30°B．45°C．135°D．150°解：直线l过A（2，3）和B（4，5）两点，所以k AB＝1，故tanθ＝1（0≤θ＜π），所以θ＝45°．故选：B．2．已知圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2＝4B．（x+2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣2）2+（y+1）2＝4D．（x﹣2）2+（y+1）2＝1解：因为圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则半径r＝2，所以圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝4．故选：A．3．若直线l1：x+ay＝2a+2，直线l2：ax+y＝a+1平行，则a＝（）A．﹣1B．±1C．1D．0解：当a＝﹣1时，直线l1：x﹣y＝0，直线l2：﹣x+y＝0，这两条直线重合，不满足条件．当a＝0时，直线l1：x＝2，直线l2：y＝1，显然这两条直线的不平行，故有a≠﹣1，且a≠0．再根据两条直线平行的条件可得a1=1a≠a+12a+2，解得a＝1，故选：C．4．经过点P（2，﹣3）作圆C：x2+y2+2x﹣24＝0的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程是（）A．x+y+5＝0B．x+y﹣5＝0C．x﹣y+5＝0D．x﹣y﹣5＝0解：由题意，圆C：x2+y2+2x＝24，可得圆心坐标为C（﹣1，0），点P（2，﹣3）在圆C内，则过点P且被点P平分的弦所在的直线和圆心与P的连线垂直，又由k CP=−3−02−(−1)=−1，所以所求直线的斜率为1，且过点P（2，﹣3），可得所求直线方程为y ﹣（﹣3）＝1×（x ﹣2），即x ﹣y ﹣5＝0．故选：D ．5．两圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝4与C 2：（x ﹣4）2+y 2＝9的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解：圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝4的圆心C 1（0，3），半径r 1＝2，圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝9的圆心C 2（4，0），半径r 2＝3，由|C 1C 2|＝5＝r 1+r 2，可得两圆相外切，则两圆的公切线有3条．故选：C ．6．已知点F 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点，O 为坐标原点，若以F 为圆心，|FO |为半径的圆与直线√3x ﹣y +3＝0相切，则抛物线的准线方程为（ ）A ．y ＝﹣1B ．y =2√33C ．y ＝2D ．y =√2 解：由抛物线的方程可得焦点F （0，p 2），半径r =p 2，由题意p 2=|3−p 2|2，解得：p ＝2，所以抛物线的方程为：x 2＝4y ，所以准线的方程为：y ＝﹣1，故选：A ．7．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象．上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB ＝20√10米，上底面直径CD ＝20√2米，AB 与CD 间的距离为80米，与上下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为（ ）A ．20米B ．10√5米C ．10√3米D ．10米解：建立如图的坐标系，由题意可知D （10√2，20），B （10√10，﹣60），设双曲线方程为：x 2a 2−y 2b 2=1，∴{200a 2−400b 2=11000a 2−3600b 2=1，解得a 2＝100，b 2＝400， |EF |＝2a ＝20，故选：A ．8．已知实数x ，y 满足方程√(x −√3)2+y 2+√(x +√3)2+y 2=4，则|x +2y +3√2|的最大值是（ ）A ．√10B ．2√10C ．2√5D ．5√2解：∵√(x −√3)2+y 2+√(x +√3)2+y 2=4，∴点（x ，y ）到点（√3，0）和（−√3，0）的距离之和为4，故点（x ，y ）的轨迹是以（−√3，0）和（√3，0）为焦点的椭圆，∴c =√3，a ＝2，即b =√a 2−c 2=√4−3=1，故点（x ，y ）的轨迹方程为x 24+y 2=1，即可设{x =2cosθy =sinθ， ∴|x +2y +3√2|=|2cosθ+2sinθ+3√2|=|2√2sin(θ+π4)+3√2|，当sin （θ+π4）＝1时，|x +2y +3√2|取得最大值5√2．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知a 为实数，若三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，则a 的值为（ ）A ．83B ．1C ．﹣1D ．﹣4解：联立{2x −y −10=04x +3y −10=0，得x ＝4，y ＝﹣2，即交点（4，﹣2），三条直线ax +2y +8＝0，4x +3y ﹣10＝0和2x ﹣y ﹣10＝0不能围成三角形，所以直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）或与已知一条直线平行，当直线ax +2y +8＝0过点（4，﹣2）是，a ＝﹣1，当ax +2y +8＝0与4x +3y ﹣10＝0平行时，a =83，当ax +2y +8＝0与2x ﹣y ﹣10＝0平行时，a ＝﹣4，综上，a ＝﹣1或a ＝﹣4或a =83．故选：ACD ．10．已知曲线C 的方程为x 29−k +y 2k−1=1（k ∈R ），则（ ）A ．当k ＝5时，曲线C 是半径为2的圆B ．当k ＝0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =±13xC ．存在实数k ，使得曲线C 为离心率为√2的双曲线D ．“k ＞1”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件解：曲线C 的方程为x 29−k +y 2k−1=1（k ∈R ），当k ＝5时，方程为x 2+y 2＝4，曲线C 为圆，半径为2，所以A 正确；当k ＝0时，曲线C 为x 29−y 21=1，是双曲线，其渐近线方程为y ＝±13x ，所以B 正确； 使得曲线C 为离心率为√2的双曲线，可得9﹣k ＝﹣（k ﹣1），方程无解，所以存在实数k ，使得曲线C 为离心率为√2的双曲线，不正确，即C 不正确；5＞k ＞1时，曲线C 为椭圆，焦点坐标在x 轴上，5＜k ＜9，曲线表示焦点坐标在y 轴上的椭圆，所以“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”可知“k ＞1”，反之不成立，所以“k ＞1”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以D 正确．故选：ABD ．11．已知直线l ：x sin α+y cos α＝1与圆O ：x 2+y 2＝6交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角为π﹣αB ．线段AB 的长度为定值C ．线段AB 的中点轨迹方程为x 2+y 2＝1D ．圆O 上总有4个点到l 的距离为2解：对于A ，因为直线的倾斜角范围为[0，π），而π﹣α∈R ，故选项A 错误．对于B ，线段AB 为直线l ：x cos α+y sin α＝1被圆O ：x 2+y 2＝6所截得的弦长，圆心O 到直线l 的距离d =|0−1|√cos α+sin α=1，圆的半径r =√6，所以|AB |＝2√r 2−d 2=2√6−1=2√5，为定值，故选项B 正确；对于C ，设AB 的中点为M ，则由圆的几何性质可知，OM ＝1，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆，则线段AB 的中点轨迹方程为x 2+y 2＝1，故选项C 正确；对于D ，因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1，且r ﹣d =√6−1＜2，所以圆O 上有2个点到l 的距离为2，故选项D 错误；故选：BC ．12．在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点之间的“曼哈顿距离“，则下列说法正确的是（ ）A ．若点C 在线段AB 上，则有d （A ，C ）+d （C ，B ）＝d （A ，B ）B ．若A 、B 、C 是三角形的三个顶点，则有d （A ，C ）+d （C ，B ）＞d （A ，B ）C ．若O 为坐标原点，点B 在直线x +y −2√2=0上，则d （O ，B ）的最小值为2D ．若O 为坐标原点，点P 满足d （O ，P ）＝1，则P 所形成图形的面积为2解：对于选项A ：若点C 在线段AB 上，设C （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 0在x 1，x 2之间，y 0在y 1，y 2之间，则d （A ，C ）+d （C ，B ）＝|x 0﹣x 1|+|y 0﹣y 1|+|x 2﹣x 0|+|y 2﹣y 0|＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝d （A ，B ），故A 正确；对于选项B ：在△ABC 中，d （A ，C ）+d （C ，B ）＝|x 0﹣x 1|+|y 0﹣y 1|+|x 2﹣x 0|+|y 2﹣y 0|≥|x 0﹣x 1+x 2﹣x 0|+|y 0﹣y 1+y 2﹣y 0|＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝d （A ，B ），故B 错误；对于选项C ：设B （x ，y ），则d （O ，B ）＝|x |+|y |＝|x |+|2√2−x |≥2√2，即则d （O ，B ）的最小值为2√2，故C 错误．对于选项D ：设P （x ，y ），则d （O ，P ）＝|x |+|y |＝1，作出图形如图所示，故其面积为12×2×2＝2，故D 正确；故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，A ，A ′，B 分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，且AB ∥OP ，则椭圆的离心率为 √22．解：设F 1（﹣c ，0），将x ＝﹣c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a∴PF 1=b 2a ，OF 1＝c ∵AB ∥OP ，∴tan ∠POF 1＝tan ∠BAO =b a∴在直角三角形POF 1中，tan ∠POF 1=PF 1OF 1=b 2ac =b a ∴b ＝c ，∴a =√2c∴e =c a =√22． 故答案为：√22． 14．无论k 取任何实数，直线l ：（1+4k ）x ﹣（2﹣3k ）y +（2﹣14k ）＝0必经过一个定点，该定点坐标为 （2，2） ；当k ＝ ﹣3 时，原点O 到直线l 的距离最大．解：根据题意，将直线l 的方程变形可得，x ﹣2y +2+k （4x +3y ﹣14）＝0，由此可得，直线l 恒过直线x ﹣2y +2＝0和4x +3y ﹣14＝0的交点，则联立两直线方程得{x −2y +2=04x +3y −14=0，解之可得{x =2y =2， 即直线l 必过点（2，2），假设点P （2，2），如下图，则有当OP ⊥l 时，原点O 到直线l 的距离最大，又因为直线OP 的方程为OP ：x ﹣y ＝0，则由两直线垂直的充要条件可得，1×（1+4k ）+（﹣1）×[﹣（2﹣3k ）]＝0，解之可得k ＝﹣3．故答案为：（2，2）；﹣3．15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤5，河岸线所在直线方程为x +y ＝8，若将军从点A （4，0）处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 3√5 ．解：设A 关于直线x +y ＝8的对称点B （a ，b ），设军营所在区域的圆心为O ，根据题意，|BO |−√5为最短距离，AB 的中点（a+42，b 2）， 直线AB 的斜率为1，由{a+42+b 2=8b a−4=1，解得a ＝8，b ＝4， 所以|BO |−√5=√82+42−√5=3√5，故答案为：3√5．16．直线l 与椭圆x 22+y 2=1相交于A 、B 两点，线段AB 的中点在直线x =−12上，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围是 （−∞，−√22]∪[√22，+∞） ． 解：设直线l 的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣1，联立{y =kx +m x 2+2y 2=2可得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0，Δ＝16k 2m 2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣2）＞0，化简可得m 2＜2k 2+1，∵x 1+x 2=−4km 1+2k 2=−1，∴4km ＝1+2k 2， ∴m 2=(1+2k 2)216k 2=k 24+116k 2+14≥12， 当且仅当k =±√22时，取等号，此时满足Δ＞0， ∴m ≥√22或m ≤−√22．故答案为：（−∞，−√22]∪[√22，+∞）． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线l 1：2x ﹣y +6＝0和l 2：x ﹣y +1＝0的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线l 3：4x ﹣3y ﹣5＝0平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m 的方程．解：（1）直线l 1：2x ﹣y +6＝0和l 2：x ﹣y +1＝0的交点为P ．取立{2x −y +6=0x −y +1=0，解得{x =−5y =−4，∴P （﹣5，﹣4）， ∵直线l 经过点P 且与直线l 3：4x ﹣3y ﹣5＝0平行，∴设直线l 的方程为4x ﹣3y +c ＝0．把P （﹣5，﹣4）代入得c ＝8，∴直线l 的方程为4x ﹣3y +8＝0；（2）由题意得直线m 在两坐标轴上的截距均不为0，设直线m 的方程为y +4＝k （x +5），当x ＝0时，y ＝5k ﹣4，当y ＝0时，x =4k −5，∴12|5k ﹣4|•|4k −5|＝5， 解得k =25或k =85，∴直线m 的方程为y +4=25(x +5)或y +4=85（x +5），即2x ﹣5y ﹣10＝0或8x ﹣5y +20＝0．18．（12分）已知圆C 1：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +12＝0与C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0．（1）过点P （3，5）作直线l 与圆C 1相切，求l 的方程；（2）若圆C 1与圆C 2相交于A 、B 两点，求AB 的长．解：（1）圆C 1：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +12＝0可化为（x ﹣2）²+（y ﹣3）²＝1，则C 1（2，3），半径为1，若直线l 的斜率不存在，则方程为x ＝3，与圆C 1相切，符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为y ﹣5＝k （x ﹣3），即kx ﹣y +5﹣3k ＝0， 由题可得√1+k 2=1，解得k =34，所以直线l 的方程为y ﹣5=34（x ﹣3），即3x ﹣4y +11＝0，综上：直线l 的方程为x ＝3或3x ﹣4y +11＝0；（2）联立{x 2+y 2−4x −6y +12=0x 2+y 2+2x −4y −4=0，两式相减可得直线AB 方程为：3x +y ﹣8＝0， 则C 1到AB 的距离d =|3×2+3−8|√3+1=√1010， 所以AB ＝212−(√1010)2=3√105．19．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），半径为1的圆C 的圆心在直线l ：y ＝﹣2x +4上．（1）若圆C 被直线3x +4y ﹣11＝0所截得的弦长为√3，求圆C 的标准方程；（2）若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标的取值范围．解：（1）设圆C 的圆心为（a ，﹣2a +4），由圆C 被直线3x +4y ﹣11＝0所截得的弦长为√3可得：圆心到直线3x +4y ﹣11＝0的距离d =12−(√32)2=12，即√32+42=12， 解得a =12或a =32，即圆心为(12，3)或(32，1)，所以圆的标准方程为：(x −12)2+(y −3)2=1或(x −32)2+(y −1)2=1．（2）设圆C 的圆心为（a ，﹣2a +4），M （x ，y ），由MA ＝2MO 可得（x ﹣3）2+y 2＝4（x 2+y 2），即：（x +1）2+y 2＝4，这样M 为圆C 与圆（x +1）2+y 2＝4的公共点， 所以1≤√(a +1)2+(−2a +4)2≤3，即{5a 2−14a +16≥05a −14a +8≤0， 解得45≤a ≤2， 所以圆心C 的横坐标的取值范围是[45，2]．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到双曲线x 23−y 2=1的渐近线的距离为1．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上一点P 到F 的距离是4，求P 的坐标； （3）若不过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求证：直线l 过定点． 解：（1）抛物线的焦点F 为(p 2，0)，双曲线的渐近线方程为y =±√33x ， 即x ±√3y =0，则|p 2|√12+(±√3)2=1，解得p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x ，（2）设P （x 0，y 0），由抛物线的定义可知x 0+p 2=4，即x 0+42=4， 解得x 0＝2，将x 0＝2代入方程y 2＝8x ，得y 0＝±4，即P 的坐标为（2，±4）．证明：（3）由题意知直线l 不能与x 轴平行，故方程可设为x ＝my +n （n ≠0），与抛物线联立得{x =my +n y 2=8x，消去x 得y 2﹣8my ﹣8n ＝0， 设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝﹣8n ，由OA ⊥OB ，可得x 1x 2+y 1y 2＝0，y 1y 2+(y 1y 2)264=0，即y 1y 2(1+y 1y 264)=0， 亦即﹣8n （1+−8n 64）＝0，又n ≠0，解得n ＝8，所以直线方程为x ＝my +8，易得直线l 过定点（8，0）．21．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝16，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．（1）若点M 满足QP →=2QM →，求点M 的轨迹方程；（2）若过点N （2，1）且斜率分别为k 1，k 2的两条直线与（1）中M 的轨迹分别交于点A 、B ，C 、D ，并满足|NA |•|NB |＝|NC |•|ND |，求k 1+k 2的值．解：（1）设M 的坐标为（x ，y ），P 的坐标为（x '，y '），∵过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，∴Q （x '，0），∴QP →=(0，y′)，2QM →=（2x ﹣2x '，2y ），∵QP →=2QM →，∴{x ′=x y′=2y ， 又∵点P 是圆O 上的动点，∴x '2+y '2＝16，即x 2+（2y ）2＝16，∴x 216+y 24=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 所在的直线方程为y ﹣1＝k 1（x ﹣2），联立直线{y −1=k 1(x −2)x 216+y 24=1，化简整理可得，(1+4k 12)x 2+8k 1(1−2k 1)x +4(1−2k 1)2−16=0， 则x 1+x 2=−8k 1(1−2k 1)1+4k 12=−8k 1−16k 121+4k 12， x 1x 2=4(1−2k 1)2−161+4k 12=16k 12−16k 1−121+4k 12，|NA |•|NB |=√(x 1−2)2+(y 1−1)2•√(x 2−2)2+(y 2−1)2=√(x 1−2)2+[k 1(x 1−2)]2•√(x 2−2)2+[k 1(x 2−2)]2=(1+k 12)|x 1−2||x 2−2|=(1+k 12)|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=(1+k 12) |4(1−2k 1)2−161+4k 12+28k 1(1−2k 1)1+4k 12+4| =8(1+k 12)1+4k 12，同理可得，|NC |•|ND |=8(1+k 22)1+4k 22，∵|NA |•|NB |＝|NC |•|ND |，∴8(1+k 12)1+4k 12=8(1+k 22)1+4k 22，化简可得，k 12=k 22，又∵k 1≠k 2，∴k 1＝﹣k 2，故k 1+k 2＝0．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），离心率为2，直线x =a 2c 与C 的一条渐近线交于点P ，且PF =√3．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，在x 轴上是否存在定点M ，使得∠QFM ＝2∠QMF ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线x =a 2c 与渐近线y =b ax 的交点为P ， 且P 的坐标为（a 2c ，ab c ），由|PF |=√3，可得（ab c ）2+（c −a 2c ）2＝3，又a 2+b 2＝c 2，即b 2＝3， 由e ＝2可得c 2a 2=a 2+b 2a 2=4，则a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 2−y 23=1；（2）假设存在M （t ，0）满足题设条件．由（1）可得双曲线的右焦点F （2，0），设Q （x 0，y 0）（x 0≥1）为双曲线C 右支上一点，则x 02−y 023=1， ①当x 0＝2时，y 0＝±3，因为∠QFM ＝2∠QMF ＝90°，所以∠QMF ＝45°，于是MF ＝QF ＝|y 0|＝3，所以t ＝﹣1，即M （﹣1，0）．②当x 0≠2时，tan ∠QFM ＝﹣k QF =−y 0x 0−2，tan ∠QMF ＝k QM =y0x 0−t ， 因为∠QFM ＝2∠QMF ，所以−y 0x 0−2=2⋅y 0x 0−t1−(y 0x 0−t )2， 当y 0≠0时，上式化为3x 02﹣y 02﹣（4+4t ）x 0+4t +t 2＝0，又x 02−y 023=1，即3x 02﹣y 02＝3，代入上式，可得﹣（4+4t ）x 0+3+4t +t 2＝0，所以{−(4+4t)=03+4t +t 2=0，解得t ＝﹣1，即M （﹣1，0）； 当y 0＝0时，t ＝﹣1，即M （﹣1，0），也满足∠QFM ＝2∠QMF （＝0°）．综上可得，满足条件的M 存在，其坐标为（﹣1，0）．。

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列为递增数列，为其前项和，已知，，则{}n a n S n 54a =4612a a ⋅=（ ）7S =A ．B ．C ．D ．1412217A【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.【详解】设数列的公差为，由，，得：，解得：d 54a =4612a a ⋅=()()4412d d -+=，又因为数列递增，所以，，所以．2d =±2d =4422a =-=74714S a ==故选：A ．2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）22214x y a +=2212x y a -=aA ．1BC ．2D ．3A由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.0a >24a <242a a -=+a【详解】由双曲线知：且，2212x y a -=0a >(而其与椭圆有相同焦点，22214x y a +=∴且，解得，24a <242a a -=+1a =故选：A3．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆2221(02)4x y b b +=<<12,F F 1F l 于两点，若的最大值为5，则的值是,A B 22BF AF + bA ．1BC ．D 32D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时|AB |最小，把|AB |的最小值b 2代入|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，由|BF 2|+|AF 2|的最大值等于5列式求b 的值即可．【详解】由0＜b ＜2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8∴|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大，此时|AB |＝b 2，则5＝8﹣b 2，解得b=故选D ．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．4．已知数列前项和为且 为非零常数则下列{}n a n .n S 11222n n a p S S pn -=-=≥，（）p （）结论中正确的是（ ）A ．数列不是等比数列B ．时{}n a 1p =415.16S =C ．当时，D ．12p =()*m n m n a a a m n N +⋅=∈，3856a a a a +=+C【分析】根据，利用数列通项和前n 项和的关系求解，再11222n n a p S S p n -=-=≥，（）逐项判断.【详解】解：因为，11222n n a p S S p n -=-=≥，（）所以，当时，，22pa =3n ≥1222n n S S p ---=两式相减得，又，120n n a a --=2112a a =所以数列是以p 为首项，以为公比的等比数列，故A 错误；{}n a 12当时，，故B 错误；1p =44111521812S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-当时，，所以，故C 正确；12p =12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()* ，+⋅=∈m n m n a a a m n N由得，故D 错误，112-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a p 387332+=a a p 56451132232+=+=a a p p p ，故选：C5．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )221169x y -=A ． B ．216y x =216y x =-C ．D ．28y x=28y x=-A【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到22y px =，进而可求出结果.42p =【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，221169x y -=()4,0设所求抛物线方程为：，22y px =因为其以为焦点，所以，因此；()4,042p =8p =故抛物线方程为.216y x=故选：A本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.6．给出下列说法：①方程表示一个圆；222460x y x y +-++=②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；0m n >>221mx ny +=y ③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；(1,0)M -(1,0)N 2PM PN -=P ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4B【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；对于③，根据双曲线的定义，可得答案；对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】方程即不表示圆，故①错；222460x y x y +-++=()()22121x y -++=-若m >n >0，则方程，即，所以表示焦点在221mx ny +=22111011x y m n m nm n +=>>∴< ，，y 轴上的椭圆，故②对；已知点、，若，所以动点P 的轨迹是一条射线，()1,0M -()1,0N 2PM PN MN-==故③错；设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A ,B ，线段AB 的中点为M ,由抛物线的定义可得即为AB 两点到准线的距离和，即为M 点到准线距离的两倍，所以以AB 为AB直径的圆与准线相切，故④对；故选：B.7．以下四个命题表述错误的是（ ）A ．圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=B ．曲线与曲线，恰有四条公切线，则22120C :x y x ++=222480C :x y x y m +--+=实数的取值范围为m4m >C ．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切22:2C x y +=P 0x y ++=P C 线，其中为切点，则的最小值为PA A PA2D ．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两22:4C x y +=P :280l x y +-=P C 条切线，，为切点，则直线经过点PA PB ,A B AB 11,2⎛⎫⎪⎝⎭B【分析】选项A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B 根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D ，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断．(),82p n n -lAB 【详解】解：选项A ：圆的圆心为 ，半径，222x y +=()0,0Or 所以圆心到直线的距离，()0,0O :10l x y -+=12===d r所以圆上有且仅有个点到直线222x y +=3:10l x y -+=故选项A 正确；选项B ：方程可化为，故曲线 表示圆心为，2220x y x ++=()2211x y ++=1C 1(1,0)C -半径的圆，11r =方程可化为，22480x y x y m +--+=()()222420x y m -+-=-因为圆与曲线 有四条公切线，1C 2C 所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径 ，2C 2(2,4)C 220)rm =<同时两圆的位置关系为外离，有 ，即，1212||C C r r >+51>+解得，故B 错误；420m <<选项C ：圆的圆心 ，半径，22:2C x y +=()0,0C r =圆心到直线的距离，()0,0C 0x y ++=>d r 所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形，PAC ，当且仅当 与直线垂直时等号成||2=PA PC 0x y ++=立，所以的最小值为，故选项C 正确；PA2选项D ：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为(),82P n n -l O P ，即：，两圆的方()22242n x y n ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭22820x nx y y ny -+-+=程相减得到直线方程为，即，AB 8240nx y ny +--=()()2840n x y y -+-=所以直线过定点，D 正确．AB 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B ．8．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，n a ()9,n n n *≤∈N若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（ ）11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数5A ．B ．713C ．D ．1622C【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.{}n a 5a 【详解】数列满足．且，{}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数所以，，，，.21211a a =-=32224a a =+=43217a a =-=542216a a =+=所以解下个环所需的最少移动次数为．516故选：C ．二、多选题9．下列四个命题中，假命题的是（ ）A ．要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点B ．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率CD【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．【详解】A ：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A 正确；B ：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B 选项正确；C ：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C 选项不正确；D ：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D 选项不正确．故选：CD ．10．已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点24y x =F F A B关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则（ ）B xC l A ．以线段为直径的圆与直线相离AB 32x =-B ．的最小值为AB4C ．为定值11AF BF+D ．当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点A C AC x l ABCD【分析】设出点的坐标和、的方程，方程与抛物线联立，利用韦达定理，AB AC AB 利用已知条件，对选项逐个判断即可．【详解】解：设为线段的中点，则点到准线的距离为M AB M =1x -，()1122AF BF AB +=于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离，A 正AB =1x -32x =-确；设，，直线方程为，()11,A x y ()22,B x y AB 1x my =+联立直线与抛物线方程可得，，则，．2440y my --=124y y m +=124y y =-于是，()21212444AB x x p m y y m =++=++=+当时，有最小值为，B 正确；0m =AB4由，，12pAF x =+22p BF x =+得为定值，()()1221212121241111111112224m y y AF BF x x my my m y y m y y +++=+=+==+++++++故C 对；，则直线的方程为，()22,C x y -AC ()121112y y y y x x x x +-=--令，得0y =12211212121221y x y x my y y y x y y y y +++===-++即与轴的交点为，恰为准线与轴的交点，故D 正确．AC x ()1,0-l x 故选：ABCD ．11．已知等差数列的首项为1，公差，前n 项和为，则下列结论成立的有{}n a 4d =n S A ．数列的前10项和为100n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．若成等比数列，则1,a 3,a m a 21m =C ．若，则n 的最小值为6111625ni i i a a=+>∑D ．若，则的最小值为210mn a a a a +=+116m n +2512AB由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可43n a n =-22n S n n =-=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为,通过裂项11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D 错误.111ni i i a a=+∑12m n +=【详解】由已知可得:,,43n a n =-22n S n n=-,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A 正确;=21nS n n -n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()10119=1002+成等比数列,则,即,解得故B 正确;1,a 3,a m a 231=,m a a a ⋅81m a ==4381m a m =-=21m =因为所以11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,解得,故的最小值为7,1111111116=1=455494132451ni ii n n n a an =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑ 6n >n 故选项C 错误;等差的性质可知,所以12m n +=,当且仅当()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D 错16=n m m n 48=45n m =*,m n ∈N 48=45n m =误.故选:AB.本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.12．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，()222:10x C y a a -=>()2221x y -+=C 则（ ）A ．双曲线的实轴长为C 6B ．双曲线的离心率C e =C ．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则P C P C 1d 2d 2134d d =D ．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原1y k x m =+C A B D AB OD O 点）的斜率为，则2k 1213k k =BCD【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB 选C a 项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的()00,P x y 220033x y -=正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知的渐近线方程为，因为，则C 0x ay ±=1=0a >a =所以双曲线的实轴长为A 错误；C 2a =，所以，故B 正确；2c ==c e a ===设，则，C 正确；()00,P x y 220033x y -=12d d 设、，则，两式作差得()11,A x y ()2222,B x y 221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-所以，，D 对.121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+故选：BCD.三、填空题13．已知数列的前项和为，且满足，，则 ____．{}n a n n S 11a =()12N n na S n *+=∈n a =.21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】利用求解即可.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】当时可得，1n =1222,2a a a =∴=当时，由，得，2n ≥12n n S a +=12n n S a -=两式做差可得，13n n a a +=因为，212,1a a ==所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，{}n a 所以21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩14．过点与圆相切的直线方程为______.()5,1B -2225x y +=或5x =125650x y --=【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由5x =1(5)y k x +=-直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答k 案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；5x =2225x y +=②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即，1(5)y k x +=-510kx y k ---=要求直线与圆，解可得，2225x y +=5125k =此时要求直线的方程为：，125650x y --=综上可得：所求直线的方程为：或5x =125650x y --=故答案为或5x =125650x y --=本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．15．过抛物线C ：的焦点F 作互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的24y x =最小值为____．32【分析】设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出AB (1)y k x =-AB 韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式||AB ||CD 结合基本不等式可得出四边形面积的最小值．1·2S AB CD =ACBD 【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为F (1,0)AB ，(1)y k x =-将直线的方程代入抛物线的方程并整理得l ，2222(24)0k x k x k -++=所以，，所以，，12242x x k +=+122424AB x x k =++=+同理可得，244=+CD k 由基本不等式可知，四边形的面积为ACBD 222114(1)··4(1)22+==⨯+k S AB CD k k．2218(2)32=++k k 当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．1k =±ACBD 本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．四、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象Z 24x y =F F ()2214x y +-=Z 限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭l ()0x t t m =<<Z A l在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．F B m =FAB 2()4,6【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m ，然后由分别与抛物线，与()02x t t =<<圆的方程联立求得A ，B 的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由，解得，()2224140,0x y x y x y ⎧=⎪⎪+-=⎨⎪>>⎪⎩2,1x y =⎧⎨=⎩∴2m =由，解得，24x t x y =⎧⎨=⎩24x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2,4t A t ⎛⎫⎪⎝⎭由，解得()2214x t x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩1x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，(,1B t 由抛物线的定义得：∴，AF AC =∴周长，FAB FA FB AB =++，2AC AB BF BC =++=+.4=，()0,2t ∈()44,6∈故2，．()4,6五、解答题17．已知各项均为正数的等比数列满足，，数列的前n 项和{}n a 236aa =3542a a a =-{}nb 为Sn ，且，，N ．11b =12n n n S b b +=n ∈*（1）求数列的通项公式；{}n a （2）证明数列是等差数列，并求数列的前n 项和Tn ．{}n b {}n n a b +（1）；（2）证明见解析，2nn a =21112222n n T n n +=++-（1）由和分别表示出等式中的、、和，解方程组求出和，再由等比1a q3a 4a 5a 6a 1a q 数列的通项公式表示出即可；n a （2）时，求出，时，由和的关系得到，进而求出1n =22b =2n ≥n S 1n S -112n n b b +--=，用定义证明数列是等差数列即可，分别求出数列和的前项和，n b n ={}n b {}n a {}n b n 从而求出.n T 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，{}n a ()0q q >，2363542a a a a a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒()225112431112a q a q a q a q a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩⇒122a q =⎧⎨=⎩所以.112n nn a a q -==（2）由题意，当时，，又，所以，1n =1122S b b =11b =22b =当时，，2n ≥112n n n S b b --=所以，()11111222n n n n n n n n n n S S b b b b b b b b -+-+--==-=-所以，112n n b b +--=又，所以，，所以，11b =2121n b n -=-22b =22n b n =所以，，n b n =11n n b b +-=所以数列是以首项为，公差为的等差数列，{}n b 11数列的前项和为，{}n a n ()()11121222112n n n a q q +-⨯-==---数列的前项和为，{}n b n ()()121112222n b b n n n n n++==+所以数列的前项和.{}n n a b +n 21112222n n T n n +=++-本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和的计n 算方法，属于中档题.18．如图，圆M ：，点为直线l ：上一动点，过点P 引圆()2221x y -+=()1,P t -=1x -M 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若，求切线所在直线方程；1t =（2）求的最小值；AB（1）切线方程为，（2）1y =3410x y +-=min AB =【分析】（1）设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将弦长构造成角度的函数，求函数的最小值即可.AB 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，()11y k x -=+即，10kx y k-++=则圆心M 到切线的距离，1d 解得或，0k =34-故所求切线方程为，；1y =3410x y +-=（2）连接，交于点N ，PM AB设，MPA MAN θ∠=∠=则，2cos 2cos AB AM θθ==在中，，Rt MAP ∆1sin AM PMPMθ==因为，3PM ≥，()max 1sin 3θ∴=()min cos θ∴==min min 2(cos )AB θ∴=故的最小值为AB 本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.19．在①；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，()3,44且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求2.l 出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由.l l 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点C ()221,0mx ny m n +=≠x 的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？()1,1P -l C A B P AB 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.答案见解析【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，①C x 根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意l 即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线②C x 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜l率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线，①C x 设，，所以的方程为，21m a =21(0,0)n a b b =->>C 22221(0,0)x y a b a b -=>>由题设得，解得，，229161a b =⎪-=⎪⎩21a =22b =所以的方程为，C 2212y x -=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，l l =1x -C ()1,0-不符合题意；当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，2212y x -=()()()()222221230*k x k k x kk --+-++= 若，即有且仅有一解，不符合题意；220k -=k =()*若，即时，其判别式220k -≠k ≠，则，()()()()222Δ[21]42238230k k k k k k =+--++=+>32k >-所以方程有两个不同实数解时，()*32k k >-≠且于是，解得，与且1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⨯-=--2k =-32k >-k ≠所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l C A B P AB 选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆，②C x 设，，所以的方程为，21ma =21(0)n a b b =>>C 22221(0)x y a b a b +=>>由题设得，解得，，242a c ⎧==⎪⎨⎪=⎩24a =23b =所以的方程为，C 22143x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，l l =1x -22143x y +=32y =±不是线段的中点，不符合题意；()1,1P -AB 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即l ()11,A x y ()22,B x y l ()11y k x -=+，()11y k x =++代入得，22143x y +=()()()22234814220k x k k x k k +++++-=其判别式，()()()()2222Δ[81]4·34·422169660k k k k k k k =+-++-=-+>于是，解得，()()1228121234k k x x k ++=-=⋅-=-+34k =故，即，()33711444y x x =++=+3470x y -+=所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点．l 3470x y -+=C A B P AB 方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．已知数列的前项和是，数列的前项和是，若，{}n a n n A {}n b n n B 314A =，．再从三个条件：12n n a a +=*N n ∈①；②，；③，中任选一组作221n B n n =-+12n n n B B b ++=+120b =2222log n n b a =-为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列的通项公式；{}n b （2）定义：．记，求数列的前项的和．,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩n n n c a b =*{}n c 100100T 选择见解析；（1）；（2）．222n b n =-7940-【分析】（1）根据已知条件可知数列是公比为的等比数列，根据求出{}n a 2314A =的值，可求得等比数列的通项公式.1a {}n a 选①，由可求得数列的通项公式；11,1,2n n n B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩{}n b 选②，推导出数列是公差为的等差数列，结合可求得数列的通项公{}n b 2-120b ={}n b 式；选③，由的通项公式结合对数运算可得出数列的通项公式；{}n a {}n b （2）求出数列的表达式，进而可求得的值.{}n c 100T【详解】（1）由已知得，为等比数列，公比为，则，{}n a 2q =231112214A a a a =++=，所以，.12a ∴=112n n n a a q -==选择①，当时，，1n =1120b B ==当时，.2n ≥()()()221212111222n n n b B B n n n n n-⎡⎤=-=-----=-⎣⎦满足，所以，；120b =222n b n =-()222n b n n N *=-∈选择②，，即，12n n n B B b +-=-12n n b b +=-所以是首项为，公差为的等差数列，；{}n b 202-()121222n b b n n ∴=--=-选择③，；2222log 2222nn b n =-=-（2），，，，11220a b =<=22418a b =<=33816a b =<=441614a b =>=当且时，令，4n ≥n N *∈()22222222n n n n n x a b n n =-=--=+-则数列为单调递增数列，且，即.{}n x 420n x x ≥=>n n a b >所以，，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q -+=++++++⋅⋅⋅+=+-．()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--方法点睛：已知求：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项，n S n a n n S n a {}n a 可用公式求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩21．已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.()(),0P x y x ≥()1,0F y 1(1)求动点的轨迹的方程；P C (2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得()2,0Q l C A B x M 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.AMQ BMQ ∠=∠M (1)()240y x x =≥(2)存在，()2,0M -【分析】（1）由动点到点的距离比到轴的距离大，可得点到的距离等P ()1,0F y 1P F 于到直线的距离，从而可得点的轨迹为以为焦点的抛物线，即可求得P =1x -P ()1,0F 轨迹的方程；（2）设，，，直线，代入C ()11,A x y ()22,B x y (),0M t :2l x my =+可得，由根与系数的关系可得，，由24y x =2480y my --=124y y m +=128y y =-，可得，计算可求得的值，即可得结论．AMQ BMQ ∠=∠AM BM k k =t 【详解】(1)动点到定点的距离比到轴的距离大，()(),0P x y x ≥()1,0F y 1又，到的距离等于到直线的距离，0x ≥ P F P =1x -动点的轨迹为以为焦点的抛物线，∴P ()1,0F 轨迹的方程；∴C ()240y x x =≥(2)设，，，()11,A x y ()22,B x y (),0M t 直线过点，l ()2,0Q 设直线方程：，∴l 2x my =+代入， 可得，显然，24y x =2480y my --=216320m ∆=+>则，，124y y m +=128y y =- AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又，124y y m +=128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=，即2t ∴=-()2,0M -.故在轴上存在点使得x ()2,0M -AMQ BMQ∠=∠22．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭22122:1(0)x y C a b a b +=>>2C (±圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点，直线、的倾斜1C (2,1)P -1C ,A B PA PB 角互补．直线与轴正半轴相交，分别记交点为．AB ,x y ,MN （1）求椭圆和双曲线的方程；1C 2C （2）若的面积为，求直线的方程；PMN 54AB （3）若与双曲线的左、右两支分别交于，求的范围．AB 2C ,Q R ||||NQ NR （1）；（2）；（3）．22221,18288x y xy +=-=20x y+=⎛ ⎝【分析】（1）解方程即得椭圆方程和双曲线的方程；22411a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩（2）联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，,A B 12AB k =-1:(0)2AB y x n n =-+>根据的面积为求出的值即得解；PMN 54n （3）先求出的范围求解.||1||QRx NQ NR x ==n 【详解】【解】（1）由题得，所以椭圆的方程为22,411a ab a b ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩221,82x y +=等轴双曲线的方程为.22188x y -=（2）221(2)48y k x x y +=-⎧⎨+=⎩消去得：y 2222(41)(168)161640k x k k x k k +-+++-=221616441A P k k x x k +-⋅=+因为，所以，并求出2P x =2288241A k k x k +-=+2244141A k k y k --=+将换成，得：，则可得k k -2222882441(,)4141k k k k B k k --+-++12AB k =-设1:(0)2AB y x n n =-+>，消去得：221248y x n x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩y 222240x nx n -+-=，所以得：2248160n n ∆=-+>02n <<则，，:220(02)AB x y n n +-=<<(2,0),(0,)M n Nn d =，解得：21524PMN S n ===n =即:20AB x y +-=（3），消去得：221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩y 22344320x nx n +--=1,2x=||1||NQ NR ==，则204n << 2632n ∴>11->-，∴0<<||1||NQ NR ∴<<则的取值范围为．||||NQNR ⎛ ⎝。