2011~2012上学期厦门一中高二数学期中考试卷 (文)

福建省厦门第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试高二年文科数学试卷A 卷（共100分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．有下列四个命题：其中真命题为 （ ）Ａ．52≥ B ．52≤ Ｃ．若24x =，则2x = Ｄ．若2x <，则112x >2．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝ （ ）A ．2B ．42C ．32D ．223．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．2a b >4．在△ABC 中，若90,6,30C a B ===，则b c -等于 （ ）A ． 1B ．1-C ． 32D ．32-5．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于 （ ）A ．12B ．221C ．28D ．366.{}3512345674,n a a a a a a a a a a ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=在正项等比数列中，则 （ ）A.64B. 128C. 256D.5127．等差数列{}n a 中10a >，前n 项和n S ，若3812S S =，则当n S 取得最大值时，n 为 （ ）A. 26或27B. 26C. 25或26D. 258．已知条件4:13xp x <-，条件2:56q x x ->，则p 是q 的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小，则a 的取值范围是（ ）A ．20a -<<B ．10a -<<C ．31a -<<D ．02a <<10．数列{}n a 的通项公式为212n a n n=+，n S 数列{}n a 的前n 和，则8S = （ ） A ．920 B ．910C ．2945D ．2990二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 11．12+与12-，这两数的等差中项是12．已知命题:p x ∈R 对任意的，sin 1x ≤，则p ⌝：13．设,x y R +∈且191x y+=,则x y +的最小值为__ __14．24,1320x y x y x y z x y x +≤⎧⎪-≤=+⎨⎪+≥⎩若满足，则的最大值为三、解答题：本大题共3小题，15题10分，16、17题各12分，共34分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 15．解不等式22(25)50x k x k +++<16.在ABC △中，5cos 13B =-，3sin 5C = （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，满足22243()S a b c =+- （I ）求角C 的大小；（II ）若边长2c =，求ABC ∆的周长的最大值．B 卷（共50分）四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 18．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，1220,3a a ==-，则3a =19．在Rt △ABC 中，90C = ，则sin sin A B ⋅的最大值是_____________ __20．命题“m ∈Z ，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是真命题，写出满足要求的所有整数m21．数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，111,3(1)n n a a S n +==≥，则n a =五、解答题：本大题共3小题，22题10分，23、24题各12分，共34分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 22、设命题:p 2000,10x R ax x ∃∈-+=成立；命题q ：2(0,),10x x ax ∀∈+∞-+>成立，如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求a 的取值范围。

23．某新设备M 在第1年可以生产价值120万元的产品，在使用过程中，由于设备老化及维修原因使得M 的生产能力逐年减少，从第2年到第6年，每年M 生产的产品价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年M 生产的产品价值为上年的75%． （I ）求第n 年M 生产的产品价值n a 的表达式；（II ）该设备M 从购买回来后马上使用，则连续正常使用10年可以生产多少价值的产品？24. 已知数列{}n a 满足：474a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线12y x =+上，数列{}n b 满足：11194b =-且*111(2,)33n n b b n n n N -=+≥∈.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求证：数列{}n n b a -为等比数列；（III ）求{}n b 的通项公式；并探求数列{}n b 的前n 和的最小值福建省厦门第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试高二年文科数学试卷答案 一、选择题二、填空题答题栏: 每小题4分，共32分11. 2 ; 12. 0x ∈R 存在，0sin 1x > 13. 16 ; 14. 7 . 18. 45-; 19. 12 .20. 0和1 ; 21.21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩三、解答题15．解不等式22(25)50x k x k +++<（本题满分10分） 解：22(25)50(25)()0x k x k x x k +++=⇔++=125,2x k x =-=- 3分（1）52k =时，化为2(25)0x +<，原不等式无解 5分（2）55,22k k >-<-，原不等式的解为52k x -<<- 7分（3）55,22k k <->-，原不等式的解为52x k -<<- 9分综述.........................................................10分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADCCDBDABC16.在ABC △中，5cos 13B =-，3sin 5C = （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，(0,)B π∈得12sin 13B =， 1分 由5cos 013B =-<得(,),(0,)22B C πππ∈∴∈ 2分所以，由3sin 5C =，得4cos 5C = 4分所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+= 6分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==， 10分故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯== 12分17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，满足22243()S a b c =+- （I ）求角C 的大小；（II ）若边长2c =，求ABC ∆的周长的最大值． （本题满分12分）解：(1)由题意可知，2221sin ,cos 22a b c S ab C C ab+-== 2分12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 5分 因为0<C <π，所以C ＝π3. 6分（2）由上知，C ＝π3，所以221422a b ab +-=，所以224a b ab +-= 7分所以，2()43a b ab +-=， 8分 由于2()2a b ab +≤，所以22()43()2a b a b ++-≤ 10分 解得4,2a b a b +≤==取等号，所以△ABC 的周长的最大值为6 12分另法：由正弦定理得到：24sin sin sin 3sin 3a b c A B C π====所以，442(sin sin )[sin sin()]4sin()3633a b A B A A A ππ+=+=+-=+所以，当3A π=时，a b +最大值为4，所以△ABC 的周长的最大值为6其他方法请分步酌情给分22．设命题:p 2000,10x R ax x ∃∈-+=成立；命题q ：2(0,),10x x ax ∀∈+∞-+>成立，如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求a 的取值范围。

w.（本题满分10分）解：对于命题:p 2000,10x R ax x ∃∈-+=成立，若为真（1）当000,10,1a x x =-+==符合题意 1分（2）当220000,,1010a x R ax x ax x ≠∃∈-+=⇔-+=在R 有解140a ⇔∆=-≥，得到1,04a a ≤≠所以，命题p 为真，有14a ≤ 4分对于命题q ：2(0,),10x x ax ∀∈+∞-+>成立1(0,),x a x x⇔∀∈+∞<+成立1(0,),2,1x x x x∈+∞+≥=取等号对于命题q 为真，有2a < 8分 如果p 或q 为真，p 且q 为假，则它们两个一真一假 10分若p 真q 假，则有14a ≤且2a ≥，得到a φ∈ 11分若p 假q 真，则有14a >且2a <，得到124a << 12分23．某新设备M 在第1年可以生产价值120万元的产品，在使用过程中，由于设备老化及维修原因使得M 的生产能力逐年减少，从第2年到第6年，每年M 生产的产品价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年M 生产的产品价值为上年的75%．（本题满分12分） （I ）求第n 年M 生产的产品价值n a 的表达式；（II ）该设备M 从购买回来后马上使用，则连续正常使用10年可以生产多少价值的产品？ 解：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列．12010(1)13010;n a n n =--=- 3分 当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34为等比数列，又670a =，所以 6370();4n n a -=⨯因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为612010(1)13010,6370(),74n n n n n n a a n ---=-≤⎧⎪=⎨=⨯≥⎪⎩6分 (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当16n ≤≤时，21205(1)5125n S n n n n n =--=-+ 8分当7n ≥时，66676333()570704[1()]780210()444n n n n S S a a a --=+++=+⋅⋅⋅-=-⋅ 10分所以，4103780210()713.554S =-⋅≈万元 12分24．已知数列{}n a 满足：474a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线12y x =+上，数列{}n b 满足：11194b =-且*111(2,)33n n b b n n n N -=+≥∈.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求证：数列{}n n b a -为等比数列；（III ）求{}n b 的通项公式；并探求数列{}n b 的前n 和的最小值（本题满分12分） 解：（1）点*1(,)()n n a a n N +∈在直线12y x =+上，得到112n n a a +=+ 1分 所以，{}n a 为公差为12的等差数列 2分 所以，47121(4)(4)424n n a a n d n -=+-=+-⋅= 3分（2）证明：214n n n n b a b --=-所以，1111111212321133431242323233444n n n n n n n n n n b b n n n n b b a n n n b a b b b ----------+----====------- 5分 又1130b a -=- 6分 所以，数列{}n n b a -是以-30为首项，13为公比的为等比数列 7分 （3）由（2）知，1130()3n n n b a --=-⋅ 所以，1111130()30()3243n n n n n b a --=-⋅=--⋅ 8分 采用分组求和法，可以求数列{}n b 的前n 和2145()4543n n n T =+⋅- 9分 121130()43n n n n T T ++-=-⋅ 10分 当12111,2,30()043n n n n n T T ++=-=-⋅<，则n T 递减，即123T T T >>当12113,30()043n n n n n T T ++≥-=-⋅>，则n T 递增，即345T T T <<< 11分所以349312T =-最小 12分另法：1111130()30()3243n n n n n b a --=-⋅=--⋅为递增数列123450,0,0,0,00n b b b b b b <<<>>>所以349312T =-最小 其他方法请分步酌情给分福建省厦门第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试高二年文科数学试卷答题卷二、填空题答题栏:每小题4分，共32分11. ; 12. ;13. ; 14. .18. ; 19. .20. ; 21. .题号 选择 填空15 16 17 22 23 24 总分 得分 15（本题满分10分）姓名 准考证号座位号16（本题满分10分）17（本题满分12分）22（本题满分10分）23（本题满分12分）24(本题满分12分)VIP教研组版权所有 未经允许 请勿外传 VIP 教育 贵族教育 专业品质 第 11 页帝豪校区：2042800 帝豪大厦 2403 吕厝校区：2042900 锦绣广场二楼 思北校区：2042700 银行家园二楼瑞景校区：2042400 牛庄21号楼五楼 博物馆校区：2042008 海洋花园一楼 莲坂校区：2042001 富山名仕园三楼 集美校区：6224111 集美综合楼三楼。