高二数学第二学期期中考试卷(附答案)

高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（ ）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ ）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1） 三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。

天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（ ）A ． 3-B ．34C ．54D ． 52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（ ）A ． (),e -∞B ． ()0,e C ． ()1,+∞D ． ()e,+∞4． ()()52x y x y +-的展开式中33x y 项的系数为（ ）A ． 30-B ． 10-C ． 10D ．305．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0-∞上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,+∞上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． [)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1π+D ．2π+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． ()3e ,+∞D ． )3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21ex f x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=______．11．765765A 6A 6A --=______．12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是______．（用数字作答）14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()312f x x x =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值．17．（本小题满分12分）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法?18．（本小题满分12分）已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；（2）求()f x 的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．（1）求函数()y f x =-的导数；（2）若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设函数()()ln h x f x x =-，若()h x 在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案CCBBCBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．2e 11．012．10013．192-14．4815．2a >三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-；（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16；当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．（本小题满分12分）解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C 495=；（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C ，再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为14C ，因此还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的选法种数为41124C C 1980=．（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为412A 11880=．18．（本小题满分12分）解：（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-．所以曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()16681y a a x -=--．由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =．（2）由（1）得()()()2156ln 02f x x x x =-+>所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=令()0f x '=，解得12x =，23x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()1,22()2,3()f x '＋0－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln 38f =+>．所以，当1x =时，()f x 取得最小值8．19．（本小题满分12分）解：（1）①()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=；所以1a =．②中①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=令()0f x '=，解得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()0,11()1,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()221a x a f x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区将为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x '>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．20．（本小题满分12分）解：（1） ()e x y f x x x a -=-=-+-，所以e e 1x x y x --'=-++（2）因为()()1e 1x f x x '=+-，[]11,e x ∈，所以()0f x '≥，故()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()e 1e 1,ee f x a a +⎡⎤∈----⎣⎦，又()()22211g x x x x =-=--，所以()g x 在[]1,2上也是单调递增，所以()[]1,0g x ∈-，因为对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于()()12min max f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，即e 10a --≥，所以e 1a ≤-．故实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）由()e ln 0x h x x x x a =---=，即e ln x x x x a --=，令()e ln x p x x x x =--，()0,e x ∈，而()()()()1e 111e e 11e xx x xx x x p x x x x x x+-+'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，()0,e x ∈，则()ee 0xx q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，因为()010q =-<，()1e 10q =->，即()()010q q ⋅<，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01ex x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0q x <，()0p x '<，函数()p x 单调递减；当0e x x <<时，()0q x >，()0p x '>，函数()p x 单调递增，所以()()0000000min e ln 11x p x p x x x x x x ==--=-+=，又0x +→时，()p x →+∞，所以要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．。

广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）1. 在等差数列中，，则值是（）A. 12B. 18C. 24D. 302. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值3. 已知离散型随机变量X 的分布列，则（ ）A. 1B.C.D.4. 已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）的{}n a 3712a a +=72S S -()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =(1,2,3,4,5)5k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭13105P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭231513{}n a 14a 312a 23a 2021202320202022a a a a -=-A. 1B. 2C. 3D. 45. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）A. 248种B. 168种C. 360种D. 210种6. 的展开式中常数项为（ ）A. 120B. C. 180D. 7. 若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列的前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为82种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（ ）A. 数列的前60项和B. 数列的前60项和的()62132x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭120-180-()e x f x a x =-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1)1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(,0)-∞{}n a n S 2n nn a =(1)nn n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ {}n a 135a =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭60S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭605S =C. 数列的通项公式是D. 数列的通项公式是11. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）A. 年产量为9000件B. 年产量为10000件C. 年利润最大值38万元D. 年利润最大值为38.6万元第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12 已知数列满足，且对任意，有，则______.13. 设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X______．14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.16. （1）若，求的值；（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，①求的值；②若第项是有理项，求的取值集合；③求系数最大的项．为.{}2n a221n a n =-{}2n a 221n a n =+()R x ()22110.8,010,301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩{}n a 11a =*n ∈N ()11nn n a a n +=+-⋅22a ==()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()e e0xxf ->()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 423401234(2x a a x a x a x a x -=++++1234a a a a +++22nx ⎫-⎪⎭n k k17. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和．18. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.19. 已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）设（其中），讨论函数的单调性；（3）若对，都有，求n 取值范围．的{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b {}n b n nT{}n b 6T 2n T 1335()ln ()af x x x a x=+∈R 1x =(e)f ()322111()2()2x P x m x x f x x x+=--+m ∈R ()P x [1,3]x ∀∈2164()ln 11nx x f x x n x x +--+-≤-+广东实验中学越秀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】AD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【16题答案】【答案】（1）；（2）①；②；③.【17题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【18题答案】【答案】（1）分布列略，（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由略【19题答案】【答案】（1） （2）答案略（3）10-(),ln 2-∞3a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263ef =()212e f -=-88-8n ={}1,3,5,7,91171792T x -=2n n a =22425272826438T =()26817nn T =-2930()1e e ef =+5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 162. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（ ）A. 240B. 360C. 480D. 7204. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）A B. C. 0 D. 15. 在的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106. 从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）A. 12B. 18C. 30D. 607. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形，边长为2，点，分别在线段，上，，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，则五棱锥体积的最大值为（ ）.ππ(sin )cos 33'=(2)2ln 2x x '=1[ln()]x x '-=-(cos )sin x x'=()sin ln(1)f x a x x =++(0,0)21y x =-=a 2-1-()1n x +n =22()e (2)1x f x f x -'=++(3)f '=e 2-e 2+e 5+e 10+ABCD E F AB BC //EF AC BEF △EF B P PEF ⊥ADCFE P ADCFE -A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知为函数导数，的图象如图所示，则（ ）A. 是的极大值点B. 当时，取得最小值C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增10. 已知，是正整数，且，则下列等式正确的是（ ）A. B. C D. 11. 已知函数有两个极值点，，且，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知为函数的导数，则______.13. 从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒5种蔬菜种子中选出3种分别种在，，三块不同土地上，每块土地只种1种，其中黄瓜不种在土地上，则不同的种法共有__________种.14. 展开式中的的系数为__________.的.的()f x '()f x ()y f x ='0x =()f x 1x =()f x ()f x ()0,1()f x ()1,∞+m n m n ≤461010A A =3441C C C n n n ++=()111A A m m n n n +++=123C C C C 2n n n n n n ++++= ()32f x x kx =-+a b a b <0k ≥0a b +=()2f a >()2f b <()f x '21()f x x x=+()1f '=A B C A ()52x y y -+25x y四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.（1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？（2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？16. 已知曲线上一点.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为9，求实数的值.17. 已知函数.（1）求极值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的值.18. 已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.19. 已知，为的导数.（1）证明：当时，；（2）讨论在上的零点个数，并证明的()31f x x mx =--()()1,1P f 2m =()y f x =P ()f x P m ()2e xf x x =()f x ()()f x a a =∈R a ()()523456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++5a 0246a a a a +++12345623456a a a a a a +++++()2cos e x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()1f x '≤()f x R ()f x <唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】48【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）120（2）14【16题答案】【答案】（1）；（2）或.【17题答案】【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2）【18题答案】【答案】（1）3（2）16 （3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2）有2个零点，证明略30-3y x =-527224e 24e a =。

南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，若，则（ ）A. B. C. 4D. 22. 记函数的导函数为.若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 23. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：2456830405060已知与的线性回归方程为，则等于（ ）A. 68B. 69C. 70D. 714. 已知函数，则的图象大致为（ ）A. B.(1,,2)a m = (2,4,)b n =- //a bm n +=4-6-()f x ()f x '()sin f x x x =+()0f '=1-x y x yay x 715y x =+a ()ln f x x x =-()f xC. D.5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）A 16B. -16C. 8D. -86. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（ ）A.B.C. D.7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）A. 共有120种不同的排法B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法.4(1)(2)x x -+3x 121373611361336173696491619324564()21ln 2f x a x x =+1x ()212x x x ≠()()12121f x f x x x ->-10,4⎛⎤ ⎝⎦10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10. 已知，则（ ）A. 展开式各项的二项式系数的和为B. 展开式各项的系数的和为C.D. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）A. 平面平面B. 为的中点时，C. 存在点，使得直线与的距离为D. 存在点，使得直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________.13. 已知事件相互独立.若，则__________.14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最值.1002100012100(12)x a a x a x a x -=++++ 10021-024********a a a a a a a a ++++>++++ 123100231000a a a a ++++< ABF DCE -AB AF ⊥4AB AD AF ===G »CDADG ⊥BCGG »CD//BF DG G EFAG G CF BCG 60()22,X N σ:(1)0.7P X >=(23)P X <<=,A B ()()0.6,0.3P A P B A ==()P AB =()334f x x x a =-+a ()()1e xf x x =-()y f x =()()1,1f ()f x []1,2-16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角正弦值.17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）讨论单调性；的的1111ABCD A B C D -ABCD //AB ,DC DA DC ⊥111,2AD DD CD AB E ====AB C 1BC D 1B C D E --0.005α=X X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0x 21()(1)ln ,R 2f x ax a x x a =+--∈()f x（2）当时，证明：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当时，①假设已知选中恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.的0a >3()22f x a≥-2()()F x ax x f x =--11222,()3x x x x <<12()()F x F x -()1,2,3,,3n n ≥ n ()1,2,3,,k k n = k n k -4n =p 2p 1<南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学简要答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】AB三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2），.【16题答案】【答案】（1（2）.【17题答案】【答案】（1）能认有关 （2）分布列略，【18题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略； （3）.【19题答案】【答案】（1）①；② （2）证明略为0.2150.1232511,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦e e 0x y --=2max ()(2)e f x f ==min ()(0)1f x f ==-13()34E X =3(0,ln 2)4-1216。

福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率（ ）A. 0B. 1C. 0.3D. 2. 已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）A. -4B. 4C. -2D. 23. 设随机变量，若，则等于（）A. 0.2B. 0.7C. 0.8D. 0.94. 设是一个离散型随机变量，其分布列为则等于（ ）A. 1B. C.D. 5. 已知点P ，Q 分别为圆与上一点，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 7D. 106. 已知，则（ ）A. 64B. 32C. 63D. 317. 若，则（ ）A. B. C. D. 为X ()0.7E X =0.7{}n a 2580a a +=64a a ()24,X N σ～()0.8P X m >=()8P X m >-X X234P1212q-22q q 1121+22:1C x y +=22:(7)4D x y -+=||PQ ()01223344414729n n n n n n nn C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=()221ln ln π,ln ,33ea b c ===-c a b <<b c a <<c b a<<b a c<<8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的离心率是（ ）A. B. C.D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 连续抛掷一枚骰子2次，记事件A 表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B 表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ）A. 事件A 与事件B 不互斥 B. 事件A 与事件B 相互独立C. D. 10. 已知直线经过抛物线的焦点，与交于A ，两点，与的准线交于点，则（ ）A. B. 若，则C. 若，则的取值范围是 D.若，，成等差数列，则11. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. 数列是等比数列C. 数列是等比数列D. 的数学期望三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.则抛物线C 的方程为________.2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>()0,,A F c C P 2x c=tan APF ∠C 2+4+()34P AB =()2|3P A B =()1x my =-()2:20E x py p =>F E B E l C 2p =3AF FB =m =()0,1N -AN AF⎡⎣FA AC FB FC BF=()*Nn n ∈nXn p n q 21627p =2727q ={}21n n p q +-{}21n n p q +-n X ()()*11N 3nn E X n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭13. “畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为____________14. 设为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数x 的最大整数，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求A 的大小；（2）若，BC 边上高的长.16. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求数列通项公式；（2）若，求前1012项和．17. 已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围.18. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430的的*n n N a ∈，()()2+3+1n nx x -=23c t -R t ∈1222=[]+[]++[]555n n n b na a a n )22()+(+)n n t b c -ABC V 2cos 2a B c +=3b =c ={}n a 11a =125,,a a a {}n a 114(1)n n n n nb a a ++=-⋅{}n b 1012T 21()ln(1)14f x a x x =-++211()()1e 2x g x f x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭1a =-()f x 12,(1,)x x ∈+∞12x x ≠()()21211g x g x x x -≥-a [0,210](210,400](400,)+∞（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？（2）现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.19. 已知椭圆（常数），点，，为坐标原点．（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；（3）设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．的Y Yk =k P k P k 222:1x y aγ+=2a ≥(),1A a (),1B a -O P γOP mOA nOB =+m n +()11,M x y ()22,N x y γOM ON OA OB k k k k ⋅=⋅OMN V福州第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、单选题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】y 2＝8x 【13题答案】【答案】240【14题答案】【答案】##02四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）【18题答案】【答案】（1）259元 （2）分布列略，期望为 （3）4【19题答案】【答案】（1） （2） （3）的面积为定值，理由略.15π6A =3221n a n =-101220242025T =221,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭65e ⎫∈⎪⎪⎭[]1,1m n +∈-OMN V 2a。

2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。

高二数学第二学期期中试卷一、选择题(每小题只有一个正确的答案，每小题3分)：1．有下列三个命题：命题1：,m n m n αβαβ⊂⊂⇒，，与不重合异面命题2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形命题3：一条直线与一个平面的无数条直线垂直，则此直线垂直于该平面 其中正确．．命题的个数是 ( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 32．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线(C) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC(D) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC3．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面， 下列四个命题中正确的是 （ ）A ．若//,//,//m m αβαβ则；B ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α；C ．若,,//αβαγβγ⊥⊥则；D ．若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂∆中，已知∠B=90°，∠C=30°，AC=4,D是BC中点，E是平面ABC 4．在ABC外一点， DE 平面ABC, DE=1，那么点E到直线AC的距离为（）A.7B. 5C. 2D.25．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题Ⅰ（每小题3分）：6．一个六棱柱的底面是边长为a的正六边形，侧棱长为b，侧棱与底面所成的角为60°，则这个棱柱的体积为7． A、B、C是球O表面上三点，AB=6,BC=8，AC=10，点O到△ABC所在平面的距离为5，则球O的表面积为。

8．在一个坡面的倾斜角为60°的斜坡上，有一条与坡脚的水平线成30°角的直线，沿这条道行走到20m时人升高了米（坡面的倾斜角为坡面与水平面所成的二面角的平面角）9．已知半径为R的球面上有两点A、B，且AB=R3，则这两点的球面距离为10.如图所示，以长方体ABCD—A 1B1C1D1顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是。

余姚中学2023学年第二学期期中检测高二数学试卷答案一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）2.命题“2,460x x x ∃∈-+<R ”的否定为（）A ．2,460x x x ∃∈-+<RB ．2,460x x x ∃∈-+≥R C ．2,460x x x ∀∈-+<R D ．2,460x x x ∀∈-+≥R 【答案】D【分析】根据全称命题或者特称命题的否定判断即可；【详解】根据全称命题或者特称命题的否定，所以2,460x x x ∃∈-+<R 的否定为2,460x x x ∀∈-+≥R ，故选：D.3.若2:01xp x -≤+，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．12x -≤≤B ．1x >C ．2x >D ．25x <≤【答案】B 【分析】解不等式201xx -+≤得1x <-或2x ≥，选出其必要不充分条件即可.【详解】p ：201xx -+≤，即(2)(1)0x x -+≤且1x ≠-，解得1x <-或2x ≥，所以p ：1x <-或2x ≥，对于A ，12x -≤≤是p 的既不充分也不必要条件；对于B ，1x >即1x <-或1x >，是p 的必要不充分条件；对于C ，2x >即<2x -或2x >，是p 的充分不必要条件；对于D ，25x <≤是p 的充分不必要条件；故选：B.4．函数()2sin 2log y x x =⋅的图象大致是（）A ．B．C．D ．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D 的正误；利用在(0,)π之间的函数零点的个数即可判断A,B 的正误.【详解】设()2()sin 2log f x y x x ==⋅，则()2()sin 2log ()f x x x f x -=-⋅-=-，故()2()sin 2log f x x x =⋅为奇函数，故C,D 错误；而令()2sin 2log 0y x x =⋅=时，在(0,)π之间的函数零点有1,2π两个，故B 错误，故选：A5.已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a ba ab++的最小值为（）A ．3B ．9C ．4D ．8解析：,a b 均为正实数，()()()2454141a a b a b a b a a ab a a b a b a a b a +++⎛⎫⎡⎤==+=+++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭44159a a b a b a +=+++≥+=+，当且仅当4a a b a b a +=+，即13a b ==时，等号成立.故选：B6.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()131,0212,23x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()()()()2220R f x m f x m m ⎡⎤-++=∈⎣⎦恰有4个不相等的实数根，则实数m 的值是（）A ．23-B ．23C ．0D ．23±解析：由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以讨论0x ≥情况如下：作(),0y f x x =≥图像如下图所示，关于x 的方程()()()()2220R f x m f x m m ⎡⎤-++=∈⎣⎦，解得()2f x =或()f x m =，由于2y =与(),R y f x x =∈图像有一个公共点，则()y f x =图像与y m =图像有三个公共点，如图所示，23m =，同理，0x ＜时，23m =-，所以实数m 的值是23±.故选：D 7.若关于x 的不等式2ln e x x ax b ++ 恒成立,则实数a 的取值范围是()A.1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.[1,e]解析:注意到不等式中间是直线方程,故临界情况是两条公切线,a 介于两条公切线之间;设切点分别为()()2112,2ln ,,xx x x e +,则()2222211112211ln 1ln 11x x x x x e y x x x x x e x y e x x e e ⎧⎧==++⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=-=-+⎩⎩消元得到:()()()()222222222111101101,0x x x x e x e x x x e x -+=-⇒-+-=⇔--=⇒=而2x a e e ==或1,结合前面的分析:[1,]a e ∈故选：D8.设函数(),()f x f x '的定义域均为R ,且函数(21),(2)f x f x -'-均为偶函数.若当[1,2]x ∈时,()f x '=34ax +,则(90)f '的值为()A.-42B.-35C.-28D.-21解析：(21)f x -为偶函数,则2(21)(21)(1)(1)x xf x f x f x f x =--=-−−−→--=-,两边同时求导(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x -'--='-⇒'-+'--=可得()f x '关于(1,0)-对称；由(2)f x '-为偶函数，可得()f x '关于2x =-对称；立马就知道了周期T 4=,那么由(1)(3)0,()f f f x '-='='关于2x =对称;则(3)(1)0f f '='=,而(1)404f a a '=+=⇒=-故(90)(2242)(2)8428f f f a '='⨯+='=+=-故选：C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.若110a b<<，则下列不等式正确的是（）A.0a b +> B.11a b ab <+ C.11a b a b->- D.22ln ln a b>答案：BC10.“[]x ”表示不大于x 的最大整数,例如:[3.8]3,[ 1.4]2,[4]4=-=--=-.下列关于[]x 的性质的叙述中,正确的是（）A.[][][]x y x y -- B.若[]1[]y x ,则||1x y -<C.若函数()f n 的解析式为()*f n n N =∈,则()6412080n f n ==∑D.23202422223333M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦被3除余数为1答案：ACD分析：对于A ，由定义[]x “”表示不大于x 的最大整数可知，[][][],x y x y +≤+故[][][]-x x y y ≤+，用x y -代换x ，即得[][][]x y x y -≤-，故A 正确.对于B,不妨设1,2y x =-=，满足[][]112y x =≤，但此时31x y -=>，故B 错误。

石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测高二数学试题（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()23cos f x x x=+的导函数是（）A.()6sin f x x x '=+B.()6sin f x x x '=-C.()3sin f x x x'=- D.()3sin f x x x'=+【答案】B 【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】()()()23cos 6sin f x x x x x '''=+=-.故选：B.2.5(2)x -的展开式中3x 的系数为（）A.40-B.20- C.20D.40【答案】D 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可计算可得.【详解】因为5(2)x -展开式的通项为()515C 2rr rr T x -+=-（05r ≤≤且N r ∈），所以5(2)x -的展开式中3x 的系数为225C (2)40⨯-=.故选：D3.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种B.90种C.72种D.36种【答案】A 【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有1333C A 18=种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有33A 6=种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有186108⨯=种不同的播出方案.故选：A4.已知*0,x n ≠∈N ，则“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】若8n =，则8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为()626381C 2112x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；若312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为()33411=C22C rn rrn r r n r r nn T x x x ---+⎛⎫⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，且存在常数项，则340n r -=，34nr =，r 为整数，所以n 能被4整除.所以“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.5.已知曲线2ln y x x =-在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直，则点A 的横坐标为（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】设点()00,A x y ，根据题意可得()01f x '=，从而求得0x .【详解】设()2ln f x x x =-，点()00,A x y ，则()12f x x x='-，由在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直可得()01f x '=，即00121x x -=，又00x >，01x ∴=.故选：D6.已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.[)2,+∞ D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2ax <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2a -∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a -+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.故选：A.7.若()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-，则N =（）A.()41x - B.()41+x C.()43x - D.()43x +【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理可得答案.【详解】()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-413222334444(1)C (1)2C (1)2C (1)22x x x x =-+-⋅+-⋅+-⋅+4(12)x =-+4(1)x =+.故选：B8.若函数()21ln 32f x x ax =++在区间()1,4内存在单调减区间，则实数a 的取值范围是（）A.1,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()1,1,16⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.(),1-∞- D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导，分0a ≥和a<0两种情况，结合()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，求出a 的取值范围即可.【详解】()21ln 32f x x ax =++，()211ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x ¢>，不符合题意；当0a <时，令()0f x '<，解得x >()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，∴4<，解得116a <-.∴实数a 的取值范围是1,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A ，B 不相邻，有48种排法C.若A ，B 相邻，有48种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AC 【解析】【分析】求得A ，B 不相邻时的排法总数判断选项AB ；求得A ，B 相邻时的排法总数判断选项CD.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 不相邻，则先让C ，D ，E 自由排列，再让A ，B 去插空即可，则方法总数为3234A A 72=（种）.则选项A 判断正确；选项B 判断错误；A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 相邻，则将A ，B “捆绑”在一起，视为一个整体，与C ，D ，E 自由排列即可，则方法总数为2424A A 48=（种）.则选项C 判断正确；选项D 判断错误.故选：AC10.在62x⎛⎝的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为3【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即【详解】偶数项的二项式系数之和为152232n -==，故A 正确；根据二项式，当3r =时36C 的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B 错误()()36662166C 21C 2r r rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，4r =，∴4256C 260T =⋅=，故C 正确；362r -为整数时，0,2,4,6r =，故有理项的个数为4，故D 错误.故选：AC ．11.已知函数()ln xxf x e =,则下列说法正确的是（）A.()f x 有且仅有一个极值点B.()f x 有且仅有两个极值点C.当01x <<时，()f x 的图象位于x 轴下方D.存在0x ，使得()01f x e=【答案】AC 【解析】【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】由题意知，()1ln xxx f x e -'=,令()1ln h x x x =-,()211h x x x '=--,易得()h x 在()0,∞+上单调递减,又()110h =>,()12ln 202h =-<，所以()01,2x ∃∈,使得()00h x =，所以当00x x <<时,()0f x '>，当0x x >时,()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，所以()f x 有且仅有一个极值点.故A 正确,B 错误;当01x <<时,ln 0x <，e 0x >,所以()0f x <,故C 正确;所以()()0000max 0ln 11ex x x f x f x e x e ===<,故D 错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种.【答案】8【解析】【分析】利用分步加法计数原理计算即得.【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成，由分步乘法计数原理知，不同的选法有322228⨯⨯==（种）.故答案为：8.13.函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.【答案】(]0,1【解析】【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解.【详解】函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=，令()0f x '≤，即10x x-≤，解不等式可得01x <≤，所以函数的单调递减区间为(]0,1.故答案为：(]0,1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14.已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '>在R 上恒成立，则不等式()()23e 21e 10x f x f x --->的解集是______.【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知关系式可构造函数()()xf xg x =e，可知()g x 在R 上单调递增，将所求不等式转化为()()211g x g x ->-，利用单调性可解不等式求得结果.【详解】令()()x f x g x =e ，则()()()0ex f x f x g x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增，由()()23e 21e 10xf x f x --->，得()()211>1e21ex xf x f x ----，即()()211g x g x ->-，又()g x 在R 上单调递增，所以211x x ->-，解得23x >.所以不等式()()23e 21e 10xf x f x --->的解集是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）求值：2222310C C C +++ ;（2）解方程：32213A 2A 6A x x x +=+．【答案】（1）165；（2）5x =【解析】【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于311C 165=；（2）由排列数计算公式可得(32)(5)0x x --=，可得5x =.【详解】（1）因为11C C C m m m n nn -+=+，所以11C C C m m m n n n -+-=，原式()()()()333333333345410911103C C C C C C C C C ++++-+=--- 31111109C 165123⨯⨯===⨯⨯；（2）因为32213A 2A 6A x x x +=+，所以!(1)!!326(3)!(1)!(2)!x x x x x x +⨯=⨯+⨯---，化简可得(32)(5)0x x --=，同时3x ≥，解得5x =.16.已知二项式nx⎛- ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．【答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【解析】【分析】（1）先利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．【小问1详解】因为2,(2)n n a b ==-，所以2(2)32n n +-=，当n 为奇数时，此方程无解，当n 为偶数时，方程可化为2232n ⨯=，解得4n =；【小问2详解】由通项公式3442144C (3)C rrr r r r r T x x--+=⋅=-⋅，当342r -为整数时，1r T +是有理项，则0,2,4r =，所以有理项为0442214422143454(3)C ,(3)C 54,(3)C 81T x x T x x T xx --=-==-==-=．17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】（1）120种；（2）36种.【解析】【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.【小问1详解】两组都是3女2男的情况有326422C C 60 A ⋅=（种）：一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有1446C C 60⋅=（种），所以总情况数为6060120+=（种），故一共有120种不同的分组方案.【小问2详解】视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有13C 种，再排余下两个及丙，有33A 种，而丁和戊的排列有22A 种，所以不同排列方式的种数是132332C A A 36=.18.已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =-++∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）32y =（2）答案见解析【解析】【分析】(1)代入1a =，求出'(1),(1)f f 即可求得切线方程；(2)函数求导'(2)()()x a x a f x x+-=，对a 分类讨论，进而求得单调性.【小问1详解】当1a =时，()212ln 2f x x x x =-++，'2()1f x x x =-++，所以'3(1)2110,(1)2f f =-++==，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为32y =.【小问2详解】22'2(2)()()x ax a x a x a f x x x+-+-==，①当0a =时，'()0f x x =>，所以函数在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令'()0f x =，则12x a =-(舍)或2x a =，'()0,0f x x a <<<，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减；'()0,f x x a >>，当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增.③当0a <时，令'()0f x =，则12x a =-或2x a =(舍)，'()0,02f x x a <<<-，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；'()0,2f x x a >>-，当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a =时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增；当0a <时，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增19.已知函数()ln 32a f x ax x =--，其中0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()10xf x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）[)2,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数，讨论a 的符号判断函数单调性；（2）问题转化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，构造函数利用导数求最小值证明1ln 02x x ->，则12ln 30x x x --+≥恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2122a x a f x a x x -'=-=，①当0a >时，()0f x '<解得102x <<，()0f x ¢>解得12x >，此时函数()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，②当0a <时，()0f x ¢>解得102x <<，()0f x '<解得12x >，此时函数()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；【小问2详解】不等式()10xf x +≥可化为2ln 3102a ax x x x --+≥，由2ln 3102a ax x x x --+≥恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，又由2ln 3102a ax x x x --+≥可化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，令()1ln 2g x x x =-，有()121122x g x x x -'=-=，令()0g x '<解得102x <<，()0g x '>解得12x >此时函数()g x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，有()111111ln ln 20222222g x g ⎛⎫≥=-=+> ⎪⎝⎭，可得1ln 02x x ->，可得211ln 2ln 2ln 22ax x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明22ln 310x x x x --+≥，即证明12ln 30x x x --+≥，令()12ln 3h x x x x =--+，有()()()222221111212x x x x h x x x x x+---'=--==，令()0h x '<解得01x <<，()0h x '>解得1x >，可得函数()h x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，有()()120310h x h ≥=--+=，可得不等式22ln 310x x x x --+≥成立，所以若()10xf x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为[)2,+∞.。

厦门第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）A. B. C. D. 2. 设抛物线焦点为，点为曲线第一象限上的一点，若，则直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 3. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）A. B. C. 2 D. 84. 在等比数列中，是函数的极值点，则A. B. C. D.5. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同分配方法种数为（ ）A. 12B. 14C. 22D. 246. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）A. B. C. D. 7. 若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x 个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 78. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数取值范围为（ ）的的5m y m t s 24.9y t =-0.5s t =m/s 4.9-9.8- 4.99.823C y x =：F A C 3FA =FA π3π42π33π4P 2ln y x x =-P 4y x =-{}n a 37,a a 321()4913f x x x x =++-5a =4-3-34,,A B C A ()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()22f =()ee 0x xf ->(),ln2-∞()ln2,+∞()20,e ()2e ,+∞x N ∈512x ()ln e mx f x x x =-12x x <1212()()1f x f x x x -<-mA B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）A. B. 只有第4项的二项式系数最大C. 各项系数之和为1 D. 的系数为56010. 现有4个编号为1，2，3，4盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（ ）A. 没有空盒子的方法共有24种B. 可以有空盒子的方法共有128种C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种11. 已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数，，则的最小值为______．13. 展开式中常数项为12，则______．14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线，则______．四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知是等差数列，，且，，成等比数列．（1）的通项公式；（2）设数列的前项和为，满足，求的最小值．.的1(0,e (0,e]1[,)e +∞[e,)+∞212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭7n =5x y kx =ln y x =11(,)M x y 22(,)N x y ln y x =M N 00(,)P x y 1k e <<0120e x x x =1201y y y +=+121y y <()f x x x =-[0,π]x ∈()f x 21(2)(1)nx x +-n =()2222:10,0x y E a b a b-=>>1F 2F 2F E A B 1AB AF =E 1cos BAF ∠={}n a 26a =54a -5a 56a +{}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S 110n S >n16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，（ⅰ）求点到平面的距离；（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．17. 已知函数，，其中为常数．（1）若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的面积；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．18. 已知椭圆C：过点，长轴长为.（1）求椭圆方程及离心率；（2）直线l ：与椭圆C 交于两点M 、N ，直线AM 、AN 分别与直线交于点P 、Q ，O 为坐标原点且，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.19. 已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，记极小值点为．（ⅰ）证明：存在唯一零点；（ⅱ）求证：．（参考数据：）的111ABC A B C -12CC =D E AC 1CC 1C ABC D 1A C ⊥BDE F 11B C F BDE FBD BDE ()(1)e x f x x a =+-21()2g x x ax =+a 2a =()f x (0,(0))f [0,)x ∈+∞()()f x g x ≥a ()222210x y a b a b+=>>()2,1A --y kx m =+4x =-OP OQ =()2ln 12a f x x x x =--a ∈R 1a =()f x a<0()f x 0x ()f x 1x 104x x >3e 20.85≈厦门第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】5【14题答案】【答案】##四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）证明略；（2）（ⅰⅱ.【17题答案】【答案】（1），； （2）【18题答案】【答案】（1）； （2）证明略，定点坐标为.【19题答案】【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间（2）（ⅰ）证明略；（ⅱ）证明略π14-18-0.125-22n a n =+9210x y -+=141a ≥22182x y +=(4,0)-()0,∞+。

镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。

丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高二数学（B 卷）考试时间：120分钟（答案在最后）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知函数()cos 2f x x =，则()f x 的导数()f x '=（A ）sin 2x-（B ）2sin 2x-（C ）sin 2x（D ）2sin 2x（2）若随机变量2)(3N σξ~,，则)(3P ξ=≤（A ）0.4（B ）0.5（C ）0.6（D ）0.7（3）现有甲、乙、丙、丁4人从宫灯、纱灯、吊灯这三种灯笼中任意选购1种，则不同的选购方式有（A ）321⨯⨯种（B ）432⨯⨯种（C ）43种（D ）34种（4）抛掷一颗质地均匀的骰子，事件{}135A =,,，事件{}12456B =,,,,，则|P A B =（）（A ）15（B ）25（C ）35（D ）45（5）若2340123441a a x a x x a x a x =+++++（），则1234a a a a +++=（A ）15（B ）16（C ）20（D ）24（6）某班从3名男同学和4名女同学中选取3人参加班委会选举，要求男女生都有，则不同的选法种数是（A ）60（B ）45（C ）35（D ）30（7）某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学在同一个社区进行民意调查.甲、乙两班人数之比为5：3，甲班女生占甲班总人数的23，乙班女生占乙班总人数的13.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（A ）19（B ）29（C ）12（D ）1324（8）某种新产品的社会需求量y 与时间t 存在函数关系()y f t =.经过一段时间的市场调研，估计社会需求量y 的市场饱和水平为500万件，且()f t 的导函数f t '（）满足：))500)))(((((0f t kf t f t k ->='.若0f y =（0），则函数()f t 的图象可能为（A ）①②（B ）①③（C ）②④（D ）③④（9）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()()f x g x ''，，且满足()()()()0f x g x f x g x '+<'，当a x b <<时，下列结论正确的是（A ）()()()()f x g b f b g x >（B ）()()()()f x g a f a g x >（C ）()()()()f xg x f b g b >（D ）()()()()f xg x f a g a >（10）已知函数()ln f x x =和()1g x ax =+.若存在01[,)ex ∈+∞，使得00()()f xg x =-恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）21[2e,]e-（B ）21[,2e]e-（C ）21[,e 2e]（D ）21[,2e]e第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.（11）用1，2，3，4这四个数字可以组成___个无重复数字的四位数.（12）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则m =___，()D ξ=___．（13）函数()f x =的导数()f x '=___．（14）已知5*)1((n x n x+∈N 的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的n 的值：___.（15）莱布尼茨三角形（如下图）具有很多优美的性质，给出下列四个结论：①第8行第2个数是172；②111111(,2)(1)C (1)C C r r r n n n r r n n n n ++-+=∈-++N ≤；③当2024n =时，中间一项为1012202412025C ；④当n 是偶数时，中间的一项取得最小值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值.其中所有正确结论的序号是___.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题14分）已知函数32(2)21x a x x x b f =-++在2x =处取得极小值5．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[03],上的最小值．（17）（本小题14分）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（Ⅰ）如果从男生和女生中各选2人，那么有多少种选法？（Ⅱ）如果男生甲和女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种选法？（Ⅲ）如果恰有2人获得了本次比赛的冠军、亚军，那么有多少种获奖方式？（18）（本小题14分）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备台数为X ．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）求计算机网络不会断掉的概率．（19）（本小题14分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1(1)f ,处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x k =有两个实数根，直接写出实数k 的取值范围．（20）（本小题14分）某地旅游局对本地区民宿中普通型和品质型两类房间数量进行了调研，随机选取了10家民宿，统计得到各家民宿两类房间数量如下表：（Ⅰ）若旅游局随机从乙、丙2家民宿中各选取2个房间，求选出的4个房间均为普通型的概率；（Ⅱ）从这10家中随机选取4家民宿，记其中普通型房间不低于17间的有X 家，求X 的分布列和数学期望.（21）（本小题15分）民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型19541713189201015品质型61210111091285已知函数()()0ekx xf x k =≠．（Ⅰ）若1k =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(11)-,上单调递增，求实数k 的取值范围．（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高二数学（B ）卷参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）题号12345678910答案BBCBADDBCB第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共25分）（11）24；（12）23；29（13）22(1)x+-；（14）6；（答案不唯一）（15）①③④．（注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．)三、解答题（共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为()26212f x x ax '=-+，且()f x 在2x =处取极小值5，所以()2244120f a '=-+=，得9a =，所以()222912f x x x x b =-++．又因为()245f b =+=，所以1b =．因为()f x 在区间()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增,所以()f x 在2x =时取极小值，符合题意.……………6分（Ⅱ）()3229121f x x x x -+=+，所以()()()612f x x x '=--.令0f x '=（），解得1x =，或2x =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.因此，当2x =时，函数()3229121f x x x x -+=+有极小值，并且极小值为(2)5f =.又由于(0)1f =，(3)10f =,所以函数()3229121f x x x x -+=+在区间[0,3]上的最小值是1.…………14分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）如果从男生和女生中各选2人，选择方法数为：22436318C C =⨯=种…………4分（Ⅱ）如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选中：男生甲被选中，女生乙没有被选中的方法数为：3510C =种；女生乙被选中，男生甲没有被选中的方法数为：3510C =种；男生甲和女生乙都被选中的方法数为：2510C =种；所以，男生甲和女生乙至少有1人被选中的方法数为30种.…………9分（Ⅲ）恰有2人获得了本次比赛的冠军、亚军的方法数为：4274420C A =种.…………14分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知X 服从二项分布，即~(3,0.9)X B ．033(0)C 0.9(10.9)0.001P X ==⨯⨯-=，1123(1)C 0.9(10.9)0.027P X ==⨯⨯-=，2213(2)C 0.9(10.9)0.243P X ==⨯⨯-=，3303(3)C 0.9(10.9)0.729P X ==⨯⨯-=，从而X 的分布列为X 0123P0.0010.0270.2430.729…………10分（Ⅱ）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即1X ≥ ，因此所求概率为：(1)1(1)1(0)10.0010.999P X P X P X =-<=-==-=≥ ．…………14分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+，则()11k f '==，()10.f =所以切线方程为10.x y --=……………4分（Ⅱ）由()1ln f x x '=+，()0,x ∈+∞，令()0f x '=即1ln 0x +=，解得1ex =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1(,)e+∞上单调递增，当1e x =()f x 有极小值11()e ef =-，无极大值.……11分（Ⅲ）1,0e（-）……14分（20）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“从乙家民宿中选取2个房间，选到的2个房间均为普通型为事件A ；“从丙家民宿中选取2个房间，选到的2个房间均为普通型”为事件B ；所以选出的4间均为普通型房间的概率为22542266C C 4()()()C C 15P AB P A P B ==⨯=.……………5分（Ⅱ）记其中普通型房间不低于17间的有X 家，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.()()464101346410C 10,C 14C C 81,C21P X P X ======()()()2246410314641044410C C 32,C 7C C 43,C 35C 14,C210P X P X P X =========用表格表示X 的分布列，如下表.158090241()01234 1.6.210210*********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以……14分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）2e e 1()e ekx kx kx kx kx kx f x --'==若1k =，则1()ex x f x -'=，令()0f x '=，解得1x =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,).+∞……5分（Ⅱ）因为()()0e kx x f x k =≠所以2e e 1().e ekx kx kx kx kx kx f x --'==令()0f x '=，解得1x k=.①0k >时,当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以，()f x 在1(,k-∞上单调递增，在1(,)k +∞上单调递减.②0k <时,当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以，()f x 在1(,k-∞上单调递减，在1(,)k +∞上单调递增.若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，则0k >时，11k≥，即01k <≤；则0k <时，11k-≤，即10k -<≤；所以k 的范围是[1,0)(0,1]- ．……………15分。

枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数，则（ ）A. 2B. C. 4D. 2. 下列函数求导正确的是（ ）A B. C D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）A. 7B. 12C. 18D. 244. 已知，，则（ ）A.B.C.D.5. 的展开式中，项的系数为（ ）A. 10B. C. 60D. 6. 随机变量的概率分布为1240.40.3则等于（ ）的..()2f x x=-()()22limh f h f h →+-=2-4-211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x'=-()1ln22x x'=()()e 1e x xx x '=+()13P B A =()25P A =()P AB =5691021513()522x x y +-52x y 30-60-X XPa()54E X +A. 5B. 15C. 45D. 与有关7. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 8. 已知实数分别满足，，且，则（ ）A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ）A. B. C. D. 10. 下列排列组合数中，正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________.13. 若能被64整除，则正整数的最小值为_____________.14 已知实数满足，则_____________...a ()()221()4442xf x e xx k x x =--++2x =-()f x k )2,e ⎡-+∞⎣)3,e ⎡-+∞⎣)2,e ⎡+∞⎣)3,e ⎡+∞⎣,a b e 1.02a =()ln 10.02b +=151c =a b c<<b a c <<b<c<ac<a<b()e xf x x=+()exf x x =()sin f x x x=-()2ln f x x x=-12344444A A A A 84+++=3333434520232024C C C C C ++++= 11A A A mm m n nn m -++=11C C mm n n m n --=2y x =-+e x y =ln y x =()()1122,,,A x y B x y 122x x +=12e e 2e x x +>1221ln ln 0x x x x +>12x x >()2024*381011a a -⨯+∈N a 12x x ，()136122e e ln 3e xx x x =-=，12x x =四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.16. 一台笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台，如果从中随机挑选2台，其中A 品牌台数．（1）求的分布列；（2）求和．17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）18. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值.19. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.,,A B C 6%5%4%，，X X ()E X ()X σ2(n x +65n ()23ln f x x x x =+-()y f x =()()1,1f ()f x ()()()2e12e R xx f x a ax a =+--∈()f x ()f x a枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学简要答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】12【13题答案】【答案】55【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）分布列略 （2）【17题答案】【答案】（1）7； （2）702.【18题答案】【答案】（1） （2）极小值为，无极大值【19题答案】【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）6e 0.051617352y =20a ≤()f x R 0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞(1,)+∞。

广东外语外贸大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题考试范围：第五六七章；考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1.选择题作答请用2B 铅笔写在答题卡上，修改时用橡皮擦干净．笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写在相对应的答题框内，不得超出答题框.2.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破.3.在每页考生信息框中填写姓名及考生号.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）A. B. C. D. 2. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（ ）A. 6B. 12C. 10D. 143. 函数的最小值为（ ）A. B. C.D. (2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<()[]11e ,3,4x y x x +=+∈-22e -55e 54e 1e --4. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（ ）A. B. C. D.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之积为偶数”，事件为“取到的2个数之和为偶数”，则（ ）A.B.C.D.6. 某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（ ）A. 216种B. 108种C. 72种D. 36种7. 设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”，设函数与在上是“密切函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列说法中不正确的有（ ）A. B. 函数的切线与函数可以有两个公共点C. 若，则是函数的极值点D. 函数的减区间为10. 下列各式中，不等于是（ ）A. B. C.D. 11. 下列说法正确的是（ ）.的60%40%90%80%0.540.320.840.86A B ()|P B A =18171625()f x ()g x [],a b [],x a b ∈()()1f x g x -≤()f x ()g x [],a b [],a b ()ln f x x =()1mx g x x -=1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,2e -1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦[]1,1e e -+2ln 2x t e x t +≥-x t 1(,e-∞1(,]2-∞1+2⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭，(,]e -∞ππsin cos44'⎛⎫= ⎪⎝⎭()y f x =()00f x '=0x ()f x ()ln2f x x x =-(),1-∞!n 11n n n A --⋅m mn nA C ⋅11n n A ++m n mn n mA A --⋅A. 已知随机变量X ，Y ，满足，且X 服从正态分布，则B 已知随机变量X 服从二项分布，则C. 已知随机变量X 服从正态分布，且，则D. 已知随机变量X 服从两点分布，且，令，则第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在的展开式中，的系数为15，则________.13. 丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜，整理后发现长度在23cm 以上（含23 cm ）的白玉香丝瓜有320根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有______根．（结果保留整数，若，则，，）14. 对于函数，若其定义域内恰好存在两个不同非零实数，使得成立，则称函数为M 函数．若函数为M 函数，则实数a 的取值范围是____________．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）求函数的极值.16. 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；.的24X Y +=(3,1)N 1()2E Y =15,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭80(3)243P X ==(4,1)N (5)0.1587P X ≥=(35)0.6826P X <<=(0)0.6,(1)0.4P X P X ====32Y X =-(2)0.6P Y =-=5(1)(1)x ax ++2x =a ()20,9N ()2,X N μσ:()0.6827P X μσμσ-<<+≈()220.9545P X μσμσ-<<+≈()330.9973P X μσμσ-<<+≈()y f x =12,x x ()()121211,f x f x x x ==()f x ()xef x a=()21xx x f x e +-=()y f x =()()0,0f ()y f x =（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列和数学期望．17. （1）求的展开式中的常数项；（2）若，求：①②.18. 某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）（篮球，篮球）（篮球，乒乓球）（乒乓球，篮球）（乒乓球，乒乓球）甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.（1）分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；（2）记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求的分布列和数学期望；（3）假设A 表示事件“室外温度低于10度”，表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.19. 设函数，其中为常数，且.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，是函数的两个极值点，证明：.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()62212012121x x a a x a x a x ++=++++ 02412a a a a ++++ 123122312a a a a ++++ X X ()E X B ()0P A >(|)(|)P A B P A B >1()ln 1f x a x x =++a 0a >()f x ()()ln F x f x x a =+12,x x ()f x ()()1214ln 2F x F x +<-广东外语外贸大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】ACD第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】或1【13题答案】【答案】2017【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2）极小值为，极大值为.【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略；【17题答案】【答案】（1）（2）①；②【18题答案】【答案】（1）0.4；（2）分布列略，182（3）证明略【19题答案】【答案】（1）答案略；（2）证明略..32-1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭210x y --=e -25e47()97E X =240365437447。

成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 4名同学分别报名参加足球队､篮球队､乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（ ）A. 81种B. 64种C. 24种D. 12种2. 下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若，则 D. 若，则3. 已知数列满足，，则数列前2025项的积为（ ）A. 2B. 3C.D. 64. 如图，射线和圆，当从开始在平面上绕端点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ）AB. C. D.5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）A. 14B. 12C. 6D. 36. 已知数列满足，，则等于（ ）.[]1ln(21)21x x '-=-0(1)(1)lim(1)x f x f f x∆→-∆-'=∆πcos4y =πsin 4y '=-2()(1)f x f x x '=-(1)1f '={}n a 12a =111nn na a a ++=-{}n a 12-{}n a 2542a a -=6a ={}n a 11a =()11N+*+-=∈n n n n a a na a n naAB.C.D.7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）9. 等差数列的前n 项和为，若，则下列结论正确的是（ ）AB. C. D.10. 设是三次函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ）A. 拐点为 B. 有极值点，则C. 过的拐点有三条切线D. 若，，则11. 已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）A. 当时， B. 当时，C. 不存在，使得成立D. 恒成立，则第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）..的22n n -222n n -+22n n-222n n -+2()sin cos f x x x x x =++1(ln )ln2(1)f x f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(,)e +∞(0,)e 10,(1,)e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x (),f x 'R ()f x ()1e f =()()e xf x f x +<'R ()()2e xf x x <-(),2-∞()2,+∞(),1-∞()1,+∞{}n a n S 9100,0a a <>109S S >170S <1819S S >190S >()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =32()f x x bx cx =++()f x ,33bb f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 230b c ->()f x 3b =-1c =(2)()2f x f x -+=-()e xf x x =()lng x x x =1x ∈R ()20,x ∈+∞()()12f x g x t ==0t >12x x t=0t >12eln t x x ≤t ()()12f x g x =''()()f x g x mx >+2m ≤12. 已知等比数列前项和为，若，，则________．13. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答）14. 已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是__________.四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）15. 在数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.16. 已知函数.（1）当时，求的单调区间，并求的极值；（2）若函数在区间上的最大值为，求的值.17. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目的资金为万元.（1）求数列的通项公式.（2）求至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；（3）若，，求数列的前项和.18. 已知函数.（1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，（i ）方程在上有唯一的实根，求的取值范围；（ii ）函数.若，是方程的两个实根，求证：.的{}n b n n T 31T =67T =9T =()12,0,x x ∈+∞12x x <()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-a {}n a 616a =()()1,n n a a n *+∈N 30x y -+={}n a 2nn n b a ={}n b n T ()ln f x ax x =+1a =-()f x ()f x ()f x (0,e)3-a n n a {}n a lg 20.3=1(1049)n b n a =-21n n n c b b +={}n c n n S ()e 1x f x ax =+-2a =()y f x =(0,0)1a =-()f x m =[1,2]-m ()()1)e 2(x f x b x F x +-+=1x 2x ()1F x =12123e e 2e x x x x +-+>19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：e e ch()2x xx -+=e e sh()2x xx --=sh(2)x =0x >sh()x x *22sh sh sh(2)sh(1)432(N )111tan121tan tan tan23n nn n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++>∈+成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）【15题答案】【答案】（1）； （2）.【16题答案】【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值； （2）.【17题答案】【答案】（1）（2）12年 （3）【18题答案】【答案】（1） （2）（i ）或；（ii ）证明略【19题答案】【答案】（1） （2），理由略 （3）证明略4348(],2-∞32n a n =-1(35)210n n T n +=-⋅+(0,1)(1,)+∞(1)1f =-2e a =-158002504n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭31142224n S n n =--++3y x =0m =21e 3em <≤-sh(2)2sh()ch()x x x =⋅sh()x x >。