2020高考数学一轮复习第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积分层演练文

套用相应的面积公式 .
2.(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理
.
(2) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用
.
【训练 1】 (1) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于
()
A.8＋ 2 2 C.14＋ 2 2
B.11 ＋2 2 D.15
(2)(2016 · 全国Ⅰ卷 ) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每 28π
到底面圆的距离为 OM＝12 .
∴底面圆半径
r＝
OA2 －
OM2 ＝
3 2
，故圆柱体积
V＝π· r2 · h＝ π ·
3 2
2 ×
1＝
3π 4
.
答案 B
5. (2018· 西安质检 ) 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示
(单
位：m)，则该四棱锥的体积为 ________m.3
A.20 π
B.24 π
C.28π
D.32 π
(2)(2017 · 全国Ⅰ卷 ) 某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视 图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形2，这些
3
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解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为
高为 3 m.
故该四棱锥的体积
1 V＝ 3×
2×
1×
3＝ 2 (m 3).
答案 2
2 m，高为 1 m 的平行四边形，四棱锥的
考点一 简单几何体的表面积
【例 1】 (1)(2016 · 全国Ⅱ卷 ) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体

第2讲 空间几何体的表面积与体积[基础题组练]1．(2020·嘉兴期中)某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.设球的半径为r ，则球的体积为 43πr 3，球的表面积为4πr 2. 因为球的体积与其表面积的数值相等， 所以43πr 3＝4πr 2，解得r ＝3.2．(2020·义乌模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2解析：选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.3．(2020·浙江高校招生选考试题)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后，得到如图(2)所示几何体，则该几何体的体积为( )A.34B.1724C.23D.12解析：选B.把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后，得到几何体的体积：V ＝V ABCD ­A 1B 1C 1D 1－V A ­A 1B 1D 1－V B ­A 1B 1C 1＋V N ­A 1B 1M＝1×1×1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22×22×12＝1724. 4．(2020·金华十校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C ．3πD ．3解析：选A.由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，故选A.5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．48＋πB ．48－πC ．48＋2πD ．48－2π解析：选A.该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S ＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.6．(2020·台州四校高三联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 上的动点，记四面体EFMC 的体积为V 1，多面体ADF ­BCE 的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.14B.13C.12D ．不是定值，随点M 位置的变化而变化解析：选B.由三视图可知多面体ADF ­BCE 是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a )，且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形，它们的边长均为a .因为点M 是AB 上的动点，且易知AB ∥平面DFEC ，所以点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离，为a ，所以V 1＝V E ­FMC ＝V M ­EFC ＝13×12a ·a ·a ＝a 36，又V 2＝12a ·a ·a ＝a32，故V 1V 2＝a 36a 32＝13，故选B. 7．(2020·宁波市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________ cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知，该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体．所以该几何体的体积＝34×12×43×π×13＝π2cm 3.表面积＝34×12×4π×12＋12×π×12＋34×π×12＝11π4 cm 2.答案：π2 11π48．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为________，正四棱锥的体积为________．解析：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图， 则该正四棱锥的正视图为三角形PEF (点E ，F 分别为AD ，BC 的中点)，因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以PB ＝PC ＝2，EF ＝AB ＝2，PF ＝3， 所以PO ＝ PF 2－OF 2＝3－1＝2，所以该正四棱锥的正视图的面积为12×2×2＝2；正四棱锥的体积为13×2×2×2＝423.答案： 24239．(2020·温州市高考模拟)已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为________，表面积为________．解析：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图，底面是一个边长为2的正方形，PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝2，其中点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 、PA ，所以几何体的体积V ＝13×2×2×2＝83，在△PEB 中，PB ＝PE 2＋BE 2＝5，同理可得PC ＝5，因为PE ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥CD ，因为CD ⊥BC ，BC ∩PE ＝E ，所以CD ⊥平面PBC ，则CD ⊥PC ， 在△PCD 中，PD ＝PC 2＋DC 2＝5＋4＝3， 同理可得PA ＝3，则PF ⊥AD ，在△PDF 中，PF ＝PD 2－DF 2＝9－1＝22，所以此几何体的表面积S ＝2×2＋12×2×2＋2×12×2×5＋12×2×22＝6＋25＋2 2.答案：836＋25＋2 210．已知球O 的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________．解析：设球的半径为R ，则4πR 2＝25π，所以R ＝52，所以球的直径为2R ＝5，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的表面积S ＝2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝50.答案：5011.如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积．解：如图，分别过点A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为点G 、H ，连接DG 、CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，所以S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，所以该多面体的体积V ＝V E ­ADG ＋V F ­BHC ＋V AGD ­BHC ＝13×24×12＋13×24×12＋24×1＝23. 12.如图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1.2－2r ， 所以塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1.2－2r ) ＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )．所以当r ＝0.4米时，S 有最大值，约为1.51平方米． (2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)． 制作灯笼的三视图如图[综合题组练]1．在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6πD.32π3解析：选B.由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.2．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)如图，已知在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝1，PA ·AC ＝1，∠ABC ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ≤π2，则四棱锥P ­ABCD 的体积V 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫26，13 B.⎝⎛⎦⎥⎤212，16C.⎝⎛⎦⎥⎤26，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫212，16 解析：选A.由已知，四边形ABCD 的面积S ＝sin θ， 由余弦定理可求得AC ＝2－2cos θ， 所以PA ＝12－2cos θ，所以V ＝13·sin θ2－2cos θ，所以V ＝26·sin 2θ1－cos θ＝26·1＋cos θ.所以当cos θ＝0，即θ＝π2时，四棱锥P ­ABCD 的体积V 的最小值是26； 当cos θ＝1，即θ＝0时，四棱锥P ­ABCD 的体积V 的最大值是13.因为0＜θ≤π2，所以P ­ABCD 的体积V 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫26，13. 3．(2020·浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3 cm 3，则正视图中的x 的值是________cm ，该几何体的表面积是________cm 2.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，13×12×(1＋2)×3x ＝3⇒x ＝2(cm)，侧面ADS ，CDS ，ABS 为直角三角形，侧面BCS 是以BC 为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为S ＝12[(1＋2)×3＋2×2＋3×2＋1×7＋2×7]＝53＋37＋42(cm 2)．答案：253＋37＋424．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．解析：由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，可得AC ＝23，要求四面体PBCD 的体积，关键是寻找底面三角形BCD 的面积S △BCD 和点P 到平面BCD 的距离h .易知h ≤2.设AD ＝x ，则DP ＝x ，DC ＝23－x ，S △DBC ＝12×(23－x )×2×sin 30°＝23－x2，其中x ∈(0，23)，且h ≤x ，所以V P ­BCD ＝13×S △BCD ×h ＝23－x 6×h ≤23－x 6·x ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x ＋x 22＝12，当且仅当23－x ＝x ，即x ＝3时取等号．故四面体PBCD 的体积的最大值是12. 答案：125．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，点P 为所在线段中点，点Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2， S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝ AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.6．已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，求此三棱柱的体积的最大值． 解：如图，设球心为O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，底面正三角形的边长为a ，则AO 1＝23×32a ＝33a .由已知得O 1O 2⊥底面，在Rt △OAO 1中，由勾股定理得OO 1＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝3·3－a23，所以V 三棱柱＝34a 2×2×3·3－a 23＝3a 4－a62，令f (a )＝3a 4－a 6(0＜a ＜2)，则f ′(a )＝12a 3－6a 5＝－6a 3(a 2－2)，令f ′(a )＝0，解得a ＝ 2.因为当a ∈(0，2)时，f ′(a )＞0；当a ∈(2，2)时，f ′(a )＜0，所以函数f (a )在(0，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减．所以f (a )在a ＝ 2 处取得极大值．因为函数f (a )在区间(0，2)上有唯一的极值点，所以a ＝ 2 也是最大值点．所以(V 三棱柱)max＝3×4－82＝1.。

第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式(1)正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2r＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R′＝2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；①外接球：球心是正四面体的中心；半径R＝64a；②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323cm 3 D.403cm 3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．(2018·云南省11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C.依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×3＝3. 一直角三角形的三边长分别为 6 cm ，8 cm ，10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．解析：旋转一周所得几何体为以245cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S ＝π×245×6＋π×245×8＝3365π(cm 2)． 答案：3365π cm 2(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π. 答案：14π空间几何体的表面积[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(2)(2018·合肥市第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.(2)由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故选A. 【答案】 (1)A (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．[通关练习]1．(2018·兰州市诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．(9＋5)πB ．(9＋25)πC ．(10＋5)πD ．(10＋25)π解析：选 A.由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S ＝π×12＋4×2π＋12×2π×5＝(9＋5)π.2．(2018·河南许昌月考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．9＋4(2＋5)B ．10＋2(2＋3)C ．11＋2(2＋5)D ．11＋2(2＋3)解析：选C.如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱．其表面积为2×2＋2×1＋2×2＋2×5＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12－1＝11＋2(2＋5)．空间几何体的体积(高频考点)空间几何体的体积是每年高考的热点，多与三视图结合考查，题型多为选择题、填空题，难度较小．高考对空间几何体的体积的考查常有以下两个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积．[典例引领]角度一 求简单几何体的体积(1)(补形法)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(等积法)如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1­EDF 的体积为________．【解析】 (1)法一：(补形法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二：(估值法)由题意，知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．(2)(等积法)三棱锥D 1­EDF 的体积即为三棱锥F ­DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VD 1­EDF ＝VF ­DD 1E ＝13×12×1＝16.【答案】 (1)B (2)16角度二 求组合体的体积(1)(分割法)(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 (2)(分割法)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．【解析】 (1)由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.(2)由题意知该几何体是由一个长方体和两个14圆柱体构成，其中长方体的体积V 1＝2×1×1＝2，两个14圆柱体的体积之和V 2＝14×π×12×1×2＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝2＋π2. 【答案】 (1)A (2)2＋π2[通关练习]1．(2018·昆明市教学质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．24πB ．30πC ．42πD ．60π解析：选A.由三视图知，该几何体是半径为3的半球与底面半径为3、高为4的半圆锥的组合体，所以该几何体的体积V ＝12×43π×33＋12×13π×32×4＝24π，故选A.2．如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________． 解析：法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ­ABC 和一个斜三棱柱BEF ­CHG .由题意，知V 三棱柱DEH ­ABC ＝S △DEH ×AD ＝(12×2×1)×2＝2，V 三棱柱BEF ­CHG ＝S △BEF ×DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半． 又正方体的体积V 正方体ABHI ­DEKG ＝23＝8， 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.答案：4球与空间几何体的接、切问题[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B. 3π4C. π2D. π4(2)(2018·河南省六市第一次联考)三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.253πB.252πC.833π D.832π 【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B. (2)由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6， 球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ， 设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2， 解得x ＝546，所以R 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π，故选D.【答案】 (1)B (2)D若本例(2)中的△ABC 变为边长为3的等边三角形．求三棱锥外接球的表面积． 解：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PC 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π.处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[通关练习]1．(2018·贵阳市检测)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500 π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：选C.依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8.2．设球O 内切于正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 半径为R ，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R ，又正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27数学文化与立体几何[典例引领](2018·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )A ．5 000立方尺B ．5 500立方尺C ．6 000立方尺D ．6 500立方尺【解析】 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F ­GBCH 与三棱柱ADE ­GHF 的体积之和．又可以将三棱柱ADE ­GHF 割补成高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺． 【答案】 A求解与数学文化有关的立体几何问题应过的三关(2018·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何 体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.处理空间几何体体积问题的思路(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出，并容易求解长度的高；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，还台为锥，这些都是拼补的方法．易错防范(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B.根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.2．(2018·湖北省七市(州)联考)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，底边长为4，腰长为3，则该几何体的表面积为( )A．6πB．8πC．10πD．12π解析：选C.根据三视图，可以看出该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径r为2，母线长l 为3，故该圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝π×2×(2＋3)＝10π，故选C.3．(2018·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，所以组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.4．(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．48＋πB ．48－πC ．48＋2πD ．48－2π解析：选A.该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S ＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.5．(2018·河南郑州一中押题卷二)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 上的动点，记四面体EFMC 的体积为V 1，多面体ADF ­BCE 的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.14 B.13 C.12D ．随点M 位置的变化而变化解析：选B.由三视图可知多面体ADF ­BCE 是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a )，且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形，它们的边长均为a .因为M 是AB 上的动点，且易知AB ∥平面DFEC ，所以点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离，为a ，所以V 1＝V E ­FMC ＝V M ­EFC ＝13×12a ·a ·a ＝a 36，又V 2＝12a ·a ·a ＝a 32，故V 1V 2＝a 36a 32＝13，故选B. 6．(2017·高考江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ，球O 的体积为V 2 ，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r 、高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr3＝32.答案：327．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4，3，1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1， 侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. 答案：388．(2018·山东日照模拟)现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________．解析：设球的半径为R ，正方体的棱长为a .由题意得当正方体体积最大时，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝R 2，所以R ＝62a ，所以所得工件体积与原料体积之比的最大值为a 312×43πR 3＝a 323π×⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝63π.答案：63π9.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积． 解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.10．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2， S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D ．1解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A BCD ，将其放在长方体中如图所示，其中BD ＝CD ＝1，CD ⊥BD ，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16.故选A.2．(2018·福建泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸．若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于( )A ．8πB ．18πC ．24πD ．86π解析：选C.设球的半径为R .多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)．两顶点之间的距离为2R ，底面是边长为2R 的正方形，由R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2R 22＝32⇒R 2＝6，故该球的表面积S ＝4πR 2＝24π.选C.3.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD ­A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403，则经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为________． 解析：设AA 1＝x ，则VABCD ­A 1C 1D 1＝VABCD ­A 1B 1C 1D 1－VB ­A 1B 1C 1＝2×2×x －13×12×2×2×x ＝403，则x ＝4.因为A 1，C 1，B ，D 是长方体的四个顶点，所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R ＝22＋22＋422＝6，所以球的表面积为24π. 答案：24π4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.答案：36π5.如图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)． (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8＝1.2－2r ，所以塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1.2－2r ) ＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )． 所以当r ＝0.4米时，S 有最大值，约为1.51平方米．(2)若灯笼底面半径为0.3米， 则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)． 制作灯笼的三视图如图．6.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求： (1)该几何体的体积； (2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2. 由直三棱柱性质及∠A1B 1C 1＝90°得V ＝VA 1B 1C 1­A 2B 2C ＋VC ­ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋（4－3）2＝5，BC ＝22＋（3－2）2＝5， AC ＝（22）2＋（4－2）2＝2 3.则S △ABC ＝12×23×（5）2－（3）2＝ 6.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第2讲空间几何体的表面积和体积基础知识整合1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是□01侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台和球的表面积和体积1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6 B．9C．12 D．18答案 B解析 由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC ＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×3×3＝9.故选B. 2．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD .由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S 底面＝12×(1＋2)×2＝3.直四棱柱的高为2，所以体积V ＝3×2＝6.故选C.3．(2019·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5答案 C解析 该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.故选C.4．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，则球的表面积和体积分别为________，________.答案 36π 36π解析 底面中心与C ′连线即为半径，设球的半径为R ，则R 2＝(6)2＋(3)2＝9.所以R ＝3，所以S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝43πR 3＝36π.5．如图所示，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．答案9π2解析 由题意知，DC 边的中点就是球心O ，因为它到D ，A ，C ，B 四点的距离相等， ∴球的半径R ＝12CD ，又AB ＝BC ＝3，∴AC ＝6，∴CD ＝AC 2＋AD 2＝3， ∴R ＝32，∴V 球O ＝4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.核心考向突破考向一 几何体的表面积例 1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π答案 B解析 根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S ＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.(2)(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( )A ．8＋42＋2 5B ．6＋42＋4 5C ．6＋22＋2 5D ．8＋22＋2 5答案 C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为5，可得这个几何体的表面积为6＋22＋25，故选C.触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.即时训练 1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π答案 C解析 由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S ＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．1＋2 2C ．2＋ 3D ．2 2答案 C解析 由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝ 2.取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，则AO ⊥CO ，AO ＝CO ＝1.由勾股定理得AC ＝2，因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形，由三角形面积公式得S △ABC ＝S △ACD ＝32，S △ABD ＝S △BCD ＝1，所以四面体的表面积为2＋ 3.故选C.考向二 几何体的体积角度1 补形法求体积例2 (1)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π 答案 B解析 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.(2)(2019·河北质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )A ．50B ．75C ．25.5D ．37.5答案 D解析 如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C 1－MNB 1A 1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCC 1MN 为剩余部分，因为AM ＝2，B 1C 1⊥平面MNB 1A 1，所以剩余部分的体积V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×5×5×5－13×3×5×5＝37.5，故选D.角度2 分割法求体积例 3 (1)(2019·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )A ．5000立方尺B ．5500立方尺C ．6000立方尺D ．6500立方尺答案 A解析 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F －GBCH 与三棱柱ADE －GHF 的体积之和．又可以将三棱柱ADE －GHF 割补成高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.(2)(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案 43解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴其体积为13×(2)2×1＝23，∴多面体的体积为43.角度3 转化法求体积例4 (1)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A －A 1EF 的体积是________．答案 8 3解析 由正三棱柱的底面边长为4，得点F 到平面A 1AE 的距离(等于点C 到平面A 1ABB 1的距离)为32×4＝23，则V 三棱锥A －A 1EF ＝V 三棱锥F －A 1AE ＝13S 三角形A 1AE ×23＝13×12×6×4×23＝8 3. (2)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案 14解析如图所示，由于D ，E 分别是边PB 与PC 的中点，所以S △BDE ＝14S △PBC .又因为三棱锥A －BDE 与三棱锥A －PBC 的高相等，所以V 1V 2＝14.触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.即时训练 3.(2019·安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为( )A ．π＋43B ．π＋2C ．2π＋43D ．2π＋2答案 A解析 由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故体积为12×π×12×2＋13×12×2×2×2＝π＋43.4．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．答案 16解析 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C上的点，所以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以V F －DD 1E ＝13×12×1＝16.5．如图，△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.求此几何体的体积．解解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN＝13×12×(1＋2)×6×8＝24， 则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.考向三 与球有关的切、接问题例5 (1)(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3答案 B解析 如图所示，点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 的中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 体积最大，此时，OD ＝OB ＝R ＝4.∵S △ABC ＝34AB 2＝93， ∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心， ∴BM ＝23BE ＝23，∴在Rt △OMB 中，有OM ＝OB 2－BM 2＝2. ∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6，∴(V 三棱锥D －ABC )max ＝13×93×6＝18 3.故选B.(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．答案 36π解析 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S －ABC 的体积 V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.触类旁通空间几何体与球切、接问题的求解方法(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.即时训练 6.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在以O 为球心的球面上，且∠BAC ＝3π4，AA 1＝BC ＝2，则球O 的体积为( ) A ．43π B ．8π C ．12π D ．20π答案 A解析 在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 所在的截面圆的半径为r ＝BC2sin ∠BAC ＝22sin3π4＝2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的半径为R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎪⎫AA 122＝22＋12＝3，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的体积为43πR 3＝43π.故选A.7．(2018·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为( )A.294B.192C.292D.29答案 A解析 由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球半径r ＝AA 12＝1，取AC ，A 1C 1的中点D ，E ，则外接球球心在DE 的中点O ，由A 1C 1＝5，AA 1＝2，得AC 1＝29，∴R＝OA＝292，S外S内＝4πR24πr2＝294，故选A.。