与一次函数有关的动点问题(修改后)

完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。

其中，△OAB边长为6个单位。

点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。

两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。

①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。

2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。

设点P、Q移动的时间为t秒。

1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。

若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。

它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。

设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。

1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。

证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。

9、一个一次函数的图象与直线 一次函数动点问题（一）1. 一次函数y=ax+b （ a 为整数）的图象过点（98, 19），交x 轴于（p,0 ）,交y 轴于（0, q ），若p 为质数，q 为 正整数，那么满足条件的一次函数的个数为 ____________ 。

2. 过点P （-1,3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以作 ________ 条3、 一次函数 y=ax+b ，若a+b=1 ，则它的图象必经过点 ______________________7 •当一1 <x <2时，函数y ax 6满足y 10，则常数a 的取值范围是 ___________________________4 .在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x — 3与y=kx+k 的交点为整数时，k的值可以取 _______________ y - ______5 .函数 ‘_勺适的自变量x 的取值范围是 _____________ 。

2kx a x bk6 .已知：不论k 取什么实数，关于 x 的方程1 （a 、b 是常数）的根总是 x = 1，试求a 、b 的36 值。

y 5x 95平行，与x 轴、y 轴的交点分别为 A 、B ，并且经过点（-1 , -25 ），则7.如图，在一次函数 y 3的图象上取点P,作PA 丄x 轴, PB 丄y 轴;垂足为B,且矩形OAPB 的面积为2 , 则这样的点P 共有多少个? 8、在平面直角坐标系中，有 求△ABE 的面积A (0 , 5),B ( 5 , 0),C (0 , 3 ), E4 4线段AB上（包括端点A、B ）横、纵坐标都是整数的点有C 、30分钟；D 、33分钟111、如图，直线L: y x 2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上 2有一点C ( 0 , 4 )，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。

动点产生的一次函数关系题型一：点运动的路程与面积之间的一次函数关系此类问题的两个难点：一、分类讨论思想，需要求出动点运动到不同位置时路程与所形成图形的面积之间的关系；二、用动点运动的路程来表示所需线段的长度． 另外，需要注意自变量的取值范围．【引例】 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）D.C.B.A.【解析】 B 【解析】PD C B A【例1】 如图，正方形ABCD 的边长是1，E 是CD 边上的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E ，若点P 经过的路程为x ，APE △的面积为y ，求y 与x 的关系式；并求当13y =时，x 的值等于多少？【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，长方形OABC 的顶点，A C 的坐标分别为()()3005，，，．⑴ 直接写出点B 的坐标；⑵ 若过点C 的直线CD 交AB 边于点D ，且把长方形OABC 的周长分为1:3两部分，求直线CD 的解析式；⑶ 设点P 沿O A B C →→→的方向运动到点C （但不与点，O C 重合），求△OPC 的面积y 与点P 所行路程x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．【例3】 如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，沿A →B →C →D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请写出y 与x 之间的函数关系式 ．D题型二：动点的坐标与面积之间的一次函数关系此类问题的两个难点：一、根据已知直线的解析式表示动点坐标；二、用动点及已知点的坐标来表示所需线段的长度；三、根据动点所处不同位置进行分类讨论．另外，需要注意自变量的取值范围．【例4】已知四条直线3y=-，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．y mx=-，1题型三：一次函数与“将军饮马”问题【引例】【引例】【引例】【引例】 已知直线12y x b =+经过点A （4，3），与y 轴交于点B .⑴ 求B 点坐标；⑵ 若点C 是x 轴上一动点，当AC BC +的值最小时，求C 点坐标.【解析】 ⑴ 将点()43A ，代入解析式中，解得1b = ∴()01B ，⑵ 点B 关于x 轴的对称点'B 的坐标为()01-，， 设直线'AB 的解析式为y kx b =+，依题意得341k b b =+⎧⎨-=⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩∴直线'AB 的解析式为1y x =-，与x 轴的交点即为C 点，坐标为()10，. 【例5】 已知点A （1，2）和B （3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标：⑴在x 轴上找一点C ，使得AC +BC 的值最小； ⑵在y 轴上找一点C ，使得AC +BC 的值最小； ⑶在直线y =x 上找一点C ，使得AC +BC 的值最小；⑷在y 轴、y =x 上各找一点M 、N ，使得AM +MN +NB 的值最小．【例6】 已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点()P x y ，在直线6y x =-上运动，且0x >，0y <.⑴根据题意，画出直线122y x =-，直线6y x =-（不写画法）；⑵求四边形AOBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围.题型一 点运动的路程与面积之间的一次函数关系 巩固练习【练习1】如图1，边长为2的正方形AOCD 中，M 是AD 边的中点，点P 从O 出发，按O C D M →→→的顺序运动，设点P 经过的路程为x ，OPM △的面积为y ， ⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式； ⑵ 当 1.5y =时，求P 点的坐标.【练习2】如图1，边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标为()02，，一次函数y x t =+的图象l 随着t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 与正方形的边围成的图形面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（关系式不用化简）.题型二 动点的坐标与面积之间的一次函数关系 巩固练习【练习3】已知一次函数图象经过点()35A ，和点()49B --，两点， ⑴求此一次函数的解析式；⑵若点（a ，2）在该函数的图象上，试求a 的值．⑶若此一次函数的图象与x 轴交点C ，点P (m ，n )是图象上一个动点（不与点C 重合），设△POC 的面积是S ，试求S 关于m 的函数关系式．【练习4】如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是1=y x 和2=2+6y x -，动点()0P x ，在OB 上运动()03x <<，过点P 作直线m 与x 轴垂直.⑴求点C 的坐标，并回答当x 取何值时12> y y ；⑵设COB △中位于直线m 左侧部分的面积为S ，求出S 与x 之间的函数关系式；⑶当x 为何值时，直线m 平分COB △的面积？题型三 一次函数与“将军饮马”问题 巩固练习【练习5】在平面直角坐标系中，若A 点的坐标是()21，，B 点的坐标是()43，，在x 轴上求一点C ，使得CA CB +最短，则C 点的坐标为 .。

教材母题：动点与图形面积问题点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA 的面积为S（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，画出函数图象。

（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？（3）△OPA的面积能大于24吗？为什么？教材母题变式一：动点与特殊几何图形问题点P（x，y）在第一象限，且在一次函数y=-x+8的图象上，点A的坐标为（6，0）。

（4）若点B的坐标为（8，0）当△ABP为直角三角形时，求出点P的坐标。

再变：①833+-=xy②△ABP为等腰三角形教材母题变式二：动点与最短路径问题点P（x，y）在第一象限，且在直线y=-x+8上，点A的坐标为（6，0），（5）当AP+OP最短时，求出点P的坐标与最短距离。

教材母题变式三：动点与分段函数问题点P（x，y）是一次函数y= - x+8图象上任意一点，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S，求s关于x的函数解析式，并画出函数图象。

教材母题变式四：含参数的动点问题点P（x，8）在第一象限，点A的坐标为（6，0），过点P作直线y=x+b 交线段OA 于E，设△OPE的面积为S ，求S关于b的函数关系式及自变量b的取值范围。

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m(m＞0)的图象，直线PB是一次函数y=-3x+n(n＞m)的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数; 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m(m＞0)的图象，直线PB是一次函数y=-3x+n(n＞m)的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.(3)在(2)的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由.。