一次函数动点问题
，大致内容如下：古希腊“将军饮马问题”1．模型介绍：古希腊有一个著名的营，再到河，他总是先去AA一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营、B①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和营，如图边饮马，之后再去B最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
就是所求，点CAB′与直线l交于点C如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
，B′C′，连接AC′，BC′，（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′上lC，C′在∵直线l是点B，B′的对称轴，点
CB=，C′B=∴
．∴AC+CB=AC+CB′=
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．
求EF+FB的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关第1页（共18页）
FB 的最小值就是线段的AC于直线AC对称，连结ED交于F，则EF+长度，EF+FB的最小值
是．
如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．
第2页（共18页）
2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，
①求此一次函数的解析式；
②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．
③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．
3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上
（1）求此一次函数的表达式和m的值？
（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．
第3页（共18页）
4．已知：一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．OAP△
页）18页（共4第
．阅读下面的材料：5
下面就两个一次函数的图象所确在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．）的图象为≠0x+b（k定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k111，b=k，且b≠（bk≠0）的图象为直线l，若k，一次函数直线ly=kx+222212121互相平行．l 我们就称直线l与直线21解答下面的问题：
l，3）且与已知直线的图象为直线l，求过点P（1）已知正比例函数（1y=﹣x11
的函数表达式；平行的直线l2两平行线之间的距离；lB，求l和、l（2）设直线分别与y轴、x轴交于点A212点的坐标为QB的最小值时Q ．上一动点，求）若（3Q为OAQP+
（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）
第5页（共18页）
6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=kx+b（k≠0）的直线为l，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为2111212直线l．若k?k=﹣1，我们就称直线l与直线l相互垂直，现请解答下面的21221
﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1问题：已知直线l与直线y=，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；
（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．
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一次函数动点问题
参考答案与试题解析
小题）一．解答题（共6
，大致内容如下：古希腊一”“1．模型介绍：古希腊有一个著名的将军饮马问题营，再到河边A位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最饮马，之后再去B营，如图短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
就是所求交于点lC，点C如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
，BC′，B′C′AC′1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接，（上在lC′B，B′的对称轴，点C，l∵直线是点
C'B'CB=CB'，C′B=∴
．AB'AC+CB=AC+CB′=∴
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
第7页（共18页）
）模型应用2（
上一动点．是AC为AB的中点，FABCD如图④，正方形的边长为2，E
的最小值+FB求EF
关D分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与DE的最小值就是线段的长F于直线AC对称，连结ED交AC于，则EF+FB
度，EF+FB的最小值是．
如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在；直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2
如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．
【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
∴CB=CB'，C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；
（2）模型应用
①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F
则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．
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在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°
∵点E是AB中点，
∴AE=1，
DE=根据勾股定理得，，
，+FB的最小值即：EF
；，故答案为：DE
②如图⑤，
由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的
最小值就是线A'BE的长度，
∴∠AOD=∠A'OD=60°
是B的中点，∵点
BOD=∠AOD=30°AOB=∠，∴∠
∴∠A'OB=90°
∵⊙O的直径为4，
∴OA=OA'=OB=2，
A'B=2中，，在Rt△A'OB
．2的最小值是∴BP+AP
，2故答案为
③如图⑥，
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，轴于PC'D交y与由平面坐标系中的对称性可知，CC'关于直径y轴对称，连结的长度，的最小值就是线C'DPC+PD则
两点，，By轴分别交于A2x+4的图象与x，∵一次函数y=﹣
，）0，4，0），B（∴A（2
，）1，20），D（∴C（1，
轴对称，yC'关于直径∵C与
，），0∴C'（﹣1