(完整版)一次函数动点问题

一次函数动点问题

1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．

请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．

（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，

∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上

∴CB=，C′B=

∴AC+CB=AC+CB′=．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小

归纳小结：

本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．

（2）模型应用

如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．

求EF+FB的最小值

分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关

于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．

如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．

2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，

①求此一次函数的解析式；

②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．

③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点

C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．

3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上

（1）求此一次函数的表达式和m的值？

（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．

4．已知：一次函数图象如图：

（1）求一次函数的解析式；

（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S

=2，求点P的坐标．

△OAP

5．阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．

解答下面的问题：

（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；

（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）

6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．

（1）求直线l的函数表达式；

（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；

（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；

（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．

一次函数动点问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共6小题）

1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．

请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．

（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，

∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上

∴CB=CB'，C′B=C'B'

∴AC+CB=AC+CB′=AB'．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小

归纳小结：

本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．