圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】

学好圆锥曲线的关键1、牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。

2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。

后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。

当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。

3、思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。

老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。

大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。

一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（ x 2 ，y 2 ），直线方程为y=kx+b。

二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。

走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。

例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。

4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x 1 ，y 1 ），B（ x 2 ，y 2 ）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。

高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。

例2、方程表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2、双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题例1、已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 的曲线：(1)是椭圆; (2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题1、椭圆焦点三角形面积2tan2αb S = ；双曲线焦点三角形面积2cot2αb S =2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12=α，求证：△F 1PF 2的面积为b 22tan α。

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+例2、双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；例4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：∆>0⇔相交∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离 3、弦长公式：=AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=211 4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、伟达定理： 2、点差法：（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB 被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2/2，求椭圆的方程。

圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ==== 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v ∙=4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。

常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题） 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m+=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22:14x y C m+=始终有交点，14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，） :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识:1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。

2、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。

3、两条直线垂直:则两条直线垂直，则直线所在的向量4、韦达定理:若一元二次方程有两个不同的根，则。

常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二:弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七:弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九:四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题:（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围解：根据直线的方程可知,直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。

规律提示:通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(—1,0）作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形，若存在,求出;若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得①由直线和抛物线交于两点，得即②由韦达定理,得：。

则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：令y=0，得,则为正三角形，到直线AB的距离d为.解得满足②式此时。

题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1（—2，0)，A2（2，0).(I）求椭圆的方程；(II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率,,则得。

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ==== 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v •=4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22:14x y C m+=14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，） :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

圆锥曲线与圆、向量的综合题型一 圆与圆锥曲线的综合圆锥曲线的综合问题是每年高考的必考内容，其中涉及圆锥曲线的综合问题中多数情形下都有一个“伴随圆”，由圆的相关运动引出关联的圆锥曲线，或者通过圆来“生成”相关的几何性质，如2019年全国卷ⅡT11，以两圆相交得到相关几何量来解双曲线的离心率，2019年全国卷ⅢT21(2)，以直线与圆相切为条件求解四边形的面积.[典例1] 设D 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |＝3|ED |.当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程．(2)已知点P (2,3)，过F (2,0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M .判定直线PA ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．[解题观摩] (1)设Q (x ，y )，D (x 0，y 0)， ∵2|EQ |＝3|ED |，Q 在直线m 上， ∴x 0＝x ，|y 0|＝⎪⎪⎪⎪23y . ∵点D 在圆x 2＋y 2＝16上运动，∴x 20＋y 20＝16，∴曲线C 的方程为x 2＋43y 2＝16，即x 216＋y 212＝1. (2)直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下：由(1)知椭圆C ：3x 2＋4y 2＝48，易知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线PA ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 则有x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，可知M 的坐标为(8,6k )．∴k 1＋k 3＝y 1－3x 1－2＋y 2－3x 2－2＝k (x 1－2)－3x 1－2＋k (x 2－2)－3x 2－2＝2k －3·x 1＋x 2－4x 1x 2＋4－2(x 1＋x 2)＝2k －3·－12－36＝2k －1， ＝2·6k －38－2＝2k －1.2k 2∴k 1＋k 3＝2k 2.故直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．[关键点拨]1．遇到求轨迹方程问题，想到求轨迹方程的几种方法，如直接法、相关点法(代入法)、定义法等．2．遇到探索性问题，想到求解探索性问题的基本方法，即先判断结论，再进行论证． 3．遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，想到“联立方程→消元→根与系数关系”的思维步骤．[针对训练]1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM ―→⊥AB ―→，而EM ―→＝(t ，t 2－2)， AB ―→与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3； 当t ＝±1时，S ＝4 2.所以四边形ADBE 的面积为3或4 2. 题型二 向量在圆锥曲线中的渗透平面向量作为解题工具在解析几何中有广泛的应用，通过向量形式给出题目条件，体现向量在圆锥曲线中的渗透，也是高考设置综合题的一个特色，如2019年全国卷ⅠT19(2)，利用向量相等求弦长|AB |的值，2018年全国卷ⅢT20(2)，题中给出条件FP ―→＋FA ―→＋FB ―→＝0，证明|FA ―→ |，|FP ―→|，|FB ―→|成等差数列等．解答此类问题除对知识熟练外，还要具备很强的知识间的交汇和迁移变通能力.[典例2] (2020·临沂调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (－2,1)，且右焦点为F (3， 0)．(1)求椭圆的方程；(2)过N (1, 0)且斜率存在的直线AB 交椭圆C 于A ，B 两点，记t ＝MA ―→·MB ―→，若t 的最大值和最小值分别为t 1和t 2，求t 1＋t 2的值．[解题观摩] (1)由右焦点为F (3， 0)，知c ＝3， 所以b 2＝a 2－3.则椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，且a 2>3.❶又椭圆经过点M (－2,1)，所以4a 2＋1a 2－3＝1，注意到a 2>3，得a 2＝6. 故椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 26＋y 23＝1，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0， 因为点N 在椭圆内部，❷所以Δ>0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－61＋2k2，则t ＝MA ―→·MB ―→＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5，❸ 把x 1＋x 2，x 1x 2代入上式得t ＝(1＋k 2)2k 2－61＋2k 2＋(2－k 2－k )·4k 21＋2k2＋k 2＋2k ＋5＝15k 2＋2k －11＋2k 2，所以(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ，则Δ1＝22＋4(15－2t )(t ＋1)≥0， 即2t 2－13t －16≤0，由题意知，t 1，t 2是方程2t 2－13t －16＝0的两根，❹ 所以t 1＋t 2＝132.[关键点拨]1．遇到求椭圆标准方程问题，想到定义法或待定系数法，想到二元一次方程组的解法． 2．遇到向量数量积问题，想到向量的坐标表示，向量相等的条件，向量数量积的坐标运算公式．3．遇到最值问题，想到构造函数求最值或运用基本不等式求最值，或将问题转化为其他相关知识求解，如本题就是将最值转化为一元二次不等式求解．[针对训练]2．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，D (0,2)为椭圆C 短轴的一个端点，F 为椭圆C 的右焦点，线段DF 的延长线与椭圆C 相交于点E ，且|DF |＝3|EF |.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为－32，求OA ―→·OB ―→的取值范围．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点F (c,0)，∵D (0,2)为椭圆C 短轴的一个端点， ∴b ＝2，∵|DF |＝3|EF |，∴E ⎝⎛⎭⎫4c 3，－23， ∴16c 29a 2＋19＝1， 即a 2＝2c 2，又c 2＝a 2－4，∴a 2＝2(a 2－4)，解得a 2＝8， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)∵k OA ·k OB ＝－32＜0，设k OA ＝k ≠0，则k OB ＝－32k，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－32， 即y 1y 2＝－32x 1x 2，∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝－12x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 可得x 2＋2k 2x 2＝8，即x 21＝82k 2＋1. 同理：x 22＝82⎝⎛⎭⎫－32k 2＋1＝16k 22k 2＋9，∴x 21x 22＝8×16k 24k 4＋20k 2＋9＝8×164k 2＋9k2＋20≤8×1624k 2·9k2＋20＝8×1612＋20＝4， 当且仅当4k 2＝9k 2，即k ＝±62时取等号，∴－2≤x 1x 2≤2，且x 1x 2≠0， ∴－1≤－12x 1x 2≤1，且－12x 1x 2≠0，故OA ―→·OB ―→的取值范围为[－1,0)∪(0,1]．[课时跟踪检测]1.已知椭圆方程为x 24＋y 2＝1，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2.(1)求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；(2)如图，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，|PC |＝(x －1)2＋y 2＝ 34x 2－2x ＋2 ＝ 34⎝⎛⎭⎫x －432＋23，由－2≤x ≤2可知，当x ＝43时，|PC |min ＝63.(2)当直线AB 斜率不存在且与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0),由⎩⎨⎧x 214＋y 21＝1，x224＋y 22＝1，两式相减，整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 04y 0. 又k MC ＝y 0x 0－1，k MC ·k AB ＝－1， 则k MC ·k AB ＝－x 04y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝43， 由M 在椭圆内部，则x 204＋y 20＜1，解得y 20＜59， 所以r 2＝(x 0－1)2＋y 20＝19＋y 20，所以19＜r 2＜23， 解得13＜r ＜63.所以半径r 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，63. 2．已知抛物线C ：x 2＝2y ，P 是C 的准线l 上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)当P 点在y 轴上时，求切线PA ，PB 的方程；(2)设圆M 是△PAB 的外接圆，当圆M 的面积最小时，求圆M 的方程． 解：(1)抛物线C ：x 2＝2y ，准线l 的方程y ＝－12，∵P 点在y 轴上，∴P ⎝⎛⎭⎫0，－12， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜0，x 2＞0，由y ＝12x 2，求导y ′＝x ，∴k PA ＝y 1＋12x 1＝x 212＋12x 1＝x 1，解得x 1＝－1，∴切线PA 的方程为y ＋12＝－(x －0)，即2x ＋2y ＋1＝0，同理可得切线PB 的方程为2x－2y －1＝0.(2)如图，设点P ⎝⎛⎭⎫t ，－12， 设过点P 与抛物线C ：x 2＝2y 相切的直线方程为y ＋12＝k (x －t )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －t )，x 2＝2y ⇒x 2－2kx ＋2kt ＋1＝0，Δ＝4k 2－4(2kt ＋1)＝0⇒4k 2－8kt －4＝0，∴k 1k 2＝－1，即切线PA ，PB 互相垂直．即△PAB 是直角三角形，△PAB 的外接圆直径为弦AB . 当圆M 的面积最小时，即是AB 最短时，|AB |min ＝2p ＝2，此时AB 垂直y 轴，△PAB 的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫0，12， 圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.3．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM ―→＝λ，QN ―→＝μQO ―→，求证：1λ＋1μ为定值． 解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2. 直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM ―→＝λQO ―→，QN ―→＝μQO ―→，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．4．已知点E 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C的右焦点F 2，与y 轴相交于A ，B 两点，且△ABE 是边长为2的正三角形．(1)求椭圆C 的方程； (2)已知圆：x 2＋y 2＝185，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，试判断|PM |·|PN |是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．解：(1)由题意可知EF 2⊥x 轴，则E ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， 又△ABE 是边长为2的正三角形，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，b 2a ＝|AE |＝2，解得a 2＝9，b 2＝6， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.(2)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x ＝185，由(1)知，M ⎝⎛⎭⎫ 185， 185，N ⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， OM ―→＝⎝⎛⎭⎫185， 185，ON ―→＝⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， ∴OM ―→·ON ―→＝0，∴OM ⊥ON ，此时|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝kx ＋m . 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则|m |k 2＋1＝ 185， 即5m 2＝18(k 2＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 26＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－18＝0，得Δ＞0，x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－182＋3k 2.∵OM ―→＝(x 1，y 1)，ON ―→＝(x 2，y 2)，∴OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)·3m 2－182＋3k 2＋km ·－6km 2＋3k 2＋m 2＝5m 2－18k 2－182＋3k 2＝18k 2＋18－18k 2－182＋3k 2＝0，∴OM ⊥ON ，∴|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185. 综上所述，|PM |·|PN |＝185为定值． 5．(2020·潮州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A (2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且AC ―→·BC ―→＝0，|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上不重合的两点且异于A ，B ，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．解：(1)∵AC ―→·BC ―→＝0，∴∠ACB ＝90°， ∵|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|，即|BC ―→|＝2|AC ―→|， ∴△AOC 是等腰直角三角形，∵A (2,0)，∴C (1,1)，∵点C 在椭圆上，∴1a 2＋1b 2＝1，又a ＝2，∴b 2＝43，∴所求椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.(2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于x ＝1对称，k PC ＝k ，则k CQ ＝－k ，∵C (1,1)，∴PC 的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，① QC 的直线方程为y ＝－k (x －1)＋1，②将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0，③∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根， ∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2，以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1.∴k PQ ＝k (x P ＋x Q )－2k x P －x Q＝13， ∵∠ACB ＝90°，A (2,0)，C (1,1)，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴A (2,0)，B (－1，－1)，∴k AB ＝13，∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ， ∴存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→， |PQ ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22＝1609k 2＋1k2＋6≤2303，当9k 2＝1k 2时，即k ＝±33时取等号，又|AB ―→|＝10，λmax ＝230310＝233，∴λ取得最大值时的PQ 的长为2303.。

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ==== 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-两条直线垂直，则直线所在的向量120v v ⋅=r r4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，） :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=uu u r uu u r ，2BC AC =uu u r uu u r ，如图。

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利用向量解决圆锥曲线相关问题的常见题型作者：姜登凯
来源：《新校园·学习版》2009年第06期
纵观近年高考考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题，多出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中高档题。

本文小结了利用向量解决圆锥曲线相关问
题的常见题型，希望能对同学们有帮助。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切•直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：(1)直线的斜率不存在，直线的斜率存在(2)联立直线和曲线的方程组；(3)讨论类一元二次方程(4)一元二次方程的判别式(5)韦达定理，同类坐标变换(6)同点纵横坐标变换(7)x,y , k(斜率)的取值范围(8)目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：x=xι x2,y=yι y2,其中X I y 是点A(x1,y1), B(x2,y2)的中2 2点坐标。

2、弦长公式：若点A(x1, y1), B(x2,y2)在直线y = kx b(k = 0) 上, 则y1=kX1 ∙ b, y2 = kx2 b ,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB=J(X1 —X2)2 +(% -y?)2=J(X1 —X2)2 +(kX1 —kx?)2=J(1 + k2)(X1 —X2)2= .(1 k2)[(X1 X2)2 -4x1X2]或者I AB=J(X —X2)2+(% —y2)2=、丿(1为—*x2)2+(y1 —y2)2=』(1+右)(％-丫2)2 s(1T2)[(y1 y2)2-4y"]。

V k3、两条直线I1: y = k1x b1,l2: y = k2x b2垂直：则k1k2= -1两条直线垂直，则直线所在的向量V If2 =04、韦达定理：若一元二次方程ax2bx 0(a = 0)有两个不同的根x1, X2,则b CX1 十X2 = ——, X1X2 = —, X1 -X2a aa常见题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系2 2例题1、已知直线l : ^ kx 1与椭圆C :― L =1始终有交点，求m的取值范围4 m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点（0, _._帝）,且m = 4。