圆锥曲线_利用向量转化几何条件

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。

如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。

〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。

〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。

线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。

AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。

【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

专题14 解析几何解题技巧—巧施转化，柳暗花明一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a +=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆． (5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程b y x a=±. 7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =. 三．【题型归纳】（一）利用向量转化几何条件 （二）面积条件的转化 （三）弦长的转化 （四）角平分线的转化 四．【题型方法】（一）利用向量转化几何条件例1．如图，已知满足条件3z i i -=（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 上的对应点(),Z x y 的轨迹为圆C （圆心为C ），定直线m 的方程为360x y ++=，过()1,0A -斜率为k 的直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P Q 、两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；（2）当PQ =l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）1x =-或4340x y -+=；（3）t 为定值且5t =- 【解析】（1）证明如下： 因为33z i i -=，所以()22:34C x y +-=，所以圆心()0,3C ，半径2R =；又因为()1,0A -，所以()30301l k -==--且13m k =-，所以1l m k k ⋅=-，所以l 与m 垂直；（2）当直线l 的斜率不存在时，:1l x =-，此时2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()244112PQ =⨯-=，所以3PQ =当l 的斜率存在且为k 时，():1l y kx =+，2321k d R k -==+，所以22223PQ R d =-=43k =，此时:4340l x y -+=； 综上：直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=；（3）当直线l 的斜率不存在时，可知：()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，所以()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，所以5t AM AN =⋅=-u u u u r u u u r，即5t =-；当直线l 的斜率存在且为k 时，设():1l y k x =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩可得：()()2222126650k x kk x k k ++-+-+=，所以2122321M x x k k x k +-+==+，()22311M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，所以222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭u u u u r ；又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩可得：365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，所以55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r ，故()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++u u u u r u u u r， 综上可知：t 为定值，且5t =-.练习1．已知1F 、2F 分别是椭圆2214xy +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ∈⋅u u u v u u u v _________.【答案】[]2,1-【解析】由椭圆2214x y +=知，焦点1(F，2F ，设(,),22P x y x -≤≤，则()22122221(,),)3384134PF PF x y x x x x y y x ⋅=-⋅-=+-==+---u u u r u u u u r ，22x -≤≤Q ，204x ∴≤≤，故12[2,1]PF PF ⋅∈-u u u r u u u u r，故答案为：[]2,1-练习2．已知椭圆：()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为()1,0,F M 点的坐标为()0,b ，O 为坐标原点，OMF ∆是等腰直角三角形.（1）求椭圆Γ的方程；（2）经过点()0,2C 作直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值；（3）是否存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，使点F 为PQM ∆的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2（3）43y x =-.【解析】（1）由OMF ∆是等腰直角三角形，可得1,b a ===故椭圆方程为2212x y +=；（2）设过点()0,2C 的直线AB 的方程为2y kx =+，,A B 的横坐标分别为,A B x x ， 将线AB 的方程为2y kx =+代入椭圆方程， 消元可得222(1+2)860,16240k x kx k ++=∆=->，∴232k >， 2286,1212A B A B k x x x x k k∴+=-=++，A B x x ∴-== 令2k t =，则3,2A B x x t >-=令32u t =-，则0,A B u x x >-==（当且仅当2u =时取等号）又AOB ∆面积122A B A B x x x x =⨯⨯-=-，∴△AOB 面积的最大值为2； （3）假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，且使点F 为PQM ∆的垂心， 设()()1122,,,P x y Q x y ，因为(0,1),(1,0)M F ，所以1PQ k =．于是设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程， 消元可得2234220x mx m ++-=．由>0∆，得23m <，且21212422,33m m x x x x -+=-=, 由题意应有0MP FQ ⋅=u u u r u u u r，所以()()1221110x x y y -+-=，所以()212122(1)0x x x x m m m ++-+-=．整理得222242(1)033m mm m m -⨯--+-=．解得43m =-或1m =． 经检验，当1m =时，PQM ∆不存在，故舍去． ∴当43m =-时，所求直线l 存在，且直线l 的方程43y x =-练习3．已知点12F F 、为椭圆的两个焦点，其中左焦点()13,0F -的坐标为，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，P 为椭圆上一点。

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。

(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

圆锥曲线的基本性质与应用圆锥曲线是平面上一类重要的几何图形，具有许多重要的性质和应用。

在本文中，我们将介绍圆锥曲线的基本性质、如何描述圆锥曲线、圆锥曲线在数学和自然科学中的应用等方面。

一、圆锥曲线的基本性质圆锥曲线是由一个可旋转的直角三角形通过旋转而产生的。

这个过程形成了三种类型的圆锥曲线：椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是一种具有中心对称性的圆锥曲线，它的两个焦点之间的距离是一定的，被称为椭圆的长轴。

椭圆的轴比是轴的长度之比，通常用e表示，并且e总是小于1。

椭圆在数学、物理和天文学中都有着广泛的应用，如描述行星轨道和电子轨道等。

双曲线也是一种具有中心对称性的圆锥曲线，但是它的两个焦点之间的距离却是一定的，被称为双曲线的轴。

双曲线的轴比是轴的长度之比，它总是大于1。

双曲线在数学、物理和天文学等领域中也有很多应用，如描述分子结构和测量天体距离等。

抛物线是一种只有一个焦点的圆锥曲线，它的轴是与曲线平行的直线。

抛物线在物理学中也有广泛的应用，如描述空气力学中的运动情况和设计天文望远镜等。

二、描述圆锥曲线的方式描述圆锥曲线的方式有很多种，其中最常见的是使用方程或参数来描述。

方程描述圆锥曲线通常用矩阵和向量的形式表示，而参数描述则需要指定曲线上的点的位置。

参数的方式是使用一个参数方程来描述曲线，其中曲线上的点可通过参数t计算得到。

例如，椭圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = bsin(t)其中a、b分别是椭圆长轴和短轴的长度，t是椭圆上的点的参数。

三、圆锥曲线在数学和自然科学中的应用圆锥曲线在数学和自然科学中有许多应用。

在数学领域，椭圆曲线通常用于数论、代数几何和密码学等领域，而双曲线曲线则常用于微积分、微分几何和流体力学等领域。

抛物线曲线也经常用于机械学和空气力学等领域。

在自然科学领域，圆锥曲线同样有着广泛的应用。

例如，椭圆曲线可用于描述行星轨道、电子轨道和分子结构等，在物理学和化学中具有重要作用。

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。

利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。

例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。

首先联立方程组，得到两个交点的坐标。

然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。

最后利用XXX定理求解，得到a的值。

二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。

设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。

根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。

然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。

最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。

已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。

解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。

则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。

圆锥曲线定义的向量形式
圆锥曲线（conic section）是一种二维曲线，是生成空间曲线的基础，它可以作为空间曲线的方程映射出来。

当一个三维曲线被一个扁平平面截断时，其顶点就会在这个平面上形成一条曲线，称为圆锥曲线。

它具有高度的对称性，它可以被定义为一系列向量（vector）的形式。

圆锥曲线可以定义为一组向量，向量形式可以用三维空间里的向量表示，即（x，y，z）。

每个向量描述了曲线的形状，它的方向和大小，其中x轴代表水平方向，y轴代表截断平面上的垂直方向，而z轴代表曲线的高度。

曲线的圆心是由向量（a，b，c）的点表示的，a和b代表水平上的圆心位置，而c代表垂直上的圆心位置。

通过指定曲线的向量来定义，可以很容易地确定曲线的方向和大小，而且它不受三维曲线的扭曲影响。

通过具体的向量分析可以很有效地解决寻找圆锥曲线的问题。

例如，如果从曲线某处已知曲线的方向，那么就可以通过计算这个点处曲线的向量来确定曲线的弧度和大小。

由于圆锥曲线的功能多样丰富，它可以应用于许多方面，比如在制图学中，可以使用圆锥曲线来在地图上表示地势，以及用圆锥曲线表示三维对象。

总之，圆锥曲线可以通过向量表示出来，它具有高度的对称性，而且可以应用于许多方面，如地图、三维曲线等。

使用向量表示可以有效地解决寻找曲线方程的问题，这种方法的优点是可以快速地定位出曲线的位置和曲率。

学好圆锥曲线的几个关键点1核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。

2计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。

后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。

当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。

3拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。

老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。

大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。

一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。

二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。

走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。

例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。

总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。

4圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。

三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。

四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。

首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。

接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。

在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。

最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。

通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。

【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。

根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。

它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。

椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。

圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。

掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。

在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。

1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。

基金项目:甘肃省教育科学 十四五 规划2021年度一般课题 数学运算素养下解析几何解题教学的实践研究 (课题立项号:G S [2021]G H B 0122)用向量形式的角平分线性质解圆锥曲线问题甘肃省兰州市第六中学 焦永垚 (邮编:730060)摘 要 文章先给出一个向量形式的角平分线性质,然后以几道圆锥曲线试题为例,介绍了此性质在解决以角平分线为背景的圆锥曲线问题中的应用.关键词 角平分线;向量;圆锥曲线文献[1]中给出了一个向量形式的角平分线充要条件:若点K 在øB A C 的平分线上,则A K ң=k (A B ң|A B ң|+A C ң|A C ң|),反之也成立[1].由此充要条件,很容易得到如下性质:性质 若A K ң=m A B ң+n A C ң,则A K 平分øB A C 的充要条件是m |A B ң|=n |A C ң|[2].经笔者研究发现,运用此性质解决圆锥曲线中与角平分线有关的问题,思路新颖,解法独特,能收到意想不到的效果,下面举例说明.例1(2021年 八省联考 第21题)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,动点B 在C 上,当B F ʅA F 时,|A F |=|B F |.(1)求C 的离心率;(2)若点B 在第一象限,证明:øB F A =2øBA F .解析 (1)e =2.图1(2)由(1)可知c =2a ,故A (-a ,0),F (2a ,0),且b 2=3a 2,则双曲线C 的方程可化为3x 2-y 2=3a 2.如图1,设A B 与C 的右准线x =a2相交于点P ,易知右准线x =a2垂直平分线段A F ,所以øB A F =øP F A ,因此要证明øB F A=2øB A F ,可转化为证明F P 平分øB F A .设B (m ,n )(m >0,n >0),则直线A B 的方程为y =n m +a (x +a ),可得P (a 2,3a n 2(m +a )).设F P ң=λF B ң+(1-λ)F A ң,即(-3a 2,3a n 2(m +a ))=λ(m -2a ,n )+(1-λ)㊃(-3a ,0)=(λ(m +a )-3a ,λn ),可得λ=3a 2(m +a ),于是λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=9a 24(m +a )2[(m -2a )2+n 2]-[1-3a 2(m +a )]2㊃9a 2=9a 24(m +a )2㊃(-3m 2+n 2+3a 2),又由点B (m ,n )在双曲线C 上可得3m 2-n 2=3a 2,从而λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=0,即λ|F B ң|=(1-λ)|F A ң|,故F P 平分øB F A ,所以øB F A =2øB A F .例2(2018年全国Ⅰ卷理科第19题)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)过l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:øO MA =øO M B .解析 (1)直线AM 的方程为y =-22x +2或y =22x -2.85中学数学教学2023年第2期(2)设M F ң=λMA ң+(1-λ)M B ң,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由F (1,0)和M (2,0)可得(-1,0)=λ(x 1-2,y 1)+(1-λ)(x 2-2,y 2),即λ(x 1-2)+(1-λ)(x 2-2)=-1,λy 1+(1-λ)y 2=0.又因为A ,B 在椭圆C 上,所以λ2x 21+2λ2y 21=2λ2,(1-λ)2x 22+2(1-λ)2y 22=2(1-λ)2,两式相减可得[λ2x 21-(1-λ)2x 22]+2[λ2y 21-(1-λ)2y 22]=[λx 1+(1-λ)x 2][λx 1-(1-λ)x 2]=λx 1-(1-λ)x 2=4λ-2,于是λ2|MA ң|2-(1-λ)2|M B ң|2=λ2(x 1-2)2-(1-λ)2(x 2-2)2=-[λ(x 1-2)-(1-λ)(x 2-2)]=-[λx 1-(1-λ)x 2-4λ+2]=0,所以λ|MA ң|=(1-λ)|M B ң|,故M F 平分øAM B ,即øO MA =øO M B .评析 从上述例题可以看出,利用向量形式的角平分线性质证明角平分线问题,思路清晰自然,具有很强的可操作性,可以起到事半功倍的效果.从以上解题过程还可以看出,通常使用性质的平方形式 m 2|A B ң|2=n 2|A C ң|2 证明角平分线问题.例3(2010年安徽卷文科第17题)椭圆E 经过点A (2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e =12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求øF 1A F 2的角平分线所在的直线的方程.解析 (1)x 216+y 212=1.图2(2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0).如图2,设øF 1A F 2的角平分线l交x 轴于点M (x 0,0),设AM ң=λA F 1ң+(1-λ)A F 2ң,则(x 0-2,-3)=λ(-4,-3)+(1-λ)(0,-3),可得x 0=2-4λ.又由A M 平分øF 1A F 2可得λ|A F 1ң|=(1-λ)㊃|A F 2ң|,即5λ=3(1-λ),得λ=38,则x 0=12,得直线l 的方程为y -03-0=x -122-12,即2x -y -1=0.图3例4(2012年全国高中数学联赛江苏复赛一试第10题)如图3所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,右准线l 与x 轴交于点N ,过椭圆上一点P 作P M 垂直于准线l ,垂足为M .若P N 平分øF P M ,且四边形O F MP 为平行四边形,证明:e >23.证明 由题意可知O F ң=P M ң,P O ң=M F ң,则P N ң=P O ң+O N ң=M F ң+a 2c2O Fң=P F ң-P M ң+a 2c 2P M ң=P F ң+(a 2c2-1)P M ң,又因为P N 平分øF P M ,所以|P F ң|=(a 2c 2-1)|P M ң|,于是e =|P F ң||P M ң|=a 2c2-1=1e 2-1,即e 3+e 2=1.由0<e <1可得1=e 3+e 2<2e2,从而e >22>23.例5(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛第21题)如图4所示,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,并且过点P (2,-1).图4(1)求椭圆C 的方程;(2)设点Q 在椭圆上,且P Q 与x 轴平行,过P 作两条直线分别交椭圆C 于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若直线952023年第2期中学数学教学P Q 平分øA P B ,求证:直线A B 的斜率是定值,并求出这个定值.解析 (1)椭圆C 的方程x 28+y 22=1.(2)由题意可知Q (-2,-1).设P Q ң=λP Aң+μP B ң,则(-4,0)=λ(x 1-2,y 1+1)+μ(x 2-2,y 2+1),即λ(x 1-2)+μ(x 2-2)=-4λ(y 1+1)+μ(y 2+1)=0①又因为直线P Q 平分øA P B ,所以λ|P A ң|=μ|P B ң|,即λ2[(x 1-2)2+(y 1+1)2]=μ2[(x 2-2)2+(y 2+1)2],结合①可得λ(x 1-2)=μ(x 2-2)=-2,即x 1=2(1-1λ),x 2=2(1-1μ),于是x 1-x 2=2(λ-μ)λμ.将x 1=2(1-1λ)代入C 的方程得λ2y 21=λ2+2λ-1,同理有μ2y 22=μ2+2μ-1,两式相减得(λy 1+μy 2)(λy 1-μy 2)=(λ-μ)(λ+μ+2),结合①可得y 1=-1-λ-μλ(λ+μ),y 2=-1+λ-μμ(λ+μ),则y 1-y 2=μ-λλμ,于是直线A B 的斜率k A B =y 1-y 2x 1-x 2=-12.评析 利用向量形式的角平分线性质解决角平分线问题,其本质就是运用转化思想,将 角平分线 的 形 ,转化为向量形式的 数 ,再对数 进行运算,由形到数,数形沟通,从而降低了思维难度,有利于学生理解和掌握.例6(2018年全国高中数学联赛福建预赛第7题)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 24-y 212=1的左㊁右焦点,点P 在双曲线C 上,G ,I 分别为әF 1P F 2的重心㊁内心,若G I 平行于x 轴,则әF 1P F 2的外接圆半径R =.解析 由题意可得|F 1F 2ң|=8.如图5,不妨设点P 在双曲线C 的右支上.图5因为G I 平行于x 轴,所以可设G I ң=λF 1F 2ң,则F 1I ң=F 1Gң+G I ң=13(F 1Pң+F 1F 2ң)+λF 1F 2ң=13F 1P ң+(13+λ)F 1F 2ң,又因为直线F 1I 平分øP F 1F 2,所以13|F 1P ң|=(13+λ)|F 1F 2ң|,可得|F 1P ң|=8(1+3λ).同理可得,F 2I ң=13F 2P ң+(13-λ)F 2F 1ң,则13|F 2P ң|=(13-λ)|F 2F 1ң|,可得|F 2P ң|=8(1-3λ),于是|F 1P ң|-|F 2P ң|=48λ=4,得λ=112,从而|F 1P ң|=10,|F 2P ң|=6,则|F 2P ң|2+|F 1F 2ң|2=|F 1P ң|2,因此P F 2ʅF 1F 2,所以әF 1P F 2外接圆半径R =12|F 1P ң|=5.评析 三角形的内心问题本质上也是角平分线问题,本题将内心条件转化为角平分线问题,两次运用向量形式的角平分线性质,再结合双曲线的定义建立关于λ的方程,使问题顺利解决,这样的解题具有出奇制胜的效果.另外,由上述钥匙解题过程还发现|F 1P ң|+|F 2P ң|=2|F 1F 2ң|,因此可得到一个关于三角形内心和重心的命题:G ,I 分别为әA B C 的重心㊁内心,若G I ʊB C ,则A B +A C =2B C ,反之亦成立.证明留给有兴趣的读者自行完成,本文不再赘述.参考文献[1] 张景中,彭翕成.绕来绕去的向量法(第2版)[M ].北京:科学出版社,2021.[2] 李有贵,彭翕成.向量形式的充要条件及应用[J ].数学教学,2022(3):48-50.(收稿日期:2023-01-18)06中学数学教学2023年第2期。

高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。

第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。

两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。

（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。

⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。

方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于N点，则MI/IN的值为多少？⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有⑶在椭圆上任一点P求:·的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点的最短距离为a-c.⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中的一个重要分支，它以一个可变的圆锥剖面为基础，通过圆在不同角度上的截面形成了五个不同的曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲线和直线。

在实际应用中，圆锥曲线常常被用来描述各种物理现象和工程问题，如轨道设计、光学成像、天体运动等。

本文将会介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。

1.几何法几何法是最基本，也是最直观的一种解决圆锥曲线问题的方法。

几何法的思想是将所求的曲线拆分为几个小段，然后求出每个小段的形状和位置参数，最终将它们拼接起来得到整个曲线。

例如，在构造椭圆的过程中，我们可以先画一个长轴和短轴所在的矩形，然后再通过调整矩形的顶点位置将矩形变形为椭圆。

2.代数法代数法是解决圆锥曲线问题的另一种常用方法。

代数法的思想是利用数学式子描述曲线，通过解方程来求解曲线的参数。

例如，在求解抛物线的方程时，我们可以将抛物线的矢量方程转化为标准方程或焦点方程，然后利用所给的条件求解方程中的参数。

3.向量法向量法是一种比较高效的解决圆锥曲线问题的方法。

向量法的思想是用向量来描述曲线的性质和形状，然后通过向量计算来求解曲线的参数。

例如，在计算椭圆的周长时，我们可以将椭圆的周长用向量积的形式表示出来，然后通过向量积的运算得到周长的解析表达式。

4.微积分法微积分法是一种比较深入的解决圆锥曲线问题的方法。

微积分法的思想是利用微积分理论来求解曲线的性质和参数。

例如，在求解椭圆的面积时，我们可以将椭圆的面积转化为曲线积分问题，用微积分方法来求解。

总之，圆锥曲线问题可以采用多种不同的方法来求解，每一种方法都有其独特的优点和应用场合。

在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解，以达到高效和准确的目的。