等比数列及前n项和讲义

a11－q30 a11－q10 ∴S30＝ ＝ (1＋q10＋q20) 1－q 1－q ＝10×(1＋2＋4)＝70.
方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ ， 10 即 S30＝70.
2、公式的推导方法
（重在过程）
等比数列的前n项和（二）
回顾
1、求和公式
a1 (1 q n ) 当q≠1时， Sn 1 q
当q=1时，
Sn na1
a1 an q Sn 1 q
强调： ①注意分类讨论的思想！ 等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1. ②运用方程的思想，五个量“知三求二”. ③注意运用整体运算的思想.
• 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 过程． • 2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题． • 3.进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代 换思想的应用能力.
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列: (2) 通项公式:
(3)a, G, b
an+1 an =q (定值) n-1 an=a1• q (a 0, q 0).
4
③
4 解得：q . 3
代入③得：n=5.
9 16 【例2】已知等比数列an 中，a1 , an , 16 9 781 Sn , 求公比q及项数n. 144
解法2
a1 an q 1. 9 16 q a1 qan 781 4 16 9 Sn 解得：q . 1 q 1 q 144 3
a1 1 q n Sn 1 q
⑵


说明：这种求和方法称为错位相减法 显然，当q=1时，

等比数列前n项和知识点归纳总结等比数列（geometric sequence）是数学中重要且常见的一种数列。

它由首项、公比和项数所确定。

本文将对等比数列的前n项和进行归纳总结。

一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项均是前一项乘以一个相同的固定比例，称为公比。

二、等比数列的通项公式对于等比数列{an}，第一项为a1，公比为q，第n项为an，则其通项公式为：an = a1 * q^(n-1)三、等比数列前n项和的公式等比数列前n项和（Sn）的公式是一个重要的数学概念，它表示等比数列前n项相加的结果。

根据等比数列的性质，我们可以推导出等比数列前n项和的公式如下：当公比q不等于1时：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)当公比q等于1时：Sn = n * a1四、等比数列前n项和的推导过程下面我们来推导一下等比数列前n项和的公式，以加深对其理解。

假设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则根据等比数列的通项公式可知：a1 = a1 * q^(1-1) = a1an = a1 * q^(n-1)将等比数列的前n项和表示为Sn，即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an将a1和an按照等比数列的通项公式进行替换，得：Sn = a1 + a1*q^0 + a1*q^1 + ... + a1*q^(n-2) + a1*q^(n-1)等比数列前n项和Sn中每一项都是a1与q的某个幂的乘积。

我们可以通过乘以q来使等比数列前n项和中每一项的幂相应地增加1，得到：q*Sn = a1*q + a1*q^2 + a1*q^3 + ... + a1*q^(n-1) + a1*q^n将上述两式相减，得到：(1-q)*Sn = a1*q^n - a1由于1-q不等于0，我们可以将上述等式两边同时除以(1-q)，得到等比数列前n项和的公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)其中q不等于1。

等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

第02讲 等比数列及其前n 项和知识精讲一. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1(0,0)n n na q q a a +=≠≠ 根据q 判断数列的单调性： 当11a >{}1n q a >⇔是递增数列； {}01n q a <<⇔是递减数列；{}=1n q a ⇔是常数列二. 等比数列的通项公式推导等比数列的通项公式：3121221n n n n a a aa q q q q a a a a ---====，，，，， 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即()1*1n n a a q n N -=∈. 这种方法就叫做累乘法．三. 等比中项如果三个数 a G b ，，组成等比数列⇔2G ab =，G 叫做a 与b 的等比中项. 两个符号相同的非零实数，有两个等比中项，一正一负.若数列是等比数列⇔任意相邻三项之间都存在如下关系：211(2)n n n a a a n -+=≥四. 等比数列的性质设{}n a 为等比数列，公比为q ，则：1． 若在等比数列中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅；特殊地，若2m p q =+，则2mp q a a a =⋅； 推广到三项，即m ，n ，t ，p ，q ，*s N ∈且m n t p q s ++=++m n t p q s a a a a a a ⇒=； 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等，则各项之积相等．2． n m n m a a q -=*(,)m n N ∈；3． 在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，……为等比数列，公比为m q ．4． 若{}{} n n a b ，均为等比数列，且公比分别为()1212 0q q q q ⋅≠，，则数列{} n pa ，{}mn a ，{}n n a b ⋅，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，且公比分别为111122 mq q q q q q ⋅，，，.五. 等比数列的前n 项和公式()()111(1)11n n na q S a q q q⎧=⎪=⎨-≠⎪-⎩．用错位相减法推导等比数列前n 项和公式：211111n n S a a q a q a q -=++++，等式两边同乘q 得：211111n n n qS a q a q a q a q -=++++，将这两式相减得：()11111(1)n n n q S a a q a q --=-=-， 从而得到等比数列的前n 项和公式()1(1)11n n a q S q q-=≠-；当1q =时，1n S na =.六. 等比数列{}n a 前n 项和公式与指数函数. 区别和联系区别联系n S定义域为*N 图象是一系列的孤立点 （1）解析式都是指数型； （2）n S 图象是指数型函数()f x 图象上一系列的点．()f x定义域为R图象是一条指数型曲线2. 观察()0nn S Aq B AB =+≠和111(1)111n n a q a aS q q q q--==+--- 得11a A B q-=-=-3. 有指数型函数的性质可得：当10 10q a <<<，时，0A >，n S 递减有最大值， 当10 10q a <<>，时，0A <，n S 递增有最小值； 当110q a ><，时，0A <，n S 递减有最大值， 当110q a >>，时，0A >，n S 递增有最小值．七. 等比数列的前n 项和的性质等比数列{}n a 的前n 项和可以构成一个等比数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -成等比数列.公比为k q （k 为偶数时，1q ≠-）如下图所示：323212312213kkk k k kS k k k k kS S S S S a a a a a a a a ++--++++++++++三点剖析一、等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列{}n a ，若1(0)n na q q a +=≠，则数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项：对于数列{}n a ，若221n n n a a a ++⋅=，则数列{}n a 是等比数列；（3）等比数列与对数的结合等比数列{}n a 中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅，相应的，lg lg lg lg n m u v a a a a +=+，{}lg n a 是等差数列，公差为lg q .（4）前n 项和法：()0n n S Aq A Aq =-≠⇔{}n a 等比数列．等比数列的概念例题1、 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________例题2、 已知x ，22x +，33x +是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（ ）A.－27B.12C.272D.272-例题3、 已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A.－4 B.－6C.－8D.－10例题4、 己知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切*n N ∈，都有1n n na b a +=，则数列{}n b 的通项公式为_________．例题5、 在正项等比数列{}n a 中，已知412a =，563a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为（ ） A.1256B.1512C.11024D.12048随练1、 在数列{}n a 中，12n n a a +=，若54a =，则456a a a = ． 随练2、 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++=（ ）A.12+B.12C.322+D.322-随练3、 在等差数列{}n a 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ） A.3m n p r b b b b ++=B.3m n p r b b b b ++= C.3m n p r b b b b = D.3m n p r b b b b =随练4、 公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1ak ，2ak ，3ak …构成等比数列{}n ak ，且11k =，22k =，36k =，则5k =________．随练5、 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，360n S =，求n 的值．等比数列的性质例题1、 已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a =，则567a a a =________．例题2、 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 8a 10＋a 7a 11＝2e 6，则lna 1＋lna 2＋…＋lna 17＝________．例题3、 已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7（a 1＋2a 3）＋a 3a 9＝________．例题4、 定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的函数f x （），如果对于任意给定的等比数列{}{}n n a f a ，（）仍 是等比数列，则称f x （）为“保比等比数列”．现有定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的如下函数： ①2f x x =（）； ②2x f x =（）； ③f x x =（）④ln f x x =（）． 则其中是“保比等比数列”的f x （）的序号为 ．随练1、 在等比数列{}n a 中，已知24a =，616a =，则4a =________．随练2、 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________随练3、 已知数列{}n a 是递增等比数列，152417,16a a a a +==，则公比q =（ ） A.－4 B.4C.－2D.2随练4、 等比数列{}n a 中，42a =，75a =，则数列{lg }n a 的前10项和等于（ ） A.2 B.lg50C.10D.5等比数列的前n 项和例题1、 已知数列{a n }满足a 1＝1，*12()n n a a n N +=∈，则S 10＝________．例题2、 已知等比数列{}n a 各项均为正数，满足313a a +=，356a a +=，则324354657l a a a a a a a a a a ++++=（ ）A.62B.2C.61D.612例题3、 数列112，124，138，…的前n 项和为n S =（ ）A.21n n-B.12n n -C.(1)1122n n n +-+D.(1)122n n n +-例题4、 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________．例题5、 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2，S 4，S 3成等差数列． （1）求数列{a n }的公比q ；（2）若a 1－a 3＝3，问218是数列{a n }的前多少项和．随练1、 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2＝________．随练2、 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． （1）求a n 及S n ；（2）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2－（a 4＋1）q ＋S 4＝0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．随练3、 已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的通项公式为2()2n n n a k b n-=，求k 的值及此时数列{}n b 的前n 项和n T .等比数列的判定例题1、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n a +=131n a ++，265a S =，则=____．例题2、 设n n S T ，，分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，647227n n S a =﹣，()2819n n n n a b +=-+，则当n =____时，n T 最小．例题3、 已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列．{}na 25=6,=18a a {}nb n n T 1n n T b +={}na{}nb例题4、 已知数列{}n a 中，首项15a =，()121n n a a n N *+=+∈． （1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ．例题5、 设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．1（）若{}n a 是等差数列，试证明：1()2n n n a a S +=； 2（）若110a q =≠，，且对所有的正整数n ，有11nn q S q -=-，判断{}n a 是否为等比数列．例题6、 设数列{}n a 满足1421n n n a a a +-=+*()n N ∈ （Ⅰ）若13a =，21nn n a b a -=-*()n N ∈求证数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式n b ； （Ⅱ）若1n n a a +>对*n N ∀∈恒成立，求1a 的取值范围。