2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：1.1集合的概念及运算含解析

专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,67．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,38．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,29．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．113．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=315．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________．19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）AB ；（3）()()UU A B ⋂．21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．解析附后专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}0B x x =>，∴{}1,2,3AB =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D.2．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =【答案】B【解析】由2(1)0x -≤，得1x =，所以集合{}1M =，因为{|0}N x x =>，所以M N ⊆，故选：B3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥【答案】B 【解析】若AB A =,则A B ⊆,又{}|1A x x =≤{}2|x x ⊆≤4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为2{|0211},{|320}A x x B x x x =<-≤=-≥，即1{|1},{|02A x x B x x =<≤=≤或2}3x ≥，所以2{|0}3U B x x =<<，则12(){|}23UA B x x ⋂=<<，应选答案D. 5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-【答案】A【解析】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-.6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,6【答案】C【解析】为使()6y lg x =-有意义，则60x ->,解得6x <,()6A ∴=-∞，， 由0212x >=,解得0x >,()0,B ∴=+∞, ∴(],0UB =-∞,∴()(]A 0UB ⋂=-∞，,故选C .7．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】B【解析】由已知：{}|1R C B x x =≤，所以集合(){}1,0,1R A C B ⋂=-．8．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤ B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}0,1,2,3 D ．{}1,2【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x C x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R A C B ⋂=9．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤，当01a <<时，[,1]A a =；当1a =时，{}1A =； 当15a <<，[1,]A a =，{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<，因为A B ，所以p q 是的充分不必要条件.10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则AB =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 【答案】D 【解析】{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，∴{202}A B =-，，，故选：D.11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】由题意可得：{}2|0,1,2x B x x Z x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭又{1,2,3}A = ∴AB ={}123，， 12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B.13．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)【答案】A【解析】,A B 都不是空集，设a A ∈，则()0f a =；a B ∈，则()()()00ff a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时：方程的解为0x = 此时{}0A B ==，满足； 当0n ≠时：2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n =-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n =+=-A B =，则2()f x x nx n =+=-无解，24004n n n ∆=-<∴<<综上所述：04n ≤<，[0,4)m n +∈14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=3【答案】D【解析】∵f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），当f （x ）=0时至少有一个根x=﹣a 当b 2﹣4c=0时，f （x ）=0还有一根只要b≠﹣2a ，f （x ）=0就有2个根；当b=﹣2a ，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根； 当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=215．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.【答案】{1,2,4}【解析】因为{}2A B ⋂=，所以2A ∈，若221m m =⇒=，此时{21}A =，，满足条件； 若2m =，则{24}A =，，{}24A B ⋂=，，不符合题意，舍去. 所以1m =，AB ={1,2,4}.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________【答案】(0,2)【解析】由题意{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 则AB ={|22{|}(003}{|02})2,x x x x x x -<<=<<<<=.17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞ 【解析】由B A ⊆可得： 当B =∅,则121m m +>-， ∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[)1,2 【解析】222222x x a x x a ---+-+-≥()()2222222x x a x x a a -----+-=，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴22222220x x a x x a a ---+-+--≥，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴集合A 中有且仅有两个元素等价于不等式222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，函数2()22f x x x =--=2117248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象关于直线14x =对称， 又(2)8f -=，()11f -=，(0)2f =-，(1)1f =-，(2)4f =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，由图知，要使222a x x a -≤--≤有两个整数解，则12a ≤<.19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .【解析】(1)由220-++>x x 得，12x -<<，∴{|12}A x x =-<<，∴()2222111y x x x =-+=-+≥，∴{|1}B y y =≥. （2）由（1）得，{|12},A B x x ⋂=≤< {}x 1,A B x ⋃=>-又[)U 6,=-+∞，所以()UA B ={|61}x x -≤≤-.20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）A B ；（3）()()UU A B ⋂．【解析】{}2|560A x x x =--<={|16}-<<x x ，{||2|1}B x x =-{|1x x =≤或3}x ≥，（1）A B ={|11x x -<≤或36}x ≤<；（2）A B =R ；（3）因为|1{UA x x =≤-或6}x ≥，{|13}UB x x =<<，所以()()UU A B ⋂={|1x x ≤-或6}x ≥{|13}x x ⋂<<=∅.21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．【解析】因为集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭， 所以集合A 表示不包括点(3,4)的直线(1)370a x y a ---+=， 当210a -=且10a -=时，即1a =时，集合B 为空集， 显然AB =∅成立，故1a =符合题意；当1a ≠时，集合B 不为空集，要想AB =∅成立，只需：直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行或者 直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)， 当直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行时，有2(1)(1)1a a a --=-且(37)(1)5a a --≠，解得1a ≠，而1a ≠，所以不存在这种情况；直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)，有()2213(1)453440aa a a -⋅--⋅=-⇒-=，解得2a =或23a =-，综上所述：实数a 的值为21,2,3-22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.【解析】(1)画出1y x =+的图像，又y kx =为过原点的直线. 临界条件为：当y kx =为x 轴时，0k =；当y kx =与1y x=+在[)1,-+∞上的射线平行时，1k =. 故不等式1x kx +>恒成立，则01k <≤(2)因为二次函数()222f x ax x a =--，故0a ≠，且判别式()()22242480a a a ∆=---=+>，所以()0f x =两根之积为12220ax x a-==-<，故不妨设两根120x x <<. 当0a >时，若A B ⋂≠∅则有23x <，故()30f >，即9620a a -->，解得67a >. 当0a <时，若A B ⋂≠∅则有21>x ，故()10f >，即220a a -->，解得2a <-. 综上有2a <-或67a >. 23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由． 【解析】假设存在实数a 和b 同时满足题中的两个条件, 则2315.y ax b y x =+⎧⎨=+⎩，由A B ⋂≠∅， 则必存在整数n 使 23(15)0,n an b -+-=于是它的判别式 2()12(15)0,a b ∆=--- 即212(15).a b -又由 22144a b + 得 22144,a b - 由此便得 12(15-2)144,b b -即 2(6)0,b - 故 6.b = 将 6b = 代人上述的 212(15)a b -及 22144a b -，得 2108a =,所以 a =± 将 6a b =±= 代入方程23(15)0,n an b -+-= 求得 .n =Z故不存在实数a ，b 使A B ⋂≠∅，与(,)a b C ∈同时成立．。

课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2018贵州凯里一中二模,4)直线y=x-和圆x2+y2-4x+2y-20=0的位置是()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相离D.相切2.( 2018陕西西安八校联考,3)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.(-)B.C.-D.3.(2018重庆巴蜀中学月考,7)已知直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A 作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.4B.6C. D.24.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.46.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以,-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.1,8.(2018安徽淮南一模,16)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.9.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.(2018湖南长郡中学一模,14)若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.综合提升组11.(2018辽宁丹东模拟)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则圆C的方程为()A.x2+y2+4x+2=0B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0D.x2+y2-4x=012.(2018湖南衡阳一模,12)若对圆x2+y2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y 无关,则实数a的取值范围是()A.a≤-5B.-5≤a≤5C.a≤-5或a≥5D.a≥513.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.(2018云南昆明应性检测,20)已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B点,AB 中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.16.已知圆O:x2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明:|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T,记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.参考答案课时规范练47 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A x2+y2-4x+2y-20=0可化简为(x-2)2+(y+1)2=25,故圆心为(2,-1),半径r=5.将(2,-1)代入y=x-中,3×2-4×(-1)-10=0,满足直线方程,故直线过圆心且与圆相交.故选A.2.D设直线l的方程为y=k(x-3),代入圆的方程中,整理得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,则Δ=4(1-3k2)≥0,解得-≤k≤,故选D.3.B∵直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-ax+a过圆心C(2,1),∴1=-2a+a,解得a=-1,∴直线l的方程为y=x-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.B圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d==a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2=a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|==,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.C设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+.当m=0时,d max=3.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴,-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r==,∴圆C中以,-为中点的弦长为2=2=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8. 设P(x,y),则x2+y2=(x-3)2+(y-4)2-1,即3x+4y=12,所以点P的运动轨迹是直线3x+4y=12,所以d min=,则|PQ|min==.9.4π圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r==3,点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d==,所以|AB|的最小值|AB|min=2=2=4.11.D圆x2+y2+4x-6y+4=0,即(x+2)2+(y-3)2=9的圆心为(-2,3),半径为3.设圆C的半径为r.由两圆外切知,圆心距为=5=3+r.所以r=2,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.故选D.12.D由x2+y2=1可知-5≤3x-4y≤5,令3x-4y=t,则|t+a|+|t-9|的取值与x,y无关,需-a≤t≤9,∴[-5,5]⫋[-a,9],所以a≥5.13.2x+3y-4=0以O(0,0),A(2, 3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即x2+y2-2x-3y=0,与圆C:x2+y2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ的方程为2x+3y-4=0.14.解 (1)设P(x,y),则A(x,2y).将A(x,2y)代入x2+y2=4得点P的轨迹E的方程为+y2=1(y≠0).(2)由题意可设直线l方程为x=my-,由得(m2+4)y2-2my-1=0.所以所以|AB|=|y1-y2|===2.所以m=±.当m=时,中点纵坐标y0==,代入x=my-1得中点横坐标x0=-,斜率为k=-.故线段MN的垂直平分线方程为2x+y+=0.当m=-时,同理可得MN的垂直平分线方程为2x-y+=0.所以线段MN的垂直平分线方程为2x+y+=0或2x-y+=0.15.解 (1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=+=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设∥,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=∉-∞,1-∪1+,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.16.解 (1)证明:设AP的中点为E,切点为F,连接OE,EF(图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.∴点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则C2的方程是+y2=1.(2)设直线DM的方程为x=my-2(m≠0).∵MN为圆O的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN的方程为x=-y-2,由得(1+m2)y2-4my=0,∴y M=,由得(4+m2)y2-4my=0,∴y S=,∴=,∴=.∵|DM|=|y M-0|,|DS|=|y S-0|,|DN|=|y N-0|,|DT|=|y T-0|,又∵△DMN,△DST都是有同一顶点的直角三角形, ∴=·=·.设s=1+m2,则s>1,0<<3,∴=4-1+∈4,.。

课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.(2018辽宁辽南模拟,6)某地区一模考试数学成绩X服从正态分布N(90,σ2),且P(X<70)=0.2.从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩,数学成绩在[70,110]的人数记作随机变量ξ.则ξ的方差为()A.2B.2.1C.2.4D.32.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则Eη,Dη分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.63.(2018浙江杭州模拟,6)已知0<a<,随机变量ξ的分布列如下:当a增大时()A.Eξ增大,D(ξ)增大B.Eξ减小,D(ξ)增大C.Eξ增大,D(ξ)减小D.Eξ减小,D(ξ)减小4.(2018浙江绍兴模拟,7)若随机变量ξ满足E(1-ξ)=4,D(1-ξ)=4,则下列说法正确的是()A.Eξ=-4,Dξ=4B.Eξ=-3,Dξ=3C.Eξ=-4,Dξ=-4D.Eξ=-3,Dξ=45.已知随机变量ξ的分布列为若Eξ=,则Dξ等于()A. B. C. D.6.(2018重庆三诊,6)记5个互不相等的正实数的平均值为,方差为A,去掉其中某个数后,记余下4个数的平均值为,方差为B,则下列说法中一定正确的是()A.若,则A<BB.若,则A>BC.若,则A<BD.若,则A>B7.(2018浙江教育绿色评价联盟,12)若随机变量ξ的分布列为:若Eξ=,则x+y=,Dξ=.8.(2018广东肇庆模拟,7)已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 600综合提升组9.(2018浙江金华模拟,7)随机变量ξ的分布列如下:其中a,b,c成等差数列,则Dξ的最大值为()A. B. C. D.10.(2018广东模拟,6)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的均值是()A. B. C. D.创新应用组11.2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组准备从国内n(n∈N+)个人口超过1 000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个对扫码支付情况进行统计,若一次抽取2个城市全是小城市的概率为.(1)求n的值;(2)若一次抽取4个城市,则:①假设取出小城市的个数为X,求X的分布列和均值;②若取出的4个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.12.小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时,顾客从装有1个黑球,3个红球和6个白球(除颜色外其他都相同)的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球,根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取的奖金为a 元、10元、5元、1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况:A:1个黑球2个红球;B:3个红球;C:恰有1个白球;D:恰有2个白球;E:3个白球,且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖.(1)通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况(写出字母即可);(2)已知顾客摸出的第一个球是红球,求他获得二等奖的概率;(3)设顾客抽一次奖小张获利X元,求变量X的分布列;若小张不打算在活动中亏本,求a的最大值.参考答案课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差1.C由正态分布知,每个人数学成绩在[70,110]的概率为(0.5-0.2)=0.6,所以10个学生数学成绩在[70,110]的人数服从二项分布B(10,0.6),所以方差为10×0.6×(1-0.6)=2.4,故选C.2.B由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得Eη=8-EX=8-10×0.6=2,Dη=(-1)2DX=10×0.6×0.4=2.4.3.A Eξ=-+a,当a增大时,Eξ也增大,Dξ也增大.4.D随机变量ξ满足E(1-ξ)=4,D(1-ξ)=4,则1-Eξ=4,(-1)2Dξ=4,据此可得Eξ=-3,Dξ=4.5.B由分布列的性质得x+y=,又Eξ=,所以+2x+3y=,解得x=,y=.故Dξ=1-2×+2-2×+3-2×=.6.A根据平均值与方差的定义,可以确定当=时,则去掉的那个数就是,那么就有A= [(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+0],B= [(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2],所以可以得到A<B,而当<时.对于所去掉的那个数对平均数的差距不明确.故选A.7. ∵Eξ=,∴由随机变量ξ的分布列,知∴x+y=,x=,y=,Dξ=-1-2×+0-2×+1-2×+2-2×=.8.C设检测的机器的台数为x,则x的所有可能取值为2,3,4.P(x=2)==,P(x=3)==,P(x=4)==,所以E(x)=2×+3×+4×=3.5,所以所需的检测费用的均值为1 000×3.5=3 500.9.A∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∵a+b+c=1,∴b=,c=-a,∴Eξ=-a+c=-2a+,Dξ=-1+2a-2×a+2a-2×b+1+2a-2×-a=-4a2+a+=-4a-2+≤.则Dξ的最大值为.10.D当X=k时,第k次取出的必然是红球,而前k-1次中,有且只有1次取出的是红球,其余次数取出的皆为黑球,故P(X=k)==,于是得到X的分布列为:X 2 3 4 5 6 7P故EX=2×+3×+4×+5×+6×+7×=.11.解 (1)共n+8个城市,取出2个的方法总数是,其中全是小城市的情况有种,故全是小城市的概率是==,∴(n+8)(n+7)=210,∴n=7.(2)①X=0,1,2,3,4.P(X=0)==;P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==;P(X=4)==.故X的分布列为X0 1 2 3 4PEX=0×+1×+2×+3×+4×=.②若抽取的4个城市全是超大城市,共有=35种情况,若抽取的4个城市全是小城市,共有=70种情况,故所求概率为==.12.解 (1)P(A)===,P(B)==,P(C)===,P(D)===,P(E)===,∴P(B)<P(A)<P(E)<P(C)<P(D),∴中一至四等奖分别对应的情况是B,A,E,C.(2)记事件F为顾客摸出的第一个球是红球,事件G为顾客获得二等奖,则P(G|F)==.(3)X的可能取值为3-a,-7,-2,2,3,则分布列为:X3-a-7 -2 2 3P由题意得,若要不亏本,则×(3-a)+×(-7)+×(-2)+×2+×3≥0,解得a≤194,即a的最大值为194.。

第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集合题型1 集合的基本概念——暂无题型2 集合间的基本关系——暂无题型3 集合的运算1.（2017江苏01）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1AB =，则实数a 的值为 ． 解析 由题意233a +…，故由{}1A B =，得1a =．故填1．2.（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x x =∈-R 剟，则()A B C =（ ）.A.{}2B.{}1,2,4C.{}1,2,4,6D.{}|15x x ∈-R 剟解析 因为{1,2,6},{2,4}A B ==，所以{1,2,6}{2,4}{1,2,4,6}AB ==， 从而(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A BC =-=.故选B ．3.(2017北京理1)若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则AB =（ ）. A.{}–2<1x x <- B.{}–2<3x x <C.{}–1<1x x <D.{}1<3x x <解析 画出数轴图如图所示，则{}21A B x x =-<<-.故选A.31-1-2 4.（2017全国1理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（ ）.A. {}0A B x x =<B. A B =RC. {}1A B x x =>D. A B =∅解析{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=<，所以{}0AB x x =<，{}1A B x x =<.故选A. 5.2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若1A B =，则B =（ ）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 解析 由题意知1x =是方程240x x m -+=的解，代入解得3m =，所以2430x x -+=的解为1x =或3x =，从而{}13B =，.故选C.6.（2017全国3理1）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）.A ．3B ．2C ．1D ．0 解析 集合A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，如图所示，所以AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2.故选B.7.（2017山东理1）设函数y =A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）.A.()1,2B.(]1,2C.()2,1-D.[)2,1-解析 由240x -…，解得22x -剟，所以[]22A =-，.由10x ->，解得1x <，所以(),1B =-∞.从而{}{}{}=|22|1|21A B x x x x x x -<=-<剟?.故选D. 8.(2017浙江理1)已知集合{}11P x x =-<<，{}02Q x x =<<，那么P Q =（ ）.A.()1,2-B.()01，C.()1,0-D.()1,2解析 P Q 是取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件题型4 四种命题及真假关系1.（2017山东理3）已知命题:p 0x ∀>，()ln 10x +>；命题:q 若a ＞b ，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ）.A.p q ∧B.p q ∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝解析 由011x x >⇒+>，所以ln(1)0x +>恒成立，故p 为真命题；令1a =，2b =-，验证可知，命题q 为假.故选B.题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断1.（2017天津理4）设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ππ10sin 121262θθθπ-<⇔<<⇒<.但0θ=，1sin 2θ<，不满足ππ1212θ-<，所以“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件.故选A. 2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.(2017浙江理6)已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 46111466151021S S a d a d a d +=+++=+，5121020S a d =+. 当0d >时，有4652S S S +>，当4652S S S +>时，有0d >．故选C ．题型6 充分条件、必要条件中的含参问题——暂无第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假——暂无题型8 全（特）称命题——暂无题型9 根据命题真假求参数的范围——暂无。