2019-2020江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷答案解析

2019—2020学年度第二学期期末检测试题高一数学一､单项选择题1.直线310x +=的倾斜角为（ ） A.6π B. 3πC.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线310x +=，则3333y x =+， 设直线的倾斜角为α， 所以3tan 3α=， 所以6πα=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若60,3A a =︒=sin sin b cB C++等于（ ） A.1233 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理可求sin sin b cB C++的值.【详解】因为60,A a =︒=2sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+=====+.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，注意在ABC 中， sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++，最后一个关系式应用了比例的性质（等比定理）.3.已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相内切，则圆C 的方程为（ ）A. ()()224336x y -++= B. ()()224316x y ++-= C. ()()224336x y ++-= D. ()()224316x y -++=【答案】C 【解析】 【分析】先判断点()4,3C -在圆221x y +=的外部，然后设所求圆的半径为r ，再由15r -==求解.【详解】因为()2243251-+=>， 所以点()4,3C -在圆221x y +=的外部，设以()4,3C -为圆心的圆的半径为：r ，则15r -==，解得6r =，所以所求圆的方程为：()()224336x y ++-=. 故选：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据BC ⊥平面11CDD C ，可知1BC CD ⊥，同时BC CD ⊥，可知二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，即可得结果. 【详解】由题可知：在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C 由1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又BC CD ⊥ 所以二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ， 因为1=CD DD ，则1=4π∠DCD故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题. 5.若128,,,x x x 的方差为3，则1282,2,,2x x x 的方差为（ ）6 B. 3 C. 6D. 12【答案】D 【解析】 【分析】 本题可根据128,,,x x x 的方差为3以及方差的计算公式得出结果.【详解】因为128,,,x x x 的方差为3，所以1282,2,,2x x x 的方差为23212，故选：D.【点睛】本题考查方差的相关性质，若128,,,x x x 的方差为k ，则128,,,nx nx nx 的方差为2kn ，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.6.已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ）B.C. D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得球的表面积，设圆锥高为h ，进而可表示出母线l ，由圆锥侧面展开图为扇形，根据扇形面积公式，可求得圆锥的侧面积，加上底面圆的面积，即可表示出圆锥的表面积，结合题意可求得高h 的值.【详解】由题意可得球的表面积2244216S r πππ==⨯=，设圆锥的高为h ，则圆锥的母线l =，则圆锥的侧面积=2S rl ππ=扇，所以圆锥的表面积24216S r S ππππ=+=+=锥扇，解得h =故选B.【点睛】本题考查球及圆锥的表面积的求法，需熟记各个几何体的面积公式及求法，属基础题.7.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos a C b =，则ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式即可判断.【详解】由2cos 2sin cos sin a C b A C B =⇒=2sin cos sin()sin()A C A C A C π⇒=--=+2sin cos sin cos cos sin A C A C A C ⇒=+sin cos cos sin A C A C ⇒= sin cos cos sin 0A C A C ⇒-= ()sin 0A C ⇒-=A C ⇒=.所以ABC 的形状一定是等腰三角形. 故选：C【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 8.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若//,a b αα⊥，则a b ⊥ B. 若//,,a b αβαγβγ⋂=⋂=，则//a bC. 若//,a αβα⊥，则a β⊥D. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβ【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可通过线面平行、线面垂直、面面平行的性质判断出选项A 、B 、C 是正确的，然后绘出正方体ABCD EFGH -，再然后令平面ABCD 是平面α、平面ADHE 是平面γ以及平面CDHG 是平面β，最后结合图像即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为//a α，b α⊥，所以a b ⊥，a b ⊥，故A 正确； B 项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行， 所以根据//αβ、a αγ⋂=、b βγ=可证得//a b ，故B 正确；C 项：因为a α⊥，所以a 垂直于平面α内的两条相交直线，因为//αβ，所以平面α内的两条相交直线必与平面β内的两条相交直线对应平行， 所以a 垂直于平面β内的两条相交直线，a β⊥，故C 正确；D 项：如图所示，绘出正方体ABCD EFGH -，令平面ABCD 是平面α，平面ADHE 是平面γ，平面CDHG 是平面β， 则满足αγ⊥，βγ⊥，但是//αβ不成立，故D 错误， 故选：D.【点睛】本题考查直线与直线、平面与平面之间位置关系的判断，考查两直线平行或垂直的判定，考查两平面垂直或平行的判定，考查推理能力，可结合图形解题，是简单题. 9.在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且满足223tan 2tan 30AD BD CD B A ==-+=，，则B ∠的大小为（ ） A.6πB.3π C.4π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设1DAC ∠=∠，在相应三角形中应用正弦定理得到等量关系式，化简得到tan 3tan B A =，与已知条件联立，求得tan 1B =，利用三角形内角的取值范围，求得角的大小.【详解】设1DAC ∠=∠，因为AD BD =，所以BAD B =∠∠， 因为2AD BD CD ==，2BD ADCD CD==，1=A B ∠∠-∠，()C A B π∠=-∠+∠，sin sin()tan tan 2sin 1sin()tan tan AD C A B A BCD A B A B++====∠--，化简得tan 3tan B A =， 又因为23tan 2tan 30B A -+=， 所以有23tan 6tan 30B B -+=，解得tan 1B =，又因为(0,)B π∈，所以4B π=，故选：C.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，属于简单题目. 二､多项选择题10.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形，有两解的是（ ）A. 2120a ,B ===B. 245a ,b ===C. 3,60b c B ︒===D. 60a b B ︒===【答案】BD 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求出相应角的正弦值，再根据大边对大角得到结论.【详解】A.因为2120a ,B ===，由正弦定理得：sin sin a bA B=， 所以1206a sin B sin Ab ==因为a b <， 所以120A B <= 即A 为锐角，只有一解；B. 因为245a ,b ===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以6a sin B sin Ab === 因为a b >， 所以45A B >=，即A 为锐角或钝角，有两解；C. 因为3,60b c B ︒===，由正弦定理得：sin sin c bC B=，所以12c sin B sinC b ===， 因为b c >， 所以60C B <=， 即C 为锐角，有一解；D. 因为60a b B ︒===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以sin sin a B A b ===， 因为a b >， 所以60A B >=即A 为锐角或钝角，有两解. 故选：BD【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形解的个数问题，还考查了运算求解，分析问题的能力，属于中档题.11.已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】AB 【解析】 【分析】考虑M 点在圆内时实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.【点睛】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.12.如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，6AP =，AB a .若在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π.则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】ABC 【解析】 【分析】由题，可算得3AQ =，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3a 的取值范围. 【详解】假设在直线BC 上有一点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角为3π，此时，易得3PQA π∠=，在Rt APQ 中，由于6AP =，可得3AQ =.所以，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3023a <<故选：ABC【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的存在性问题，考查学生分析问题的能力和转化能力，体现了数形结合的数学思想. 三､填空题13.口袋中有若干红球､黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为________. 【答案】0.8 【解析】 【分析】首先求摸出蓝球的概率，再根据互斥事件和的概率求解.【详解】口袋里摸出红球，摸出黄球，摸出蓝球是互斥事件，所以从口袋中摸出蓝球的概率是10.40.20.4--=，所以摸出红球或蓝球的概率是0.40.40.8P =+=. 故答案为：0.8【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.14.已知点(1,3)A 与直线:l 340x y ++=，则点A 关于直线l 的对称点坐标为___________.【答案】(5,1)- 【解析】 【分析】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出,a b 的值即可.【详解】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，则由3(3)11133++4022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪⨯=⎪⎩，解得5,1a b =-=，故点(5,1)A '-， 故答案为：()5,1-.【点睛】本题主要考查了求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上两个条件及中点坐标公式，属于中档题.15.如图，为测量两座山顶之间的距离MC ，已知山高52km BC =，7.5km MN =，从观测点A 分别测得M 点的仰角30,MAN ∠=C 点的仰角45CAB ∠=︒以及60MAC ∠=︒，则两座山顶之间的距离MC =________km .【答案】7【解析】 【分析】根据已知分别在,Rt AMN Rt ABC △△中，求出,AM AC ，在AMC 中，用余弦定理，即可求解.【详解】在Rt AMN △中，30,2157.5,M MAN AM M N N ∠==∴==， 在Rt ABC 中，45,21052,CAB AC B B C C ∠==︒∴==，在AMC 中，2222cos MC AM AC AM AC MAC =+-⋅∠2211510215101752=+-⨯⨯⨯= 57()MC km ∴=.故答案为：57.【点睛】本题考查解三角形实际应用问题，涉及直角三角形边角关系以及余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.16.如图，三棱锥B ACD -中，平面BCD ⊥平面ACD ，0660CD BDC =∠=，，若32BC BD AC AD ==，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.【答案】63【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式求出BCD 的面积，再以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设出点(),A x y ，由2AC AD =，利用两点间的距离公式求出y 的最大值，由棱锥的体积公式即可求解.【详解】在BCD 中，由0660CD BDC =∠=，，3BC BD =， 设BD x =，则3BC x ，由余弦定理可得2233626cos60x x x =+-⨯⨯， 解得3x =， 所以11393sin 60362222BCDSDC DB =⋅⋅=⨯⨯⨯=过A 作AP CD ⊥，垂足为P ， 因为平面BCD ⊥平面ACD ， 所以AP ⊥平面BCD ， 即AP 为三棱锥B ACD -的高，以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()3,0C -，()3,0D ， 设(),A x y ，由2AC AD =， ()()2222323x y x y ++=-+整理可得()22221090,516x y x x y +-+=-+=， 当5x =时，y 取得最大值4， 所以三棱锥的体积的最大值为14633B ACD BCDV S -=⋅⨯=，故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、锥体的体积公式，属于中档题. 四､解答题17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos A c B b C a += （1）求角A ；（2）若23a =ABC ∆3，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）2326【解析】 【分析】(1)首先可以根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换将()2cos cos cos A c B b C a +=转化为1cos 2A =，然后根据()0,A π∈即可求出角的值； (2)首先可根据解三角形面积公式得出4bc =，然后根据余弦定理计算出26b c +=求出ABC ∆的周长.【详解】(1)由已知及正弦定理得：()2cos A sinC cos B sinBcosC sin A +=，()2cos sin sin A B C A +=， 因为,,A B C 是ABC ∆的内角，所以()()sin sin sin B C A A π+=-=，2cos sin sin A A A =，因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π∠=，(2)因为1sin 2ABC S bc A ∆=，所以1sin 23bc π=4bc =，由已知及余弦定理可知：a =2222cos a b c bc A =+-， 故()21222cos3b c bc bc π=+--，解得b c +=ABC ∆的周长为【点睛】本题考查三角恒等变换以及解三角形的相关公式的使用，考查的公式有()sinC cos B sinBcosC sin B C +=+、2222cos a b c bc A =+-、1sin 2ABC S bc A ∆=，考查正弦定理边角互化的应用，考查化归与转化思想，是中档题.18.已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点()1,0E ，AD 边所在直线的方程为220x y ++=.点()2,1F -在AB 边所在直线上.求： （1）AB 边所在直线的方程； （2）CD 边所在直线的方程.【答案】（1）240x y --=；（2）220x y .【解析】 【分析】（1）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，故12AB k =，点()2,1F -在AB 边所在直线上，点斜式写出AB 边所在直线的方程；（2）方法一：设直线CD 的方程为20x y m -+=.由点E 到,AB CD 的距离相等，求出m ，即得直线CD 的方程. 方法二：由直线AB 、AD 的方程联立，求出点A 的坐标，求出点A 关于点E 的对称点C 的坐标.由//AB CD ，即可求出直线CD 的方程.【详解】（1）ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥.AD 边所在的直线方程为：220x y ++=，∴AB 所在直线的斜率为12AB k =， ()21F ,-在AB 边所在直线上，∴AB 边所在直线的方程为()1122y x +=-， 即240x y --=. （2）方法一：ABCD 为矩形，∴//AB CD .∴设直线CD 的方程为20x y m -+=.矩形ABCD两条对角线相交于点()1,0E ，∴点E 到,AB CD 的距离相等，=2m =或4m =-(舍). ∴CD 边所在的直线方程为220x y .方法二：由方程240x y --=与220x y ++=联立得()0,2A -，∴点A 关于点E 的对称点()2,2C .//AB CD ，∴CD 边所在的直线方程为220x y .【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.19.某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组[]80,100，得到频率分布直方图，如图所示.（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. 【答案】（1）65人；（2）815. 【解析】 【分析】（1）由直方图，求出打分值[)60100,的频率，根据总人数为100即可求解.（2）由直方图求出第二组和第三组的人数之比为1：2，利用列举法求出6人中随机抽取2人的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由直方图知，所打分值[)60100,的频率为00175200015020065...⨯+⨯=，∴ 人数为1000.6565⨯=(人)答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人. （2）由直方图知，第二､三组的频率分别为0.1和0.2， 则第二､三组人数分别为10人和20人， 所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中， 第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为,A B ；第三组有4人，记为a b c d ,,,. 从中随机抽取2人的所有情况如下：,,,,,,,,,ab,ac,ad,bc,bd,cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共15种其中，两人来自不同组的情况有：,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共8种∴ 两人来自不同组的概率为815答：行风监督员来自不同组的概率为815.【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样、古典概型的概率计算公式，属于基础题. 20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC a ===，2ACB π∠=，点D 为BC 中点，连接1A C ､1AC 交于点E ，点F 为1DC 中点.（1）求证： //EF 平面ABC ；（2）求证：平面1ACB ⊥平面1AC D ； （3）求点C 到平面1AC D 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）63a . 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线性质可得//EF AD ，然后再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）根据题意可证11A C AC ⊥，BC ⊥1AC ，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可证出.（3）方法一：利用等体法11C ACD C AC D V V --=即可求解；方法二：利用综合法，作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H ，证出CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角1C CG ∆中，求解即可. 【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ACC A 为平行四边形E ∴为1AC 的中点F 为1DC 的中点，//EF AD ∴又EF ⊄平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ //EF 平面ABC（2）四边形11ACC A 为平行四边形，1AC CC =∴平行四边形11ACC A 菱形，即11A C AC ⊥三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱∴1C C ⊥平面ABCBC ⊂平面ABC∴1C C ⊥BC ，2ACB π∠=BC AC ∴⊥BC 1C C ⊥，1C C AC C ⋂=，1,C C AC ⊂平面11ACC A BC ∴⊥平面11ACC A1AC ⊂平面11ACC A ，BC ∴⊥1AC ，11A C AC ⊥，1BC AC C =，,BC 1A C ⊂平面1A CB ， 1AC ∴⊥平面1A CB ，1AC ⊂平面1AC D ， ∴ 平面1AC D ⊥平面1A CB（3）法一：(等体积法)连接DE ，设点C 到平面1AC D 的距离为h1C C ⊥平面ABC ，CA,CD ⊂平面ABC ，11C C CA,C C CD ∴⊥⊥，1C C 为三棱锥1C ACD -高，在直角1C CA ∆中，12AC CC a ==，122AC a ∴=. 在直角1C CD ∆中，12CD a,CC a ==，15CD a ∴=.在直角ACD ∆中，2CD a,AC a ==，5AD a ∴=，2ACD S a ∆∴=. 在等腰1AC D ∆中，11522DA DC a,AC a ===，3DE a ∴=，126DAC S a ∆∴=11C ACD C AC D V V --=，111133ACD AC D C C S h S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯ 2266h a a == ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为6a方法二：(综合法)作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H .1C C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC1C C AD ∴⊥CG AD ⊥，1CG C C C =，1CG,C C ⊂平面1C CG AD ∴⊥平面1C CGCH ⊂平面1C CGAD CH ∴⊥ 1CH C G ⊥，1ADC G G =，1C G,AD ⊂平面1AC D ，CH ∴⊥平面1AC D ， 即CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角ACD ∆中，5CG =；在直角1C CG ∆中，125C C a,CG ==，11265245a C C CGCH aC Ga ⨯⨯∴=== ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为63a .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离，属于中档题.21.如图，我炮兵阵地位于A 处，两移动观察所分别设于,C D .已知ACD 为正三角形.当目标出现于B 时，测得1BC =千米，2BD =千米.（1）若测得60DBC ∠=，求ABC 的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B 是否在我方炮火射程范围内？ 【答案】（1）34；（2）目标B 是在我方炮火射程范围内. 【解析】 【分析】（1）在BCD 中，由余弦定理求得CD ，则有222BD CD BC =+，得到2BCD π∠=，然后由1sin 223ABCSCA CB ππ⎛⎫=⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭求解.（2）设CBD ,CDB αβ∠=∠=，在BCD 中，由余弦定理得到2254cos CD AD α=-=， 在ABD 中，由余弦定理得到22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，将BD ，AD 代入利用三角恒等变换化简得到2546AB sin πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）在BCD 中，由余弦定理得：2222CD BC BD BD BC cos DBC =+-⋅⋅∠， 21423CD ∴=+-=， 222BD CD BC =+，2BCD π∴∠=，11sin 2234ABCSππ⎛⎫∴=⨯+=⎪⎝⎭. （2）设CBD ,CDB αβ∠=∠= 在BCD 中，254cos CD α=-，1CDsin sin βα=， sin sin CD βα=，在ABD 中，22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭ ，942cos AD cos sin αββ=--+，942cos αα=--94cos αα=--， ()9422cos cos ααα=---+，5496sin πα⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭(当且仅当23πα=时，AB 取到最大值)∴ max 3AB =4<，在射程范围内. 答：目标B 在我方炮火射程范围内.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知圆2221:()(0)C x a y r r -+=>，圆心1C 在直线240x y ++=上，且直线40x ++=被圆1C 截得的弦长为（1）求圆1C 的方程；（2）过圆222:(6)4C x y -+=上任一点()00,Q x y 作圆1C 的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点M 和N ，求线段MN 长度的取值范围. 【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上可知a ，利用弦心距、半径、半弦长的关系即可求出半径，得到圆的方程；（2）设切线方程为()00y k x x y =-+，求出M ，N ，表示出210MN k k x =-，利用圆心到切2=，化简可得1212,k k k k +，代入210MN k k x =-，换t ，求值域即可. 【详解】（1）圆心()1,0C a 在直线240x y ++=上2a ∴=-圆心1C到直线40x ++=的距离1d =∴直线40x +=被圆1C截得的弦长为=2r∴圆1C 的方程22(2)4x y ++=（2）设过点Q 的圆1C 的切线方程为()00y k x x y =-+2=，整理､化简成关于k 的方程()()22200000044240x x k y x y k y +-++-=，①判别式()()()2222200000000042444161664y x y y x x x y x ∆=+--+=++，00k ∴=.直线()00y y k x x -=-与y 轴的交点为()000,y kx -设()()0100200,,0,M y k x N y k x --，则210MN k k x =-，而21,k k 是方程①的两根，则2100MN k k x =-=，又()220064x y -+=，[])000||4,8MN x ∴==∈()t t ∈，21616||66t MN t t t==++由于函数6t t+在区间是单调递减，所以max min |||MN MN =MN ⎡∴∈⎢⎣【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法，圆的弦的性质，圆的切线，点到直线的距离，考查了推理能力，运算能力，属于难题.。

该冰淇淋的体积是
cm3．
【答案】 16 +16 3π。 3
【分析】由圆锥侧面展开图信息可求的圆锥底面圆半径和圆锥母线长，从而求得圆锥体的高， 可分别求得圆锥体的体积和半球的体积，二者相加即可。
【解答】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 ，弧长为 4 cm 的扇形，从而圆锥底面圆 5
半径
r=
弧长 2π
．
【答案】{1,4} 【分析】由交集定义求解。
【解答】A＝ x x 1 ，B＝{﹣1，0，1，4}，则 A B＝{1,4}
【点评】考察集合交集的求解，属于简单题。
2．已知 i 是虚数单位，复数 z＝(1＋bi)(2 ＋i)的虚部为 3，则实数 b 的值为
．
【答案】1.
【分析】展开复数 z，对照复数的虚部的系数，列出方程求解即可。
【点评】将双曲线与三角函数对称性勾连到一起，利用三角函数得到 b 与 c 的关系，从而建 立 a 与 c 的关系，属于中档题。
x 0
8．若 x，y 满足约束条件 x − y 0 ，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
x + y −1 0
【答案】3.
【分析】由约束条件画出（x,y）的区域，再考察 z=x+3y 的最大值。
【解答】z=2-b+(2b+1)i，因此 2b+1=3,b=1.
【点评】考察复数的展开及虚部的概念，属简单题。
3．从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概
率为
．
【答案】 2 3
【分析】古典概型，列出一男一女的可能选法的种数和三选二选法种数，二者相除即可。
【点评】考察对学生频率分布直方图的读取和理解，颇具新意。

扬州市2019—2020学年度第一学期期中调研测试试题高三 数学 参 考 答 案一、 填空题：1. {1,2,3,4}2.1122i - 3. 04.2y x =±5.56. 167.5 8. 110.32-11.12.⎡⎢⎣⎦13.12 14.21,3e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦二、解答题： 15．解： (1)由103x x +<-得{}13A x x =-<<………………2分 0m =时,由240x -+≥得[]2,2,B =-………………4分(]1,2,A B ∴⋂=-………………7分(2)由22240x mx m -+-+≥得：{}22B x m x m =-+≤≤．………………9分 {}13A x x =-<<(][),13,R C A ∴=-∞-⋃+∞． ………………11分∵R B C A ⊆∴23m -≥,或21m +≤-， ∴5m ≥或3m ≤-． ∴实数m 的取值范围为(][),35,-∞-⋃+∞……………14分 16.解：53cos ,2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈απα,54sin =⇒α4tan 3α=………………………………2分41tan tan34tan()7441tan tan 1143παπαπα+++===--⋅-⋅………6分 （2）,2524cos sin 22sin ==ααα …………………………………8分.257sin cos 2cos 22-=-=ααα …………………………………10分则sin(2)sin 2cos cos 2sin 666πππααα+=+24717()25225250-+=⋅+-⋅=14分 17．解：（1）因为():3l y k x =+与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离2d ==， …………………………3分解得0k =或125k =所以斜率k 为0或125…………………………7分 （2）法一：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B由()22324y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D ⎝⎭…………………………10分则()3,3,AB BD ==⎝⎭，…………………………12分所以1λ==． …………………………15分法二：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 过点C 作AB 的垂线交AB 于点M ，则CM =BM2=，…………………………10分2MD ==，22BD =-……………12分 又AB ==所以1λ==…………………………15分法三：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 设()00,D x y因为AB BD λ=，点D 在第一象限，所以()()003,3,3x y λ=-，0λ>则()00333x y λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，得00333x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即33,3D λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………12分又点D 在圆上，所以2233324λλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1λ=（舍去）或1λ= ……………15分18．解：设EF 中点为M ，连结OM ，则cos ,2sin OM AD θθ== （1）当3πθ=时，杠铃形图案的面积1222sin cos cos 323333S ππππ⎛⎫=-⨯⨯+ ⎪⎝⎭2233π=+…………5分 答：当3πθ=时，杠铃形图案的面积为2233π-+平方米．…6分（2）杠铃形图案的面积()22sin cos cos 3S θθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()'S θ=2222[1(cos sin )sin ]3θθθ---222(2sin sin )3θθ=-……9分因为5412ππθ≤≤，所以2212sin sin 2sin (sin )033θθθθ-=->， ()'0S θ>，()S θ单调递增…11分所以当4πθ=时，()S θ的最小值为22sin cos cos 44434S ππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123π=-+.答：杠铃形图案的面积的最小时为123π-+平方米．……15分19. 解：（1）设椭圆的焦距为2c因为线段F F 12为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎭所以25c =法一：())12,F F ，则1226a PF PF =+=，3a =所以2b ===则椭圆的方程为22194x y +=……………4分法二：又点P ⎝⎭在椭圆上所以22222215ab a b ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪=+⎩，解得2294a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22194x y +=……………4分（2）①因为直线y kx t =+=()2251t k =+ (ⅰ)由22194y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22294189360k x ktx t +++-=因为直线与椭圆相切，所以()()()222184936940kt t k =--+=即22940k t -+=（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）得1252k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩负值舍去……………10分②取BD 中点M ，连结OM ，则OM AB ⊥， 又AB DE =，所以M 为AE 中点法一：由1y kx ty x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得22,11kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22212,11t k kt E k k ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭代入椭圆方程化简得()422423621929k k t k k ++=-+()2242361929k k k +=-+设211m k =+> 则2236112042t m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当2m =时，t 取最大值3，此时1k =．又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分法二：则OM AB ⊥，M 为AE 中点所以OE OA t ==由22222194x y t x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得()22945t x -=，则22549x t =+ 又29x ≤，所以3t ≤，t 的最大值为3，此时1k =又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分20.解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞ 当1a =时，21()ln 21,()2 2.f x x x x f x x x'=--++=--+(1) 1.f '∴=-所以，函数()f x 在1x =处的切线方程为2(1)y x -=--即30x y +-=………………2分（2）2()ln 22f x x ax ax a =--+-+，2221(),(0)ax ax f x x x-+'∴=->. 当0a =时,1()0.f x x'=-<()f x ∴是单调减函数. 符合 ………………3分当0a >时, ,()f x 若是单调增函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≥， 即22210(0)ax ax x -+≤>恒成立,这不可能;………………5分()f x 若是单调减函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≤， 即22210(0)ax ax x -+≥>恒成立,令2h(x)=221ax ax -+,其开口方向向上,对称轴方程为12x =, h(0)=10,> 故2min 111()()2()210,02222h x h a a a ==-⋅+≥∴<≤ 又,1,2.a Z a ∈∴=………………7分综上，满足条件的非负整数a 的值是0,1,2………………8分 （3）()()3g x f x x =+-2()ln (21)1g x x ax a x a ∴=--++--22(21)1(1)(21)1()221=ax a x x ax g x ax a x x x-++--'∴=--++=--①当0a …时，210ax x-<. 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，g ()0x '>，()g x 在(1,)+∞上为增函数.所以当(0,]x b ∈(1)b e <<时，min ()(1)0()g x g g b ==<，不符合题意.………10分②当0a >时，12(1)()2g ()a x x a x x--'=-.（i ）当112<，即1a >时，当x 变化时，(),g()g x x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()()2g g e a >，整理得21ln 2(2)204a e e a e a++-+->. 令211()ln 2(2)2()42F a a e e a e a a =++-+->>， 当12a >时，2221141()2(2)044a F a e e e e a a a -'=-+-=+->， 所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，2211111()()(2)2(2)022222F a F e e e e >=+-+-=-+>. 可见，当12a >时，1()()2g g e a>恒成立，故当12a >，(0,]x b ∈(12)b <<时，函数()g x 的 最小值为().g b ；所以12a >满足题意.………………12分 （ⅱ）当112a=，即12a =时，2(1)()0x g x x -'=-…，当且仅当1x =时取等号. 所以()g x在(0,)+∞上为减函数.从而()g x 在(0,]b 上为减函数.符合题意. ………13分 （ⅲ）当11>，即10a <<时，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：若满足题意，只需满足()(1)g e g <，且12e a<（若12e a …，不符合题意）， 即22(1)e a e ->-，且12a e>. 又22221(1)20(1)22(1)e e e e e e ----=>--，22221(2)1(1)22(1)e e e e -----=<--221(1)2e a e -∴<<-. 综上，22(1)e a e ->-.所以实数a 的取值范围是22(,).(1)e e -+∞-………………16分 21.解：(1)因为矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩………………5分 (2) 由(1)知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以24141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.………………10分 22. 解：（1）每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35， 两次都取得白球的概率是252⎛⎫ ⎪⎝⎭，两次都取得红球的概率是352⎛⎫⎪⎝⎭，故两次取得的球颜色相同的概率为：2349135525252522⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.-----------------3分 (2)X 可能的取值为2,3,4. ------------------------------------4分224(2)5525P X ==⨯=，233212(3)555525P X ==⨯+⨯=，339(4)5525P X ==⨯=.------------------------------------8分 所以的分布列为：所以X 的数学期望()2342525255E X =⨯+⨯+⨯=. -------------10分23. 解：在正三棱柱111ABC A B C -中，取AB 中点O ，取A 1B 1中点O 1，连OC 、OO 1，则OO 1// AA 1，AB ⊥OC ，又正三棱柱111ABC A B C -中，AA 1⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥OC ，AA 1⊥AB ，所以OO 1⊥OC ，OO 1⊥AB.以O 为坐标原点，OA 、OO 1、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()O 0,0,0，()A 1,0,0，(C ，(C 1，()E 1,2λ,0，()F 1,22λ,0--，(1,2,CE λ=，(11,2,C F λ=--，（1）若1λ=2，(1,1,CE =，(11,1,C F =--，1111cos ,55CE C F CE C F CE C F⋅===⋅，故异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值为15. ………………5分（2）由（1）可得(1,22,CF λ=--，设平面CEF 的一个法向量(),,n x y z =，则()20220n CE x y n CF x y λλ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，取1z =得：()3n =-，取平面AEF的一个法向量(OC =，由二面角A EF C--的大小为θ，且sin θ=，得cos ,3OC n OC n OC n⋅===⋅⋅， 化简得21(21)3λ-=，所以36λ±=. ………………10分24. 解：(1) 2111(1)11S C =-⨯⨯=，212132222211113(1)(1)(1)2222k k k S C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯=-=∑， 31213243333331111313111(1)(1)(1)(1)32323236k k k S C C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=-+=+=∑，所以2112S S -=，3213S S -=.………………4分 (2) 猜想：110nn k S k=-=∑，即111123n S n=++++.………………5分 证法一：下面用数学归纳法证明.1°当1n =时，由(1)知，11S =，成立；2°假设当n m =时，111111(1)123mk k m m k S C k m+==-=++++∑. 则当1n m =+时，111211111111(1)(1)(1)1m mk k k k m m m m k k S C C k k m +++++++===-=-+-+∑∑ 112111(1)[](1)1mk k k m m m k C C k m +-+==-++-+∑ …………6分 111211111(1)+(1)(1)1m mk kk k m m m k k C C k k m ++-+===--+-+∑∑ 112111+(1)(1)1mk k m m m k S C k m +-+==-+-+∑. 又因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k m m m m kC m C k m k m k k m k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k m m kC m C -+=+，所以11111k km m C C k m -+=+，所以1m S +=121111+(1)(1)11mk k m m m k S C m m +++=-+-++∑ …………8分 121111+(1)(1)11m k k m m m k S C m m +++==-+-++∑ 12111+(1)(1)1m k k m m m k S C m +++=⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑ 1111(1)(1)1m k k m m m k S C m ++=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ 123111111111[(1)(1)(1)]1r rm m m m m m m m m m m S C C C C C C m ++++++++=--+-++-++-+-+ 11[(11)1]1m m S m +=---+ 11111+11231m S m m m ==+++++++， 综上1°2°，111123n S n =++++，故110nn k S k=-=∑. …………10分 证明二：因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k n nn n kC n C k n k n k k n k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k n n kC n C -+=+，所以1+1111k kn n C C k n -=+，所以111211111111(1)(1)(1)1n nk k k k n n n n k k S C C k k n +++++++===-=-+-+∑∑ （同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）1+1n S n =+， …………9分 所以111n n S S n +-=+，则111n n S S n +-=+，11n n S S n--=，，2112S S -=， 以上n 个式子相加得1111112n S S n n +-=++++， 又由(1)知1=1S ，所以111111231n S n n +=++++++， 当2n ≥时，111123n S n=++++，当1n =时，符合上式. 故111123n S n =++++，即110nn k S k=-=∑. ………………10分。

江苏省扬州市2020年中考：数学考试真题与答案解析一、 选择题本大题共有8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上。

1. 实数3的相反数是（ ）A. ﹣3B.C. 3D. 133±2. 下列各式中，计算结果为的是（ ）6m A.B. C.D. 23m m ⋅33+m m 122m m ÷()32m3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）()22,3P x +-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. “致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光. 在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（）A B. C. D.5. 某班级组织活动，为了了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷：准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是（ ）A. ①②③B.①③⑤C. ②③④D. ②④⑤6. 如图，小明从点A 出发沿着直线前进10米到达点B ，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C ，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D.........照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（ ）A. 100米B. 80米C. 60米D. 40米（第6题）（第7题）（第8题）7. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都各点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ∠ACD 的值为（ ）A.B.C.D.23328. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a ，b 为常数）的图像如图所示，由学习()2axy x b =+函数的经验，可以推断常数a 、b 的值满足（ ）A. a >0，b >0B. a >0，b<0C. a<0，b >0D. a<0，b<0二、 填空题本大题共有10小题，每小题3分，共30分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。