江苏省苏州市高三数学上学期期中试题

江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题（答案在最后）2024.11命题单位：注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A xx B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====---++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96kk k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x =+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0a a ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0a a ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x --D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)ln ln 111x x x f x x x x x-++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln1x g x x x -=++，则()11ln 1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A .5-B.5C.7-D.7【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tan θ，进而求出tan 2θ.【详解】∵π3sin 243θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴cos 3θ==，∴sin tan cos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.5【答案】B【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB 与AP的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB =+ ，两边平方2221618252525CP CA CB CA CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以5CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x =D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D .若0a <，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得ac bd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a <，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1a b ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x =-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x +'=-，由()0g x '=得x =当(,x ∈-∞时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当(x ∈时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b =时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15a x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x--+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11a x x x ⎛⎫≤-++⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x xx ϕ∈-=-++，则332()x x x xϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x =-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x =-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()a h x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)31,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924a b c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c =.故答案为：614.任何有理数mn都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为m n 的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n nb a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+=易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nna -=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141n n n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫=⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）10【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅= ，将(1)c a b λλ=+- 代入可得()210a b b λλ⋅+-=，再由数量积的定义求得1a b ⋅=-，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以2cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)c a b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1)562a a b b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c 最小为55，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ，又55c b ⋅==，所以15cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b与c夹角的余弦值为10.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x af x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x af x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得102a <<.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+= ⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tan tan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABC V 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E，则2π,2,3cos 2cos AE DBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DB CD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点()00,ex x ，将问题转化为0011e x t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，构造函数())()1e 0x m x x -=->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e 0e xx x m x m ->⇔>，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()ex xg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点()0,e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011e x t x =+-，令()e 1xh x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e xh x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a b a tb a b t --⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()ee 22e e 0xx x x H x h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e a aa t a t t --+-=⇒=+->，e e aAT bBTk k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1abAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex xxm x x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e1e aba b ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT >，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21nn c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12nn n c c +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m m n -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3nn n c c c +=+=，12nn n c c +∴-=，当2n ≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n--=+=+-，而13c =也满足上式，21nn c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m n n m m b a n n b c ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mm n m b a c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m m d d ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mm S m --=+++-⋅ ()241242(1)212m mm m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m mm m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m =时，左边0<，舍去，当4m =时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m =.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2mm S m =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。

江苏省18市县2021届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________.2、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，AC＝3，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为▲ ．3、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）已知正三棱柱ABC－则三棱锥D－BB1C1的体积为＿＿＿4、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D 是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1－EBD的体积为▲ ．5、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019高三期末） 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 ． 6、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ．7、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则12V V 的值是8、（无锡市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于 ． 9、（宿迁市2019届高三上学期期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ cm 3． 10、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BDD B -的体积为 ▲ ．11、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 12、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ．参考答案 一、填空题 1、38 2、36 3、233 4、3 5、83 6、23 7、148、3π 9、3π 10、1311、223π12、33π二、解答题1、（常州市2019届高三上学期期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别是棱1,AB CC 的中点. 求证：（1）CM //平面1AB N ； （2）平面1A BN ⊥平面11AA B B .2、（海安市2019届高三上学期期末）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥PC ，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，MD ∥平面P AC ，平面P AB ⊥平面PMC ，△CPM 为锐角三角形，求证： ⑴D 是PB 的中点；⑵平面ABC ⊥平面PM C ．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F//平面ADE．4、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B－EC－D的余弦值．5、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）6、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD 平面PAD，△PAD是PABC DE（第15题图）正三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：AE ⊥PC ； （2）求证：AE ∥平面PBC ．7、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E F ，，分别是111B C AB AA ，，的中点． （1）求证：EF ∥平面1A BD ；（2）若1111=A B AC ，求证：平面1A BD ⊥平面11BB C C ．8、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：C 1F//平面ABE ．9、（（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末））如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点． （1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角A CE B --的余弦值．10、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。

苏州市部分重点学校2022-2023学年高三上学期10月模拟数学试卷一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 的满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A.1B.2C.iD.2i -2.设集合{}13M x x =≤<，(){}2log 11N x x =-<，则（ ） A.NM B.M N C.M N M ⋂= D.M N N ⋃=3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则b 在a 上的投影向量是（ ）A.⎛ ⎝⎭B.⎝⎭C.()1,3--D.()1,34.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ） A.72B.108C.216D.4325.已知()212nx n x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（ ）A.160B.160-C.60D.60-6.若)()sin101sin 20α︒=︒-⋅-︒，则()sin 250α+︒=（ ）A.18 B.18-C.78D.78-7.设函数()e e sin 2x xf x x --=+，不等式()()e ln 10x f a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A.e 1- B.1C.0D.e 2-8.已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.c a b <<D.a c b <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a ，b 为正实数，且216ab a b ++=，则（ ） A.ab 的最大值为8B.2a b +的最小值为8C.a b +的最小值为3D.1112a b +++ 10.在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12BA BC ⋅=，则（ ） A.1AC =B.CA CD CA CD +=-C.2AD BC =D.BD CD ⋅=11.向量()sin ,cos a x x ωω=，22sin ,cos 242x x b ωπω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0ω>，函数()f x a b =⋅，则下述结论正确的有（ ）A.若()f x 的图像关于直线2x π=对称，则ω可能为12B.周期T π=时，则()f x 的图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.若()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34D.若()f x 在2,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A.()f x 在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减 B.若方程()1fx =有4个不等的实根，则e k >C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对1x ∀∈R ，()21,x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则e a ≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()2,N ξμσ~，()142P ξ≤=，()536P ξ>=，()35P ξ<≤=______.14.命题“x ∃∈R ，()()224210a x a x -++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______.15.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC △的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围______. 16.已知函数()12e ,132,1x x f x x x x +⎧≤=⎨-+->⎩，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()222sin 12f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域； （2）若0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()32f x =，求12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a C b c A -=. （1）求角A ；（2）若AD 为BC 边上中线，2AD =，5AB =，求ABC △的面积 19.（12分）某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”（1）某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表：根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？（2）以（1）中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高二学生中随机抽取4人 （i ）求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率；（ii ）记X 表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数，求X 的数学期望 附：参考数据与公式 （1）临界值表：（2）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++20.（12分）已知函数()21f x x a x b =-+- （1）当1a =-，2b =，求()f x 的最小值；（2）当1b =时，若()f x 在[)0,+∞上的最小值为0，求实数a 的取值范围； （3）当b a =时，若()1f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______. （1）求角A 的大小；（2）若ABC △为锐角三角形，且其面积为2，点G 为ABC △重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP |的取值范围. 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.22.（12分）已知函数()ln f x a x bx =-，()()()e 11,,xg x x m x a b m =-+-∈R（1）当1b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在1ex =处的切线方程为()e 12y x =--，且不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.高三数学模拟试卷参考答案一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】()()34i 12i 34i 36i 4i 812i 12i 55z -+--+-+++====++，∴z 的实部为1，选A2.【答案】A【解析】{}13M x x =≤<，{}13N x x =<<，∴N M ，选A3.【答案】C【解析】10cos ,10a b a b a b⋅-===⨯，b 在a 上的投影向量为()cos 1,3b a aθ⋅=--，选C.4.【答案】A【解析】第一步：将2名“生手”分配到3个小区共有23A 个结果 第二步：设有“生手”的小区，选两个“熟手”共有24C 个结果； 第三步：剩下两个“熟手”全排列共22A 个结果222342A C A 72=，选A5.【答案】B【解析】二项式的系数之和为64，∴264n =，∴6n =，6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式第1r +项()()()626122612316661C 2C 21C 21rrr r rr r r r r rr r T xx x x x ------+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，1233r-=， 则3r =，()3333346C 21160T x x =-=-，选B6.【答案】C【解析】()sin101sin 20cos10α⎛⎫︒︒=--︒ ⎪ ⎪︒⎝⎭，()cos10sin10sin 20cos10α︒-︒︒=⋅-︒︒，()()2sin 1030sin10sin 20cos10α︒-︒︒=-︒︒， ()()2sin 20sin10sin 204sin10sin 20cos10αα-︒︒=-︒=-︒-︒︒，∴()1sin 204α-︒=-()()()sin 250sin 22090cos220ααα⎡⎤+︒=-︒+︒=-︒⎣⎦()221712sin 201248α⎛⎫=--︒=-⨯-= ⎪⎝⎭，选C7.【答案】C【解析】()()e e sin 2x xf x x f x ---=-=-， ∴()f x 为奇函数，()e ecos 1cos 02x xf x x x -+=+≥'+≥，()f x 在R 上()()e ln 10x f a x f x x -+++≤，()()()ln 1e e x x f x x f a x f x a ++≤--=-，∴ln 1e x x x x a ++≤-，∴1e ln e ln e x x x a x x x x x +≤--=-令()e xg x x =，0x >，()()1e 0xg x x =+>'，()g x 在()0,+∞()0g x >，令e x x t =，0t >，ln y t t =-，1110t y t t-=-=='，1t =， y 在()0,1，()1,+∞，min 1ln11y =-=，∴11a +≤，∴0a ≤，选C. 8.【答案】B【解析】ln 1x x ≤-，（1x =时取“=”），∴()6661ln1.2 1.2155253<⨯-=<，∴a c < 比较0.20.2e 与13大小，先比较0.2e 与53大小，先比较e 与553⎛⎫⎪⎝⎭大小，556255e 3243⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭，∴210.2e 3b ->，即c b >，∴c 最大，选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ABC【解析】162ab a b ab =++≥+8ab ≤，A 对2a b +≥()228a b ab +≤，()2216228a b ab a b a b +=++≤++，∴28a b +≥，B 对162181822233222b b a b b b b b b b ---++=+=++-=++-≥+++，C 对()216a b b ++=，则()()1218a b ++=，1112a b +≥=++D 错 选ABC10.【答案】ABD【解析】1cos cos 2BA BC BA BC B B ⋅===，3B π=， ∴ABC △为正三角形，则1AC =，A 对2222122DA DC AC DA DA DC +-⋅===，∴22DA =，∴CA CD ⊥∴CA CD CA CD +=-，B 对AD 与BC 不平行，则2AD BC ≠，()22cos1501BD CD BC CD CD BC CD CD CB CD CD ⋅=+=⋅+=-︒+=，D 对 选ABD 11.【答案】ACD【解析】()221sin sin cos cos 242242x x f x x x x ωπωπωωω⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 关于2x π=对称，则242k πππωπ+=+，k ∈Z∴122k ω=+，k ∈Z 0k =时，12ω=，A 对2T ππω==，∴2ω=，()1242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不可能关于3,08⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 错.11sin 323422342f x x x πππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数则342k ωππππ+=+，k ∈Z ，334k ω=+，k ∈Z∵0ω>，∴0k =时，ω取最小值34，C 对 256x ππ-≤≤，则254464x πππππωωω-+≤+≤+，()f x 在2,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴2542642πππωπππω⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，∴302ω<≤，D 对12.【答案】BD 【解析】()()2ln 10ln x f x x -'==，e x =，()f x 在()1,e ，()e,+∞，A 错()f x 在()0,1，()1,e ，()e,+∞，0x <时，()0f x <，()()e e f x f ==极小值，()f x 为偶函数，∴()f x k =有4个不等的实根e k ⇔>，B 对 1201x x <<<，12122112ln ln ln ln x xx x x x x x <⇔< ()()12f x f x ⇔<在()0,1矛盾，C 错()1,x ∈+∞时，()f x 的值域[)e,+∞，()g x 的值域[),a +∞，1x ∀∈R ，[21,)x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =，∴[)[),e,a ⊆+∞+∞， ∴e a ≥，D 对三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】23【解析】()142P ξ≤=，∴12μ=，()536P ξ>=，∴()51134623P ξ<<=-=∴()2353P ξ<<= 14.【答案】62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】x ∀∈R ，()()224210a x a x -++-<，240a -=时，2a =±时，2a =-时恒成立，2a =时不恒成立； 240a -≠时240Δ0a ⎧-<⎨<⎩，625a -<< ∴625a -≤< 15.35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()()222222cos 2S b c bc A b c bc =+--+-，12sin 22cos 2bc A bc bc A ⋅=-， ∴sin 22cos A A =-，又∵22sin cos 1A A +=，sin 0A >，cos 0A >∴4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4tan 3A =，()43cos sin sin sin 41355sin sin sin 5sin 5C C A C b B c C C C C ++====⋅+，∵0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴0202A C C πππ⎧<--<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴22A C ππ-<<，∴13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭， ∴35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭16.【答案】(2e 0,71,3⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦【解析】过()2,0A -作1ex y +=的切线，切点()010,e x x +，1ex y +'=，011ex k +=切线：()00110e e x x y x x ++-=-过()2,0-，∴()00110ee 2x x x ++-=--，∴01x =-，11k =，设()21,eB ，2e 3ABk=， ∴2e 13k <≤满足条件过()1,0A -作232y x x =-+-的切线，切点()211,32x x x -+-，23y x '=-+，()()()2211111233223k x y x x x x x =-+--+-=-+-过()2,0-，∴211480x x +-=12x =，27k =-∴07k <<-时满足条件综上：(2e 0,71,3⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ∵02x π<<，∴72666x πππ<+<，∴1sin 2126x π⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭∴()f x 的值域为(]1,2-（2）∵()33cos22sin 2sin 26264f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵06x π<<，∴2662x πππ<+<，∴cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴312sin22sin 22126642424f x x x πππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭18.【解析】（1))cos sin sin cos sin sin sin a C b c A A C B A C -=-=)sin cos sin cos cos sin sin sin A C A C A C A C --=sin A A ⇒=，tan A =23A π=（2）()12AD AB AC =+， ∴2222211212942AD c b bc b c bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅-⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255129b b ⇒+-=，251040b b --=，()()813013b b b +-=⇒=∴11sin 13522ABC S bc A ==⨯⨯=△19.【解析】（1）抽取男生：50人，女生40人，∴5030812x =--=，403064y =--=列联表如下：∴()229030103020 2.25 2.70660305040K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关” （2）（i ）随机选取一名高二学生，优秀的概率602903P ==，非优秀为13∴4人中恰有3人“优秀”的概率为：3342132C 3381⎛⎫⨯=⎪⎝⎭（ii ）24,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()28433E X =⨯= 20.【解析】（1）当1a =-，2b =时，()212f x x x =--- 当1x ≤-时，()221233f x x x x x =--+=+-≥-当11x -<<时，()2231213,4f x x x x x ⎛⎤=--+=-+-∈--⎥⎝⎦当12x ≤<时，()[)221231,3f x x x x x =--+=+-∈当2x ≥时，()[)221213,f x x x x x =--+=-+∈+∞，∴()min 3f x =-（2）当1b =时，()2110f x x a x =-+-≥对[)0,x ∀∈+∞恒成立且1x =时可取“=”当()0,1)1,x ⎡∈⋃+∞⎣时，由()m 2ax110101x a x x a a x -+-≥⇒++≥⇒≥-+而11x -+<-，∴1a ≥-， ∴实数a 的取值范围为[)1,-+∞（3）法一：当b a =时，()211f x x a x a =-+-≥对任意的x ∈R 恒成立①当1a ≤时，注意到()()2111111244f a a a a a ⎛⎫=-=-=--+≤ ⎪⎝⎭与题设不符，舍去②当1a >时（i ）当1x ≤-时，()()22211f x x a a x x ax a =-+-=-+-，此时()f x 在(],1-∞上单调递减，故只需()()n 2mi 11f x f a a =-=+≥，显然成立（ii ）当11x -<<时，()()22222511124a f x x a a x x ax a x a ⎛⎫=-+-=--++=-+++ ⎪⎝⎭()f x 的对称轴为02ax =-<，故此时只需()11f ≥即可，故()11a a a -≥⇒≥（iii ）当1x a ≤<时，()()22222311124a f x x a a x x ax a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭函数()f x 的对称轴为2ax = 当12a≤，即12a <≤时，只需()211f a a =-≥，即a ≥2a ≤≤ 当12a>，即2a >时，只需23114a ->显然成立∴a ≥（iv ）当x a ≥时，()()()22211f x x a x a x ax a =-+-=+--，此时()2min 11f x a a =-≥⇒≥<综上：实数a的取值范围为1,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭法二：当b a =时，()221111f x x a x a a x a x =-+-≥⇒-≥--作出()2222,1111,11x x x g x x x x ⎧-≤-≥=--=⎨-<<⎩或，()h x a x a =-大致图象如下：显然0a >，考察1x ≥时()g x 在1x =处的切线AC ，()2g x x '=-，2k =- 切线AC 方程为()21123y x x =--+=-+与x 轴交于3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭当302a <≤时，显然()h x 有一些落在()g x 的下方，舍去 当32a >时，考察()h x 恰好经过A 点的情形，此时()1111a a a a -=⇒-=，210a a --=，a =∴a ≥综上：实数a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭法三：必要性探路由211x a x a -+-≥，令11112x a a a =⇒-≥⇒≥（必要性）下证充分性，当12a ≥时（i ）若1x ≤，则()2111x a x a a a -+-≥-≥=（ii ）若x a ≥，则2221111x a x a x a -+-≥-≥-≥> （iii ）若1x a <<，则()2222311124a x a x a x a a x x a ⎛⎫-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭①若122a ≤≤，则()22311124a x a a a ⎛⎫-+-≥-≥ ⎪⎝⎭ ②若2a >，则222331121244a x a a ⎛⎫-+-≥->> ⎪⎝⎭，充分性成立，综上：a ≥21.【解析】（1）若选①，则()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A =+=+=1cos 2A ⇒=， 3A π=若选②，则()tan tan tan 1tan tan B CB C B C+=+=-tan A =3A π=，（2）()2133AG AD AB AC ==+，过M 作ME CN ∥交AB 于点E ，∴E 为AN 的中点，∴AE EN NB ==，∴()1111224BP AP AB AM AB AC PM =⇒=+=+ ∴11612GP AP AG AB AC =-=-()2222211144421442144GP c b bc b c bc ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭ 221421427272b c bc b c bc c b +-⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭而1sin 2232bc bc π=⇒=，222222122b c bc a b c bc a +-⋅=⇒+-= ∵ABC △为锐角三角形，∴222222222222222222222122b c bc b c a b c b b c a b c b c bc c a c b b c bc c b ⎧⎧+-+>+>⎪⎪⎪⎪+>⇒+>+-⇒<<⎨⎨⎪⎪+>+-+>⎪⎪⎩⎩令b t c =，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2141132,7236144GP t t ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴GP的取值范围为16⎛ ⎝⎭.22.【解析】（1）当1b =时，()ln f x a x x =-，()1a a xf x x x-=-='， 当0a ≤时()0f x '<，()f x 在()0,+∞上当0a >时，令()0f x x a ='⇒=且当0x a <<时，()0f x '>，()fx ；当x a >时，()0f x '<，()fx（2）()1a f x x '=-，由题意知1e 1e 1()e 11e 11111()1e e ee af a b b a f ⎧-=-=-⎧⎪=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--=--⎩⎪⎪=⎩'--⎪⎩ ∴()ln f x x x =-，由()()()e 11ln xf xg x x m x x x ≤⇒-+-≥-mine ln 1e 1ln x xx x mx x x m x ⎛⎫--⇒≤--⇒≤ ⎪⎝⎭而ln e ln 1e ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x x x x x+----++--=≥= 当且仅当ln 0x x +=时取“=”，显然可取“=” 综上：1m ≤，即m 的取值范围为(],1-∞。

江苏省苏州五中2013---2014学年第一学期阶段测试高三数学试卷3. 计算5log 3333322log 2log log 859-+-的结果是______________.4. 已知幂函数y k x α=⋅的图象过点1(2，则k α+=________. 5. 函数12ln y x x=+的单调减区间为______________. 6. 函数24()2x x f x -+=的值域是_____________． 7. 函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．8. 函数1log 2)(21-=x x f x 的零点的个数是______________.9.若函数()log (2log )a a f x x =-在1[,4]4上单调递减，则正实数a 的取值范围是________．10. 已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12x x 、，并且1201x x <<<，则b a 的取值范 围是 .11. 若命题2[1,3],(2)20a ax a x ∃∈+-->“使”是真命题，则实数x 的取值范围是______. 12. 已知函数21()ln 22f x x ax x =+-存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 13. 已知二次函数21()2f x x x =-+的定义域和值域分别为[m ,n ],[3m ,3n ],则m =_________.14. 已知函数2()ln (f x a x x a =+为常数)．若存在[]1,x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题15. （本题14分）已知集合{}221|0,|2207x A x B x x x a a x -⎧⎫=>=---<⎨⎬-⎩⎭ （1）当4a =时，求A B ; （2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.16. （本题14分） 二次函数的图像顶点为(1,16)A ,且图像在x 轴上截得的线段长8.（1）求这个二次函数的解析式；（2）在区间[1,1]-上，)(x f y =的图象恒在一次函数m x y +=2的图象上方，试确定实数m 的范围．17. （本题15分）已知定义域为R 的函数ab x f x x+-=22)(是奇函数. （1）求b a ,的值;（2）用定义证明)(x f 在(,)-∞+∞上为减函数.（3）若对于任意R t ∈,不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围.18. （本题15分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，2AD =米， (1)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求最小面积；(2)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积。