成比例线段（二）
一、学生知识状况分析
这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观
察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道
了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例
线段的基本性质解决实际问题
二、教学重点：让学生理解并掌握比例的合比、等比性质及其简单应用。
教学难点：合比、等比性质的推理及性质的灵活应用。
三、教学过程
1.探究新知
活动内容：
(1)如图，已知21==AE CE AD BD ，你能求出AE
AE CE AD AD BD +=+ 的值吗？如果CE AB BC AB = ,那么CE CE AC BD BD AB -=-有怎么样的关系？在求解过 程中，你有哪些方法？（预设：特值法、设k 法、同分母加减法则逆用法）你有
什么发现？
（2）已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数。
成立吗？为什么？和那么如果d d c b b a d d c b b d c b -=-+=+=a ,a
(3) 如图，HG AD FG CD EF BC HE AB ,,
,的值相等吗？HG FG EF HE AD CD BC AB ++++++
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
（4）已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数。
1、 合比性质有两种形式：如果
d c b a =，那么b b a +＝d d c +；如果d c b a =，那么
d d c b b a -=-，要灵活应用。 2、 要强调等比性质中，分母b+d+……+n ≠0 。
2.知识应用
题组一
题组二
成立吗？为什么？那么如果b a f d b e c f d b f e d c b =++++≠++==a ),0(a 的周长。求，的周长为且中，若与、在；与求、已知DEF ABC FD CA EF BC DE AB DEF ABC b a ??===??+=cm 18,43)2(b b -a b b a ,32)1(.),0(.,b a n d b m c a n d b n m d c b a d
d c b b a d c b a =++++++≠++===±=±= 那么等比性质：如果那么合比性质：如果的值。、已知d c ),0(321++≠+==b a d b d c b a
题组三 4.（x+y ）:z=(x+z):y=(y+z);x=k,求k 的值 四、小结
通过本节课的学习，我们了解了成比例线段的合比性质及等比性质，并在合比性质及等比性质的推导过程中，培养了推理能力，也学会了运用比例线段的基本性质解决问题，比例线段的知识将对我们今后的学习有重要的帮助。
_____,9171==+y x y y x 则、若
____23,412的值为则、若b b a b a +=的值）的值（）求（、已知：c a c b b c b c b a +-+++==32a 2a 1.7
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一、相似图形:具有相同形状的图形 注 （1） 与图形的大小，位置、颜色等无关， （2）相似图形可通过放大，缩小得到。 （3）全等图形是相似图形的特殊情况。 （4）相似图形的边的条数相同，对应线段的比值相等，对应角相等 如：所有的正方形、等腰直角三角形，等边三角形，圆是相似图形。 二、成比例线段 1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫这两条线段的比 （1）线段的比与线段的长度单位无关，但要采用同一单位。 （2）线段的比无单位。结果一般化为最简整数比 2、比例线段 ①概念：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条 线段的比， 如 d c b a =（或a ∶b ＝c ∶ d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 注：（1）单位统一 （2）顺序性： 称a, b ，c,d 成比例 称a,d,c,b 成比例 ②比例线段中的相关概念 已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果d c b a =(a∶b＝c∶d)， 线段a 、b 、c 、 d 叫做组成比例的项. 线段a 、d 叫做比例外项， 线段b 、c 叫做比例项， 线段d 叫做线段a 、b 、c 的第四比例项. 特别地，当比例项相等时，即c b b a =(a∶b＝b∶c)，那么b 叫做a 、 c 的比例中项. 注:（1）线段a,b,c, d 成比例，其表示方法是有顺序的； （2）判断四条线段是否成比例的方法 ○ 1排序：按线段长度排序 ○ 2看前两条线段的比是否等于后两条线的比 如果m n n p =，比例外项是 ；比例项是 ；比例中项是 。 3.比例的性质 (::)a c a b c d b d ==或(::)a c a d c b d b ==或
《成比例线段》教案 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离. 教学过程 一、复习引入
1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad＝bc可推出哪些比例式？ 3.练习：(1)若3x＝4y，求x y、 x x－y、 x－2y x＋y的值. (2)若a＋b a＝ 5 3，求 a－2b b的值. (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z 2x＋3y－z的值. (4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b ＋4c的值. (5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm.求AB:CD的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？ 在同一长度单位下，a，b，两线段长度的比叫做这两线 段的比.记为a：b或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为A B:CD. 比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b
《比例的性质》练习题 一、填空题 1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。 2、线段a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____ 。 3.在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = . 4.若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x . 5.若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = . 6.已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = . 7.若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a . 8.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= . 9.若322=-y y x , 则_____=y x . 10、若0622=--y xy x ，则=y x : . 11.如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE = ； 12.已知，线段a = 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例 中项b 是 . (第11题图) 二、选择题 1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知32=b a ，则b b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)5 3 5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3 6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米 8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm A C D B E
直角三角形中成比例线段（二） 一、教学目的和要求 1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。 2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。 二、教学重点和难点 掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。 三、教学过程 （一）复习、引入 直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。 （1）两锐角互余 （2）勾股定理 （3）斜边中线等于斜边一半 （4）?30角所对的直角边等于斜边的一半 （5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似 （6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。 （二）新课 今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。 我们知道ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，这里可以得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。（见图1） CB AC CBD ACD BC AB CBD ABC AC AB ACD ABC ??????,~)3(,~)2(, ~)1(边的比例式改写成等积式是(1)AB BD BC AB AD AC ?=?=22)2(中AD BD CD ?=2)3(中这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系
分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。 如图2，CD 是ABC Rt ?的斜边AB 上的高，设h CD c AB b CA a BC ====,,,，p DB q AD ==,，用q p h c b a 、、、、、表示图中的关系。 1. 勾股定理 2222 222 22)3()2()1(a p h b q h c b a =+=+=+ 2. 比例中项关系 ()3(()2()1(222p q c q b p c p a q p h =?==?=?= 3. 面积关系 ch ab = 4. 其它 22 b a q p = 通过以上关系,我们可以分析出在ABC Rt ?的六条线段q p h c b a 、、、、、中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。 例1 如上图CD 是ABC Rt ?的斜边AB 上的高。 （1）已知：h b a 求：,4,3== 解：AB CD ACB ⊥?=∠,90 5 125 43222==∴==+=+=∴2c ab h ch ab b a c
《比例线段》教案 教学目标 1、了解相似图形、相似多边形、相似比及比例线段等概念． 2、了解比例线段的相关概念及性质． 3、理解黄金分割的相关概念． 教学重难点 比例线段的性质及其应用． 教学过程 知识点点拨 相似多边形： 从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形.从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数． 比例线段： 1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a m b n =. 2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段.例如线段a 、b 、c 、d ，如果 a c b d =，则称线段a 、b 、 c 、 d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成 b c a d =或a d b c =. 3、比例外项、比例内项、比例中项： 若 a c b d =，则称a 、d 为比例外项，b 、 c 为比例内项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项. 比例性质： 1、基本性质：如果 a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad b c =. 2、合比性质：如果a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=.
3、等比性质：如果a c m b d n ===…(0b d n +++≠…)，则a c m a c m b d n b d n +++====+++………，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠…的条件. 知识点4 黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AP 、PB (AP ＞PB )，如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点. 平行线截线： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例． 典型例题点拨 例1、已知34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c b _______，若a 是b 、 c 的比例中项，则=c b _________. 点拨：解此题要注意两点，1、比例条件的常规使用方法.2、比例中项的意义. 解答：∵3 4=b a ，可令4a x =，则3b x =，又∵b 是a 、c 的比例中项，∴224312b ac x x x ==?=，∴21223b x x =±=±，∴ 232333b x c x ==；若a 是b 、c 的比例中项，则2a bc =，即22(4)3a x b c x ===163x ，∴1616339 x b c x ==. 例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f -+-+的值. 点拨：注意到 3232a c e b d f -+-+分子分母中的各项系数是一致的，可联想到比例的等比性质. 解答：∵35a c e b d f ===，∴323325a c e b d f -===-，由等比性质可得323325 a c e b d f -+=-+. 例3、已知118 x y x +=，求x y . 点拨：本题考查比例的基本性质，易错点是由38x y =化成比例式时错成 38 x y =，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解.
第四章图形的相似 1．成比例线段（第1课时） 制作人 班级：姓名：2015年月日 教学目标：1、了解线段的比概念。2、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。教学重点：理解线段的比的概念及其求解。 教学难点：求线段的比，要注意线段的长度单位一致。 教学过程： 一、认识线段的比：线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别 是m，n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成AB m =其中,AB,CD分别叫做这个CD n 线段比的前项和后项.如果把m AB 表示成比值k,那么 n CD =k,或AB=k·C D.两条线段的比实际 上就是两个数的比。 想一想：两条线段长度的比与采用的长度单位有没有关系？ 例如：数学课本长为21cm，宽为15cm，则长与宽的比为______________;如果把单位改为mm，则数学课本长与宽的比为________________;如果把单位改为m，则数学课本长与宽的比为________________. 结论：两条线段长度的比与采用的长度单位_________. 【基础练习一】 1、线段a=5cm,b=50cm,则a:b=_____. 2、线段a=3cm,b=12mm,则a:b=_____. 3、已知点P在线段AB上，且AP:PB=2:5,则AB:PB=_____,AP:AB=___ 二、比例线段： （1）什么是比例线段？四条线段中，如果其中两条线段的比________另外两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （2）若a、b、c、d是比例线段，则________ 【基础练习二】 1、下列四组线段中，成比例线段的是（） A3cm,4cm,5cm,6cm B4cm,8cm,3cm,5cm C5cm,15cm,2cm,6cm D8cm,4cm,1cm,3cm 2、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a的长度是多少？如果改成四条线段b、c、d、a成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则此时线段a的长度是多少？
《成比例线段》教案教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a b= c d，那么这四条 线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离.教学过程 一、复习引入 1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad＝bc可推出哪些比例式 3.练习：(1)若3x＝4y，求x y、 x x－y、 x－2y x＋y的值. (2)若a＋b a＝ 5 3，求 a－2b b的值. (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z 2x＋3y－z的值. (4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值. (5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm.求AB:CD的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢什么是比例线段 在同一长度单位下，a，b，两线段长度的比叫做这两线段的比.记为a：b或a b
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 三、模仿与应用 例题：已知线段a =10mm ，b =6cm ，c =2cm ，d =3cm.问：这四条线段是否成比例为什么 答：这四条线段成比例 ∵a =10mm=1cm ∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12 ∴a c ＝d b ，即线段a 、c 、d 、b 是成比例线段. 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A
一、复习回顾，引入新课 （1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。 二、自探：阅读课本Pa76---Pa78; 三、自探：1、做一做(1)在下面的格点图中，如果设水平（或竖直）的相邻两格点间的距离为1cm ，那么 AB= ,BC= ,A ′B ′= ,B ′C ′= ; (2) 计算B A AB ''= ,C B BC ' '= (3)你能发现B A AB ''与C B B C ''之间有什么关系 四、线段的比： 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n,那么这两条线段的比就是 ，即 或n m CD AB =,其中AB,CD 分别叫做这个线段比的 如果把 n m 表示成比值k,那么k CD AB =,或 .两条线段的比实际上就是两个数的比。 五、如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，AD ，EF ，EH 的长度分别是多少？分别计算 值。 科 目 课 题 4.1.1 成比例线段 授课时间 2014.10 设 计 人 学案序号 24 学习目标 1、通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段； 2、掌握并会推导比例的性质； 会用比例的性质实行解题。 重 点 成比例线段、比例的性质。 难 点 比例性质的推导与应用。 教师寄语 美，是智慧，是静谧。 EF EH AD AB EF AD EH AB ,,,
六、 比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做 ，简称比例线段. 上图中AB,EH,AD,EF 是成比例线段，AB,AD,EH,EF 也是成比例线段。 七、议一议：如果a,b,c,d 四个数成比例，即 d c b a =，那么ad=bc 吗？反过来如果ad=bc ，那么a,b,c, d 四个数成比例吗？ 八、比例的基本性质 如果d c b a =,那么 如果ad=bc(a,b,c, d 都不等于零)，那么 九、例题： 如图，一块矩形绸布的长AB=a m,AD=1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a 的值理应是多少？ AB AD AD AE = 导（学）后记： 练习：判断下列线段a 、b 、c 、d 是否成比例线段 （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ；
第九章图形的相似 1．成比例线段(一) 一、学生知识状况分析 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级上册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的 比时不会感到很困难。 二、教学任务分析 （一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。 （二）能力训练要求 通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。（三）情感与价值观要求 1．、．有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心； 2．、．通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 3．、．在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。 教学重点：理解线段比的概念及其求解。 教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。 教学方法：探索、发现法 教学准备：多媒体课件 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节： 新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考； 第六环节：布置作业。
第一环节设置情境，引入新课 活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。 活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。第二环节：新课讲解活动内容： 1.请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n,那么就说这两条线段的比（ratio ）AB:CD=m:n,或写成n m CD AB 其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项 .如果把 n m 表示成比值k,那么 k CD AB ,或 AB=k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。 五边形ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB=5cm ，A ’B ’=3cm 。AB: A ’B ’=5 : 3，就是线段AB 与线段A ‘B ’的比。这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
学生做题前请先回答以下问题 问题1：若四条线段a，b，c，d是成比例线段，则___________． 问题2：比例的性质： ①基本性质：若_______________，则__________________； 若ad=bc（a，b，c，d都不等于0），则_________________． ②等比性质：若______________，则_______________，其中_______________________．问题3：平行线分线段成比例： 三条平行线截两条直线，所得的_______________的比相等． 推论：_____________________________________________． 问题4：黄金分割： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_____________，那么称线段AB被点C_________， =________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点． 问题5：形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示____________的字母写在对应的位置上． 问题6：相似多边形： _________________、_________________的两个多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________． 问题7：相似三角形： _________________、_________________的两个三角形叫做相似三角形． 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 相似图形及成比例线段 一、单选题(共15道，每道6分) 1.已知a，b，c，d是成比例线段，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则线段a的长是( ) A.1cm B.4cm C.5cm D.9cm 答案：A 解题思路：
２４.２ 相似图形的性质 第一课时 成比例线段 教学目标 ： 1、掌握线段的比、成比例线段等基本概念并能区分。 2、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。 3、利用比例的性质，会求出未知线段的长。 4、掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质。 重点难点： 重点：比例线段的意义和比例的基本性质 难点：运用比例的基本性质推导比例的其余性质。 教学过程： 一、课前预习： 1.回忆以前学习的比例的基本性质： 2.根据图形填空： 由上面的格点图可知， ``B A AB ＝_________，``C B BC ＝___________, 这样``B A AB 与` `C B BC 之间有关系___________________________。 二、课内探究； （一）、成比例线段的概念： 活动一：自主探究（成比例线段的概念） 像上面第2题这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a ＝d c （a:b=c: d ）,那么，这四线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 图24.2.1
根据课前预习第2题和成比例线段的概念进行探究： 线段的比和成比例线段这两个概念有什么区别？以小组为单位发表你的见解：______________________________________________________________________________________________________________________________。 活动三：有效训练： 例1、判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（分析完后，两生到黑板完成） （1）a=4，b ＝6,c ＝5,d ＝10； （2）a ＝2,b ＝5，c ＝215,d ＝53。 精讲点拨：回顾成比例线段的概念：对于四条线段，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段就叫做成比例线段 解： 合作交流：存在问题和困难的同学小组交流一下。 （二）、成比例线段的性质： 活动一：阅读课本46页中间部分，将比例的基本性质填入下面的空格中： 比例的基本性质：①_______________________________________________ ②_______________________________________________ 活动二：合作交流： （1）对于①，你能用语言叙述一下吗？ （2）对于②：如果ad=bc(a 、b 、c 、d 都不等于0)，除了可以得到 b a ＝d c 外，你还可以得到其它式子吗？交流一下，展示小组交流的结果： ∵ad=bc ∴b a ＝d c 或_______________________________________________________
成比例线段 一、学生知识状况分析 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难。 二、教学任务分析 （一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。 （二）能力训练要求 通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。 （三）情感与价值观要求 有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心；通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。 教学重点：理解线段比的概念及其求解。 教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。 教学方法：探索、发现法 教学准备：多媒体课件
三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。 第一环节 设置情境，引入新课 活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。 活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。 实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。 第二环节：新课讲解 活动内容： 请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（rat io ）AB:CD =m:n ,或写成n m CD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 n m 表示成比值k,那么k CD AB =,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。 五边形 ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB=5cm ，A ’B ’=3cm 。AB: A ’B ’=5 : 3，就是线段AB 与线段A ‘B ’的比。 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
《成比例线段》教案 教案目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教案重点、难点 教案重点：比例线段的概念. 教案难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教案的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离. 教案过程 一、复习引入 1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad ＝bc 可推出哪些比例式？ 3.练习：(1)若3x ＝4y ，求x y 、x x －y 、x －2y x ＋y 的值. (2)若a ＋b a ＝53 ，求a －2b b 的值. (3)x :y :z ＝2:3:4，求x －y ＋z 2x ＋3y －z 的值. (4)已知a :b :c ＝3:4:5，且2a ＋3b －4c ＝－1，求2a －3b ＋4c 的值. (5)已知线段AB ＝15cm ，CD ＝20cm .求AB :CD 的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？ 在同一长度单位下，a ，b ，两线段长度的比叫做这两线段的比.记为a ：b 或a b
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 三、模仿与应用 例题：已知线段a =10mm ，b =6cm ，c =2cm ，d =3cm .问：这四条线段是否成比例？为什么？ 答：这四条线段成比例 ∵a =10mm =1cm ∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12 ∴a c ＝d b ，即线段a 、c 、d 、b 是成比例线段. 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段. 反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等. (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积. 例如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高.请找出一组比例线段，并说明理由. 分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例， 只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积) (2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？ (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得 的等式可以写出怎样的比例式. 例如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km ？ 注意：要设实际距离为s ；求角度时要注意方位. 解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm ，设实际距离为s ，则 A B C D
成比例线段教案 教学目标： 1、知识目标：要求学生掌握线段的比、成比例线段等基本概念，掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质或进行简单的变形；会判断已知线段是否成比例。 2、能力目标：培养学生的观察、归纳、探索和主动获取知识的能力。 3、情感目标：在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质；在合作学习及相互交流中，培养学生团队精神。 教学重点：线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质。 教学难点：能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质。 教学方法：引导启发、自主探索、合作交流 教学手段：课件教学 教学过程：（“导学互动”教学模式） 一、自学指导 1出示提纲，学生自学 相关知识链接：线段与比例的概念。 2.小组合作，师生互动 1）、两条线段的比:在同一单位下两条线段长度的比，叫做这两条线段的比。 自主探索：两条线段的比有什么特点？ 结论：1）线段的比是一个无单位的数。2）线段的比值是一个正数。3）两条线段长度单位不同时，要先统一单位。4）只要两条线段单位一样，线段的比与所采用的单位无关。 2）、成比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，也称这四条线段成比例． 3）、比例的项：已知线段，a,b,c,d 满足a:b=c:d则a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫做比例外项，线段b,c叫做比例内项，线段d叫做a,b,c的第四比例项。 4）、比例中项：如果作为比例内项的是两条相同的线段b，那么，线段b叫做线段a 和线段c的比例中项。 合作互动 例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段： （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；（2）a＝2，b＝6，c＝3，d＝9． 解（1）∵4:6=2:3，5:10=1:2，∴4:6≠5:10， ∴线段a、b、c、d不是成比例线段． （2）∵2:6=1:3，3:9=1:3，∴2:6=3:9，∴线段a、b、c、d是成比例线段． 教你一招： 方法1：统一单位后，从小到大排列，若第一与第二，第三与第四条线段数量的比相等，则这四条线段成比例。 方法2：统一单位后，从小到大排列，若第一与第四、第二与第三条线段数量的积相等，则这四条线段成比例。
九年级数学 平行线分线段成比例 一、教学目标 1．知识目标： 了解平行线分线段成比例定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 （1）什么叫比例线段？ 答：四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b =c ：d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段. （2）比例的基本性质？ 答：如果 a ：b =c ：d ，那么ad =bc. 如果 ad =bc ，那么 a ：b =c ：d . 如果 a ：b =c ：d ，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d. 2.引入新课 做一做 在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1 ，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3. 图4-6 （1）计算 的值，你有什么发现？ （2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？ （3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 12122323B B B B A A A A 与
3.分组讨论，得出结论 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.想一想 （一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ （二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
一、教材分析 教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。 二、章节目标 在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 三、学情分析 学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，初步掌握了解决有关比的问题的方法。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 四、学习目标： 1、熟练掌握比例的基本性质 2、运用比例的基本性质解决有关问题 五、评价方案设计 针对目标一，采用学生展示的方式进行测评； 针对目标二，采用练习的方式进行测评； 六、教学重点和难点
HG AD FG CD EF BC HE AB , ,,七、教学流程设计 一、复习旧知 （1）成比例线段的定义 （2）比例的基本性质 （3）若 3m = 2n ， n m =_________, m n =_________,2m n m n +-=_________ 二、探究新知 探究一： 如图，每个正方形的边长为1， 的值相等吗？ BC+EF CD-FG AD-HG EF FG HG AB HE HE +、、、的值是多少？BC+CD+AD HE+EF+FG+HG AB +的值又 是多少？在求解过程中，你有什么发现？ C 探究二：（1）已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数。 （2）已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数。 三、知识应用 例题： 成立吗？为什么？那么如果b a f d b e c f d b f e d c b =++++≠++==a ),0(a 的周长。 求， 的周长为且中，若与、在；与求、已知DEF ABC FD CA EF BC DE AB DEF ABC b a ??===??+=cm 18,4 3 )2(b b -a b b a ,32)1(. _____________________),0(_________ __________,那么等比性质：如果那么合比性质：如果≠++====n d b n m d c b a d c b a 成立吗？为什么？ 和那么如果d d c b b a d d c b b d c b -=-+=+=a ,a
3.2.1 线段的比、成比例线段
线段AB 与A ′B ′，BC 与B ′C ′有什么关系呢?请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB ：A ′B ′，BC ：B ′C ′会有什么样的结果呢?我们会得到AB 与A ′B ′这两条线段的比与BC ，B ′C ′这两条线 段的比是相等的，即AB A ′B ′＝BC B ′C ′ 。 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝c d ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 若线段a 、b 、c 、d 成比例，即a:b ＝c:d ，那么其内项乘积 等于外项乘积。a · d ＝b ·c ，其它的比例性质也都适用。 上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段就是成比例线段， 实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨 再量一量北京到福州的距离， 即AC 与A ′C ′，然后再算AC ；A ′ C ′，看看是否成比例。如果 AC A ′C ′≠AB A ′B ′，那会出现什么情况? 如果a b ＝b c 那么b 叫做a 、c 的比例中项，也可以写成b 2＝ac 例1：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离 为15厘米，求甲、 乙两地的实际距离。 例2：线段a ＝15厘米，b ＝20厘米，c ＝75毫米，d ＝0.1 米，求: a b 与b c ，这四条线段会成比例吗? 例3:如图AB ＝21，AD ＝15，CE ＝40，并且AD AB ＝AE AC ，求：AC 的长 三、练习 集体修改，补充建议：
1．(1)根据图示求线段比AC CD 、 AC CB 、 CD DB 、 AC AD 、 CD CB (2)指出图中成比例的线段。 2、等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底边的比是多少？ 四、小结 同学回忆 1、什么样的线段成比例线段？ 2、线段成比例与线段比有什么区别？ 3、比例有哪些性质？ 五、作业 课本65—66面的题：1、2题 板书设计： ①线段的比： a:b或a b ②成比例线段： 线段的比，成比例线段a:b＝c:d或a b ＝ b c 那 ③注意：（1）长度单位 （2）线段的比有顺序