高等数学无穷小和无穷大42页PPT

①
则称函数
当
( x )义中将 ①式改为
( f (x) M ),
则记作
( lim f (x) )
x x0 ( x )
lt1210@ 刘婷
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数
第四节
第一章
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
lt1210@ 刘婷
一、 无穷小
定义1 . 若
时, 函数
(或x )
为
时的无穷小 .
(或x )
例如 :
函数 当
则称函数 时为无穷小;
函数 当
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
lt1210@ 刘婷
但 不是无穷大 !
lt1210@ 刘婷
例.
说明: 若 为曲线
铅直渐近线
则直线 x x0
的铅直渐近线 .
lt1210@ 刘婷
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
定义1. 若
(或 x ) 时, 函数
则
则称函数 为
(或 x ) 时的无穷小 .
lt1210@ 刘婷
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有

f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但 所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
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1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )

两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，
这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察
是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.
为了比较两个无穷小量趋于零的速度的快慢. 我们引入了阶的概念；
2．无穷小量的阶
两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍
定义.
若
则称 是比 高阶的无穷小,
如：
故有
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
时, 函数
则称函数
为
时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小 .
2：无穷小必须指明x的趋向；
当
时就不是无穷小;
为
函数
时的无穷小;
一、 无穷小（极限为0的量）
定义1 . 若
时, 函数
则称函数
为
时的无穷小量(dimensionless)，简称无穷小 .
注意:
3:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
性质2 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。
性质2 ：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。
略证：
其中(x) 为
时的无穷小量 .
定理 1.2 ( 无穷小与函数极限的关系 )
证:
即
为无穷小量
对自变量的其它变化过程类似可证 .
附注：
具有极限的函数可表示为极限与无穷小量的和
反之,如果一个函数可表示为常数和无穷小量之和,则这个常数就是这个函数的极限;
根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：
性质1 有限个（相同类型的）无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。
利用极限的四则运算得到
无限个无穷小的和,积仍为无穷小量吗？？

xa
xa
注: 1. 无穷大是变量, 不能与很大很大的数混淆; 2. 不能将lim f ( x) 认为极限存在.
xa
◆铅直渐近线的定义:
如果 lim f ( x) , x x0
则称直线x x0
是函数y f ( x)的图形的铅直渐近线.
例如 : (1)lim 1 , x0 x
曲线y 1 有一条铅直渐近线x 0; x
x
x0 x
无穷大的类型:
lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) .
x
x
x
又比如:
1
1
lim , lim ,
x0 x
x0 x
◆正无穷大，负无穷大:
lim f ( x) , lim f ( x) .
| f ( x) A | | ( x) | | ( x) 0 |
lim f ( x) A. xa
二、无穷大 定义 若对M 0, 在a的局部,恒有 | f ( x) | M ,
则称f ( x)是x a时的无穷大, 记作lim f ( x) . xa
例 如: lim x2 , lim 1 .
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小
1. 定义: 若 lim f ( x) 0 , xa 则称 f ( x) 为 x a 时的无穷小,
例 如:
其中 a { x0 , x0 , x0 ,,,}.
lim x2 0, 函数f ( x) x2是当x 0时的无穷小. x0
lim 1 0, 函数f ( x) 1 是当x 时的无穷小.