控制系统的超前校正设计

控制系统的超前校正设计 1 设计原理 本设计使用频域法确定超前校正参数。 首先根据给定的稳态性能指标，确定系统的开环增益K。因为超前校正不改变系统的稳态指标，所以，第一步仍然是调整放大器，使系统满足稳态性能指标。 再利用上一步求得的K，绘制未校正前系统的伯德图。 在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度，并计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿角的超前相角0。其中为给定的相位裕度指标；0为未校正系统的相位裕度；为附加角度。（加的原因：超前校正使系统的截止频率c增大，未校正系统的相角一般是较大的负相角，为补偿这里增加的负相角，再加一个正相角，即 |)()(||)()(|0''0ccccjHjGjHjG

其中，c'为校正后的截止频率。当系统剪切率对应的取值为：当剪切率为-20dB时，deg10~5，剪切率为-40dB时，deg15~10，剪切率为-60dB时，deg20~15。）

取m，并由mmasin1sin1求出a。即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。 为使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率c'上，即cm'，取未校正系统幅值为)(lg10dBa时的频率作为校正后系统的截止频率c'。

由Tam1计算参数T，并写出超前校正的传递函数TsaTssGc11)(。 校验指标，绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不满足要求时，则增大值，从取值再次调试计算。 2 控制系统的超前校正 初始状态的分析 由已知条件，首先根据初始条件调整开环增益。根据： )3.01)(1.01()(sssKsG

要求系统的静态速度误差系数6vK， KssKSsGksv)3.01)(1.01()(lim0

可得K=6，则待校正的系统开环函数为

)3.01)(1.01(6)(ssssG

上式为最小相位系统，其MATLAB伯德图如图1所示。 程序： G=tf(6,[ 1 0]);[kg,r]=margin(G) G=tf(6,[ 1 0]);margin(G)

频率的相对稳定性即稳定裕度也影响系统时域响应的性能，稳定裕度常用相角裕度和幅值裕度h来度量。由图1可得： 截止频率sec/74.3radc 穿越频率 sec/77.5radx 相角裕度 deg2.21Pm 幅值裕度 dBh4.96 显然deg45，需要进行超前校正。 用MATLAB画出其校正前的根轨迹，如图2所示。 其程序： num=[6]; %描述系统分子多项式 den=[,,1,0]; %描述系统分母多项式 图1 系统校正前的伯德图 rlocus(num,den); %计算出系统根轨迹 超前校正分析及计算 2.2.1 使用频域法确定超前环节函数 利用超前网络的相位超前特性，正确的将超前网络的交接频率1/aT和1/T选在待校正系统截止频率的两旁，并选择适当参数a和T，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求。 计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿的超前相角 

0

取|)()(||)()(|0''0ccccjHjGjHjG，由未校正系统的伯德图可知当前未校正

系统的剪切率为-40dB，可取deg15~10，其中： deg45 deg2.210 deg10 deg8.33 取deg8.33m

并由mmasin1sin1 求出 51.3a 作45.551.3lg10dB直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec/28.5rad ，如图3所示。

取sec/28.5'radmc 由Tam1，得101.0T 因此超前传递函数为 sssGc101.01354.01)(51.3

为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高倍，否则不能保证稳态

图2 系统校正前的根轨迹

图3 deg10时的取值 误差要求。 超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为

)101.01)(3.01)(1.01()354.01(6)()(ssssssGsGc

因此，已系统校正后程序及伯德图如图4所示。 num=[,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式 den=[,,,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式 margin(num,den); %画出伯德图 title('校正后的系统伯德图'); %标题 [kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数 kg = r = wg = wc = 可见deg45deg07.38，因此不满足要求，说明还不够大。试取deg15



0

其中 deg45 deg2.210 deg15

deg8.38 取deg8.38m

并由mmasin1sin1 求出 35.4a 作39.635.4lg10dB直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec/59.5rad，如图5所示，取： sec/59.5'radmc

由Tam1，得085.0T

图4 deg10时校正后的伯德图 因此超前传递函数为 sssGc085.01373.01)(36.4

为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高倍，否则不能保证稳态误差要求。 超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为

)085.01)(3.01)(1.01()373.01(6)()(ssssssGsGc

因此，已系统校正后程序及伯德图如图6所示。 num=[,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式 den=[,,,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式 margin(num,den); %画出伯德图 title('校正后的系统伯德图'); %标题 [kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数 kg = r = wg = wc =

可见deg45deg49.40，因此不满足要求，说明还不够大。 2.2.2 使用MATLAB解方程组方法确定超前环节函数 用MATLAB解方程组的方法尝试求取未校正系统的a和c aLLmcclg10)()(；（1）

aTm1； （2）

11arcsinaam；（3）

由（1）、（2）、（3）三个公式可的关于a和c的方程组：

图6 deg15时校正后的伯德图 )13.0)(11.0)((6lg20lg10cccjjja （方程1）

45)3.0arctan()1.0arctan(9011arcsin

cca

a （方程2）

其程序为： >>[a w]=solve('10*log10(a)=20*log10(w*sqrt(*w)^2+1)*sqrt(*w)^2+1)) -20*log10(6)','asin((a-1)/(a+1))+pi/2-atan*w)-atan*w)=pi/4','a,w') %描述求解的方程组并求两个未知量 a =

w =

可得 74.7a sec/44.6'radc

由Tam1，得056.0T 因此超前传递函数为 ssTsaTssGc05578.014316.0111





超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数可写为： )0558.01)(3.01)(1.01()4316.01(6)()(0ssssssGsGc

根据得出的a和c'，由先前的频域法可计算出 11sinaam

deg44.50m

deg44.260m大大超出了该系统的的取值范围，证明该系统不宜用超前校

正，但是理论上该传递函数可以对系统进行满足条件的超前校正。 对校正后的验证 2.3.1 校正后的伯德图及参数 在计算后还可以用其他的方法来进行检验，看所加装置参数选择是都真的符合题意，满足要求。 下面用MATLAB来进行检验 程序为： num=[,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式 den=[,,,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式 margin(num,den); %画出伯德图 title('校正后的系统伯德图'); %标题 [kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数 结果为 kg = r = wg = wc = 得到如下伯德图，如图7所示。

程序计算得相角裕度deg45，正好符合题目要求。 2.3.2 校正后的根轨迹 用MATLAB画出校正后的根轨迹，如图8所示。 程序为： num=[,6]; %描述系统分子多项式 den=[,,,1,0]; %描述系统分母多项式 rlocus(num,den); %计算出系统根轨迹

2.3.3 校正对系统性能的改分析 图7 系统校正后的伯德图