【湘教版】八下数学：1.4.1《角平分线的性质》ppt课件

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例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
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合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
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例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
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自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;

HL
角平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
第二十四页，共26页。
1. “斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所独 有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是 两个直角三角形.
2. 2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及 其逆定理等，它们都是互为逆命题.
图1-26
第三页，共26页。
将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD 与PE 重合， 即PD与PE相等.
你能证明吗？
图1-26
第四页，共26页。
我们来证明(zhèngmíng)这个结论.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中，
∵ ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP，
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
第二十一页，共26页。
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，
BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段(xiànduàn)DE
上.
证明(zhèn求gm证í：ngA) B=作ADC+MB⊥E.AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
第七页，共26页。
图1-27
如图1-27，过点O，P作射线(shèxiàn)OC.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.

1.4 角平分线的性质
例题2 如图1-4-9, BD是∠ABC的平分线, AB=BC, 点P在BD上, PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别是 M, N．试说明PM=PN.
1.4 角平分线的性质
分析 根据角平分线的定义, 可得∠ABD= ∠CBD, 然后利用“SAS” 证明
△ABD 和△CBD全 等, 再根据全等三角形的对应角相等, 可得∠ADB= ∠CDB, 然后根据角平分线上的点到角的两边的距离 相等即可证明.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
考场对接
1.4 角平分线的性质
考场对接
题型一 运用角平分线的性质定理证明线段相等
例题1 如 图 1 - 4 - 8 所 示 , AD是△ABC的角平分线, DE, DF 分别是 △ ABD和 △ A C D 的 高 . 求证：AE=AF.
1.4 角平分线的性质
题型四 运用角平分线的性质定理解决其他几何问题
例题5 如图1-4-13所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=BC, AD平分 ∠CAB, 交BC于点D, DE⊥AB于点E, 且AB=6 cm, 求△BDE的周长.
1.4 角平分线的性质
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2. ∵DC⊥AC, DE⊥AB, ∴DE=DC, ∴BD+DE=BD+DC=BC. 由已知易证△ADE≌△ADC, ∴AE=AC. 又∵BC=AC, ∴BC=AE, ∴BD+DE=AE, ∴BD+DE+BE=AE+BE=AB. ∵AB=6 cm, ∴BD+DE+BE=6 cm, 即△BDE的周长为6 cm.

4.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
A
E
C
B
D
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD： DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
A
C
D
比例尺1：20000
∵到公路的距离与到河岸的距离相等 ∴工厂在河岸与公路的角平分线上
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝
则另一点就是工厂的位置。
例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
用途：判定一条射线是角平分线
例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB， EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB 证明： ∵ E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC
∴EB=EC
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∴∠EBC＝∠ECB （在一个三角形中，等边对等角）
∠ODP=∠OEP=90°
O
A D
C P
OP=OP, PD=PE
EB
Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上。
定理 2的应用书写格式：
PC OA
∵ PD OB
PD= PE
O
\OP 是 AOB的平分线
A D
C P
EB
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）