中国人口预测模型
摘要
本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：
其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为
负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。
最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性
关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述
1. 背景
人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题
人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。
二、问题的基本假设及符号说明
问题假设
1．假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。
2．假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的
人口迁移问题。
3．不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响
4．在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段
的育龄妇女生育率相同。
5．假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布
6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。
符号说明
()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数
()i c t --------------------第
t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k
i c t --------------------第
t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人
口的比例
()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第
t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
()i b t -------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人的生育率 ()i d t -------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人的死亡率
()k
i d t -----------------第
t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值的死亡率 ()i s t -------------------第
t 时间区间内第i 个年龄段人的存活率 ()h t ---------------------
第t 时间区间男性人数与女性人数的比值 ()i e t ---------------------第
t 时间区间内第i 个年龄段育龄妇女的生育率
m---------------------------每个年龄段上年龄值的数目
三 问题分析
本问题是一个关于人口预测的问题，与以往不同，本问题需要根据中国特殊的国情去研究，我们根据对问题的分析并结合实际情况认为对人口产生主要影响的因素有以下四个：生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。在这里需要说明的是对于人口产生影响的一些因素，如经济发展状况，生态环境情况、已婚夫妇对生育所持的态度、医疗技术的发展等，我们认为它们对人口的增长是通过作用于以上四个指标而间接发挥作用的。而对于诸如战争爆发、疾病流行等突发因素，由于其不可预测性，我们不考虑
1．生育率
生育率代表育龄妇女生育人口的能力，从一定意义上讲生育率的高低控制着人口增长率高低，通常来说生育率越高人口增长率越高，所以说生育率是人口增长的源头。生育率的影响因素很多，首先是年龄因素，不同年龄段的育龄妇女的生育率不同，通常20岁至30岁的育龄妇女的生育率最强；此外是地域因素，受政策因素、观念认识、周边环境等影响乡村育龄妇女的生育率高于城市育龄妇女的生育率；还有其它因素的影响，比如大规模疾病会降低育龄妇女的生育率。
2．死亡率
死亡率表示一定时期内一个人口群体中死亡的人数占该人口群体的比值，和生育率一样死亡率的高低同样控制着人口增长率高低，如果说生育率是人口增长的源头，则死亡率是人口增长的汇点。同样影响死亡率的因素很多，首先不同年龄段的死亡率不同，通常老年人和刚出生的婴儿的死亡率较高；从长远来看，随着医疗水平的提高，整个人口群体的死亡率将会成下降趋势；此外一些突发事件，如战争、疾病等，将会使使那一段的人口死亡率大幅度提高。
3．年龄结构
年龄结构反映了总体人口在各年龄段分布情况，年龄结构蕴涵的信息量很大，从其中我们可以实现对很多问题的分析，比如从年龄结构我们可以分析出社会的老年化程度，此外从年龄结构我们可以判断出不同时间段人口出生的情况，比如年龄结构不仅反映了总体人口在各年龄段分布情况，而且考虑到不同年龄段人口生育率、死亡率不同等情况，我们可以在年龄结构中有效反映这些差异
4．男女比例
男女比例反映了总体人口中男性与女性人数的比较关系，男女比例值能反映出体人口中男性与女性人数是否协调，男女比例主要受男女出生比和男女死亡率的影响，男女出生比正常范围在103－107，也就是说出生100个女儿的同时会有103 —107个男儿出生，但是在现实社会中，女性死亡率低于男性，所以男性与女性人数大致相等，社会维持在一个稳定状态。但目前我国男女出生比超过110，这不仅将导致男女比例失调，还会对人口的预测产生影响，所以在人口预测时必须将男女比例问题考虑进去。
考虑到人口预测分为中短期预测和长期预测，两类预测因为涉及的时间长短不同，所以考虑的因素不同，采用的方法不同。
对于中短期预测，我们假设生育率、死亡率、年龄结构、男女比例均维持在同一稳定水平，这样我们采用方法有很多，。
对于长期预测，我们需要考虑生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等因素随时间变化，此外城乡人口迁移对城乡人口结构产生影响，尽管以上因素短期内积累效应较小，但在长期中必须考虑。
在预测方法上我们选用了基于以往人口数据的一次线性回归，灰色、时间序列预测，逻辑斯蒂模型和基于年龄结构并生育率、死亡率随时间Leslie人口模型
四数学模型
4.1.熵权组合模型
有关于人口增长预测的模型很多，比如灰色GM （1，1），移动平均数法，指数平滑法，一元线型回归，马尔萨斯人口模型，宋健人口模型等等，但是每种预测方法的精度往往也不同。组合模型和单个模型比起来，具有较高的预测精度，组合预测的关键就在于确定各个预测方法的权重。
本文将从一个新的角度进行研究，即从信息论的观点出发，根据各个体预测方法误差指标的信息熵，确定组合预测模型的权重，进行人口组合预测模型。
本文选用了一元线性回归法，逻辑斯蒂模型法，灰色GM （1，1）模型法对中国人口增长进行预测。而1978至2005年的数据见本文表一。
.4..1.1灰色预测模型 1.模型建立
灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。
预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。 灰色预测模型建立过程如下：
1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()
()
()()()()(){
}n X X X
X 0000,...,2,1=，通过
累加生成新序列 ()
()
()()()()(){
}n X X X
X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟
和函数曲线。
2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列：
()()(){}00001,2,...,X X X X
n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。 将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。
利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测 2 模型求解
根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.
根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列()0X ：
()
[]
096259
98705105851112704127627128453129988
130756X
= 利用Matlab 软件对原是数列()0X 进行一次累加，得到新数列为()1X ，如表2：
表2：新数列()1X 误差和误差率
1、利用表2，拟合函数，如下：
0.011624
(1)92800
439183784
t x t e +=-
2、精度检验值
c ＝0.3067 （很好） P ＝0.9474 （好）
3、得到未来20年的预测值：
4.1.2一元线性回归法
根据表一中的数据，本文建立一元线性回归模型Y a bX =+进行预测；
Y 为人口数 单位：万人 X 为年份。利用Matlab 软件，用麦夸特法进行回归拟合，得到拟核值及回归方程，如下：
102974.50531572.3805Y X =+ 相关系数：R ＝0.9359
4.1.3 逻辑斯蒂模型（Logistic growth model ）
考虑自然资源和环境对人口的影响，并以m N 记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。把人口增长的速率除以当时的人口数称为人口的净增长率。如果人口的净增长率随着)(t N 的增加而减小，且当m N t N →)(时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成
)())(1()(t N N t N r dt
t dN m
-
=
其中r 为常数，此模型就叫逻辑斯蒂模型。
我们把1978年至2005年全国历年年底总人口的数值组成一个观察矩阵，其中的每一个数值称之为观察值。本文利用spss 软件，得出与观察值一一映射的拟核值，残差值和cook 距离，见下表：
表九 用spss 软件得到各观察值所对应的拟核值，残差值和标准残差
从新数据得到 F ＝372.3471 p －值＝0.001
本文建立逻辑斯蒂模型：0.8840.185130517.5/(1)x y e --=+
相关系数R ＝0.9888
4.1.4. 组合模型建立
1、熵权法的概念及基本步骤
熵权法是一种决定指标的方法，我们知道，综合指标取决于单个指标数的确定，一般情况下的权重是根据经验来确定的，但是这种确定权重的方法缺少科学根据，也不能保证确立的综合指标能反映原始指标的大部分信息，且权重的确立因人而异，所以其应用受到了限制，而熵权法就能够避免这些问题，使权重的确立具有科学的根据，具有说服力。熵权法的步骤确立如下： ① 计算第j 项指标下第i 个方案的指标比重1
ij
ij m
ij
i y p y ==
∑
② 计算指标j 的熵值 1
ln m
j ij ij i e k p p ==-∑ （1ln k m
=
）
③ 计算第j 项指标的差异系数 1j j g e =- ④ 定义权重1
j
ij m
j
i g w g
==
∑
则 ij w 就为熵权法确定的权重。
2、误差指标的选举
为了能全面的各个预测方法以及组合预测的预测效果，必须制定一套切实可行的误差指标。按照预测效果的评价惯例，本文选取如下指标作为参考： （1）、平方和误差
2
1
()
n
i i t SSE y y ==
-∑
（2）、平均绝对值误差
1
1
n
i i
t M AE y y n
==
-∑
（3）、均方误差
M SE =
（4）、平均绝对值百分比误差
1()
1
n
i i t i
y y M APE n
y =-=
∑
（5）、均方百分比误差
M SP E =
3、组合模型权重的确定
设以选定m 种个体预测方法，n 个误差指标，m 种个体预测方法对应n 个误差指标构成了评价指标值矩阵；
()ij R r m n =?
第j 个指标下第i 种个体方法的指标比重值ij P 为
1
/m
i j i j i
j
t P r r ==∑
第j 个指标的熵值为：
1
ln m
j ij ij t E P P ==-∑
记
ln j j e E = 第i 个指标的权重为：
1
(1)/
(1)
m
j j j
t e e
θ==--∑ 记矩阵R 中每列最优值为j r *
，对该矩阵所有元素做标准化处理，可得：
//i j
j ij j
ij r r j d r r j *
*??=???指标的指标值越大越好指标的指标值越小越好
这样，各个体预测方法的熵权评价值i λ，可以表示为：
1
(0,1,2,,)
m
i j i j
t d i m λθ
==
=∑ 将上式进行归一化处理，即可以得到各个个体的权重。
4.1.6熵权组合模型求解
本文利用Matlab 软件对上述的模型、指标进行综合的运算处理，得到熵权系的基本数据资料，见下表：
加权系数为：0.24282，0.34055，0.41663。
4.2 Leslie 人口模型
4.2.1模型建立
在这里我们将人口按年龄大小等分为n 个年龄组，记i=1,2,… , n
同时将时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…
定义()i a t 为第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数，()i b t 为第t 时间区间内第i 个年龄段人的生育率。
则有下面关系：
11
(1)()n
i
i
i a t a t b =+=
∑
定义第i 年龄组在1时段内的死亡率为i d , 则存活率为i s =1- i d 则有下面关系
1(1)(),1,2,,1i i i a t a t s i n ++==-
定义()A t 为第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量
[]12()(),(),()n A t a t a t a t =
定义()P t 为第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
112
211000()00000
0n n n
b s b s P t b s b --????????=????????
由以上定义有
(1)()()A t A t P t +=
进而有以下关系
1
1
()(1)()n i A t A P i -==∏
需要说明的是为减小误差每次计算A(t)完后用 公式11(1)()()n n n n n a t a t s a t s --+=?+?校正(1)n a t +
4.2.2数据分析及处理
我们分别对m=1和m=5进行说明 m 表示每个年龄段上年龄值的数目 4.2.2.1对于m ＝1的情况，
1、各年龄分层人口占总人口的比率
对于m ＝1的情况，各年龄分层人口占总人口的比率就是各年龄值占总人口的比率，
为消除各年数据随机性我们我们采用对各年数据取平均值的方法得到数据。
2、各年龄分层人口的死亡率
与上面分析相同我们采用对各年数据取平均值的方法得到数据。 3、各年龄分层上育龄妇女的生育率
通过观察我们发现2003年生育率很低，我们猜想这是由于那一年有非典的原因，因此在剔除这一年的数据后对各年数据取平均值的方法得到数据。
我们假设各年龄分层上育龄妇女的生育率呈正态分布进行数据拟合。
图2 m ＝1时育龄妇女的生育率正态分布图
4.2.2.2 对于m=5的情况
为了实现年龄结构分析，同时也为了对生育率和死亡率这些与年龄段有明显联系的指标分析
我们决定对人口统计数据进行年龄分层处理。具体实现办法为以5年为年龄分段长度对附件中数据进行分层，例如0－4岁为第1年龄段，15－19岁为第4
年龄段，90岁以上老人由于所占比例较小，不对统计产生显著影响，故与最后一组一起研究。
需要说明的是与m ＝1情况的处理方法一样，我们先对各年数据取平均值的方法得到分析数据。
1．各年龄分层人口占总人口的比率
附表的数据给出了不同年龄值男性和女性人数占总人数的比率，对于某一年龄段人口占总人口的比率为该年龄段中各年龄值男性或女性人数占总人数的比率之和，公式如下
5
1
()()k ij ij
k c t c
t ==
∑
式中 j=1,2 其中1表示男性，2表示女性
附表中给出的数据是分别给出男性比率和女性比率，这里由于我们要把男女作为一个整体，所以我们对各年龄分层男性比率和各年龄分层女性比率相加得到各年龄分层人口占总人口的比率，公式如下
12()()()
i i i c t c t c t =+
式中()i c t 表示第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例
1()i c t 表示第
t 时间区间内第i 个年龄段中男性比率
2()i c t 表示第t 时间区间内第i 个年龄段中女性比率
2. 各年龄分层人口的死亡率
各年龄分层男性死亡率或女性死亡率为各年龄分层中不同年龄值男性死亡率或女性、系数加权得到 ，公式如下：
5
1
5
1
()()
()()
k k ij ij
k ij k ij
k c
t d
t d t c
t ==?=
∑∑
式中 j=1,2 其中1表示男性，2表示女性
与上面一样我们对各年龄分层男性死亡率和各年龄分层女性死亡率系数加权得到第t 时间区间内第i 个年龄段人的死亡率
112212()()()()
()()()
i i i i i i i c t d t c t d t d t c t c t ?+?=
+
式中()i d t 表示第t 时间区间内第i 个年龄段人的死亡率 1()i d t 表示第t 时间区间内第i 个年龄段男性的死亡率
2()i d t 表示第t 时间区间内第i 个年龄段女性的死亡率
在这里需要说明的是第0岁较高，出现奇异，分析原因我们认为这是婴儿的出生造成的，
我们对第1个年龄段人的死亡率进行校正，
5
112
15
12
()()
()()
k k j j
k j k j
k c
t d
t d t c
t ==?=
∑∑
说明：为便于表示令第0岁为第1年龄值
3． 各年龄分层上育龄妇女的生育率
同以上分析()i e t 为每个年龄段上对应各个年龄值的育龄妇女的生育率之和 我们假设()i e t 呈正态分布：
图3 m＝5时育龄妇女的生育率正态分布图4.2.3模型求解
4.2.3.1对于m=1的情况
图4 m＝1时人口预测图象
4.2.3.2对于m=5的情况
表12 m＝5时人口预测
图5 m ＝5时人口预测图象
4.2.4模型改进
1．考虑到生育率和死亡率是随时间变化的，我们可以定义生育率和死亡率为时间函数
（1）生育率
影响生育率因素有受政策因素、观念认识、周边环境等，通常来说农村的生
育率高于城市，为了有效区分这种差异性，我们定义b(t)为反映城、镇、乡平均生育率水平的基准生育率，定义cb(t)、tb(t)、vb(t)分别为城、镇、乡平均生育率 则1()()cb t a b t =?，2()()tb t a b t =?，3()()vb t a b t =?
其中1a 、2a 、3a 为反映生育率高低的系数，系数的大小根据具体情况确定 显然有123a a a <<
考虑到随着时间的推移，计划生育政策深入人心，农村生育率将降低 用下面函数反映这种变化
()(0)bt
vb t vb a e
-=??
式中a,b 为参考系数
（2）死亡率
随着时间的推移，医疗水平的提高，死亡率将下降，但死亡率中有一部分是非疾病死亡，对于青年人死亡率比较平稳，死亡率变化主要体现在老年人。
定义()i d t 为第t 时间区间内第i 个年龄段人的死亡率
(0),()(0),i i bt
i d i l
d t d a
e i l
-≤??=???>??
式中a,b 为参考系数，用来区分青年与中老年
2．考虑到城乡人口转移因素
城乡人口转移将会对城乡人口结构产生影响，因此必须进行研究，考虑到人口主要是从镇转入城，从乡转入城，从乡转入镇
因此定义B(t)为从镇转入城的转移向量，C(t)为从乡转入城的转移向量，D(t)为从乡转入镇的转移向量。 以C(t)为例说明转移向量，
{}1122()()(),()(),,()()n n C t w t v t w t v t w t v t =???
式中()i v t 表示第t 时间区间内第i 个年龄段的农村人数，
()i w t 表示第t 时间区间内第i 个年龄段人的农村转入城市的百分比 则A ’(t)=A(t)+B(t)+C(t) 表示城乡人口转移后的人口向量 每次计算完()(1)(1)A t A t P t =--
再计算A ’(t)=A(t)+B(t)+C(t)
4.2.5模型优缺点分析
1．Leslie 人口模型可以分析不同年龄组生育率与死亡率不同的情况 2．Leslie 人口模型中可以考虑生育率与死亡率随时间变化的情况 3．Leslie 人口模型中可以分析出年龄结构的情况
4．Leslie 人口模型中对给出的关于年龄结构的统计数据要求较高 5．Leslie 人口模型对男女比例不平衡情况反映敏感
6．Leslie 人口模型中选取分组的年龄段长度不同，适于的预测期长短不同
4.3 BP 神经网络人口预测模型
基于BP 神经网络的时间序列预测模型与传统模型不同的是：此模型只需以历史数据作为输入，通过抑制与激活神经结点，自动决定影响性能的参数及影响程度，自动形成模型，无需进行模型假设，再加上神经网络对复杂的非线性系统具有曲线拟核能力，预测能力强，所以是合适的对比检验模型。
matlab 实现：
P 为输入样本矢量集;T 为对应的目标样本矢量集.设:输入样本 p=[1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ] (年份归一化后的数据)
p=[0.1996 0.1997 0.1998 0.1999 0.2 0.2001 0.2002 0.2003 0.2004 0.2005] 输出样本观测值(对应1996-05年的总人口归一化后的数据):
T=[0.122389 0.123626 0.124761 0.125786 0.126743 0.127627 0.128453
0.129227 0.129988 0.130756]
采用神经网络模型进行运算，系统仿真
产生输入数据的收敛结果见图示：
图6：BP训练函数
表13：BP算法的结果：
五模型优缺点的评判
在上文中，每个模型的后面，针对该模型的优缺点本文都做了深刻地评判，此时就不再重复赘言了，却还没有从宏观角度出发，对本文的所有模型进行整体的优缺点的总评判。
优点：
1、具有很好的创新性，在对传统模型的理解的基础，取模型之长，利用熵权法
对模型进行组合预测，大幅度提高了预测准确度；
2、本文的思路宽阔，在不同时期，建立起不同的模型，能够与实际紧密的联系，
结合当前具体国情，对问题进行求解，使该模型具有很好的推广性和通用性；
3、模型的的计算采用专业软件求解，例如Matlab软件，spss软件，dps软件等，
数据可信度较高。
4、对于题目附录里为涉及到的数据，均到“中国统计局”下载官方数据加以补
充，并且对论文中涉及到的众多影响因素进行了量化处理，使得论文的说服里更强，实际性更高。
缺点
1、影响人口增长预测的动态因素很多，而且不可能都能波及到，所以模型与实
际还是有一些距离的；
2、不同模型在相应的时间阶段具有很高的预测能力，但是一旦脱离了这个时间
阶段，模型的预测能力就会回落。
六全文总结
人口预测就是根据一个国家、一个地区人口的现状，考虑到社会政治经济条件对人口再生产和转化的影响，分析其发展规律，运用科学的方法测算未来某个时期人口的发展状况。人口的预测包括通常指的是中短期预测和长期预测。为了能够提供合理地预测值，本文进行了深刻地研究，建立了4个模型，进行全方位的深刻讨论。
通过，灵敏度的分析比较，模型一适合中短期的预测，模型二综合面广，考虑全面，在本文假设的条件下，就符合中国人口特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化都作为模型中的因子元素，对中国的人口未来长期发展状况进行了科学性的预测。
本论文的创新性和技术性主要表现在这几个方面：
1、本文为了提高预测的精确度，对于各种的传统预测方法，有针对性的做了筛
选，通过权重关系，建立起了组合模型，特别地在权重问题上，采用了熵权法分配权重，思路巧妙，可以为以后提供合理参考。
2、本文建立BP神经网络模型，无需进行模型假设，同时能利用模型自身对复
杂的非线性曲线进行拟核，利用拟核函数对人口增长趋势作出了合的预测。
3、本文与计算机实用软件，计算机编程紧密的结合在了一起，在本文中运用了
诸如spss，dps等一些统计性软件，同时利用Matlab进行了一些编程，大大提升了数据的处理能力，也使得数理统计变得不在十分棘手了。
4、本文的模型具有很好的推广性，而且在其它领域发挥很好的效果。
七相关建议
一、最近几年中国人口发展特点
（一）人口增长速度快但增长速度回落
（二）农村人口比重大 ，但人口城市化快速发展
（三）人口老龄化加剧 男女性别比偏高有所回落
二、中国人口的发展趋势
预测中国人口的发展趋势有以下几点：
①目前生育率经过近二十年的控制已达到了较低水平，自然增长率已由1974年
22.2‰下降到1983年的11.5‰，几乎降低了一半，这是世界人口史上罕见的，但生育率继续下降的余地已经不大了。
②由于20世纪60—70年代生育高潮形成的人口年龄结构的影响，在1995年前后形成一个生育高峰，平均每年进入婚育年龄的人数在1100万对以上，生育率的降低较为困难。
③中国目前人口死亡率在世界上是属于较低的，随着经济的迅猛发展，生活水平和医疗水平的进一步提高，死亡率继续下降是有可能的。
④人口城乡结构比较落后，乡村人口比重依然很大，且在相当长的时间里降低乡村的人口生育率仍然较为困难。
综上所述，以目前13亿人口为基础，人口增长率能继续得到控制，到21世纪中期将达到16亿。人口学家普遍认为，这是中国人口的极限，即中国土地可负荷和供养的最大人口数。此后我国人口数会略有回落，并在某一时期到达最佳人口数而稳定下来。
八参考文献
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[2] 廉庆荣，线性代数与解析几何，北京：高等教育出版社，2002
[3] 张兴永，MATLAB软件与数学试验，江苏：中国矿业大学出版社，2000
[4] 张兴永，数学建模简明教材，江苏：中国矿业大学出版社，2004
[5] 华东师大数学系，数学分析（第三版），北京：高等教育出版社，1998
[6] https://www.doczj.com/doc/b92965448.html,/（中国国家统计局网）
中国人口增长预测 摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。 本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt =+，利 y ae c 用logistic模型求出人口最大上限 x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测 m 2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(?x，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率
一、问题的重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 二、符号说明 nianfen 年份 chusheng 出生率 bata0 估计的参数值 nlinfit 非线性拟合函数 1 y出生率函数 2 y死亡率函数 m x人口上限 t 时间 x（t）人口增长函数 X(0)中国各年人口总数 X(1) X(0)的一次累加序列 Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列 -a 发展系数 b 灰色作用量 )0(?x人口预测值 c 均方差 k ?相对误差 三、模型的假设 1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略； 2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响； 3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。 四、模型的建立与求解 4.1中国人口短期预测的模型建立与求解 根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt y ae c =+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一） 处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋 向一个固定值，即最大容纳量x m，由logistic模型求出。假设x m 在短时间内不会改变， 则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。 设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x m 为中国人口的最大容纳量。
4.1 美国人口增长问题研究 4.1.1 问题重述 认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。 4.1.2 符号规定与基本假设 1. 符号规定 1.r表示人口增长率 x t表示人口数量 2.() x表示人口容量 3. m 2. 基本假设 1)假设人口增长符合生长规律； 2)不考虑战争等非射幸因素； 3)不考虑突发事故所引起的人口数量变化；
4.1.3 模型分析与建立 考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间t 的延续可微函数()x t 。记初始时刻()0t =的人口为0x 。假设单位时间人口增长率为常数r ，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为： ()0,0dx rx x x dt == (1.1) 易得： ()0n x t x e = (1.2) 若0r >，人口将按指数规律无限增长。 根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。对式(1.1)中的参数 0,r x 进行估计主要有以下两种方法。 方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对 (1.2)式取对数可得： 0,ln ,ln y rt a y x a x =+== (1.3) 由本题所给表格，通过MATLAB 软件可计算得出，0.2020/10r =年，0 6.0496 x =。 方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r 的估计；0x 直接取原始数据。 数值微分的中点公式如下：假设函数()x t 在分点01,,,n t t t (等间距t ?)的离 散值为01,, ,n x x x ，那么函数在各个分点的导数近似值为 ()11 ,1,2,,12k k k x x x t k n t +--'= =-? (1.4) ()()0122103443,22n n n n x x x x x x x t x t t t ---+--+''==?? (1.5) 根据式(1.5)可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率() () k k k x t r x t '= ，为0.2052年/10年，令人口数量初值0 3.9x =，即可预测算出人口数量。
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
实验一 美国人口的预测 一．实验目的： 1．学会用拟合方法解决实际问题 2．掌握利用MATLAB软件解决拟合问题的方法 二．实验内容： 给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美 国2010年的人口。 表1 美国人口统计数据 年 份 1790 1800 1810182018301840 1850 人口(×106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.917.1 23.2 年 份 1860 1870 1880189019001910 1920 人口(×106) 31.4 38.6 50.262.976.092.0 106.5 年 份 1930 1940 1950196019701980 1990 2000 人口(×106) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
实验二 炼油厂的生产计划 一．实验目的： 1．学会建立数学规划模型 2．掌握用Lingo软件求解线性规划 二．实验内容： 炼油厂将A, B, C 三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油。一桶原油加工成一桶汽油 的费用为4 元，每天至多能加工汽油14000 桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含 量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。问如何安排生产计划，在 满足需求的条件下使利润最大？ 一般说来，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可使这 种汽油日销量增加10 桶，问如何安排生产和广告计划使利润最大？ 原油类别买入价（元/桶）买入量（桶/天）辛烷值硫含量（%） A 45 ≤5000 12 0.5 B 35 ≤5000 6 2.0 C 25 ≤5000 8 3.0 汽油类别卖出价（元/桶）需求量（桶/天）辛烷值硫含量（%）甲70 3000 ≥10 ≤1.0 乙60 2000 ≥8 ≤2.0 丙50 1000 ≥6 ≤1.0
实验24 人口预测的最小二乘模型 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下： 表24-1 世界人口数据（单位：亿） 年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数N 不是很大时，在不长的时期内，人口增长率与人口数N成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微分方程描述为 dN =(24.1) bN dt 其中，b为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得ln N = b t + a，即 =(24.2) ()a bt N t e+ 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达式中a和b均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为3.6974×10- 4 图24-1指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便，将上式两边同取对数，还原为ln N = a + b t，令 y = ln N或N = e y
- 160 - 第三章 综合实验 160 变换后的拟合函数为 y (t ) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数（y = ln N ）计算，得下表 表24-2 世界人口数据（单位：亿） 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数a 、b 的9个方程的线性方程组 ????? ??? ?? ?? ???=+=+=+=+=+=+=+=+=+5505 .319685322.319675133.319664920.319654763.319644698.319634503.319624213.319613918.31960b a b a b a b a b a b a b a b a b a (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示 为 AU = f (24-5) 显然A 矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时乘以A 的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A ， b = A T f 。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解（广义解）。由于原方程组一般无解，将最小二乘解代入下式计算 R = f – A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度。
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
收稿日期:2003 01 09;修订日期:2003 04 23 基金项目:本项研究得到国家自然科学基金项目(No.40072030)、教育部博士点基金(20010491007)和国土资源部科研项目(B1 9)共同资助。作者简介:陈建平(1959 ),男,教授,博士导师,1995年毕业于成都理工学院,获博士学位,主要从事资源评价和 3S !技术应用的教学与科研工作,已发表文章80余篇,专著7部。E mail:3s@https://www.doczj.com/doc/b92965448.html, 文章编号:1007 4619(2004) 03 0254 07基于GIS 和元胞自动机的荒漠化演化预测模型 陈建平,丁火平,王功文,厉 青,冯 春 (中国地质大学,北京 100083) 摘 要: 荒漠化是当今全球最严重的环境与社会经济问题之一,荒漠化以其发展速度和严重的灾害性而引起国际学术界的广泛关注。开展荒漠化变化的驱动因素及其作用机制研究,尤其是在此基础上对荒漠化与其驱动因素之间的关系进行量化及动态模拟模型研究,对荒漠化的防治和治理具有十分重要的意义。尝试利用3S 技术,结合元胞自动机理论架构出一套荒漠化动态模拟模型,进而对北京及邻区荒漠化的发展趋势进行预测。实验证明,这套系统是对荒漠化演化机制从宏观和微观角度进行模拟的有效方法。关键词: 荒漠化;元胞自动机;驱动因素;动态模拟中图分类号: P208/XB7 文献标识码: A 1 引 言 荒漠化是指包括气候变异和人类活动在内的种种因素造成的干旱、半干旱、亚湿润干旱区的土地退 化。荒漠化已经演变为全球性的环境问题之一,对人类的生存发展构成严重威胁 [1] 。据资料显示:全 球陆地面积的1/4受荒漠化威胁,9亿多人口受到荒漠化影响;全球荒漠化正以每年约50000 70000km 2的速度扩展;全球荒漠化造成的直接经济损失每年达423亿美元。中国是世界上受荒漠化影响最严重的国家之一。目前,中国的荒漠化土地约为261万km 2,并有更多的土地正面临着荒漠化的潜在威胁;荒漠化土地从东北经华北到西北形成一条不连续的弧形分布带。荒漠化土地不仅面积广大,而且其发展速率仍在加大,在20世纪60 70年代为1560km 2 /a,80年代为2100km 2 /a,90年代已经达到2460km 2 /a [2]。荒漠化的不断发展,已经严重地影响了中国北方地区生态环境建设和社会经济的可持续发展。荒漠化以其发展速度和严重的灾害性而引起国际学术界的广泛关注和重视。中国在荒漠化治理研究方面进行了大量的工作,取得了一系列成果。近几年来,遥感(RS)、地理信息系统(GIS)和全球定位系统(GPS)及其集成技术迅速发展,大量应 用于灾害监测、资源监测等方面,在多元数据定量分析与综合研究方面取得了很好的效果,不足之处在于动态模拟演化研究。本文基于元胞自动机理论将荒漠化动态演化规律与其空间分布特征相结合,利用3S 技术的集成技术,结合数学模型探讨荒漠化时空动态演变规律,并预测其未来发展趋势。 C A 模型(Cellular Automaton Model)又叫元胞(细胞,元胞,分子或点格)自动机模型。最初是由John Von Neumann 40年代末提出来的,用于研究自复制系统的逻辑特性。C A 理论在地学中的应用最早可追溯到20世纪60年代。美国北卡来罗那州大学的Chapin 和Weiss(1968)在土地利用变化研究中采用了离散动态模型,十分接近CA 模型。Tobler 在70年代,认识到C A 理论在模拟复杂地学现象中的优势,首先正式采用了C A 概念模型来模拟当时美国五大湖边底特律地区城市的迅速扩展。进入80年代后,伴随着C A 理论的深入和发展,CA 在地学中的应用和理论研究也取得了长足的进步,成为地学研究的热点。Yong 和Wadge 用C A 模拟了火山爆发时,火山熔岩在重力作用下的漫流扩散过程。Simth 设计了一个简单地学元胞自动机模型模拟了地形侵蚀的过程。Flavio B onfatti 等人,用C A 模型对意大利威尼斯泻湖在周期性潮汐作用下的动态变化进行了生动的模拟和预测。CA 在地学中的许多邻域都已 第8卷第3期遥 感 学 报 Vol.8,No.32004年5月 JOURNAL OF REMOTE SENSING May,2004
中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一
中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、
人口增长预测 数学实验 指导教师：何仁斌 城市建设与环境工程学院环境工程1班 姓名：郑惋月 学号：20096545
人口增长预测 摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。 模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。我们要验证该模型是否适用。取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。 模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。 最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。 关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型
全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 20011 年 7 月4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长模型 摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能过较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。针对题目所提要求，我们首先建立了Malthus模型。此模型假设人口增长率为常数，即人口按指数增长。但实际上人口增长率受环境、资源等多重因素影响，并不是常数。用Malthus模型计算1982~2005年的中国人口总量并与实际值比较发现，在短期内(1982~1995)Malthus模型能过较准确的计算出人口总量，但中长期的计算值误差较大，所以此模型只适用于短期的人口预测。为使人口预报特别是中长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，注意到，自然资源、环境条件等因素对人口起着阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。假设人口增长率随着人口总量的增加线性递减，从而建立了性能更好的Logistic 模型。经对比发现，作为短期预测，Malthus模型和Logistic模型不相上下，但作为中长期预测Logistic模型比Malthus模型更合理一些。
人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测
Take a bath for mainland Abstract：全世界约有三分之一的人口，包括许多大城市位于居海岸线60km的范围内。在美国，相对海平面上升100cm，按现在经济发展水平和价格估算，仅保护发达地区与滨海旅游区所需费用和欠发达地区的受淹损失，累计经济损失就将高达2700-4500亿美元。由全球气候变暖所导致的海平面上升已经被世界各国所关注，海平面上升可能带来的影响包括淹没低地、加剧海岸侵蚀、增加风暴潮的发生频率、盐水入侵等。 本文主要研究由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响。以佛罗里达州为例，用灰色模型对近几十年 CO排放量上升引起气温升高，气温升高导 2 致冰川融化引起海平面上升，以及海平面上升造成的陆地面积减少分别建立灰色模型、线性模型。就陆地面积减少而言预测了今后50年陆地面积因海平面上升的减少量。 Keywords:气温升高，海平面上升，灰色模型，线性拟合 一、引言 大量研究表明，人类活动造成的大气中 CO、CH、N O等温室气体含量急剧增 24X 加所引起的气候与环境效应，将对下一个世纪人类的生存与发展构成极大威胁，其中最严重的威胁之一是气候变暖导致的冰川融化使全球性的海平面的加速上升。在过去100年中，全球海平面平均已上升了10-20cm，上升速率约为1-2mm/a，大多数研究者认为，随着全球变暖，下一个世纪海平面上升速度将明显加快，年上升速率可能将达过去100年来平均上升速率的3-8倍，在地壳显著沉降地区，其相对海平面上升速率将高于全球平均值。而在沿海地区，因受地质等多种因素影响，其地壳垂直沉降运动频率远大于上升运动频率。再加上人为大量使用地下资源加剧的地面下沉，从而使世界各地的相对海平面呈明显的加速上升趋势。 自1978年以来，北极地带冰帽正以每10年减少3%至4%的速度消融。在过去20年间，北极地带冰帽缩小了大约100万平方公里。佛罗里达州（英文：State of Florida）是美国南部的一个州，亦属于墨西哥湾沿岸地区，是美国人口第四多的州。本文主要研究由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响，以佛罗里达州为例，为佛罗里达海岸今后50年，每十年由于融化造成的影响建立模型。 二、问题重现 研究一下由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响。具体来说，为佛罗里达海岸今后50年，每十年由于融化造成的影响建立模型，要特别注意大型都市区。提出一些适当的回应来处理这些问题。对所使用的数据的详细讨论是答案的一个重要部分。 三、假设条件 1、全球气候变暖是由温室效应引起的，温室效应是由全球二氧化碳的排放引起
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
实验24 人口预测的最小二乘模型 表 24-1 世界人口数据（单位 亿） 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过 60亿。作出这一预测结果所用 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数 N 不是很大时，在不长的 时期内，人口增长率与人口数 N 成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微 分方程描述为 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达 式中a 和b 均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确 定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是 经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为 3.6974 杓-4 为了计算方便，将上式两边冋取对数，还原为 y = ln N 或 In N = a + b t ,令 N = e y 变换后的拟合函数为 dN dt bN 其中，b 为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得 N(t) a bt e (24.1) In N = b t + a ，即 (24.2) 图24-1指数函数图形与原始数据散点图
y(t) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数(y = In N )计算，得下表 表24-2世界人口数据(单位：亿) 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1, 2, ……,9)可列出关于两个未知数 a、b的9个方程的线性方程组 a 1960 b 3.3918 a 1961 b 3.4213 a 1962 b 3.4503 a 1963 b 3.4698 a 1964 b 3.4763 a 1965 b 3.4920 a 1966 b 3.5133 a 1967 b 3.5322 a 1968 b 3.5505 (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示为 AU = f (24-5) 显然A矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时 乘以A的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A, b = A T f。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解(广义解)。由于原方程组一般无解，将最小二乘解 代入下式计算 R = f -A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的 逼近程度。 三、问题求解的计算机实验 输入下面命令