高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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参赛队员(打印并签名) ：1.
2.
3.
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日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测
摘要: 中国作为世界上人口最多的发展中国家，人口问题直接影响着我们国家的
发展。本文运用数学建模的方法，建立了中国人口增长的数学模型，并对未来中国的人口状况做出了预测。
中短期人口模型：我们以莱斯利（Leslie ）模型作为理论基础，建立了一个全国人口模型。由于中国城镇化进程不断加快，所以把全国划分为城，镇，乡三个独立子系统建模方法是不可行的。通过对数据进行处理，在得到了全国人口的死亡率和生育率之后，再使用指数平滑的方法，就可以得到一个相对稳定的各个年龄段的死亡率和生育率。如果把中国看作一个独立的人口系统，就可以使用莱斯利模型顺利的建立起全国女性人口模型。建立了全国女性人口模型后，我们引入了两个重要的变量：男女比例矩阵)t (p 和初生男女婴儿比例函数)(t f 。通过这两个变量就可以由全国女性人口模型建立起全国人口的中短期模型。
通过中短期模型，可以分析出我国人口在未来几十年的变化趋势，得出以下结果。在2025年-2030年期间我国人口将达到峰值，然后人口数量就开始下降（参见图1）。而我国的老龄化进程会不断地加剧，在2040年左右将达到人口老龄化的最高峰，并在以后的十几年的时间里保持这种状态，形成一个人口老龄化的高峰平台（参见图2）。有意思的是，性别比例异常也对人口走势产生了影响。性别比例异常不会对人口增长产生特别明显的效果，但在人口衰退期，却对人口数目的减少起到了微妙的作用（参见图4）。
长期人口模型：在长期模型中，我们尝试着模拟未来中国100年的时间里人口总量的变化情况。
我们对莱斯利模型进行了改进，使这个模型能够适用于三个人口子系统（城，镇，乡）之间人口相互转移的情况，从而使长期人口模型在大的时间跨度能够更好的符合实际情况。
我们在模型中引入了迁移率（迁入人口与总人口的比）的概念，使这三个系统之间的迁入迁出关系得到量化。这样通过迁移率将三个相对独立的人口子系统联系起来，就能利用改进的莱斯利模型进行求解。
通过对长期人口模型的分析，我们可以得到未来100年的时间里中国人口总量的变化趋势 (见图5)。在经历了21世纪中叶的人口高峰后，我国人口可能会经历一个长达半个世纪的衰退期.
关键字：莱斯利（Leslie ）模型， 城镇化，指数平滑，老龄化，迁移率
1问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
2 模型假设
1、假设在中国在未来会长期保持安定的局面
2、不考虑突发事件（如传染病暴发，战争等）和因不可抗力（地震，海啸等）对人口数量造成的影响。
3、将全中国作为一个独立的人口系统，不考虑迁入迁出，即忽略中国人向海外移民和外国人定居中国对中国人口分布状况和总数的影响.
4、假设在中短期内死亡率和生育率保持相对稳定，
5、假设相同年龄段的人口性别比基本稳定
6、假设计划生育等国家基本政策保持不变，
7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响，如属相问题等
3 符号说明
T
∆：年龄区间
T
m∆：妇女能够生存的最大年龄
) (j x
i ：第i个年龄组在时刻T
j∆的人数
)
(j
x：年龄密度分布i
b：各年龄组生育率i
s：存活率，
G：莱斯利矩阵
i d ： 死亡率
城女A ：抽样调查到的城市女性总数
镇女A ：抽样调查到的城镇女性总数， 乡女A ：抽样调查到的乡村女性总数
城女a ：城市女性占总女性人数的比例
镇女a ：城镇女性占总女性人数的比例 乡女a ：乡村女性占总女性人数的比例
i d 女： 女性第i 年龄组死亡率
i d 城女 城市女性第i 年龄组死亡率 i d 镇女：城镇女性第i 年龄组死亡率
i 乡女d ：乡村女性第i 年龄组死亡率 女，
b ：女婴出生率 城女，
b ：城市女婴出生率 镇，女，
b ：城镇女婴出生率 乡，女b ：乡村女婴出生率
)0(i x 女：在起始时刻女性第ｉ年龄组的人口密度
i ,j x 乡女：第j 数据组年龄为i 的乡村女性人数 i ,j x 城女：第j 数据组年龄为i 的城市女性人数 i ,j x 镇女：第j 数据组年龄为i 的城镇女性人数
i j d ,：第j 数据组年龄为i 的人口死亡率
i j b ,：第j 数据组年龄为i 的人口生育率
c ：指数平滑常数
i 女s ：第i 年龄组女性存活率
)0(i x 女：全国第ｉ年龄组女性分布率
)t (x 女：第ｔ年女性人数密度分布
)t (女F ：第ｔ年女性人数总数
)t (x i 女：第ｉ年龄组第ｔ年全国女性人口率
)(t p ：男女比例矩阵
)t (p i ：第i 年龄组的男女比例函数，是)(t p 的对角线元素 i j p , ：第j 数据组第i 年龄组的男女性别比
)1(,i j p ：指数平滑处理过的i j p , )(t f ：初生男女婴儿比例函数
)(t F ：第t 年全国总人口数
