2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)3-4二次函数与幂函数

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》（第2课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2013·合肥质检)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)解析：选A.依题意得a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 解析：选B.设c ＝m a ＋n b ，则(4,2)＝(m －n ，m ＋n )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝4m ＋n ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝－1，∴c ＝3a －b . 3．(2013·鞍山质检)设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( )A.π6B.π4C.π3D.512π 解析：选B.∵a ∥b ，∴4sin α·3cos α＝2×3， ∴sin 2α＝1， ∵α为锐角．∴α＝π4.故选B.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B.AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)． PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．故选B.5．(2011·高考广东卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选B.∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)且(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.二、填空题6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1. 答案：－17．已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．解析：由已知得A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)， 则AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)， ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)． 答案：(3,4) 8．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是________________________________________________________________________．解析：根据已知条件得2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，又a ＝2b ，所以λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤62λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，故λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]． 答案：[－6,1] 三、解答题9．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，试以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →.解：由已知得：AB →＝(1,3)，AC →＝(2,4)， AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)， ∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8)． 设AD →＋BD →＋CD →＝λ1AB →＋λ2AC →， 则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝32，λ2＝－22. ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.10．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．一、选择题1．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.∵OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)， ∴OC →＝－BA →，∴ OC →∥ BA →.又由坐标知点O 、C 、A 、B 不共线，∴OC ∥BA ，①正确； ∵AB →＋BC →＝AC →，∴②错误； ∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确； ∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →＝(－4,0)，∴④正确．故选C.2．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量的集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)} 解析：选A.因为a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )． 可得P ∩Q ＝{(1,1)}，故选A. 二、填空题3．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝________.解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .答案：－118b ＋727c4.(2012·高考山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧DP ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－π2弧度，|CQ |＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，所以点P 的横坐标为2－|CQ |＝2－sin2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos2，所以P 点的坐标为(2－sin2,1－cos2)， 故OP →＝(2－sin2,1－cos2)． 答案：(2－sin2,1－cos2) 三、解答题5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值，若不能，请说明理由．解：(1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →， ∵⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解， 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。

课时作业(二) 一、选择题1．(2012年浙江调研)在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分而不必要条件解析：在△ABC中，若A＝60°，则cos A＝12；反过来，若cos A＝12，因为0°<A<180°，所以A＝60°.因此，在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝12”的充要条件，选C.答案：C2．(2012年浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1与l2平行的充要条件为a(a＋1)＝2×1且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．答案：A3．(2012年山东潍坊一模)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：原命题等价于“a≥x2对于任意x∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a≥4，所以C正确．答案：C4．(2012年福建)下列命题中，真命题是() A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R,2x>x2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2有交点．如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．答案：D5．(2013届湖北省黄冈中学高三10月月考)以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 3－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，则x 2＋x ＋1≥0 解析：若p ∧q 为假命题，则只需p 、q 至少有一个为假命题即可． 答案：C6．(2012～2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测)“a 2＋b 2ab ≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要解析：a 2＋b 2ab ＋2＝(a ＋b )2ab ≤0⇔ab <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，则选A. 答案：A 二、填空题7．(2012年茂名模拟)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立； 当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]8．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是________． 解析：由题意知，∴s ⇔q ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q ，∴p ⇒q ，但qp ，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．答案：①②④9．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题： ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，(1)m ＝0时不合题意，(2)m ≠0时由⎩⎨⎧m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确． 答案：②③⑤ 三、解答题10．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：(1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2－ax ＋1， 其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0， ∴ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立． 由(1)(2)知，命题得证．11．(2013届四川省资阳市高三第一次诊断性考试)命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎨⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0，得⎩⎨⎧－1≤x ≤3，x ≤－3或x >2，解得2<x ≤3， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由(1)知p ：a <x <3a ，则綈p ：x ≤a 或x ≥3a ， q ：2<x ≤3，则綈q ：x ≤2或x >3，綈p 是綈q 的充分不必要条件，则綈p ⇒綈q ，且綈q ≠綈p ， ∴⎩⎨⎧0<a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]． 12．(2013届山东潍坊市四县一校高三期中联考)已知条件p ：|5x －1|>a (a ≥0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的非负数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：已知条件p ：|5x －1|>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5. 已知条件q ，即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1， 令a ＝4，则p ：x <－35或x >1， 此时必有p ⇒q 成立，反之不然． 故可以选取的一个非负实数是a ＝4. A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p ，则q . 自以上过程可知这一命题的原命题为真命题， 但它的逆命题为假命题．(注：本题为开放性命题，答案不惟一，只需满足1－a 5≤12，且1＋a5≥1(端点等号不同时取得)即可)[热点预测]13．(1)(2012年北京朝阳二模)下列命题： p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；r ：若⎠⎛1a 1x d x ＝1(a >1)，则a ＝e.其中所有的真命题是( )A ．rB ．p ，qC ．q ，rD ．p ，r(2)(2012年浙江温州月考)已知向量a ＝(n,4)，b ＝(n ，－1)，则“n ＝2”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)本题主要考查命题真假的判断，涉及的知识点比较多，需逐一判断．命题p ：∵f (x )＝sin 4x －cos 4x＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＝－cos 2x ， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；命题q ：∵a ＋b ＝(λ－1,1＋λ2)，c ＝(－1,1)且(a ＋b )∥c ， ∴λ－1－1＝1＋λ21. 解得λ＝0或－1，故命题q 为假命题； 命题r ：⎠⎛1a 1x d x ＝ln x |a1＝ln a －ln 1＝ln a ＝1，∴a ＝e ，∴命题r 为真命题．故D 正确．(2)当n ＝2时，a ＝(2,4)，b ＝(2，－1)，a ·b ＝4－4＝0，∴a ⊥b ；当a ⊥b 时，a ·b ＝n 2－4＝0，得n ＝2或－2.∴“n ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．故选A. 答案：(1)D (2)A。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第3章《三角函数、解三角形》（第1课时）（新人教A 版）一、选择题1．下列各角中，角的终边过点P (－3，1)的是( )A ．－π3 B.2π3C.5π6D.3π4 答案：C2．已知cos θ²tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角解析：选C.法一：∵cos θ²tan θ＝sin θ<0，cos θ≠0， ∴θ为第三或第四象限角，故选C. 法二：由cos θ²tan θ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ<0，tan θ>0， 或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0. 故θ为第三或第四象限角，故选C.3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B.72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12³2π5³202＝80π(cm 2)．4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，知θ2为第二象限角．5．在(0,2π)内使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2解析：选C.用单位圆内正弦线和余弦线来解． 二、填空题6．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限． 答案：二 7．(2013²昆明质检)已知α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＞0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.解析：由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.答案：258．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.解析：因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，所以角α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0，故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2.答案：2 三、解答题9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ的值．解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知α＝π3.(1)写出所有与α终边相同的角的集合；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则β2是第几象限角？解：(1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ＝2k π＋π3，k ∈Z }．(2)由(1)，令－4π<2k π＋π3<2π(k ∈Z )，则有－2－16<k <1－16.又∵k ∈Z ，∴取k ＝－2，－1,0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π3.(3)由(1)有β＝2k π＋π3(k ∈Z )，则β2＝k π＋π6(k ∈Z )． ∴β2是第一、三象限角．一、选择题1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B.r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0. ∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12. ∵m >0，∴m ＝12.2.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )解析：选C.如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ，∴d ＝2sin l2，故选C.二、填空题3．(2013²德州质检)若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为________．解析：由题意可知：2＝2²r ²sin1，∴r ＝1sin1，∴S ＝12r 2α＝12²⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin12²2＝1sin 21. 答案：1sin 214．(易错题)在与2040°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：∵2040°＝5³360°＋240°＝10π＋4π3，∴与2040°终边相同的角中绝对值最小的角为－23π.答案：－23π三、解答题5．(1)确定－cos8²tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式>0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈(π2，π)．于是有sin α－cos α>0.。

课时作业(二十)一、选择题1．(2011年新课标)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得A (4,2)．则S ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x答案：C2．(2012年福建莆田高三质检)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e2D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B3．(2012年山西大同市高三学情调研)由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( )A ．2 3B ．9－2 3 C.353D.323答案：D4．设集合P ＝{x |⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：依题意得⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝(t 3－5t 2＋6t )⎪⎪⎪x0＝x 3－5x 2＋6x ＝0，由此解得x ＝0或x ＝2或x ＝3.又x >0，因此集合P ＝{2,3}，集合P 的非空子集的个数是22－1＝3，选B.答案：B5．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：A6．(2012年东北三校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x <0，2cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．4D.12答案：C 二、填空题7．(2012年河南郑州高三模拟)曲线y ＝cos x (0≤x ≤3π2)与坐标轴所围成的图形面积是________．答案：38．(2012年吉林实验中学高三模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |1＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：339．(2012年山东临沂一模)函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积等于______．解析：函数的导数为f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，所以f ′(1)＝3－2＋1＝2，即切线方程为y －2＝2(x －1)，整理得y ＝2x .由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得交点坐标为(0,0)，(2,2)，所以切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝(x 2－13x 3)|20＝4－83＝43.答案：43三、解答题10．求下列定积分： (1)⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)d x ； (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x .解：(1)⎠⎛0a(3x 2－x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－12x 2＋x ⎪⎪⎪a＝a 3－12a 2＋a .(2)∵(ln x )′＝1x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2x ′＝e 2x ，∴⎠⎛12(e 2x ＋1x )d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121x d x ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln2－ln1 ＝12e 4－12e 2＋ln2.11．已知 f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2.(1)求 f (x )的解析式；(2)求 f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0， 得⎩⎨⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎨⎧c ＝2－a b ＝0. ∴ f (x )＝ax 2＋(2－a )． 又⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，∴c ＝－4.从而 f (x )＝6x 2－4. (2)∵ f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时， f (x )min ＝－4；当x ＝±1时， f (x )max ＝2.12．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪ 10＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13t 3－2t 2＋3t |31＋(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪43＝43＋43＋43＝4(m)即质点在4 s 内运动的路程为4 m. [热点预测]13．(1)(2012年河北正定中学高三第2次月考)如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A.15 B.14 C.13D.12(2)(2012年北京石景山一模)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是________．解析：(1)S阴影＝2⎠⎛2x2dx＝2×13x3⎪⎪⎪2＝2×83＝163，P＝16316＝13.(2)阴影部分的面积为2⎠⎛πsin x d x＝2(－cos x)|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M内的概率是4π3.答案：(1)C(2)4π3。

阶段滚动检测（三）（第一～六章） （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·临沂模拟)设A ＝{x|x 2－2x －3＞0}，B ＝{x|x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4］，则a ＋b 等于( ) (A)7 (B)-1 (C)1 (D)-72.(滚动单独考查)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi(其中i 为虚数单位)，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( ) (A)-6 (B)6 (C)83(D)83-3．(滚动单独考查)设向量()(1x 1)x 1,3=-=+，，a b ，则“x=2”是“a b ”的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.(滚动单独考查)下列判断错误的是( ) (A)“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分不必要条件(B)命题“∀x ∈R,x 3-x 2-1≤0”的否定是“∃x 0∈R,3200x x 10-->” (C)若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题(D)若,≠，且，a b b c b 0则a c5.在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2-10x+16=0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)2566.(滚动交汇考查)等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和S 3=304xdx ⎰，则公比q 的值 为( )()()()()1A 1B 211C 1 D 122----或或7.(滚动单独考查)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2π)的最小正周期为π，且f(-x)=f(x)，则( )(A)f(x)在(0, 2π)上单调递减(B)f(x)在(3,44ππ)上单调递减(C)f(x)在(0, 2π)上单调递增(D)f(x)在(3,44ππ)上单调递增8.(2012·安徽师大附中模拟)已知x,y 满足x 3y 70x 1,y 1+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z=|y-x|的最大值 为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2012·宿州模拟)函数A，关于x的)2x>2-a-x(a∈R)的解集为B，若A∩B=B,则实数a的取值范围不等式(12为_______.10.如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中，点A，B在直径上，点C，D在圆周上.设BC=x cm,则ABCD面积最大时，x的值为_________.11.(滚动单独考查)(2012·抚顺模拟)已知O为正三角形ABC内一点，且满足OA+λOB+(1+λ)OC =0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为___________.12.(滚动单独考查)(2012·娄底模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y， x)，则向量MN的模为___________．13.(滚动交汇考查)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝__________.14.(2012·淄博模拟)设实数x,y 满足不等式组y x 1y x 1y 0+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则x y 1+的取值范围是__________．15.已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点,OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)=2-sin(2x+6π)-2sin 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)记△ABC 的内角A,B,C 的对边长分别为a,b,c ，若f(B2)=1，,求a 的值.17.(12分)(2012·西安模拟)已知数列()()1111,1335572n 12n 1⋯⨯⨯⨯-+，，，，其前n 项和为S n . (1)求出S 1,S 2,S 3,S 4; (2)猜想前n 项和S n 并证明.18．(12分)某大学食堂定期从某粮店以每吨3 000元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需用大米1 t ，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20 t 时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．19.(13分)(滚动交汇考查)(2012·德州模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx(a ≠0)的导函数f ′(x)=2x-2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n,S n )均在函数y=f(x)的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b 1=1,b n+1=b n +a n+2(n ∈N *),求b n ； (3)记*n c N ),=∈试证c 1+c 2+…+c 2 011<89. 20.(13分)(滚动交汇考查)已知函数()()a x 1f x lnx .x 1-=-+ (1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，求a 的取值范围；(2)利用(1)的结论比较m 2(1)m n ln m n 1n-+与 (m,n 为正实数，m>n)的大小.21.(13分)(滚动单独考查)已知函数()()21f x x 1lnx ax a 2=-+-+．(1)若a=32，求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x ∈(1,3)，都有f(x)>0成立，求a 的取值范围．答案解析1.【解析】选D.A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4］，则B ＝［－1,4］，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.2.【解析】选C.由于2a 32i (32i)(4xi)122x (83x)ib4xi (4xi)(4xi)16x ＋＋－＋＋－＝＝＝＋＋－＋∈R ， 则8－3x ＝0，∴x ＝83.3.【解析】选A.当x=2时，a =(1,1),b =(3,3)，∴a ∥b ；当a ∥b 时，x 2-1=3，∴x=±2.4.【解析】选C.p ∧q 为假命题，只能说明p ，q 中至少一个是假命题.5.【解题指南】利用根与系数的关系及等比数列性质可求.【解析】选C.由已知得a 1·a 19=16，又a 1·a 19=a 210，∴正项等比数列中，a 10=4.∴a 8·a 10·a 12=a 310=64.6.【解析】选C.S 3=304xdx 18=⎰，∴266618,q q ++=解得q=1或1q 2=-.【变式备选】由曲线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( )()()()()1016A B 4C D 633【解析】选C.用定积分求解)34242002116S x 2dx=(x x 2x)|.323=+-+=⎰7.【解题指南】先两角和公式逆用，化为一个角的三角函数，再利用周期及偶函数得解析式，从而可解.【解析】选sin(ωx+φ+4π),∵最小正周期为π,所以ω=2，又f(x)为偶函数，∴φ+4π=2π+k π，k ∈Z,得φ=4π+k π,k ∈Z ，又|φ|<2π,∴φ=4π,∴f(x)= 2πcos2x,由函数单调性选A.8.【解析】选C.作出可行域如图阴影区域.可知A(1，2)，B(4，1)，由z=|y-x|=()y x(y x).x y y x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩(1)当z=y-x 时，目标函数过A(1，2)时，z max =2-1=1. (2)当z=x-y 时，目标函数过B(4，1)时z max =4-1=3. 由(1)(2)可得，z max =3,故选C. 9.【解析】由2xx 1+-≥0且x-1≠0解得x ≤-2或x>1, 于是A= (-∞，-2］∪(1，+∞).2x a x 2x a x 111()2()()222--+>⇔>⇔2x<a+x ⇔x<a, 所以B=(-∞，a).因为A ∩B=B ，所以B ⊆A ，所以a ≤-2. 即a 的取值范围是(-∞，-2］. 答案：(-∞，-2］10.【解析】由BC=x ，则所以x 2+(900-x 2)=900.当且仅当x 2=900-x 2,即x= S 取最大值为900 cm 2.答案：11.【解题指南】将已知条件转化可知O 点在三角形中位线上，根据S △OAB 与S △OAC 之比可得结果.【解析】设AC 、BC 边的中点为E 、F,则由OA OB (1)OC +λ++λ=0得OE OF +λ=0,∴点O 在中位线EF 上.∵△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，∴点O 为EF 的靠近E 的三等分点，∴λ=12. 答案：1212.【解析】∵a ∥b ，∴x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c＝(1，－2－y)．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·( b －c )＝0，即6－3×(－2－y)＝0，∴y ＝－4，∴M(4，－4)，N(－4,4)．故向量MN ＝(－8,8)，|MN |＝答案：13.【解析】设公差为d,a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝ka 1 +()k k 1d 2- =k+k(k-1)=9,解得：k=3. 答案：314.【解析】不等式组表示的区域是以点(-1,0)，(1,0)，(0,1)为顶点的三角形(及内部)，xy 1+可看作区域内的点与点(0，-1)连线的斜率的倒数.连线的斜率的取值范围是(-∞，-1］∪［1，+∞)，∴xy 1+的取值范围是［-1,1］. 答案：［-1,1］15.【解析】由题意，PO 与PA 的差的绝对值是常数，即圆的半径，所以点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线. 答案：以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线 16.【解析】(1)f(x)=2-sin(2x+6π)-2sin 2x =2-(sin2xcos 6π+cos2xsin 6π)-(1-cos2x)12cos2x)=12=cos(2x+3π)+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由f(B2)=1得cos(B+3π)+1=1,即cos(B+3π)=0,又因为0<B<π,所以3π<B+3π<43π,所以B+3π=2π,即B=6π.因为,所以由正弦定理得b c sinB sinC =,得sinC=2，故C=3π或23π，当C=3π时，A=2π,从而a 2=,当C=23π时，A=6π,又B=6π,从而a=b=1,故a 的值为1或2.17.【解析】(1)由已知得：111S ;133==⨯ 2112S ;13355=+=⨯⨯31113S ;1335577=++=⨯⨯⨯411114S .133557799=+++=⨯⨯⨯⨯(2)由(1)可归纳猜想得n nS ,2n 1=+证明：∵()()1111()2n 12n 122n 12n 1=--+-+ ∴()()n 1111S 1335572n 12n 1=+++⋯+⨯⨯⨯-+ =11111111(1)()()232352n 12n 1-+-+⋯+--+２=111111(1)23352n 12n 1-+-+⋯+--+ 1112n n (1).22n 122n 12n 1=-=⨯=+++ 18.【解析】设该食堂每隔x 天购买一次大米，则每次购买x t ，设平均每天所支付的费用为y 元，则(1)y ＝1x ［3 000x ＋100＋2(1＋2＋…＋x)］＝x ＋100x＋3 001≥3 021，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)当x ≥20时y ＝1x［3 000x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x)］＝x ＋100x＋2 851，函数y 在［20，＋∞)上为增函数，∴y ≥20＋10020＋2 851＝2 876.而2 876＜3 021，故该食堂可接受粮店的优惠条件．19.【解析】(1)∵f ′(x)=2ax+b=2x-2,∴a=1,b=-2.∴f(x)=x 2-2x,故S n =n 2-2n, 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n-3,a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n-3(n ∈N *).(2)由b 1=1,b n+1=b n +a n+2(n ∈N *)得b n+1-b n =a n+2=2n+1(n ∈N *)， 故b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1) =1+3+5+…+(2n-1)=n 2,∴b n =n 2,n ∈N *. (3)由(2)知n 1c 1====<= (n ∈N *,n ≥2) ∴c 1+c 2+…+c 2 011<11)+++…+12451=<⨯-=89.20.【解析】(1)f ′(x)=()()()2a x 1a x 11x x 1+---+ =()()()2222x 12ax x (22a)x 1.x x 1x x 1+-+-+=++因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，所以f ′(x)≥0在(0，+∞)上恒成立.即x 2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立.当x ∈(0,+∞)时，由x 2+(2-2a)x+1≥0,得2a-2≤x+1x.设g(x)=x+1x,x ∈(0,+∞).g(x)=x+1x≥xx=2. 所以当且仅当x=1x,即x=1时，g(x)有最小值2. 所以2a-2≤2.所以a ≤2.即a 的取值范围为(-∞,2］. (2)构造函数：设h(x)=()2x 1lnx x 1--+.由(1)知h(x)在(1,+∞)上是单调增函数，又m n >1，所以h(m n )>h(1)=0.即ln m n-m2(1)n m 1n-+0>成立.从而ln m n >m 2(1)n m 1n-+.【方法技巧】函数与不等式综合应用问题的解题技巧函数与不等式综合应用题是高考中常见题型，多与单调性结合利用函数单调性证明不等式，本题中先利用导数及单调性转化为恒成立问题，利用参数分离法，及基本不等式求参数的范围，而后利用分析法结合(1)的结论设出函数利用单调性证明，题目立意新颖，考查知识点较多，是很好的一道典型题.21.【解析】(1)由题知f(x)定义域为(0，+∞),当a=32时，f ′(x)=2152x 5x 2x x 22x -++-=，令f ′(x)=0,得x=12或x=2，列表：函数f(x)在x=2处取得极大值f(2)=8-ln2， 函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-1；(2)方法一：f ′(x)=()1x 1a x+-+,x ∈(1,3)时，110x (2,),x3+∈①当1+a ≤2，即a ≤1时，x ∈(1,3)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(1,3)上是增函数，∀x ∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成立； ②当1+a ≥103，即a ≥73时，x ∈(1,3)时,f ′(x)<0,函数f(x)在(1，3)上是减函数，∀x ∈(1,3)，f(x)<f(1)=0恒成立，不合题意. ③当2<1+a<103，即1<a<73时，x ∈(1,3)时，f ′(x)先取负，再取零，最后取正，函数f(x)在(1，3)上先递减，再递增，而f(1)=0，∴∀x ∈(1,3), f(x)>f(1)=0不能恒成立；综上，a 的取值范围是a ≤1. 方法二：∵1x x2,xx +≥=∴f ′(x)=x+1x-1-a ≥1-a. ①当a ≤1时，f ′(x)≥1-a ≥0，而f ′(x)=x+1x-1-a 不恒为0，∴函数f(x)在(1，3)上是单调递增函数，∀x ∈(1,3)，f(x)>f(1)=0恒成立；②当a>1时，令f ′(x)=()2x a 1x 1x-++，设x 2-(a+1)x+1=0的两根是x 1,x 2(x 1<x 2)，∵x 1+x 2=a+1>2，x 1x 2=1，∴0<x 1<1<x 2.当x ∈(x 1,x 2)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(x 1)>f(1)>f(x 2)，而f(1)=0，∴f(x 1)>0>f(x 2)若x 2≤3，∵∀x ∈(1,3)，f(x)>0，∴f(x 2)>f(1)=0，不可能， 若x 2>3，函数f(x)在(1,3)上是减函数，f(3)<f(1)=0，也不可能，综上，a的取值范围是a≤1.。