北工大概率论2011—2012学年第二学期开学初试卷

哈工大 2012年秋季学期概率论与数理统计 试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率≥<<)51(X P ______．4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95下，μ的置信区间为______ ____．5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <<<<=，则与上式不等价的是（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，则 （A ）1EX λ=，21DX n λ=． （B ）,λ=X E n X D λ=． （C ）,nX E λ=2n X D λ=． （D ）,λ=X E λn X D 1=． 【 】 3．设随机变量X 的概率密度为2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则)2(DX EX X P ≥-等于（A）99-. （B）69+. （C ）928-6. （D）69-． 【 】 4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,11)(2x x x x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.（C ）1()e ,.2xf x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【 】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】 （A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

北方工业大学《概率论与数理统计I 》课程试卷答案及评分标准A 卷2012年秋季学期开课学院： 理学院考试方式：闭卷考试时间：120 分钟班级 姓名 学号 注意事项：1.最后一页可以撕下作稿纸，但不能把试卷撕散，撕散试卷作废。

2.可以使用简易计算器，但不可使用有存储功能的文曲星、掌上电脑等，否则视为作弊。

一、填空题：（每题4分，共20分）1. 设A 与B 为互斥事件，()0>B P ，则()=B A P 02. 设随机变量 ),(~p n B X 且 4.2=EX ，44.1=DX ，则 =n 6 ，=p 0.4 。

3. 已知)1,0(N ~X ，则}0X {P >= 0.5 。

4. 设22,),,(~σμσμN X 均未知,样本容量为n ，样本方差为2s , 2σ的95%的置信区间为 ()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11,112222212n s n n s n ααχχ。

5. 设随机变量4321X ,X ,X ,X 相互独立，服从相同的正态分布),(N 2σμ，则)X 2X X 2X X X X X (21Y 4321242322212--+++=σ服从 )2(2χ 分布。

二、选择题（每题4分，共20分）1. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是 （C ）订线装（A ） 8 （B ） 16 （C ） 34 （D ） 442.随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()C X E X P ==)}({。

（A ）1-e （B ）121-e（C ）22-e（D ）221-e3. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为 (A ) 。

（A ）a 21 （B ） a2 （C ）a +21 （D ） a 211-4. 为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()43(y x Ke y x f y x 为二维随机向量()Y ,X 的联合密度,则K 必为（ C ） 。

北京工业大学2004—2005年度第I 学期概率论与数理统计考试试卷(经,A 卷)及参考答案一. 填空题(每空两分,共30分)1. 若B A ,为随机事件，且6.0)(=A P ,2.0)(=-A B P .当A 与B 相互独立时,=)(B P 0.5 ；A 与B 互不相容时,=)(B P 0.2 。

2. 若每次试验时A 发生的概率都是2.0，X 表示50次独立试验中事件A 发生的次数，则=)(X E 10 ，=)(X Var 8 。

3. 若随机变量X 只取2±,1之三个可能值,且15.0)2(=-=X P ,5.0)1(==X P 。

则=)(X E 0.9 ，=)(X Var 1.69 。

4. 若随机变量21,X X 相互独立,且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N 。

令212X X X -=，则=)(X E 1 ，=)(X Var 25 ，)1(>X P ＝ 0.5 。

5. 若n X X X ,,,21 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记 ∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S ni i --=∑=. 则σμ/)(-X n ～)1,0(N , 2/)(S X n μ-～1-n t , 22/)1(σS n -～21-n χ。

进一步，记αZ 为标准正态分布上α分位点，)(αm t 为自由度为m 的t 分布上α分位点,)(2αχm 为自由度为m 的2χ分布上α分位点,m 为自然数，10<<α为常数。

当2σ已知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为])/(,)/([2/2/αασσZ n X Z n X +-；当2σ未知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为)]2/()/(),2/()/([11αα--+-n n t n S X t n S X ,2σ的置信系数为α-1的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)2/1()1(,)2/()1(212212αχαχn n S n S n 。

北京工业大学2013-2014学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

一、（10分）设学生某次考试成绩服从正态分布),(2σμN ，现从中随机抽取36位的考试成绩, 算得平均分为66.5，标准差为15分。

问在显著性水平0.05下，从样本看，(1)是否接受“70=μ”的假设？ (2)是否接受“2216≤σ”的假设？解：已知 05.0,36,15,5.66====αn S X（1）70:,70:10≠=μμH H由书中结论知，检验问题的拒绝域为)1(702-≥-n t nSX α4.13615705.6670=-=-nSX ，查表得0301.2)35()1(025.02==-t n t α，所以，接受原假设。

，（2）22122016:,16:>≤σσH H检验问题的拒绝域为)1(16)1(222-≥-n S n αχ7617.301615)136(16)1(2222=-=-S n ，802.49)136()1(205.02=-=-χχαn ，所以，接受原假设。

二、（15分）在某公路上观察汽车通过情况，取15秒为一个时间单位，记下锅炉汽车分布？(显著性水平取0.05α=)解：805.020014113282681920ˆ=*+*+*+*+*==x λ并组后k=4,而此处r=1,故自由度为k-r-1=2,200.932-200=0.932<991.5)2(205.0=χ,所以是Poisson 分布 三、（15分）为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得甲醇浓度x(1)建立“缩醇化度” y 对甲醇浓度x 的一元线性回归方程； (2)对建立的回归方程进行显著性检验：（取01.0=α）； (3)在0x =36时，给出相应的y 的预测区间（取01.0=α）。

北 京 交 通 大 学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率． 解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ． 所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ． 二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A，{}次感冒某人一年中患2=B ． 由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----eeee ．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ．设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰edx eX P p x ．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---e e e ． 四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它5.002x xcx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ． 解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dxx f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.0001dxx f dx x f dx x f dxx f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x c dx x cx ，解方程，得21=c ．⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdtt f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320xx dt t tdt t f dt t f dtt f x F xx x+=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdtt f dt t f dt t f dtt f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ． 五．（本题满分8分） 设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,max 21 =，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ． 解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x xx x F X ． 随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n n dx nxx dx x xp Y E n Y ．六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它10421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p YX ．（3分） 解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ； 当10<<y 时，()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dxx yydx x dx y x p y p 22421421,253022731221221y xy dx xyyy=⋅==⎰所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ．当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==yx y yx即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U+=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ．解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=． 再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,c o v,c o v σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a VD UD VU V U +-==ρ．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P XP P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ． ⑵ 当7.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P XP P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ． 九．（本题满分8分） 设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U．计算统计量()UY Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）． 解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ， 所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-．又由()∑=-=9722221i iY XU ，得()2~2222χσU．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ． 十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pqk X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量． 解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpn p L dpd nk k，解方程，得xp 1=．因此p 的极大似然估计量为Xp 1ˆ=．十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3， ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =．所以似然函数为 (){}nni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ．⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分） 解：⑴ X 的取值为 ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， () ,3,2,1=k ．即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==pX E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。

北京工业大学2013 —2014 学年第 二 学期 《概率论与数理统计》工 考试试卷考试说明： 考试方式：闭卷 考试时间：2014年6月 11日 承诺：本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，承诺在考试过程中自觉遵守有关规定，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考。

若有违反，愿接受相应的处分。

承诺人： 学号： 班号：。

注：本试卷共 六 大题，共 6 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸或草稿纸。

1．设A ，B 为随机事件，且P （A ）= 0.7，P (A -B ) = 0.3，则P （AB ）= 0.6 。

2．已知5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P ，则)|(B A B P ⋃ = 1/4 。

3．设A ，B 为随机事件，则 A 与B 互斥的充要条件是 AB φ=。

；A 与B 相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)。

4．设 X 服从参数为λ的泊松分布，且 P{X=0}=1/2 ，则λ=ln 2； (3)E X +=ln 23+； Var(21)X +=4ln 2。

5. 设),(~p n B X ,已知28.1)(,6.1)(==X Var X E , 则n = 8 ； p= 0.2 。

6. 若2~(1,)X N σ，且{}020.9544P X <<=，则{}0P X <= 0.0228 。

7. 已知随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它00)1(2)(2x x x f π， 则X Y ln = 的概2率密度)(y f Y = 22()(1)yy e f x y e π=-∞<<+∞+8. 若n X X X ,...,,21为抽自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ未知, 记∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S n i i --=∑=。

北京工业大学2012-2013学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

考试日期：2013年1月日一、（10分）欲对某班《数理统计与随机过程》的期末考试成绩作分析。

假设这门课成绩X (单位：分)服从正态分布2(,)N μσ。

若班级平均成绩在75分以上则认为该班成绩良好。

现从该班中随机抽取9名同学，得到他们成绩的平均分为78.44，标准差为11.40。

请根据以上结果回答如下问题：（1）取显著性水平α=0.05，分别给出下述两个问题的检验结果：检验问题I “H 0: 75μ≤，H 1: 75μ>” 检验问题II “H 0: 75μ≥，H 1: 75μ<” （2）对以上结论你如何解释？ 二、（15分）将酵母细胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小格内的酵母细胞数X ，共观察了413个小方格，结果见下表。

试问根据该资料，X 是否服从Poisson 分布？(显著性水平取0.05α=)三、（15分）某公司在为期8个月内的利润表如下：(1)求该公司月利润对月份的线性回归方程；(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11月利润的预测区间（取050.=α）。

(本题计算结果保留两位小数)。

四、（15分）某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒）。

今将每种型号的报警器随机抽取5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下：） （2） 如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，求均值差B A μμ-的置信水平为95%的置信区间。

五、（15分）设{N(t),t }是强度为的Poisson 过程，试求 (1) P{N(1)<2};(2) P{N(1)=1 且 N(2)=3}; (3) P{N(1)≥2|N(1)≥1}.六、（15分）设{}0,≥n X n 为时齐马氏链，状态空间{}3,2,1=I ，一步转移概率矩阵为 P=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛05.05.05.005.05.05.00初始分布P （X 0=1）=P （X 0=2）=0.25。

11-12暨南大学概率论试卷A 张培爱、邱青1．设A 、B 、C 为三个事件，则事件“A 、B 、C 中恰有两个发生”可表示为( C ). A ．AB AC BC ++； B. A B C ++； C. ABC ABC ABC ++； D. ABC 2.. 设在 Bernoulli 试验中,每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复独立进行3 次试验, 至少失败一次的概率为 ( B ). A. 3)1(p -; B. 31p -;C. 3(1)p -;D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-. 3. 设12,,,,n ηηη⋅⋅⋅⋅⋅⋅是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若 1n E η=,方差存在,(1,2,),n =⋅⋅⋅ 则1lim ||3ni n i n P n η→∞=⎛⎫-<=⎪⎝⎭∑( B ). A. 0; B. 1; C. 1;3 D. 12. 4. 设随机变量X 的概率密度为 33,0()0,0x e x x x ϕ-⎧>=⎨≤⎩, 则方差D(X)= ( D )A. 9；B. 3；C. 13；D. 19.5. 设随机变量X 的概率密度函数)1(1)(2x x f +=π，则X Y 3=的概率密度函数为（ B ）． A ．)1(12y +π B ．)9(32y +π C ．)9(92y +πD ．)9(272y +π6. 设()~1,X N σ2,且(13)0.7P X -<<=，则()=-<1X P （ A ） A ．0.15B. 0.30C. 0.45D. 0.67．设)2,3(~2N X ，则=<<}51{X P （ B ）（设220()d x xx x -Φ=⎰）． A ．00(5)(1)Φ-Φ B ．02(1)1Φ- C ．011()122Φ- D ．0051()()44Φ-Φ8．设总体2~(,)X N μσ，其中μ未知，1234,,,x x x x 为来自总体X 的一个样本，则以下关于的μ四个无偏估计：1ˆμ=),(414321x x x x +++4321252515151ˆx x x x +++=μ 4321361626261ˆx x x x +++=μ，4321471737271ˆx x x x +++=μ中，哪一个最有效？（ A ）9. 设),,,(21n X X X 为总体2(2,3)N 的一个样本,X 为样本均值,S 为样本标准差, 则下列结论中正确的是 ( D ).~()X t n ； B. 211()~(,1)9ni i X X F n =-∑；~(0,1)X N ； D. 2211(2)~()9ni i X n χ=-∑. 10. 在假设检验中,记0H 为原假设，则犯第一类错误指的是（ C ）. A. 0H 正确，接受0H ； B. 0H 不正确，拒绝0H ； C. 0H 正确，拒绝0H ； D. 0H 不正确，接受0H1. 假设12,A A 是两个相互独立的事件, 若11239(),(),1010P A P A A =+= 则2()P A =67.2. 若)45.0,122(~B X ,则它的概率函数()P X k =在k = 55 取得最大值.3. 若 ,1()25, ()4, ,2X Y D X D Y ρ=== 则 ()D X Y -= 19 .4. 设X ，Y 的联合分布律为且X ，Y 相互独立，则α=29，=β19.5. 设2(),(),E X D x μσ==由切比雪夫不等式知{}22P X μσμσ-<<+≥3/4.6. 设A n 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率，则lim 0}n P →∞≤= 0.5 .7. 若随机变量,ξη相互独立, 且~(1,1),N ξ- ~(2,4),N η则23~ξη-(8,40)N -. 8. 若随机变量~(,)F F m n , 则1~F(,)F n m . 9. 设总体ξ的分布密度为 ,0(0)(;)0,0,x e x x x θθθϕθ-⎧≥>=⎨<⎩, 现从中抽取n 个样本, 测得观测值分别为12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n ⋅⋅⋅>=⋅⋅⋅, 则参数θ的最大似然估计为1xθ∧=. 1. 甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷一枚均匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。