北京工业大学2013-2017数理统计试题

1. 设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。

2. 设{N(t)， t ≥0}是强度为λ的泊松过程，分别求：（1） E[N(s)N(t+s)]；（2） 0<s<t 时，P{N(s)=k|N(t)=n}；3. 某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。

（1）求})(|)({4365==N N P ；（2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数；（4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。

1.（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：产品号 工厂甲 工厂乙 工厂丙1 38 28 432 42 26 403 48 34 504 45 30 395 40 32 50在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.2. 用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：玻璃金铂6.678 6.683 6.6616.671 6.681 6.6616.675 6.676 6.6676.672 6.678 6.6676.674 6.679 6.664在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。

3. 用四种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机的将它们均分为4组，每组各服一种安眠药，睡眠时间如下所示：安眠药试验数据安眠药睡眠时间/hA16.2 6.1 6.0 6.3 6.15.9A26.3 6.5 6.7 6.67.16.4A36.87.1 6.6 6.8 6.96.6A45.46.4 6.2 6.3 6.05.9在显著性水平α=0.05下对其进行单因素方差分析，分析4种安眠药的作用是否相同？一、威士忌经贮存颜色变深，味道更鲜美，下表给出了威士忌酒的贮存年限及相应的浓度：年限(X) 0 0.5 1 2 3 4 5 6 78浓度/10-6 (Y) 104.6 104.1 104.4 105.0 106.0 106.8 107.7 108.7 110.6 112.11、给出威士忌酒浓度和贮存年限的关系。

北京工业大学2010-2011学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

考试日期：2011年1月4日1.某茶叶制造商声称其生产的一种包装茶叶平均每包重量不低于150克，已知茶叶包装重量服从正态分布，现从一批包装茶叶中随机抽取100包，经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α＝0.01的显著性水平上检验该制造商的说法是否可信？2. 某食品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数目以及收款台的数目。

为检验工作日上午顾客到达数（用5分钟时间段内进入商店的顾客数来定义）是否服从泊松分布，随机选取了一个由3周内工作日上午的128个5分钟时间段组成通过这些样本，请你帮忙分析到达顾客数服从泊松分布吗？（取显著性水平）3.一家关于MBA 报考、学习、就业指导的网站希望了解国内MBA 毕业生的起薪是否与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学生中按照专业分别随机抽取了5人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所示（单 位： 万元），根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论？（取显著性水平050.=α）4．为定义一种变量,用来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.首先要收集（1） 试确定（2） 对回归方程进行显著性检验（α=0.05）；（3） 当x=20时,求y 的95％的预测区间。

5．6．设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，其一步转移概率矩阵为 3104411142431044P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其初始状态的概率分布为01(0)(),0,1,2,3i i p P X i i ====求： （1）求2{1}P X =；（2）求2{2|1}n n P X X +==；（3）求012{1,2,1}P X X X ===；（4）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。

1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni i p2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ∙=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=n i iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=n i iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i iX X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。

解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i iX X，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi i i i X X P X X P sP s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752三．设总体X 的概率密度为f(x)=(1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。

《概率论与数理统计》期末考试试题A一、填空题（每题3分，共15分）1、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________．2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P3、设二维随机变量()Y X ,的分布列为若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为 。

4、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -=___ _5、设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布.二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A) 11a a b -+-； (B) (1)()(1)a a a b a b -++-； (C) a a b +； (D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是【 】(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ;(C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =.3、设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和()1,1N ，则【 】 (A)()210=≤+Y X P ； (B) ()211=≤+Y X P ；(C)()210=≤-Y X P ； (D)()211=≤-Y X P 。

4、 如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有【 】（A ）X 与Y 独立；（B ）X 与Y 不相关；（C ）0=DY ；（D ）0=DX5、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 则随机变量()Y X Z ,max =的分布律为【 】(A)()()211,210====z P z P ； (B) ()()01,10====z P z P ； (C) ()()431,410====z P z P ；(D) ()()411,430====z P z P 。

北京工业大学2013-2014学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

一、（10分）设学生某次考试成绩服从正态分布),(2σμN ，现从中随机抽取36位的考试成绩, 算得平均分为66.5，标准差为15分。

问在显著性水平0.05下，从样本看，(1)是否接受“70=μ”的假设？ (2)是否接受“2216≤σ”的假设？解：已知 05.0,36,15,5.66====αn S X（1）70:,70:10≠=μμH H由书中结论知，检验问题的拒绝域为)1(702-≥-n t nSX α4.13615705.6670=-=-nSX ，查表得0301.2)35()1(025.02==-t n t α，所以，接受原假设。

，（2）22122016:,16:>≤σσH H检验问题的拒绝域为)1(16)1(222-≥-n S n αχ7617.301615)136(16)1(2222=-=-S n ，802.49)136()1(205.02=-=-χχαn ，所以，接受原假设。

二、（15分）在某公路上观察汽车通过情况，取15秒为一个时间单位，记下锅炉汽车分布？(显著性水平取0.05α=)解：805.020014113282681920ˆ=*+*+*+*+*==x λ并组后k=4,而此处r=1,故自由度为k-r-1=2,200.932-200=0.932<991.5)2(205.0=χ,所以是Poisson 分布 三、（15分）为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得甲醇浓度x(1)建立“缩醇化度” y 对甲醇浓度x 的一元线性回归方程； (2)对建立的回归方程进行显著性检验：（取01.0=α）； (3)在0x =36时，给出相应的y 的预测区间（取01.0=α）。

（完整版）数理统计考试题及答案1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独⽴的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1µσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1µσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n⼆、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=612)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。

解：因为),(~2σµN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则≤-= ≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α?+<，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极⼤似然估计量。

北京工业大学2012-2013学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

考试日期：2013年1月日一、（10分）欲对某班《数理统计与随机过程》的期末考试成绩作分析。

假设这门课成绩X (单位：分)服从正态分布2(,)N μσ。

若班级平均成绩在75分以上则认为该班成绩良好。

现从该班中随机抽取9名同学，得到他们成绩的平均分为78.44，标准差为11.40。

请根据以上结果回答如下问题：（1）取显著性水平α=0.05，分别给出下述两个问题的检验结果：检验问题I “H 0: 75μ≤，H 1: 75μ>” 检验问题II “H 0: 75μ≥，H 1: 75μ<” （2）对以上结论你如何解释？ 二、（15分）将酵母细胞的稀释液置于某种计量仪器上，数出每一小格内的酵母细胞数X ，共观察了413个小方格，结果见下表。

试问根据该资料，X 是否服从Poisson 分布？(显著性水平取0.05α=)三、（15分）某公司在为期8个月内的利润表如下：(1)求该公司月利润对月份的线性回归方程；(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11月利润的预测区间（取050.=α）。

(本题计算结果保留两位小数)。

四、（15分）某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒）。

今将每种型号的报警器随机抽取5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下：） （2） 如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，求均值差B A μμ-的置信水平为95%的置信区间。

五、（15分）设{N(t),t }是强度为的Poisson 过程，试求 (1) P{N(1)<2};(2) P{N(1)=1 且 N(2)=3}; (3) P{N(1)≥2|N(1)≥1}.六、（15分）设{}0,≥n X n 为时齐马氏链，状态空间{}3,2,1=I ，一步转移概率矩阵为 P=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛05.05.05.005.05.05.00初始分布P （X 0=1）=P （X 0=2）=0.25。

北京工业大学2015—2016学年第一学期《概率论与数理统计》（工类、经类）考试试卷考试说明： 考试时间：2016年01月06日； 考试方式：闭卷。

承诺：本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，承诺在考试过程中自觉遵守有关规定，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考。

若有违反，愿接受相应的处分。

承诺人： 学号： 班号： 注：本试卷共 三 大题，共 6 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸或草稿纸。

卷 面 成 绩 汇 总 表（阅卷教师填写）一、选择题（在各小题的四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。

本大题共6个小题，每小题2.5分，总计15分）1. 对任意互不相容的事件A 与B ，下列式子正确的是 ( D )A ．()0P AB =； B ．()()()P AB P A P B =；C ．()()1P A P B =-；D. ()1P A B =。

2. 对任意事件A 与B ，当B A ⊂时，下列式子正确的是 ( A )A ．()()P AB P A =； B ．()()P AB P A =；C ．()()|P B A P B =； D. ()()()P B A P B P A -=-。

3．设随机变量~()X P λ(参数为λ的泊松分布)，且E[(X -1)(X -2)]=1, 则λ=( B )A ．0；B ．1；C ．2；D ．3。

E[(X-1)(X-2)]= E(X2)-3E(X)+2,利用D(X)得到E(X2) 4. 设随机变量2~(,)X N μσ，当σ增大时，{-}P X μσ<的值 ( C )A ．增大；B ．减少；C ．不变；D ．增减不定。

(由切比雪夫不等式得到为一个与σ无关的不等式) 5. 设连续型随机向量(X ,Y )服从单位圆域内均匀分布，则X 与Y ( D )A ．独立同分布；B ．独立不同分布；C ．不独立，同分布；D ．不独立也不同分布。

北京工业大学2013—2014 学年第 一 学期 《概率论与数理统计》(工)课程考试试卷考试说明： 考试闭卷；可使用文曲星除外的计算器。

承诺：本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，承诺在考试过程中自觉遵守有关规定，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考。

若有违反，愿接受相应的处分。

承诺人： 学号： 班号：。

注：本试卷共6 大题，共 7 页，满分100分。

考试时必须使用卷后附的草稿纸。

卷 面 成 绩 汇 总 表（阅卷教师填写）一、填空题（每空2分,共30分）1.设B A ,为事件，且7.0)(,4.0)(==B A P A P 。

当A 与B 相互独立时，=)(B P ；互斥时，=)(B P ；2.在区间(0,1)中随机地抽取两个数X 和Y ，则( ||0.5 ) P X Y -<=；3.设随机变量X 服从[-2,2]上均匀分布，则2X Y =的概率密度函数为=)(y f Y __________（0< y <4）；4.若X 服从[0,1]区间上均匀分布，记}3.01.0{≤≤=X A ，Y 表示对X 进行20次独立观测后事件A 发生的次数。

则)(Y E = ，=)(Y Var ；5.设随机变量X 可能取的三个值为 -2, 0和1，且(2)0.4, (0)0.3P X P X =-===，则() () E X Var X ==，。

6.设随机变量~(1,1)X N ，),2,2(~2N Y 且X 与Y 相互独立，则 2~X Y - ；7.设)2(,,,21>n X X X n 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1. 则X ～ ，2/)(S X n μ-～ ，22/)1(σS n -～ ；8.设n X X ,,1 是抽自参数为2的泊松分布的简单样本,X 和S 2分别为样本均值与样本方差,求{}2=(2) P X E X S -=。

《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。