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2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期24.3、正多边形和圆教案5

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24.3 正多边形和圆 教学内容 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法． 教学目标 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形． 复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容． 重难点、关键 1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系． 教学过程 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？ 2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？ 老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点． 二、探索新知 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上． 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 我们以圆内接正六边形为例证明． 如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF

又∴∠A=12BCF=12（BC+CD+DE+EF）=2BC

∠B=12CDA=12（CD+DE+EF+FA）=2CD ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上 ∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆． 为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心． 外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积． 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的． 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心

角等于3606=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距

OM=221()2aa=123a

∴所求正六边形的面积=6×12×AB×OM=6×12×a×32a=323a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形． 分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=3605=72°，

如图，∠AOC=30°，OA=12AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）

画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆； （2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA． （3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA． 则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．

FDECBAOM 三、巩固练习 教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习． 四、应用拓展 例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且hDNNFhAB，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

hFDECBAN

G 分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．

解：（1）由AB·CG=AC·BC得h=8610ACBCAB=4.8

（2）∵h=hDNNFhAB且DN=x ∴NF=10(4.8)4.8x 则S四边形DEFN=x·104.8（4.8-x）=-2512x2+10x =-2512（x2-12025x） =-2512 [（x-6025）2-3600625] =-25x（x-2.4）2+12 ∵-25x（x-2.4）2≤0 ∴-25x（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，SDEFN最大． （3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

∴BE=222232.4DEEF=1.8 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2， 由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

www.czsx.com.cFDE

CBAG

此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树． 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握： 1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系． 3．画正多边形的方法． 4．运用以上的知识解决实际问题． 六、布置作业 1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．

2．选用课时作业设计． 课时作业设计 一、选择题 1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）． A．60° B．45° C．30° D．22．5°

(1) (2) (3) 2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）． A．36° B．60° C．72° D．108° 3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ） A．18° B．36° C．72° D．144° 二、填空题 1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______． 2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________． 3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________． 三、综合提高题 1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M． （1）求证：四边形CDEM是菱形； （2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．

答案: 一、1．C 2．C 3．D

二、1．34a2 2． 3．r 3r 60° 三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，

则OM⊥BC于M，OM=36a，

连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=36a，∠EOM=45°，OE=36a， ∵EN=612a，EF=2EN=66a，∴S正方形=16a2． 2．设正六边形边长为a，则圆O半径为a， 由题意得：2a=6，∴a=3． 如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心， 过O作OD⊥AB，垂足为D， www.czsx.com.cDB

A

O

则OD=r6，•则∠DOA=1806=30°，AD=12AB=32， 在Rt△ABC中，OD=r6=332cm， ∴S=6·12ar6=12×3×332×6=2723cm2． 3．略

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九年级数学上册 243 正多边形和圆教案 新人教版 教案

九年级数学上册 243 正多边形和圆教案 新人教版 教案

正多边形和圆一、复习引入请同学们口答下面两个问题．1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．∵AB=BC=CD=DE=EF∴AB=BC=CD=DE=EF又∴∠A=12BCF=12（BC+CD+DE+EF）=2BC学生口答教师提出的问题教师引导学生分析正六边形与圆的关系。

复习正多边形的概念及正多边形的性质。

教学过程设计教学内容及教师活动学生活动设计意图∠B=12CDA=12（CD+DE+EF+FA）=2CD∴∠A=∠B同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF 是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．三、课堂练习1．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36° B．60° C．72° D．108°2．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______3．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为学生小组合作探讨例题，并互相交流结合图形让学生理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间。

人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆(教案)

人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆(教案)

我意识到，小组讨论是一个很好的方式，让学生们在交流中互相学习，共同解决问题。在讨论过程中，我尽量提出开放性问题，鼓励学生们思考和创新。看到他们积极分享自己的观点，我很受鼓舞。不过，我也发现有些学生在小组中不够活跃，可能需要我在未来更多地关注这些学生，鼓励他们参与到讨论中来。
实践活动部分，学生们对于实际操作非常感兴趣，但我也发现部分学生在操作过程中忽视了理论知识的运用。在今后的教学中，我需要强调理论知识与实践活动相结合的重要性，让学生们明白理论是实践的基础。
2.教学难点
-正多边形性质的推理：学生需要通过观察和推理，理解正多边形性质背后的逻辑，这对于空间想象能力和逻辑思维能力要求较高。
-面积计算公式的理解与应用：学生需要理解正多边形面积计算公式的推导过程，并能够将公式应用于不同形状和尺寸的正多边形。
-组合图形的面积计算：对于圆与正多边形组合图形的面积计算，学生需要掌握分割和组合的方法，这需要较高的几何直观和创新能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正多边形和圆》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过正多边形或圆形的组合图形？”比如，我们常见的六边形的地砖或是圆形的花园。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正多边形和圆的奥秘。
-实际问题的解决：将理论知识应用于解决实际问题时，学生可能会遇到将现实问题转化为数学模型的困难。
举例：在教授正多边形面积计算时，学生可能会对将正多边形分割为三角形的方法感到困惑。此时，教师应通过具体图形的演示和步骤讲解，帮助学生理解分割的原理，并引导学生如何将分割后的三角形面积相加得到正多边形的面积。此外，针对组合图形的难点，可以通过实际案例分析，如圆内接正方形，指导学生如何利用圆的半径和正方形的边长来计算组合图形的面积。
363.九年级新人教版数学上册24.3 正多边形和圆-教案

363.九年级新人教版数学上册24.3 正多边形和圆-教案

24.3 正多边形和圆一、学习目标：1知识与技能：（1）了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

（2）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。

2过程与方法：（1）学生在探讨正多边形有关计算过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力。

（2）在探索正多边形有关过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合运用所学的知识和技能解决问题。

3情感、态度与价值观：（1）学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。

（2）运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习自信心。

二、教学重难点：教学重点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，并能进行有关计算。

教学难点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。

三、教学方法：引导学生采用自主合作探究的方式进行学习四、教学准备：PPT课件、圆规、直尺五、教学过程：导入：前面我们学习了许多图形与圆的关系，如：点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系，还有什么图形我们没有与圆联系上呢？（多边形）那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。

看看它们之间有怎样的联系，又给我们带来什么样的知识。

（一）自习交流：1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容，勾画你认为重要的地方和有疑问的地方。

①什么是多边形？多边形的内角和与外角怎么计算的？②正多边形和圆有什么关系？③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径，并结合以前的知识说说它们的特点？④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半径、周长和面积？2.师生交流重要知识点：（1） 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如正五边形： AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E正多边形的内角和： 内角和=（n －2）×180°正多边形的外角: no360=外角（2）正多边形和圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. （3）正多边形的中心、中心角、边心距和半径：中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，是各边垂直平分线的交点，也是每个内角的角平分线的交点，即内切圆的圆心。

人教版九年级数学上册教案：24.3 正多边形和圆

人教版九年级数学上册教案：24.3 正多边形和圆

24. 3正多边形和圆教学目标知识技能1．了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长、边心距、中心、中心角等概念．2．会应用正多边形的有关知识解决圆的有关计算问题．3．会应用正多边形和圆的有关知识画多边形．数学思考与问题解决结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题．情感态度学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体现了事物之间是相互联系、相互作用的．重点难点重点：探索正多边形和圆的关系，了解有关概念，会进行计算．难点：探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．教学设计活动一：复习引入1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？对称中心是哪一点？(教师出示问题并点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.2.正多边形是轴对称图形，不一定是中心对称图形，正三角形、正五边形就不是中心对称图形．学生复习回忆．) 设计意图：通过有针对性的复习，为本节课学习扫清障碍．活动二：实验发现1．观察实验：如下图，正六边形ABCDEF，连接AD，CF交于一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B，C，D，E，F都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2．推理验证：如图所示的圆，把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形ABCDEF ，下面证明，它是正六边形．证明：∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝AF ︵.又∵∠BAF ＝12(BC ︵＋CD ︵＋DE ︵＋EF ︵)的度数＝12×4×BC ︵的度数＝2BC ︵的度数． 同理∠ABC ＝2CD ︵的度数．∴∠BAF ＝∠ABC.同理可证：∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEF ＝∠AFE ＝∠BAF.又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等的六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．3．正多边形的有关概念：为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．4．正多边形的性质：①正多边形的一个内角等于（n －2）·180°n； ②中心角：360°n； ③正多边形的中心角等于外角的度数．5．画正多边形：以正六边形为例．(教师引导学生从特殊情况入手，证明结论．学生亲自动手实验、探究、证明．教师结合图形给出正多边形的有关概念，学生结合图形识记．教师结合图形，让学生明白中心、半径、中心角、边心距之间的关系，学生讨论交流．教师引导学生画图思路：(1)要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分，顺次连接各点即可；(2)正六边形的边长和圆的半径相等，于是在圆上顺次截取等于半径的弦即可；(3)正三、正十二边形的画法．)设计意图：让学生亲自动手实验、探究、证明，感受由特殊到一般的学习方法．“演示实验—观察—推理—感性—理性”，加深对中心、半径、中心角、边心距之间的关系的理解．通过画正多边形，培养学生画图能力．活动三：应用深化1．例题见教材第106页．2．画一个正八边形．(教师引导、点拨、分析；要求地基的周长和面积，只要求正多边形的边长和边心距．因此，只要在正多边形的边、表示边心距的线段、半径构成的三角形中解决即可．学生独立解决，教师给出正确的答案．教师引导学生画图思路：(1)要画正八边形，首先要画一个圆，然后对圆八等分，顺次连接各点即可；(2)正四、正十六边形的画法．)设计意图：教师通过引导学生练习，将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中联系起来，将多边形化归为三角形，体现了化归思想．活动四：巩固练习(1)随堂练习：教材第106页练习1、2、3.(2)教材第108页练习1、2.(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识．活动五：师生小结1．概念：(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；(2)外接圆的半径叫做正多边形的半径；(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；(4)中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．2．正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系．3．画正多边形．(教师点评、总结方法．正多边形的半径(外接圆的半径)R 、边心距r 、边的一半12a 三个量之间存在什么关系？R 2＝r 2＋(a 2)2.学生总结发言．) 设计意图：教师了解教学效果，及时查漏补缺．活动六：布置作业教材第108～109页习题24.3第1、3、8题．(学生按要求课外完成．)设计意图：训练巩固，强化提高．板书设计正多边形和圆一、复习引入二、实验发现1．观察实验 2．推理验证 3．正多边形的有关概念4．正多边形的性质 5．画正多边形三、应用深化四、巩固练习五、师生小结六、布置作业。