新人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆练习题

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (1) 1．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________。

2．如图1，正方形的边长为a，以顶点B、D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________。

(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。

4．正六边形的面积是183，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________。

5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________。

6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________。

7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________。

8．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________。

9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________。

10．正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________。

B卷1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。

2．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。

3．如图2，正方形边长为2a，那么图中阴影部分的面积是__________。

4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。

5．半径为R的圆的内接正n边形的面积等于__________。

6．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，则a,b,c间满足的关系式为___________。

7．如图3，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为___________。

人教版数学九年级上册第24章24.3正多边形和圆同步练习一、单1.（2017?滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（???）A、B、2 C、D、1+2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则的长度为（?? ）A、πB、2πC、5πD、10π+3.如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为（??）A、6πB、18C、18πD、20+4.如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2018次后，所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（??）A、（）2016倍B、（）2017倍C、（）2018倍D、（）2019倍+5.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分．例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F．从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规等分的是（??）①两等分???②三等分????③四等分??????④五等分．A、②B、①②C、①②③D、①②③④+6.（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（??）A、π+1B、π+2C、π﹣1D、π﹣2+7.（2017?日照）下列说法正确的是（??）A、圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B、在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D、将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等+8.（2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（??）A、正三角形B、正方形C、正五边形D、正六边形+9.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（??）A、互余B、互补C、互余或互补D、不能确定+10.如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（?? ?）A、B、2 C、3 D、3+11.如图，已知五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，且⊙O的半径为1．则图中阴影部分的面积是（??）A 、 +B 、C 、D 、12.（2017?河北）已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放 在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次 旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样 连续6次旋转的过程中，点B ，M 间的距离可能是（??）A 、1.4B 、1.1C 、0.8D 、0.5+二、填空题13.（2017·台州）如图，有一个不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点A ，C 分 别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B ，D 在正六边形内部（包 括边界），则正方形边长a 的取值范围是 +14.（2017?济宁）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是.+15.（2017?毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．+16.（2017?宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G ，AE=2，则EG的长是．+17.正八边形的中心角等于度．+18.如图，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB=70°，则这个正多边形的内角和为．+19.（2017?上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．+20.（2017?绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．+21.（2017?玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．+22.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为．+三、解答题23.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．+24.如图，已知正n 边形边长为a ，边心距为r ，求正n 边形的半径R 、周长P 和面积S ． +25.如图，正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧 （1）求∠BPC 的度数；上（不与C 点重合）．（2）若⊙O 的半径为8，求正方形ABCD 的边长． +26.如图，已知等边△ABC 内接于⊙O ，BD 为内接正十二边形的一边，CD=5 cm ，求⊙O 的半径R ．+27.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．+。

人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆一.选择题（共6小题）1.如图，正六边形ABCDEF 内接于。

0, 连接BD.则ZCDB 的度数是（）3.下列判断中正确的是（）A.矩形的对角线互相垂直B.正八边形的每个内角都是145°C.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 4.正六边形的周长为6,则它的外接圆半径为（）5.若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于（）6.有一边长为2去的正三角形，则它的外接圆的而积为（二.填空题（共6小题）7. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么匕1=60° C. 45° D. 30°2.若一个圆内接正多边形的中心角是36’ ,则这个多边形是（A.正五边形B.正八边形C.正十边形D. 正十八边形A. 1B. 2C. 3D.A. 2B. 1c. VsD.2^3C. 4nD. 12n8.如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则ZABC的度数为9.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为.10.如果一个正〃边形的每个内角为108° ,那么这个正〃边形的边数为.11.正六边形的中心角为:当它的半径为1时，边心距为.12.已知。

过正方形ABCD顶点A、B,且与CO相切，若正方形边长为2,则圆的半径13.有一正六边形ABCDEF的内切圆半径为R,求R与这个正六边形ABCDEF的外接圆半径之比.14.如图，已知正六边形ABCDEF内接于。

，且边长为4.(1)求该正六边形的半径、边心距和中心角;(2)求该正六边形的外接圆的周长和面积.15.如图所示，在正五边形ABCDE中，A/是CD的中点，连接AC, BE, AM.求证：(1)AC=BE；(2)AMLCD.人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆参考答案一. 选择题（共6小题）1.如图，正六边形ABCDEF 内接于。

24.3正多边形和圆知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册知识点1 正多边形的相关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

（3）正多边形是对称图形。

当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（4）与正多边形有关的概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。

正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。

例题1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化例题2.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3.正n边形是对称图形，它的对称轴有条。

例题4.正n边形的每个内角是，每个中心角是。

例题5.如图，已知正六边形的外接圆半径为4，求这个正六边形的边长、周长、面积．知识点2 正多边形的计算1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心；2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角；3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距；注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式例题 6.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O ，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A ～H ），过点E 作⊙O 的切线与AG 的延长线交于点M ，连接EG ．（1）相邻两个方位 间所夹的圆心角的度数为 ．（2）求AG 的长．（3）求ME 的长．2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a r R例题7.如图，在正六边形ABCDEF中，P是BC的中点，点Q在CD上，且CQ ＝1，DQ＝3，求∠APQ的度数．例题8.正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积．例题9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．课堂同步练习1.一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则∠ABF的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°2．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2．则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1B．3C．πD．2π4．如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O，若EF＝2，则BC的长为（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．经过三个不同的点可以画一个圆B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等6．如图，正六边形螺帽的边长是a cm，这个扳手开口的距离是3cm，a的值是（）A．B．C．D．17．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为.8．如图，边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）9．如图，已知正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC的度数为°．10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．11．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C度数是．12．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的每一个外角的度数．13．如图，正六边形ABCDEF的半径为5．（1）求对角线AC的长；（2）求这个正六边形的周长与面积．14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．（1）求证：AB＝AF．（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．（1）求∠CAD的度数．（2）已知AB＝2，求DF的长．16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为；（2）△AMN周长的最小值是．。

人教版九年级上册24.3 正多边形和圆(153)1.正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系是（）A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定2.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48√3，试求正六边形的周长．4.如图①②③④，M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点，且BM=CN，连接OM,ON．(1)求图①中∠MON的度数;(2)图②中，∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是;(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．5.将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于结果（结果保留根号)．6.平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1−∠2=．7.如图,已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC,BE,AM．求证：(1)AC=BE；(2)AM⊥CD．8.已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．9.如图所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A.√6B.√8C.√10D.√1710.若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于（）A.120∘B.6∘C.114∘D.114∘或6∘11.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A.√2B.2√2−2C.2−√2D.√2−112.如图所示，△OAB为正三角形，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO的延长线分别交⊙O于点D，E．求证：六边形ABCDEF是正六边形．13.如果一个正多边形的中心角为72∘，那么这个正多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.714.若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为（）A.3√2B.3C.6D.6√215.若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A.4B.2C.2√3D.4√316.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A.60∘B.45∘C.30∘D.22.5∘17.正八边形的中心角等于度．18.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定参考答案1.【答案】:B【解析】:正n边形的中心角是360∘n ，正n边形的每一个内角是(n−2)·180∘n，∴正多边形的一边所对的中心角和它的一个内角的关系是互补2.【答案】:2√6【解析】:连接AC,OE,OF，作OM⊥EF于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90∘，∴AC是⊙O的直径，AC=4√2，∴OE=OF=2√2．∵OM⊥EF，∴EM= MF．∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60∘. 在Rt△OME中，∵OE=2√2，∠OEM=12∠GEF=30∘，∴OM=√2，EM=√OE2−OM2=√6，∴EF=2√6．3.【答案】:连接OA,作OH⊥AC于点H,则∠OAH=30∘. 在Rt△OAH中,设OA=R,则OH=12R,由勾股定理可得AH=√OA2−OH2=√R2−(12R)2=12√3R．而△ACE的面积是△OAH面积的6倍,即6×12×12√3R×12R=48√3,解得R=8, 即正六边形的边长为8,所以正六边形的周长为48【解析】:连接OA,作OH⊥AC于点H,则∠OAH=30∘. 在Rt△OAH中,设OA=R,则OH=1 2R,由勾股定理可得AH=√OA2−OH2=√R2−(12R)2=12√3R．而△ACE的面积是△OAH面积的6倍,即6×12×12√3R×12R=48√3,解得R=8, 即正六边形的边长为8,所以正六边形的周长为484(1)【答案】方法一：如图①，连接OB,OC．①∵正三角形ABC内接于⊙O,∴∠OBM=∠OCN=30∘,∠BOC=120∘.又∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120∘.方法二：如图②,连接OA,OB．②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB=BC,∠OAM=∠OBN=30∘,∠AOB=120∘.∵BM=CN,∴AM=BN．又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON，∴∠AOM=∠BON,∴∠MON=∠AOB=120∘(2)【答案】90∘；72∘(3)【答案】∠MON=360∘n5.【答案】:1+√2，∴正方形的边长【解析】:∵△BDE是等腰直角三角形，BE=1，∴BD=√22等于AB+2BD=1+√2．6.【答案】:24∘7(1)【答案】由五边形ABCDE是正五边形，得AB=AE,AB=BC,∠ABC=∠BAE,∴△ABC≌△EAB，∴AC=BE．(2)【答案】连接AD,易证△ABC≌△AED, ∴AC=AD．又∵M为CD的中点，∴AM⊥CD8.【答案】:解：如图所示．作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC，依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是⊙O的内接正方形；③分别以A,C为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点E,H和F,G，顺次连接AE,EF,FC,CG,GH,HA，则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形【解析】:如图所示．作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC，依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是⊙O的内接正方形；③分别以A,C为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点E,H和F,G，顺次连接AE,EF,FC,CG,GH,HA，则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形9.【答案】:C【解析】:根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C满足要求.10.【答案】:D【解析】:分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵AB是⊙O内接正五边形的一边，∴∠AOB=360∘5=72∘.∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC=360∘6=60∘，∴∠BOC=72∘−60∘=12∘，∴∠BAC=12∠BOC=6∘. (2)如图②所示，∠AOB=72∘，∠AOC=60∘，∴∠OAB=54∘，∠OAC=60∘，∴∠BAC=60∘+54∘=114∘.综上所述，可知选D．11.【答案】:B【解析】:∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长分别为2√2．如图，根据三角形内切圆的性质可得CD=CE=r，AD=BE=AO=BO=2√2−r．∴AB=AO+BO=4√2−2r=4,解得r=2√2−2.故选B12.【答案】:∵△OAB为正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60∘，OB=AB=OA, ∴点B在⊙O上．∵FC∥AB，∴∠FOA=∠OAB=∠COD=60∘，∠COB=∠OBA=∠EOF=60∘, ∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠EOD=∠EOF=∠FOA=60∘, ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，即A,B,C,D,E,F六等分⊙O, ∴六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．即六边形ABCDEF是正六边形【解析】:∵△OAB为正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60∘，OB=AB=OA, ∴点B在⊙O上．∵FC∥AB，∴∠FOA=∠OAB=∠COD=60∘，∠COB=∠OBA=∠EOF=60∘, ∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠EOD=∠EOF=∠FOA=60∘, ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，即A,B,C,D,E,F六等分⊙O, ∴六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．即六边形ABCDEF是正六边形13.【答案】:B【解析】:设这个正多边形为正n边形，由题意可知72n=360，解得n=5.故选B.14.【答案】:B15.【答案】:A【解析】:正六边形的中心角为360∘÷6=60∘，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于416.【答案】:C∠AOB=30∘【解析】:连接OB，则∠AOB=60∘, ∴∠ADB=1217.【答案】:4518.【答案】:C【解析】:只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形.故选C.。

24.3 正多边形和圆同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）1. 已知的半径为，则的内接正三角形的面积为（）B. C. D.A.2. 正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（）A.相等B.互余C.互补D.互余或互补3. 如图，是的内心，过点作，与、分别交、，则（）A. B.C. D.4. 如图，正方形内接于，点在劣弧上，则等于（）A. B. C. D.5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点6 若正六边形的边长为，则它的边心距为（）A. B. C. D.7. 正三角形内切圆半径与外接圆半径之间的关系为（）A. B.C. D.8 直径为的圆的内接正三角形的边长为（）B.A.C. D.9. 如图，中，内切圆和边、、分别相切于点、、，则与的关系是（）A.与相等B.与互补C.与互余D.无法确定二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）10. 正三角形外接圆的面积是它内切圆面积的________倍．11 若四边形内接于，已知，则________．12. 已知的斜边，直角边，则此三角形内切圆半径是________．13. 直角三角形的两条边长为和，该直角三角形的外接圆半径为________．14. 已知圆的半径是，则圆内接正三角形的边长是________．15. 如图，、是正六边形的两条对角线，则________度．16. 为的内切圆，，的延长线交于点，，，则________．17. 在中，，，，则它的外接圆的半径是________，内切圆的半径是________．18. 如图，已知圆周角的度数为，则圆周角的度数等于________．19 如图，中，，若为的内心，则的度数为________度．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）20. 如图，点是的内心，线段的延长线交的外接圆于点，交边于点，求证：．21. 如图，在平行四边形中，是的外接圆，与相切于点，点是劣弧上的一个动点（点不与，点重合），连结，，．（1）求证：；（2）当时，试判断与是否全等，请说明理由；（3）填空：当的度数为________时，四边形是菱形．22. 如图，为锐角三角形，内接于圆，，是的垂心，是的直径．求证：．23. 如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：．24. 如图，，梯形中，，过、两点作一圆，与、（或它们的延长线）分别相交于和，求证：是圆内接四边形．25. 如图，在的内接四边形中，，，点在上．（1）求的度数；（2）连接、，当时，恰好为的内接正边形的一边，求的值．。

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (1) 1．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________。

2．如图1，正方形的边长为a，以顶点B、D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________。

(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。

4．正六边形的面积是183，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________。

5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________。

6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________。

7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________。

8．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________。

9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________。

10．正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________。

B卷1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。

2．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。

3．如图2，正方形边长为2a，那么图中阴影部分的面积是__________。

4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。

5．半径为R的圆的内接正n边形的面积等于__________。

6．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，则a,b,c间满足的关系式为___________。

7．如图3，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为___________。

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．BC ．1:2:3D ． 3:2:14． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在»AD 上，则∠BEC= ． 6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．BC ．1:2:3D ． 3:2:14． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在»AD 上，则∠BEC= ． 6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。

人教版九年级上册数学24.3 正多边形与圆练习题1．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为( )A B C∶2D．1∶2∶32．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（）A．1 B C．2 D3．如图，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是（）．A．B C D．4．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1B：1 C．3：2：1 D．1：2：35．正五边形的中心角等于（）A．18°B．36°C．54°D．72°6．如果一个正多边形的每个外角都为36，那么这个多边形的中心角为（）A．36 B．18 C．72 D．547．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形8．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）A B．2cm C．D．4cm9．正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O，则正方形的边长是（）A．1 B．2 C．D．10．如图，某同学在一个边长为a的正六边形内，随意摆放两个相同的斜边长为a、含有60°角的直角三角板，则SS空白阴影是（）．A．6 B．5 C．4 D．311．如图，O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则O的半径为（）A．2 B．1+C．3 D．2+12．正方形的外接圆半径等于2，则这个正方形边长为（）A．B．2 C D．413．如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接BD．则CBD∠的度数是( )A．15︒B．20︒C．30D．45︒14．从一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边长是（）A ．10B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是（ ）A B ．C ．D ．16．如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，P 是弧EF 上一点，则∠BPD 的度数是( )A ．30°B ．60°C ．55°D ．75°17．如图，正六边形螺帽的边长为a ，要使扳手夹紧螺帽，扳手的开口b 最小是( )A ．2aBC aD ．2a 18．半径为R 的正六边形的边心距和面积分别是( )A R 2B ．12R 2C R 2RD ．12R 2R答案1．D2．B 3．A4．B5．D6．A7．C 8．A9．B10．B11．B12．A13．C14．A15．C16．B17．B18．A。

2020年人教版九年级数学上册24.3《正多边形和圆》同步练习一．选择题1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形2．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2 D．23．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM 边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.54．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2 C．D．15．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等7．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．28．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形9．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个10．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2 D．4二．填空题11．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．12．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．13．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．14．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．15．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．（1）图2中的图案外轮廓周长是；（2）在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．16．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．17．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．18．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．19．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．20．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是．21．正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．22．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．23．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．24．半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．25．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．26．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．27．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为．28．如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是．参考答案1．A．2．B．3．C．4．A．5．A．6．A．7．B．8．B．9．C．10．A．11．72°．12．12+4．13．：1．14．815．14，21．16．72．17．．18．π+1．19．﹣1．20．≤a≤3﹣．21．96cm2．22．．23．3．24．1：：．25．8+8．26．2．27．8．28．3n﹣1•．。

正多边形和圆1．正六边形的边心距与边长之比为( B ) A.3∶3 B.3∶2 C ．1∶2 D.2∶2【解析】 如图：设正六边形的边长是a ，则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC ＝12AB ＝12a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ， ∴正六边形的边心距与边长之比为：32a ∶a ＝3∶2. 3－1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( D ) 图24－3－1A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°【解析】 因为OA ＝AB ＝OB ，所以△OAB 是等边三角形，又OC ⊥AB ，所以∠AOC ＝∠BOC ＝30°，所以∠BAC ＝15°，D 不正确．3．如图24－3－2，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O (使该角的顶点落在点O 处)，把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是( B )图24－3－2A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；360÷120＝3；360÷180＝2.因此n 的所有可能的值共五种情况．4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a ＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( C )图24－3－3 A ．6 2 mm B ．12 mmC ．6 3 mmD ．4 3 mm5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( B )A ．6B ．12C ．6 3D ．12 3【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R ，则⎝⎛⎭⎫12R 2＋(3)2＝R 2，∴R ＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.6．若正六边形的边长为4 cm ，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm ，边心距是__23__cm ，它的每一个内角是__120°__．7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm ，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.8．已知一个正n 边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n ＝__8__．【解析】 由360n ＝180（n －2）n ×13，得n ＝8. 9．已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图24－3－4所示．图24－3－4(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题所作的图中，如果点E 在AB ︵上，试证明EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)计算EB 所对的圆心角的度数．解：(1)如图所示，在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD ；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH . (2)如图，连接OE .∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°.∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，∴n ＝12， ∴EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1；(2)以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连接BD ，如图2.若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是( C )图24－3－5 A ．BD 2＝5－12OD B ．BD 2＝5＋12OD C ．BD 2＝5ODD ．BD 2＝52OD 11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形的面积为____________cm 2.图24－3－6【解析】连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：（8－2）×180°8＝135°， ∴∠HGM ＝45°，∴MN ＝MG ，设MH ＝MG ＝x ，则HG ＝AH ＝AB ＝GF ＝2x ，∴BG ×GF ＝2(2＋1)x 2＝20，四边形ABGH 面积＝12(AH ＋BG )×HM ＝(2＋1)x 2＝10， ∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm 2)．12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE 是正五边形．图24－3－7第13题答图证明：如图所示，连接BE ，AD ，设纸条的宽度为h ，则S △ABE ＝12AB ·h ＝12AE ·h ， ∴AB ＝AE ，同理得AB ＝BC ，BC ＝CD ，∴AE ＝AB ＝BC ＝CD .∵纸条的宽度固定，∴AE ∥BD ，CD ∥BE ，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD ＋∠ABC ＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB ，AE ＝AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴五边形ABCDE 是正五边形．13．如图24－3－8所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．图24－3－8 【解析】 要证明五边形AEBCD 是正五边形，只需证AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵即可．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ，∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图24－3－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于O .(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．:学科图24－3－9解：(1)△ABO ，△ABC ，△BOC ，△DOC ，△BCD .(2)四边形AODE 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝12×(180°－108°)＝36°，同理得∠CBD ＝∠CDB ＝36°，∴∠ABO ＝∠ABC －∠CBD ＝72°，∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAC ＝72°，∴AB ＝AO ，同理得DO ＝DC ，∴OA ＝AE ＝ED ＝DO ，∴四边形AODE 是菱形．15．小刚现有一边长为a m 的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？解：如图所示，在正方形ABCD 中，△DEF ，△CGH ，△BOP ，△AMN 为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF 为正八边形．设直角边DE ＝DF ＝CG ＝CH ＝x .在Rt △DEF 中，EF ＝2x . ∵EF ＝FG ，且DC ＝DF ＋FG ＋CG ，∴x ＋x ＋2x ＝a ，解得x ＝2－22a ≈0.3a ， 因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m 的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝__522__． 图24－3－10【解析】 设正五边形的边长为a ，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有12×2×a ×5＝⎝⎛⎭⎫12×AB ×a 2＋12×a ×AC ×2， 即522a ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AC ×a ，∴12AB ＋AC ＝522.。