24.3正多边形和圆-人教版九年级数学上册练习

2020年人教版九年级数学上册24.3《正多边形和圆》随堂练习基础题知识点1 认识正多边形1．下面图形中，是正多边形的是( )A．矩形 B．菱形C．正方形 D．等腰梯形2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( )A．240° B．120° C．60° D．30°3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为．4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ．知识点2 与正多边形有关的计算5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )A. 3 B．2 C．2 2 D．2 36．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )A. 2 B．2 2C.22D．18．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是．9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )．10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)．知识点3 画正多边形11．如图，甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形.乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形.对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)．中档题13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( )A．4R=5r B．3R=4rC．2R=3r D．R=2r14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( )A．(2，－3) B．(2，3)C．(3，2) D．(3，－2)15．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A.22B.32C. 2D. 316．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a217．如图，圆O与正八边形OABCDEFG的边OA，OG分别交于点M，N，则弧MN所对的圆心角∠MPN的大小为．18．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10= ．19．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．综合题20．如图1，2，3，…，m，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．参考答案01 基础题知识点1 认识正多边形1．下面图形中，是正多边形的是(C)A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形2．(柳州中考)如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是(B)A ．240°B ．120°C ．60°D ．30°3．(连云港中考)一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为12．4．(资阳中考)如图，AC 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠ACB=36°．知识点2 与正多边形有关的计算5．(沈阳中考)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是(B)A. 3B ．2C ．2 2D ．2 3 6．(株洲中考)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(A) A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形7．(滨州中考)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)A. 2 B ．2 2C.22D ．1 8．边长为6 cm 的等边三角形的外接圆半径是23．9．(宁夏中考)如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C 的坐标为(12，－32)．10．(教材P109习题T6变式)将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于1＋2(结果保留根号)．知识点3 画正多边形甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形.乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形.对于甲、乙两人的作法，可判断(A)A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确12．(镇江中考改编)图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)．解：如图．02中档题13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为(D)A．4R=5r B．3R=4rC．2R=3r D．R=2r14．(滨州中考)如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(C)A．(2，－3) B．(2，3)C．(3，2) D．(3，－2)15．(达州中考)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A)A.22B.32C. 2D. 316．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(A)A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a217．(山西中考命题专家原创)如图，圆O与正八边形OABCDEFG的边OA，OG分别交于点M，N，则弧MN所对的圆心角∠MPN的大小为67.5°．18．(连云港中考)如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=75°．19．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为2∶1；(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．解：BE是⊙O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA ，OB ，OE ，在正方形ABCD 中，∠AOB=90°，在正六边形AEFCGH 中，∠AOE=60°，∴∠BOE=30°.∵n=360°30°=12， ∴BE 是正十二边形的边．03 综合题20．如图1，2，3，…，m ，M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形ABCDEF …的边AB ，BC 上的点，且BM=CN ，连接OM ，ON.(1)求图1中∠MON 的度数；(2)图2中∠MON 的度数是90°，图3中∠MON 的度数是72°；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案)．解：(1)连接OA ，OB.∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴OA=OB ，∠OAM=∠OBA=30°，∠AOB=120°.∵BM=CN ，AB=BC ，∴AM=BN.∴△AOM ≌△BON(SAS)．∴∠AOM=∠BON.∴∠AOM ＋∠BOM=∠BON ＋∠BOM ，即∠AOB=∠MON.∴∠MON=120°.(3)∠MON=360°n.。

24.3 正多边形和圆同步练习2024-2025学年九年级上学期数学人教版基础题夯实知识点1正多边形的有关概念1.下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正七边形2.下列说法：①矩形是正多边形；②菱形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是( )A.9B.10C.11D.12知识点2 正多边形的有关计算4.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD 的度数为 .5.⊙O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则⊙O的半径是 .6.如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD 相交于点E,则线段 BE 的长为 .7.半径为 R 的圆内接正十二边形的面积为( )A.R 24B.12R2 C.3R² D.6R²8.分别求半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积.(直接写出结果)边长边心距周长面积圆内接正三角形圆内接正方形圆内接正六边形中档题运用̂上,Q是DF̂的中点,则∠CPQ的度数为 .9.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在AB10.如图,点P₁∼P₁是⊙O 的八等分点.若△P₁P₁P₁,四边形P₁P₁P₁P₁的周长分别为a,b,比较a,b的大小 .11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 .12.如图,⊙O 的半径为R,六边形 ABCDEF 是圆内接正六边形,四边形 EFGH 是正方形.(1)求∠OGF 的度数;(2)求正六边形与正方形的面积比.综合题探究13.如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O，阅读以下作图过程，并解答下列问题，作法如图2.步骤如下:①作直径AF;②以F 为圆心,FO 为半径作圆弧,与⊙O 交于点 M,N;③连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN 是正三角形吗? 请说明理由；(3)从点 A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值.。

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24。

3 正多边形和圆一．选择题（共10小题）1．（2017•株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形 C．正五边形D．正六边形2．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（)A． B．2 C．2D．23．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示,按下列步骤操作:将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合,完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )A．1。

4 B．1。

1 C．0.8 D．0.54．（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A． B．2C． D．15．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A． B． C． D．6．（2017•日照）下列说法正确的是( )A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等7．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B． C．2 D．28．(2016•莱芜)正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为( ）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形9．（2016•曲靖)如图，AD,BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有( ）A．2个B．4个C．6个D．8个10．（2016•南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于( ）A．4 B．2 C．2D．4二．填空题(共18小题）11．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．12．（2018•玉林）如图,正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．13．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．14．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中,光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M,PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．15．（2018•河北)如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC 为内角作正多边形,且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．16．(2018•贵阳)如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．17．(2017•上海）我们规定：一个正n边形(n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”,记为λn，那么λ6= ．18．（2017•吉林)如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心,以AB长为半径画,．若AB=1,则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．19．（2017•宜宾)如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．20．（2017•台州）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上,另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是．21．（2017•毕节市)正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．22．（2017•济宁)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．23．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．24．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．25．（2017•玉林)如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．26．（2016•威海）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．27．(2016•盐城）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为．28．（2016•钦州）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2,以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2,边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后,点B n到ON的距离是．参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．B．3．C．4．A．5．A．6．A．7．B．8．B．9．C．10．A．二．填空题（共18小题)11．72°．12．12+4．13．：1．14．815．14，21．16．72．17．．18．π+1．19．﹣1．20．≤a≤3﹣．21．96cm2．22．．23．3．24．1：：．25．8+8．26．2．27．8．28．3n﹣1•．。

人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆一.选择题（共6小题）1.如图，正六边形ABCDEF 内接于。

0, 连接BD.则ZCDB 的度数是（）3.下列判断中正确的是（）A.矩形的对角线互相垂直B.正八边形的每个内角都是145°C.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 4.正六边形的周长为6,则它的外接圆半径为（）5.若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于（）6.有一边长为2去的正三角形，则它的外接圆的而积为（二.填空题（共6小题）7. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么匕1=60° C. 45° D. 30°2.若一个圆内接正多边形的中心角是36’ ,则这个多边形是（A.正五边形B.正八边形C.正十边形D. 正十八边形A. 1B. 2C. 3D.A. 2B. 1c. VsD.2^3C. 4nD. 12n8.如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则ZABC的度数为9.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为.10.如果一个正〃边形的每个内角为108° ,那么这个正〃边形的边数为.11.正六边形的中心角为:当它的半径为1时，边心距为.12.已知。

过正方形ABCD顶点A、B,且与CO相切，若正方形边长为2,则圆的半径13.有一正六边形ABCDEF的内切圆半径为R,求R与这个正六边形ABCDEF的外接圆半径之比.14.如图，已知正六边形ABCDEF内接于。

，且边长为4.(1)求该正六边形的半径、边心距和中心角;(2)求该正六边形的外接圆的周长和面积.15.如图所示，在正五边形ABCDE中，A/是CD的中点，连接AC, BE, AM.求证：(1)AC=BE；(2)AMLCD.人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆参考答案一. 选择题（共6小题）1.如图，正六边形ABCDEF 内接于。

24.3 正多边形和圆附参考答案一、正多边形的有关概念1．把圆分成n 等份，依次连接各分点所得的多边形是______________．2．正多边形__________________叫做正多边形的中心，______________________叫做正多边形的半径，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的_____________，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的______________．问题1．圆内接正六边形一边所对的圆周角是（ ） （A ）30︒．（B ）60︒．（C ）150︒．（D ）30︒或150︒． 二、正多边形的对称性3．正多边形都是______对称图形，正n 边形有_______条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的__________．4．若n 为偶数，正n 边形为_________对称图形，它的中心就是__________． 问题2．正n 边形的对称轴的总数是（ ） （A ）n 条．（B ）2n条．（C ）2n 条．（D ）()2n -条． 三、正多边形的有关计算5．正n 边形的内角和为_______________，每个内角的度数为________________． 6．正n 边形有n 个相等的中心角，每个中心角的度数为____________，正n 边形有n 个相等的外角，每个外角的度数为____________，正n 边形的中心角和它的外角__________．问题3．要用圆形要板截出一个边长为3cm 的正方形桌面，则选用的圆形木板的直径至少应为_____________cm ．要点探究探究1．正多边形的有关计算例1．如图，已知正六边形的外接圆半径为4，求这个正六边形的中心角、边长、周长、面积．解析：连接正六边形半径，把一个正六边形划分为六个全等的等边三角形，再利用每个三角形的面积求正六边形的面积．答案：正六边形的中心角为360︒÷6=60︒．∵OA =OF ，∠AOF =60︒，∴△AOF 是等边三角形，∴AF =OA =4．∴正六边形的周长为24．过O 作OG ⊥AF 于G ，∴∠AOG =30︒，∴AG =2，则OG 23=．∴△AOF 的面积为43，∴正六边形的面积为243．智慧背囊：正多边形边长的一半、半径、边心距构成了一个直角三角形，正多边形的有关计算都可以归结到这个直角三角形中．活学活用：已知正三角形、正方形、正六边形的半径都是R ，请你将各正多边形的边长、边心距、周长和面积值填在下表中．（用R 来表示）边长 边心距 周长 面积 正三角形 正方形 正六边形随堂尝试A 基础达标1．选择题（1）如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（ ）（A ）7个．（B ）8个．（C ）9个．（D ）10个．ORQDCBA（第1（1）题） （第1（2）题）（2）如图，正方形ABCD 与等边△PRQ 内接于⊙O ，RQ ∥BC ，则∠AOP 等于（ ） （A ）45o ．（B ）60o ．（C ）30o ．（D ）55o ．（3）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） （A ）正三角形．（B ）正五边形．（C ）正六边形．（D ）正七边形．（4）若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（ ） （A ）4．（B ）6．（C ）8．（D ）12． 2．填空题（1）要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____________cm．（2）如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内外圆的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放___________颗半径为2的滚珠．F EDCBA A'HGA（第2（2）题）（第2（3）题）（第2（4）题）（3）如图，有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm．（4）如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖的纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，则∠GA/H为________度．3．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．4．如图，已知⊙O的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．B能力升级5．图①是“口子窖”酒的一个由铁片制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图②），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边长是3cm，每个内角都是120 ，六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图③的平面展开图．①②③④⑤（1）制作这种底盒时，可以按图④中虚线裁剪出如图③的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁片，请问能否按图④的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请说明理由；（2）如果用一块正三角形铁皮按图⑤中虚线剪出如图③的模片，那么这个正三角形的边长至少应为________________cm．（说明：以上裁剪不计接缝处损耗）C感受中考6．已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________．7．如图①、②、③、④分别是⊙O的内接正三角形、正四边形、正五边形、…、正n边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数；（2）图②中，∠APN的度数是___________，图③中，∠APN的度数是___________；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．图①图②图③图④课后实践从正五角星形的内角谈起我们常见到的五星红旗上的五角星形，不但给庄严的感觉，而且还给人一种和谐、对称、协调的美感，很容易得到它的一个内角为36︒．我们将圆周五等分，得五个分点1、2、3、4、5，如果按1→2→3→4→5相连，则得一个正五边形（如图①）．如果按1→3→5→2→4→1相连，则得一个正五角星形（如图②）．前者看成是5/1边形，后者则可以看成是5/2边形．所以每一个内角为55 18023622⎛⎫︒⨯-÷=︒⎪⎝⎭．图①图②图③图④以此类推，如图③、④将两个七角星形分别看成7/2边形和7/3边形，其内角分别为77540 1802227︒⎛⎫︒⨯-÷= ⎪⎝⎭，77180 1802337︒⎛⎫︒⨯-÷=⎪⎝⎭．有兴趣的同学不妨继续沿着这个思路研究下去，你一定会有很大的收获．参考答案基础准备问题1．D．问题2．A．问题3．要点探究活学活用：略．随堂尝试A基础达标1．（1）A （2）A （3）C （4）C2．（1）（2）6 （3）1.5 （4）60 3．两个正多边形的边数分别为10和5．4．连结MO．∵弦MN垂直平分OB，OE=BE=12OB=12OM，∠EMO=30︒，∴∠MOE=60︒．MB为圆内接六边形边长，CD⊥AB，∠MOC=30︒，∴MC为圆内接十二边形的边长．B能力升级5．（1）经计算所需的长方形铁片至少为(12+cm，宽至少为(6+cm，1217.5+<，616.5+<，能按图④裁剪方法制作无盖底盒；（2）约25.4cm．C感受中考6．7．（1）∠APN=60︒；（2）90︒，108︒；（3）∠APN=()2180 nn-．以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目录七年级数学（上）知识点 (1)第一章有理数 (1)第二章整式的加减 (3)第三章一元一次方程 (4)第四章图形的认识初步 (5)七年级数学（下）知识点 (6)第五章相交线与平行线 (6)第六章平面直角坐标系 (8)第七章三角形 (9)第八章二元一次方程组 (12)第九章不等式与不等式组 (13)第十章数据的收集、整理与描述 (13)八年级数学（上）知识点 (14)第十一章全等三角形 (14)第十二章轴对称 (15)第十三章实数 (16)第十四章一次函数 (17)第十五章整式的乘除与分解因式 (18)八年级数学（下）知识点 (19)第十六章分式 (19)第十七章反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。

2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。

24.3 正多边形和圆知识点1.________________相等，______________也相等的多边形叫做正多边形.2．把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是________________，它的中心角等于______________________________________________.3.一个正多边形的外接圆的____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的__________叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距.4.正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，（1）中心角的度数为：______________.（2）每个内角的度数为：_______________________.（3）每个外角的度数为：____________.（4）周长为：_________，面积为：_________.5.正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有_______条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是_______________.（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）一、选择题1.下列说法正确的是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形D.各角相等的圆内接多边形是正多边形2.（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）：3 ：2 ：23.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A．6，B． 3C．6，3 D．，4. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．第4题A ．60°B ．45°C ．30°D ．22．5°5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为 （ ）A.C.3:2:1D.1:2:36. 圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108°7.（2013•自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果 用一副三角板的角，借助点O （使该角的顶点落在点O 处）， 把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的 个数是（ ）A.4B.5C.6D. 78.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 的度数是 （ ） A.60° B.65°C.72°D.75°二、填空题9.一个正n 边形的边长为a ，面积为S ，则它的边心距为__________.10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度. 11.若正六边形的面积是2，则这个正六边形 的边长是__________.第6题 第7题第8题第13题12._______. 13.点M 、N 分别是正八边形相邻的边AB 、BC 上的点，且AM =BN ，点O 是正八边形的中心，则∠MON=_____________.14.边长为a 的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________. 15.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要__________cm.16.若正多边形的边心距与边长的比为1:2，则这个正多边形的边数是__________. 17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.18.(2013•徐州)如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20cm 2，则正八边形的面积为 ________cm 2.三、解答题19.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.正五边形 正六边形例如 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：（1）____________________________________________________________________; （2）___________________________________________________________________. 不同点：（1）____________________________________________________________________;第18题（2）____________________________________________________________________. 20.已知，如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的外接圆半径R 、边心距r 6、面积S 6.21.如图，⊙OO 的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积.22.已知⊙O 和⊙O 上的一点A.（1）作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；（2）在（1）题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.23.如图1、图2、图3、…、图n ，M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD、正五第20题第21题第22题边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).24.3 正多边形和圆知识点 1.各边 各角2.正多边形 正多边形每一边所对的圆心角3.圆心 半径 圆心角 距离4.360(2)180360(1)(2)(3)(4)(5)2n nar na n n n ︒-︒︒5.n 轴对称图形 一、选择题1.C2.B3.B4.C5.B6.C7.B解：根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题． 360÷30=12； 360÷60=6； 360÷90=4； 360÷120=3； 360÷180=2．因此n 的所有可能的值共五种情况， 故选B ． 8.D 二、填空题9. 2Sna10.144 11.4cm 12.12 13.45° 14.1:2:3 15. 四 17.2:318.40 三、解答题19.相同点：（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）； （2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）.不同点：（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°； （2）正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条. 20.66266.=606=6,11632216626,,.OA,OB.O OG AB G AOB OA OB AOB OA OB R OA OB OG ABAG AB Rt AOG r OG S R cm r S ⊥∠︒=∴∆∴===⊥∴==⨯=∴∆=====⨯⨯⨯=∴===解：连接过点作于，是等边三角形 即在中，21.解：连结OB∵在Rt △AOC 中，=∴AC=OC ∴∠AOC=∠OAC=45° ∵OA=OB OC ⊥AB∴AB=2AC=2 ∠AOB=2∠OAC=2×45°=90° ∴这个内接正多边形是正方形. ∴面积为22=4∴中心角为90°，边长为2，面积为4. 22. (1)作法：①作直径AC; ②作直径BD⊥AC;③依次连结A 、B 、C 、D 四点, 四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形;④分别以A 、C 为圆心，以OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点. 六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形. (2)证明：连结OE 、DE.∵∠AOD＝4360︒＝90°，∠AOE＝6360︒＝60°， 第22题∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝90°-60°=30°.∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边. 23.(1)方法一：连结OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OC N＝30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN（SAS）.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN.又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON（SAS）.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.(2)90° 72°(3)∠MON=n360.。

24.3 正多边形和圆1．如图24­3­5，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )图24­3­5A．6 2 mm B．12 mmC．6 3 mm D．4 3 mm2．已知正六边形ABCDEF的边心距为 3 cm，则正六边形的半径为________cm.3．[2018·贵阳]如图24­3­6，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O 是正五边形的中心，则∠MON的度数是________．图24­3­64．如图24­3­7，已知⊙O和⊙O上的一点A，请解答下列问题：(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状，并加以证明．图24­3­75．[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A.22B．32C． 2 D． 36．[2018·宜宾]刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S＝______________(结果保留根号)．7．如图24­3­8，已知正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于点O.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE的形状，并说明理由．图24­3­8参考答案24．3 正多边形和圆【分层作业】1．C 2.2 3.72°4．(1)略(2)四边形BCEF是矩形，证明略．5．A 6.2 37．(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD.(2)四边形AODE是菱形，理由略．。

2018-2019学年度九上独立作业-正多边形与圆一、单选题1．半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A．2r B．C．D．2．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为( )A．3B．3C．6D．63．已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为（）A．33R2B．33R2C．6R2D．1.5R24．正八边形的中心角是（）A．45°B．135°C．360°D．1080°5．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．3∶2∶1 D．1∶2∶36．已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（）A．120°B．60°C．40°D．20°7．如图，若用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面直径是（）A．6B．3C．9D．128．如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（）A．B．C．D．9．如图，一把折扇展开后是一个扇形，其中圆心角为120°，OB=2，AB=3，则折扇纸面部分的面积为（）A．1 B．πC．7 D．7π10．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( ) A．120°B．180°C．240°D．300°二、填空题11．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．12．如图，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为______mm．13．已知扇形的圆心角是，半径是，则扇形的弧长是________，扇形的面积是________．14．一个扇形的半径长为12cm，面积为24πcm2，则这个扇形的弧长为________cm.15．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为______________．16．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△AB C是直角三角形的个数有．三、解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.(1)分别以直线AC，BC为轴，把△ABC旋转一周，得到两个不同的圆锥，求这两个圆锥的侧面积；(2)以直线AB为轴，把△ABC旋转一周，求所得几何体的表面积．18．如图，圆锥体的高23h cm=，底面半径2r cm=，则圆锥体的侧面积为2cm．19．如图1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．20．如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），△ABC的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置，并填写：圆心P的坐标：P（, ）（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，画出图形，并求△ABC扫过的图形的面积．21．（1）如图①，等边三角形△ABC内接于⊙O，AO的延长线交⊙O于点P，连接BP、CP．则AP、BP、CP 之间的数量关系为：AP BP+CP．（填“>”、 “<” 或“=”）（2）如图②，等边三角形△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上任意一点，连接BP、CP．请探究AP、BP、CP 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图③，正方形ABCD内接于⊙O，点P是劣弧BC上任意一点，连接AP、BP、CP．请直接写出AP、BP、CP 之间的数量关系．22．如图1、2、3、…、n，M、N分别是的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；（3）试探究∠MON的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）．23．如图，在扇形AOB 中，OA 、OB 是半径，且OA ＝4，∠AOB ＝120°．点P 是弧AB 上的一个动点，连接AP 、BP ，分别作OC ⊥PA ，OD ⊥PB ，垂足分别为C 、D ，连接CD ．（1）如图①，在点P 的移动过程中，线段CD 的长是否会发生变化？若不发生变化，请求出线段CD 的长；若会发生变化，请说明理由；（2）如图②，若点M 、N 为AB u u u r的三等分点，点I 为△DOC 的外心．当点P 从点M 运动到N 点时，点I 所经过的路径长为__________．（直接写出结果）参考答案1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．A 8．A 9．D 10．A11．72°12．13．14．4π15．1 2n+a【解析】试题分析：第一个图形的面积为a，第二个图形的面积为32a，第三个图形的面积为2a，第四个图形的面积为52a，则第n个图形的面积为12n+a.考点：规律题.16．10.试题解析：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．17．(1)80π；60π；(2) .(1)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的侧面积＝π×8×10＝80π；以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的侧面积＝π×6×10＝60π；(2)如答图，过点C作CD⊥AB于点D.∵CD·AB＝AC·BC，∴CD＝＝，以直线AB 为轴，把△ABC 旋转一周，所得几何体是由以CD 为底面半径的两个圆锥组成，则它的表面积＝π××6＋π××8＝π.18．8π圆锥的母线=22(23)2+=4cm ，则圆锥的侧面积=πrl=π×2×4=8π.19．解：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ，∴ ， ∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形．20．（1）如图，利用图中的格点分别画出线段AB 和BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为所求的P 点，由图可得点P 的坐标为（5，3）；（2）根据图中信息由勾股定理可得： 2226210AC =+=，∴△ABC 在旋转过程中扫过的面积为：S 扇形ACE +S △ABC =()2902101421043602ππ⨯⨯+⨯⨯=+.21．(1)、AP = BP+CP ；(2)、AP=BP+CP在AP上取一点E，使AE=PC，在△ABE和△CBP中{AB CBBAE BCPAE CP=∠=∠=，∴△ABE≌△CBP ∴BE=BP，∠ABE=∠CBP ∵∠ABE+∠EBC=60°∴∠EBP=60°∴△BEP为等边三角形∴BP=EP ∴AP=AE+PE=CP+BP；(3)、AP=2BP+CP 在AP上取一点E，使AE=PC，在△ABE和△CBP中{AB CBBAE BCPAE CP=∠=∠=，∴△ABE≌△CBP ∴BE=BP，∠ABE=∠CBP ∵∠ABE+∠EBC=90°∴∠EBP=90°∴△BEP为等腰直角三角形∴2BP=EP ∴AP=EP+AE=2BP+CP．22．（1）解法一:连接OB,OC,∵正△ABC内接于⊙O,∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.又∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OC N,∴∠BO M=∠OC N,∴∠MON=∠BOC=120°.解法二:连接OA,OB,∵正△ABC 内接于⊙O , ∴AB =AC ,∠OAM =∠OBN =30°,∠AOB =120°, 又∵BM =C N , ∴A M =B N ,又∵OA =OB , ∴△AOM ≌△BO N , ∴∠AO M =∠BO N , ∴∠AON =∠AOB =120°.（2）90°, 72°.（3）∠MON =. 23．∵OA ＝OB ,OH ⊥AB ,∴AH ＝BH ＝12AB ,∠AOH ＝12∠AOB ＝60°, 在Rt △AOH 中,∵∠OAH ＝30°,∴OH ＝12OA ＝2, ∴在Rt △AOH ,由勾股定理得AH 2242-23∴AB ＝3∴CD ＝23（2）49π.。

24.3正多边形和圆同步练习2024-2025学年人教版数学九年级上册一、单选题1．正十边形的每一个外角的度数都等于（）A．135°B．45°C．36°D．144°2．如图，已知A，B、C，D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，⊙BCD=110°，则⊙AEB的度数为()A．70°B．35°C．40°D．20°3．如图，连接正五边形的两条对角线，得到的图形（）A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形不是中心对称图形C．是中心对称图形但不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2⊙O的半径为（）A．2B6C．2D．265．用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是正八边形，则另一种是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形6．下列命题是假命题的是（）A．三角形两边的和大于第三边B．正六边形的每个中心角都等于60°C．半径为R的圆内接正方形的边长等于2RD．只有正方形的外角和等于360°7．正多边形的一个外角等于40°．则这个多边形的边数为（）A．6B．9C．10D．128．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若⊙B＝70°，则⊙CAD的度数为（）A．70°B．55°C．35°D．20°9．下列说法正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形10．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且MN BC．在点M从E移向D（与D不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小二、填空题11．如图，正五边形ABCDE中，将半径OA绕点O逆时针旋转90︒得OF，连接OC，OF，CF，则∠的度数为．F12．半径为6 cm的圆内接正四边形的边长是cm.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点．15．⊙ ABC中，⊙ ACB=120°，AC=BC=3，点D为平面内一点，满足⊙ ADB=60°，若CD的长度为整数，则所有满足题意的CD的长度的可能值为．三、解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD=88°，求⊙BCD的度数.17．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．（1）若⊙E+⊙F=α，求⊙A 的度数（用含α的式子表示）；（2）若⊙E+⊙F=60°，求⊙A 的度数．18．已知直线l 与⊙O 相切于点C ，AB 是⊙O 的直径，AD⊙l 于点D ．（1）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若⊙DAC=30°，求⊙BAC 的大小； （2）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若⊙DAE=18°，求⊙BAF 的大小． 19．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？20．如图所示，四边形ABCD 内接于O AC ，为O 的直径，ADB CDB ∠=∠.（1）试判断ABC 的形状，并给出证明.（2）若21AB AD =，，求CD 的长度.21．如图，在正六边形ABCDEF 中，AB=2，P 是ED 的中点，连结AP ．求AP 的长．22．如图，已知三角形ΔABC 中，AB=AC ，D 是ΔABC 的外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD至E。

24.3正多边形和圆(11.6)一．相关概念1.正n边形从一个顶点出发可以引_______条对角线，它们将正n边形分成了________个三角形；正n边形内角和=____________, 正n边形每个内角=____________,正n边形外角和=____________, 正n边形每个外角=___________,正n边形中心角=_____________. 正n边形的中心角是圆的_________角.2.正多边形边长为a，半径为R，边心距为r，则它们的关系为____________________.正n边形的边心距是圆的________距；同时也是正n边形____________的半径.二．应用正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 2√33 23 3124 14 26 46 336 6总结：正n边形相关计算步骤：第一步：求n边形________角；第二步：画________三角形，并标注字母；第三步：作___________的高（即____________）2.正八边形的中心角是___________°.3.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是___________.4.如果一个正多边形的一个内角为135°，则这个正多边形为_________形.5.正三角形的边心距为1，那么这个正三角形的边长为____________.6.外接圆半径为3的等边三角形的面积是____________.3，则圆的半径为______________.7.已知圆的内接三角形的面积是32，则正六边形的边长为______________.8.已知正六边形的边心距是69.正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为________________.24，则边心距= __________，边长=__________.10.正六边形的面积为311.等边三角形的边心距，半径及高之比为_______________.12.已知正三角形的边长为a，其边心距为r，外接圆的半径为R, 则a：r：R =_____________.13.利用量角器,直尺和圆规在⊙O中，作出正方形ABCD和正六边形ABCDEF.保留作图痕迹，不写作法，写出结论14.利用直尺和圆规在⊙O中，作出正方形ABCD和正六边形ABCDEF.保留作图痕迹，不写作法，写出结论。

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．BC ．1:2:3D ． 3:2:14． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在»AD 上，则∠BEC= ． 6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.3正多边形和圆一、选择题1．一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（）A．a2+b2B．a2﹣b2C．a+b D．ab2．O的内接多边形周长为O的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()A．p B．2p C．3p D．4p3．下列命题：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；④圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=40°，点C是⊙O上不同于A，B的任意一点，则∠ACB的度数为（）A．70°B．40°C．110°D．70°或110°5．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°6．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是()A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C ．AC ＝BCD ．∠BAC ＝30°7．如图，边长为4的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点O 重合，AF ∥x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转60°，当n ＝2020时，顶点A 的坐标为（）A ．（﹣2，）B ．（﹣2，﹣）C ．（2，﹣）D ．（2，）8．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论正确的有（）①弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长；②弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长；③AC ＝BC ；④∠BAC ＝30°．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在O 中，点A ，B ，C 在O 上，且100ACB °Ð=，则a Ð=（）A ．80°B ．100°C ．120°D ．160°10．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =°∠，则D Ð的度数是（）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°二、填空题11．一条弦所对的圆心角的度数为95°，这条弦所对的圆周角的度数为______．12．若正八边形的边长为2，则此正八边形的面积是______．13．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若20ADB Ð=°，则这个正多边形的边数为__．14．如图，在扇形AOB 中，点C 、D 在AB 上，连接AD 、BC 交于点E ，若120AOB Ð=°，CD 的度数为50°，则AEB Ð=_____°．15．如图所示，A 、B 、C 、D 是一个正n 边形的顶点，O 为其中心，若∠ADB =18°，则n =____．三、解答题16．如图，在三角形ABC 中，∠C =90°，I 是内心，直线BI 与AC 交于点D ，过点D 作DE //AI 与BC 交于点E ，直线EI 与AB 交于点F ．证明：DF ⊥AI ．17．如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4,OC OG BC =^，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．18．如图，正六边形ABCDEF 的中心为原点O ，顶点,A D 在x 轴上，半径为2cm ．求其各个顶点的坐标．19．如图，O 的半径为R ，求O 的内接正六边形、O 的外切正六边形的边长比:AB A B ¢¢和面积比:S S 内外．20．已知等腰ABC 中，AB ＝AC ．（1）如图1，若O 为ABC 的外接圆，求证：AO BC ^；（2）如图2，若10AB AC ==，12BC =，I 为ABC 的内心，连接IC ，过点I 作ID BC ∥交AC 于点D ，求ID 的长．21．已知A 、B 、C 、D 四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图①，AB ＝CD ，在图①中作出该圆的一条直径；（2）如图②，AB 、BC 、CD 是圆内接正五边形的三条边，在图②中作出该圆的圆心．22．如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形．（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分BAF Ð．（2）设O 的面积为1S ，六边形ABCDEF 的面积为2S ，求12S S的值．23．如图M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDEFG…的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON（1）求图1中∠MON 的度数（2）图2中∠MON 的度数是，图3中∠MON 的度数是（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系是____参考答案1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C 11．47.5°或132.5°．12．413．九14．14515．1016．证明：∵AID Ð是ABI △的外角，∴114522AID BAI ABI BAC ABC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，∵//DE AI ，∴EDI AID Ð=Ð，而1452ECI ACB EDI Ð=Ð=°=Ð，∴E 、C 、D 、I 四点共圆，∴18090DIE ACB Ð=°-Ð=°，∴90DIF Ð=°，又9045AIF AID FAI DAI Ð=°-°=ÐÐ=Ð，，AI =AI ，∴△ADI ≌△AFI (ASA )，∴AD AF =，即ADF 是等腰三角形，且AI 是顶角的角平分线，∴DF AI ^．17．解：连接OD ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴360606COD °Ð==°．∵OC OD =，∴COD △为等边三角形．∴4CD OC ==，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴4BC =，∵OG BC ^，∴114222CG BC ==´=，在Rt COG 中，由勾股定理得：∴OG ===∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为18．解：过点E 作EG ⊥x 轴，垂足为G ，连接OE ，∵OE=OD ，∠EOD =360606°=°，∴△OED 是正三角形，∠EOG ＝60°，∠OEG ＝30°，∵OE ＝2cm ，∠OGE ＝90°，∴OG ＝12OE ＝1cm ，EG cm ，点E 的坐标为（1），又由题意知点D 的坐标为（2，0），由图形的对称性可知A （－2，0），B （－1），C （1），F （－1）．故这个正六边形ABCDEF 各个顶点的坐标分别为A （－2，0），B （－1，），C （1，），D （2，0），E （1），F （－1）．19．解：连接OC OD OC OD ¢¢、、、，如下图：由正多边形的性质可得：60DOC D OC ¢¢Ð=Ð=°，OD OC =，OC OD ¢¢=∴OCD OC D ¢¢△、△为等边三角形∴OD OC CD R ===，C D OC OD ¢¢¢¢==由题意可得：OD C D ¢¢⊥，∴30C OD ¢Ð=°设'C D x =，则2OC x ¢=，由勾股定理得222(2)x R x +=解得3x R =，3C D OC OD R ¢¢¢¢===::2AB A B CD C D ¢¢¢¢==∵30C OD ¢Ð=°∴1302COC COD C OD COD ¢¢Ð=Ð-Ð=°=Ð，OH 为COD Ð的角平分线∴OH CD^在Rt ODH △中，30DOH Ð=°，OD R =，解得2=OH R2124DOC S CD OH R =´=△，2123D OC S C D OD R ¢¢¢¢=´△22:6:3:4:436DOC D OC S S S R R S ¢¢===△外△内故:2AB A B ¢¢=；:4:3S S =外内20．（1）证明：连接OB 、OC ，∵AB ＝AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上又∵OB ＝OC ，∴O 也在BC 的垂直平分线上∴AO BC ^（2）连接AI 并延长交BC 于点F ，过点I 分别作IG AC ^于点G ，IH AB ^于点H∵AB AC =，I 为ABC 的内心，∴AF BC ^，6BF CF ==，∴8AF ==设IH IF IG r ===，由ABC ABI BCI ACIS S S S =++V V V V 可得：()1110101212822r ++×=´´∴3r =设CF CG a ==，则10AH AG a ==-，12BF BH a==-∴101210a a -+-=解得：6a =即6CG =∵ID BC ∥，CI 平分,ACB Ð∴123Ð=Ð=Ð∴设ID DC x ==，6DG x=-在Rt IGD △中，222IG GD ID +=∴()22236x x +-=解得：154x =∴154ID =21．解：（1）如图，EF 即为所求；（2）如图，点O即为所求．22．解：（1）连接AE，AD，AC，∵六边形ABCDEF是O的内接正六边形，∴EF=ED=CD=BC，∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，即过顶点A的三条对角线四等分BAFÐ；（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，∴EF=BC=ED=r，AD=2r，在正六边形ABCDEF中，∠OED=∠ODE=60°，∴∠EOG=30°，r，∴EG=12r，∴OG=2∴正六边形ABCDEF 的面积=1622r r ´´=22r ，圆O 的面积=2r p ，∴12S S2．23．（1）如图，连接OB 、OC ，则OC OB =，ABC 是O 内接正三角形，\中心角3603120BOC °Ð==°，∵点O 是O 内接正三角形ABC 的内心，∴1130,3022OBM ABC OCN ACB Ð=Ð=°Ð=Ð=°，∴OBM OCN Ð=Ð，在OMB △和ONC 中，BM CN OBM OCN OB OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()OMB ONC SAS @，∴BOM CON Ð=Ð，∴120MON BON BOM BON CON BOC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，故答案为：120°；（2）如图1，连接OB 、OC ，四边形ABCD 是O 内接正方形，\中心角360904BOC °Ð==°，同（1）的方法可证：90MON BOC Ð=Ð=°；如图2，连接OB 、OC ，五边形ABCDE 是O内接正五边形，\中心角360725BOC °Ð==°，同（1）的方法可证：72MON BOC Ð=Ð=°，故答案为：90°，72°；（3）由上可知，MON Ð的度数与正三角形边数的关系是3603MON °Ð=，MON Ð的度数与正方形边数的关系是3604MON °Ð=，MON Ð的度数与正五边形边数的关系是3605MON °Ð=，归纳类推得：MON Ð的度数与正n 边形边数n 的关系是360MON n°Ð=，故答案为：360MON n °Ð=．。

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (1)1．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________。

2．如图1，正方形的边长为a，以顶点B、D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________。

(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。

4．正六边形的面积是183，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________。

5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________。

6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________。

7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________。

8．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________。

9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________。

10．正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________。

B卷1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。

2．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。

3．如图2，正方形边长为2a，那么图中阴影部分的面积是__________。

4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。

5．半径为R的圆的内接正n边形的面积等于__________。

6．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，则a,b,c间满足的关系式为___________。

7．如图3，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为___________。

24.3正多边形和圆知识点1正多边形与圆的关系1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定2．如图24－3－1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．图24－3－1知识点2与正多边形有关的计算3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()A．4 B．5 C．6 D．74．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为()A．3 2 B．3 C．6 D．6 25．2016·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于()A．4 B．2 C．2 3 D．4 36．如图24－3－2所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()图24－3－2A．60°B．45°C．30°D．22.5°7．正八边形的中心角等于________度．8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)图24－3－39．2017·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC ＝________°.图24－3－410．如图24－3－5，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.图24－3－5知识点3与正多边形有关的作图11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．12．如图24－3－6所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()图24－3－6A. 6B.8C.10D.1713．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于()A．120°B．6°C．114°D．114°或6°14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A. 2 B．2 2－2C．2－ 2 D.2－115．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22 B.32 C. 2 D. 316．2017·云南如图24－3－7，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．图24－3－717．如图24－3－8，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．图24－3－818．如图24－3－9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图24－3－9(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．教师详解详析1．C [解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C .2．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°， 即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ， ∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点， ∴五边形AEBCD 是正五边形．3．B [解析] 设这个正多边形为正n 边形，由题意可知72n ＝360，解得n ＝5.故选B . 4．B5．A [解析] 正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.6．C [解析] 连接OB ，则∠AOB ＝60°， ∴∠ADB ＝12∠AOB ＝30°.7．45 8．1＋ 2[解析] 如图，∵△BDE 是等腰直角三角形，BE ＝1，∴BD ＝22， ∴正方形的边长等于AB ＋2BD ＝1＋ 2.9．24 [解析] 正六边形的一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ，∴∠ABC ＝12×(180°－132°)＝24°.10．证明：(1)由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠BAE ，AB ＝BC ， ∴△ABC ≌△EAB ，∴AC ＝BE.(2)连接AD ，由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ， ∴△ABC ≌△AED ， ∴AC ＝AD.又∵M 是CD 的中点， ∴AM ⊥CD. 11．解：如图所示．作法：①作直径AC ；②作直径BD ⊥AC ，依次连接AB ，BC ，CD ，DA ，则四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形；③分别以点A ，C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点E ，H 和F ，G ，顺次连接AE ，EF ，FC ，CG ，GH ，HA ，则六边形AEFCGH 为⊙O 的内接正六边形．12．C [解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C 满足要求．13．D [解析] 分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵AB 是⊙O 内接正五边形的一边，∴∠AOB ＝360°5＝72°.∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC ＝360°6＝60°，∴∠BOC ＝72°－60°＝12°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝6°.(2)如图②所示，∠AOB ＝72°，∠AOC ＝60°，∴∠OAB ＝54°，∠OAC ＝60°，∴∠BAC ＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选D .14．B [解析] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得CD ＝CE ＝r ，AD ＝BE ＝AO ＝BO ＝2 2－r ，∴AB ＝AO ＋BO ＝4 2－2r ＝4，解得r ＝2 2－2.故选B .15．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝1；如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝3， 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2， ∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A .16．2π＋4 [解析] 如图，连接HO ，并延长交BC 于点P ，连接EO ，并延长交CD 于点M.∵正方形ABCD 外切于⊙O ， ∴∠A ＝∠B ＝∠AHP ＝90°，∴四边形AHPB 为矩形，∴∠OPB ＝90°. 又∵∠OFB ＝90°，∴点P 与点F 重合， ∴HF 为⊙O 的直径， 同理：EG 为⊙O 的直径．由∠D ＝∠OGD ＝∠OHD ＝90°且OH ＝OG 知，四边形DGOH 为正方形． 同理：四边形OGCF 、四边形OFBE 、四边形OEAH 均为正方形， ∴DH ＝DG ＝GC ＝CF ＝2，∠HGO ＝∠FGO ＝45°， ∴∠HGF ＝90°，GH ＝GF ＝GC 2＋CF 2＝2 2， 则阴影部分面积＝12S ⊙O ＋S △HGF＝12·π·22＋12×2 2×2 2 ＝2π＋4. 故答案为2π＋4.17．解：如图，连接OA ，作OH ⊥AC 于点H ，则∠OAH ＝30°.在Rt △OAH 中，设OA ＝R ，则OH ＝12R ，由勾股定理可得AH ＝OA 2－OH 2＝R 2－（12R ）2＝123R. 而△ACE 的面积是△OAH 面积的6倍，即6×12×12 3R ×12R ＝48 3，解得R ＝8， 即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.18．解：(1)方法一：如图①，连接OB ，OC.图①∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°.又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°.方法二：如图②，连接OA ，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝360°n.。

正多边形和圆1．正六边形的边心距与边长之比为( B ) A.3∶3 B.3∶2 C ．1∶2 D.2∶2【解析】 如图：设正六边形的边长是a ，则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC ＝12AB ＝12a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ， ∴正六边形的边心距与边长之比为：32a ∶a ＝3∶2. 3－1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( D ) 图24－3－1A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°【解析】 因为OA ＝AB ＝OB ，所以△OAB 是等边三角形，又OC ⊥AB ，所以∠AOC ＝∠BOC ＝30°，所以∠BAC ＝15°，D 不正确．3．如图24－3－2，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O (使该角的顶点落在点O 处)，把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是( B )图24－3－2A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；360÷120＝3；360÷180＝2.因此n 的所有可能的值共五种情况．4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a ＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( C )图24－3－3 A ．6 2 mm B ．12 mmC ．6 3 mmD ．4 3 mm5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( B )A ．6B ．12C ．6 3D ．12 3【解析】 正六边形的边长等于半径，设半径为R ，则⎝⎛⎭⎫12R 2＋(3)2＝R 2，∴R ＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.6．若正六边形的边长为4 cm ，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm ，边心距是__23__cm ，它的每一个内角是__120°__．7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm ，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.8．已知一个正n 边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n ＝__8__．【解析】 由360n ＝180（n －2）n ×13，得n ＝8. 9．已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图24－3－4所示．图24－3－4(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题所作的图中，如果点E 在AB ︵上，试证明EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)计算EB 所对的圆心角的度数．解：(1)如图所示，在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD ；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH . (2)如图，连接OE .∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°.∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，∴n ＝12， ∴EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1；(2)以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连接BD ，如图2.若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是( C )图24－3－5 A ．BD 2＝5－12OD B ．BD 2＝5＋12OD C ．BD 2＝5ODD ．BD 2＝52OD 11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形的面积为____________cm 2.图24－3－6【解析】连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：（8－2）×180°8＝135°， ∴∠HGM ＝45°，∴MN ＝MG ，设MH ＝MG ＝x ，则HG ＝AH ＝AB ＝GF ＝2x ，∴BG ×GF ＝2(2＋1)x 2＝20，四边形ABGH 面积＝12(AH ＋BG )×HM ＝(2＋1)x 2＝10， ∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm 2)．12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE 是正五边形．图24－3－7第13题答图证明：如图所示，连接BE ，AD ，设纸条的宽度为h ，则S △ABE ＝12AB ·h ＝12AE ·h ， ∴AB ＝AE ，同理得AB ＝BC ，BC ＝CD ，∴AE ＝AB ＝BC ＝CD .∵纸条的宽度固定，∴AE ∥BD ，CD ∥BE ，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD ＋∠ABC ＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB ，AE ＝AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴五边形ABCDE 是正五边形．13．如图24－3－8所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．图24－3－8 【解析】 要证明五边形AEBCD 是正五边形，只需证AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵即可．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ，∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图24－3－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于O .(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．:学科图24－3－9解：(1)△ABO ，△ABC ，△BOC ，△DOC ，△BCD .(2)四边形AODE 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝12×(180°－108°)＝36°，同理得∠CBD ＝∠CDB ＝36°，∴∠ABO ＝∠ABC －∠CBD ＝72°，∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAC ＝72°，∴AB ＝AO ，同理得DO ＝DC ，∴OA ＝AE ＝ED ＝DO ，∴四边形AODE 是菱形．15．小刚现有一边长为a m 的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？解：如图所示，在正方形ABCD 中，△DEF ，△CGH ，△BOP ，△AMN 为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF 为正八边形．设直角边DE ＝DF ＝CG ＝CH ＝x .在Rt △DEF 中，EF ＝2x . ∵EF ＝FG ，且DC ＝DF ＋FG ＋CG ，∴x ＋x ＋2x ＝a ，解得x ＝2－22a ≈0.3a ， 因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m 的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝__522__． 图24－3－10【解析】 设正五边形的边长为a ，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有12×2×a ×5＝⎝⎛⎭⎫12×AB ×a 2＋12×a ×AC ×2， 即522a ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AC ×a ，∴12AB ＋AC ＝522.。

人教新版数学九年级上学期《24.3正多边形和圆》同步练习一．选择题（共12小题）1．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三边形是正三边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2019时，顶点A的坐标为（）A．（4，0）B．（﹣4，0）C．（2，2）D．（﹣2，2）3．如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是（）A．50π﹣50B．50π﹣25C．25π+50D．50π4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB为（）A．30°B．40°C．45°D．60°5．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．6．如图，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，则弧AD的长为（）A．B．C．D．7．半径为a的正六边形的面积等于（）A．B．C．a2D．8．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm 9．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（）A．6 B．12 C．6D．610．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）A．B．C．2 D．11．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（）A．B．C．D．12．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（）A．πB．C．2πD．4π二．填空题（共10小题）13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AC，BE相交于点M．若AB=1，则BM的长为．14．如图，在正六边形ABCDEF中，延长AB交EC的延长线于点G，则∠G的度数为．15．如图，ABCDE是正五边形，已知AG=1，则FG+JH+CD=．16．在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为．17．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于．18．如图，正八边形ABCDEFGH的边长为a，I、J、K、L分别是各自所在边的中点，且四边形IJKL是正方形，则正方形IJKL的边长为（用含a的代数式表示）．19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB=2，则⊙O的半径为．20．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=；如图3，正三角形的边长a n=（用含n的代数式表示）．21．如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则=．22．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上，若AB=1，则CN=．三．解答题（共3小题）23．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的周长等于6πcm（1）求∠ADB的度数（2）求正六边形ABCDEF的周长和面积．24．正方形ABCD的边长为1，E、F两点分别位于BC、CD上，DF=m，BE=n，∠EAF=45°，△EFC的内切圆的半径为r．（1）证明：EF=m+n；（2）证明：（m+1）（n+1）=2；（3）若m＜n，r=求m、n的值．25．在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）．（1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；（2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q．（3）若H（﹣4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS ⊥AC交O2于F．当T运动时（不包括A点），AT﹣AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．参考答案一．选择题1．B．2．C．3．A．4．A．5．B．6．A．7．B．8．B．9．D．10．C．11．A．12．C．二．填空题13．．14．30°15．+1．16．42°．17．1218．a．19．2．20．，，．21．22．．三．解答题23．解：（1）连接DB，OB，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB=60°，∴∠ADB=30°；（2）过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，∴AH=AB，∵⊙O的周长等于6πcm，∴⊙O的半径为：3cm，∵∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=3cm，∴AH=cm，∴OH=（cm），∴S正六边形ABCDEF =6S△OAB=6××3×=（cm2）．∴正六边形ABCDEF的周长=18cm．24．（1）证明：延长CB至G，使BG=DF，连接AG．在△AGB和△AFD中，∵AB=AD，∠ABG=∠ADF，BG=DF，∴△AGB≌△AFD，∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=∠BAE+∠GAB=45°，∴∠EAG=∠EAF=45°，在△EAG和△EAF中，∵AE=AE，∠EAG=∠EAF，AG=AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG=EF，又∵EG=EB+BG=BE+DF=n+m，∴EF=m+n．（2）在Rt△FEC中，∵EF2=CE2+CF2，∴（m+n）2=（1﹣n）2+（1﹣m）2，展开整理得mn+m+n=1，两边同加上1，左边因式分解得（m+1）（n+1）=2．=（CE+CF+EF）r，（3）∵S△EFC∴当r=时得，（1﹣m）（1﹣n）= [（1﹣m）+（1﹣n）+（m+n）]×，整理得（1﹣m）（1﹣n）=，结合第2问结论：（m+1）（n+1）=2消元得m=，n=；m=，n=．∵m＜n，∴m=，n=．25．解：（1）连接OG，∵∠AOD=∠FOC=30°，由轴对称可得∠DOG=∠COG=30°，又∴OC=4，∵CG=OC•tan∠COG=4×=，∴G（4，）；（2）∵BQ∥AM，∴∠BQM+∠AMQ=180°，根据切线长定理，∠O1QM+∠Q1MQ=180°×=90°，∴∠MO1Q=180°﹣90°=90°，由切线长定理∠NO1Q=45°，∴O1N平分∠MO1Q．（3）AQ﹣AF的值是定值为4，在AT上取点V，使TV=AS，即AT﹣AS=AV，∵AS⊥AC，∴∠THS=∠TAS=90°，∵H（﹣4、4），A（0、4），∴AH⊥AO；又∵∠OAC=45°，∴∠TAH=45°，∵∠THS=∠TAS=90°，∴∠TSH=45°，∴HT=HS；又∠HTV=∠HAS，TV=AS，∴△HTV≌△HSA，∴△HAV为等腰直角三角形，∴AT﹣AS=AV=AH=4．。