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高考第一轮复习数学：9.12 球 2

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9.12 球

●知识梳理

1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.

2.平面截球所得的截面是圆.

3.S球=4πR2；V球=34πR3.

●点击双基

1.下列四个命题中错误．．的个数是

①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：①③错误.

答案：C

2.（2004年江苏，4）一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是

A.3π100 cm3

B.3π208 cm3

C.3π500 cm3 D.3π3416 cm3

答案：C

3.若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍.

A.4 B.3 C.2 D.1

解析：三球体积之比为1∶8∶27.

答案：B

4.（2004年北京，理11）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是_____________cm，表面积是_____________cm2.

解析：如图所示，

Rr30o

∵2πr=12π，∴r=6（cm）.

设地球仪半径为R，则Rr=R6=sin60°.

∴R=43（cm），

表面积S=4πR2=192π（cm2）.

答案：43 192π

5.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球

的表面积是

A.202π

B.252π

C.50π

D.200π

解析：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=225.∴S球=4π×R2=50π.

答案：C

●典例剖析

【例1】

球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

A.43

B.23

C.2

D.

3

解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=3π，OA=OC知OA=AC<2O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA>O′A.所以O′A

解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=23.

因为∠AOB=θ=3π，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=23.

解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=23r=3，D是BC的中点.

在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=3π，所以BC=BO=R，BD=21BC=21R.

在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=41R2+9，所以R=23.

特别提示

1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想.

2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：

（1）计算线段AB的长度；

（2）计算A、B到球心O的张角；

（3）计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长.

【例2】 已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积.

剖析：先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形，加以分类讨论.

解：下图为球的一个大圆截面.

ABOOO12

π·O1A2=49π，

则O1A=7.

又π·O2B2=400π，

∴O2B=20.

（1）当两截面在球心同侧时，OO1－OO2=9=227R－2220R，解得R2=625，S球=4πR2=2500π.

（2）当两截面在球心异侧时，OO1+OO2=9=227R+2220R，无解.

综上，所求球的表面积为2500π.

特别提示

球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中，R2=d2+r2（R、r、d分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离）起着重要的作用.

【例3】 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?

解：下图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，

BACh2RO

则（2h）2＋r2=R2，

即h=222rR.

∵S=2πrh=4πr·22rR

=4π)(222rRr

≤4π2)(2222rRr=2πR2，取等号时，内接圆柱底面半径为22R，高为2R.

●闯关训练

夯实基础

1.（2004年全国Ⅱ，7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O到平面ABC的距离为

A. 31 B. 33 C. 32 D. 36

解析：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，

ABCO1

∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，

∴AB=BC=CA=2.

∴O1为△ABC的中心.∴O1A=36.

由OO12＋O1A2=OA2，可得OO1=33.

答案：B

2.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是

A.9π16 B.3π8 C.4π D.9π64

解析：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=332.设球半径为R，则R2－（21R）2=34，所以R2=916，S=4πR2=9π64.

答案：D

3.已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于_____________.

解析：易知球直径2R等于正方体的对角线长3a，由6a2=S，得a=6S，所以V球=3π4R3=

3π4（23a）3=3π4（23·6S）3=SS224π.

答案：SS224π

4.有两个半径都是r的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为_____________.

解析：由题意易得交线为半径为23r的圆周，其长为3πr.

答案：3πr

5.把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，求A、B两点间的球面距离.

解：如图，设30°纬度圈的圆心为O1，半径为r，则r=Rcos30°.依题意∠AO1B=60°，

O O

A B

1C

取AB的中点C，则BC=Rcos30°sin30°=43R，

在Rt△BOC中，sin∠BOC=sin21∠AOB=RBC=43，

∴∠AOB=2arcsin43，从而A、B两点的球面距离为2Rarcsin43.

O O

A B 1

6.如图，三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°.

VACB

（1）求证：V、A、B、C四点在同一球面上；

（2）过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.

证明：（1）取VC的中点M，

∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点，

∴MB=MC=MV.同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC.

∴MV=MC=MA=MB.

∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.

（2）取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN，则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形.又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.

培养能力

7.已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面ABC的距离.

解：∵62+82=102，∴△ABC为Rt△.

ABCMO

∵球心O在平面ABC内的射影M是截面圆的圆心，∴M是AC的中点且OM⊥AC.

在Rt△OAM中，OM=22AMOA=12.

∴球心到平面ABC的距离为12.

8.（文）将半径为R的四个球，两两相切的放在桌面上，求上面一个球的球心与桌面的距离.

解：如下图，作OH⊥面O1O2O3，

OOOO123H

∵O3H=332 R，

∴OH=2323HOOO=362 R，球心与桌面的距离为（362 +1）R.

（理）设A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为3π，点A与B、C两点间的球面距离均为2π，O为球心，求：

（1）∠AOB、∠BOC的大小；

（2）球心O到截面ABC的距离.

解：如图，（1）因为球O的半径为1，B、C两点间的球面距离为3π，点A与B、C两点间的球面距离均为2π，所以∠BOC=3π，∠AOB=∠AOC=2π.

ABCOO1

（2）因为BC=1，AC=AB=2，所以由余弦定理得cos∠BAC=43，sin∠BAC=47，设截面圆的圆心为O1，连结AO1，则截面圆的半径R=AO1，由正弦定理得r=BACBCsin2=

772，所以OO1=22rOA=721.

探究创新

9.在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.

h

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高考数学一轮复习 9.3 圆的方程 理 新人教A版

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1 第3讲

圆的方程

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 ( )

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝2

C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4

解析 AB的中点坐标为(0，0)，

|AB|＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，

∴圆的方程为x2＋y2＝2.

答案 A

2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 ( )

A．(－∞，－2)∪23＋∞ B.－23，0

C．(－2，0) D.－2，23

解析 方程为x＋a22＋(y＋a)2＝1－a－3a24表示圆，则1－a－3a24＞0，解得－2＜a＜23.

答案 D

3．(2015·福州质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0

A．原点在圆上 B．原点在圆外

C．原点在圆内 D．不确定

解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，

因为00，

即（0＋a）2＋（0＋1）2>2a，所以原点在圆外．

答案 B

4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为 ( )

A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 2 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1

解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知

（0－1）2＋（b－2）2＝1，解得b＝2，

故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

答案 A

5．(2015·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是

( )

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

高考数学一轮复习 9.1 空间几何体的结构特征精品教学案(学生版) 新人教版

高考数学一轮复习 9.1 空间几何体的结构特征精品教学案(学生版) 新人教版

1 【考纲解读】

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

【考点预测】

高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:

1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.

2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.

【要点梳理】

1.柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

2.锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.3 空间几何体外接球和内切球(解析版)

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.3 空间几何体外接球和内切球(解析版)

9.3 空间几何外接球和内切球

一．公式

1.球的表面积：S＝4πR2

2.球的体积：V＝43πR3

二．概念

1. 空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球

2. 空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球

考向一 长（正）方体外接球

【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O的表面上，则此球的表面积为__________．

【答案】29

【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线22243229l为球的直径，所以球的表面积为24292lS，故填29.

【举一反三】

1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为

________．

【答案】92π

【解析】设正方体棱长为a，则6a2＝18，∴a＝3.

设球的半径为R，则由题意知2R＝a2＋a2＋a2＝3，∴R＝32.故球的体积V＝43πR3＝43π×323＝92π.

2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.

【答案】48

【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABCABC，如图所示：

其中，三角形ABC是腰长为4的直角三角形，侧面ACCA是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为222444232.∴该几何体的外接球的表面积为242348.故答案为48.

考向二 棱柱的外接球

【例2】直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴′𝐵′𝐶′的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）

A．12π B．16π C．28π D．36π

【答案】C

【解析】由直三棱柱的底面边长为2√3，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，

又由直三棱柱的侧棱长为2√3，则球心到圆O的球心距d=√3，

2006年高考第一轮复习数学：9.11 多面体与正多面体

2006年高考第一轮复习数学：9.11 多面体与正多面体

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9.11 多面体与正多面体

●知识梳理

1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.

2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

●点击双基

1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是

A B

C D

答案：B

2.正多面体只有_____________种，分别为________________.

答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.

解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可. 精品文档

实用文档 答案： 52

●典例剖析

【例1】 已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于

A.－31 B. 31 C.－ 21 D. 21

解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得

cosθ=332)22()3()3(222=－31（设正方体的棱长为2）.

答案：A

【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.

解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－22a，0）、B（22a，0，0）、C（0，22a，0）、P（0，0，22a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=22a，∴tan∠PEO=2，∠PEQ=2arctan2.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n·AB=x+y=0，n·PC=y－z=0，解得 精品文档