11-(5) 对坐标的曲面积分

x,
y,
z)dxdy

lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
)
xy
取上侧, cos 0, (Si )xy ( )xy ,
又 i z(i ,i )
n

lim
0
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
n

lim
0
i 1
R( i


四、计算法
设积分曲面Σ 是由
方程z z( x, y)所给
z
出的曲面上侧,Σ 在

xoy面上的投影区域
为Dxy ,函数 z z( x, y)在Dxy 上具
有一阶连续偏导数,
o
Dxy
被积函数R( x, y, z)在 x
Σ 上连续.
z f (x, y)
y (s)xy
n

R(
第i 小块曲面的面积),
在si 上任取一点
(i ,i , i ),z SiFra bibliotek ni
vi
(i ,i , i )
则该点流速为
vi
.

法向量为 ni .

o
y
x
vi v(i ,i , i )


P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
Dxy
2

2
d
2 (r 2 cos2 1 r 2 )rdr
8.
0
0
2
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位

title高等数学（五）(国防科技大学)中国大学mooc答案100分最新版content第一周第一讲对弧长的曲线积分的概念与计算1、设有点和，为线段组成的闭曲线，则曲线积分的值为( )．答案:2、设为曲线段，则的值为( )．答案:3、设半圆形状的曲线在处的密度为，则曲线关于轴的转动惯量为( )．答案:4、设是圆周在第一象限内的部分，则的值为( )．答案: 55、设为星形线，则的值为 ( )．答案:6、空间曲线上从点到点的弧长为( )．答案: 57、设为圆周，则的值为 ( )．答案:8、设曲线为球面与平面的交线，则的值为( )．答案:9、若被积函数，则表示曲线的弧长.答案: 正确10、答案: 错误11、对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.答案: 正确12、若被积函数，则关于弧长的曲线积分表示线密度为的曲线型构件的质量.答案: 正确13、如果曲线的方程为，则.答案: 错误14、如果曲线的方程为，则.答案: 正确15、设曲线由两段曲线组成，若函数在曲线上的积分存在，则有.答案: 正确第一周第二讲对坐标的曲线积分的概念与计算1、设为由到的直线段，则( )．答案:2、设为圆周上对应从0到的一段弧，则( )．答案: 03、为圆周(方向取逆时针)，则( )．答案:4、设为从点到点的直线段，则（）．答案: 135、设是由直线所围成的按逆时针绕行的矩形回路，则 ( )．答案: -86、设为平面内直线上的一段，则( )．答案: 07、设为上从到的一段弧，则( )．答案:8、设C为依逆时针方向沿椭圆一周的路径，则=( )．答案:9、设为从点到点的一直线段，则( )．答案: 1110、为先沿直线从点到点,然后再沿直线到点的折线，则( )．答案:11、曲线上从点到点的一段弧，则( )．答案:12、第二类型曲线积分与积分曲线的方向无关.答案: 错误13、当改变积分曲线方向时，第二类型曲线积分将改变符号.答案: 正确14、设是有向曲线弧, 是与方向相反的有向曲线弧，则.答案: 正确15、设由和两段光滑曲线组成，则有.答案: 错误16、如果曲线的方程为起点对应, 终点对应，则答案: 正确17、答案: 错误18、在对坐标的曲线积分定义中，定义，其中，且式中极限与积分曲线的分法和点的取法无关.答案: 正确19、设曲线起点A对应的参数为，终点B对应的参数为，则.答案: 错误20、设曲线为有向光滑曲线，则一定有.答案: 错误21、在将曲线积分化为定积分时，第一类曲线积分和第二类曲线积分对定积分上下限的要求是一致的.答案: 错误第一周第三讲格林公式1、设为一条不过原点且不包含原点的光滑闭曲线，则的值为（）．答案: 02、设为一条不过原点且包含原点在内的光滑闭曲线，则的值为（）．答案:3、设L为圆周上由到的一段弧，则的值为（）．答案:4、设是单位圆从点到点的上半圆周，则的值为（）．答案:5、使格林公式成立的闭区域D（）．答案: 为单连通或多连通区域6、设是圆周，方向为逆时针方向，则用格林公式计算可化为（）．答案:7、设是圆周,方向取顺时针方向，则的值为（）．答案:8、设为圆周上从到再到的曲线段，则的值为（）．答案: 09、设闭区域是由分段光滑的闭曲线所围成, 函数在上有一阶连续偏导数，则．答案: 正确10、设为正向星形线，则由格林公式有．答案: 正确11、设是椭圆的正向，则由格林公式可知．答案: 错误12、若区域内存在一条简单闭曲线，其所围的部分均在区域内，则称为平面单连通区域．答案: 错误13、设D是由曲线所围成的闭区域，函数. 因为，所以由格林公式有．答案: 错误14、设为平面的有界闭区域，其边界为光滑或分段光滑曲线，则区域的面积.答案: 错误第二周第四讲积分与路径无关条件1、下列平面上的力场中，为保守力场的是（）.答案:2、设是以为起点、为终点的曲线段, 则等于（）.答案:3、沿以为起点、为终点的路径所作的功可表示为（）.答案:4、设是从点到点的直线段，则的值为（）.答案:5、向量场的势函数为（）.答案:6、微分方程的通解为（）.答案:7、设是上半圆周上从点到点的圆弧，则曲线积分的值为（）．答案:8、若为保守力场，则它沿场中任何一条封闭的光滑曲线所作的功均为零.答案: 正确9、只要在区域上有成立，则向量场必为区域上的保守场.答案: 错误10、曲线积分的值只与起点和终点的位置有关，而与积分的路径无关.答案: 正确11、方程是全微分方程.答案: 错误12、是整个平面区域上的保守向量场.答案: 错误13、若函数为的原函数，则.答案: 正确14、设函数，其中积分路径是从到的某一条光滑曲线，则有.答案: 错误第二周第五讲对面积的曲面积分的概念与计算1、设为圆柱面夹在平面之间的部分,则曲面面积为（）．答案:2、设是锥面，则等于（）．答案:3、设为曲面，则的值为（）.答案:4、设是曲面，则下列各式正确的是（）．答案:5、设为曲面在平面上方的部分,则（）．答案:6、设为上半球面，则（）．答案:7、设为平面在第一卦限部分，则的值为（）．答案:8、若存在一阶连续偏导数，则曲面一定存在有限面积.答案: 错误9、设函数在光滑曲面上连续，且，则.答案: 正确10、设函数在光滑曲面上连续，为曲面的面积，若存在常数使得，则有.答案: 正确11、设为平面上的有界闭区域，函数在上连续，则二重积分等于对面积的曲面积分.答案: 正确12、设为球面，为在面上的投影区域, 函数在上连续，则有.答案: 错误13、设是球面，则曲面积分.答案: 错误第二周第六讲对坐标的曲面积分的概念与计算1、设有曲面，其外法线与正向夹角成锐角, 则等于（）．答案:2、设为旋转抛物面介于和之间部分的下侧，则等于（）．答案:3、设是由平面,,,所围成的四面体的边界，外法线为其正向，则曲面积分等于（）．答案: 04、设曲面为球面，其法向指向外侧，则等于（）．答案:5、设为曲面，其法向指向上侧，则对坐标的曲面积分.答案: 错误6、曲面积分在数值上等于流速场穿过曲面的流量.答案: 正确7、设为球面, 其法向量指向外侧，则.答案: 错误8、设为球面的外侧，为球面在上的投影区域，则.答案: 错误9、如果光滑曲面在平面上的投影是一条曲线，函数在上连续，则.答案: 正确。

§5. 对坐标的(第二类)曲面积分 一、有向曲面 如果对 内的每一点 P0 , 从 P0出发的点
P 在 内沿任意一条不与 的边界相交的曲线 C 连续 移动而回到 P0时，正法向量 n P 连续转动回到 n P0 ，就 称 为一个双侧曲面。双侧 曲面连同其上确定的正 n 指向的 法向量 n 指向的一侧称为曲面的 正侧， 一侧称为 的负侧，记为 .
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k
Σ 是速度场中的 一片有向曲面,
z
实例:
流向曲面一侧的流量.
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场为：
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
n
0
i 1
i
i
i
i
yz
Q( x , y, z )dzdx

lim Q ( i , i , i )( S i ) zx
0
i 1
n
上述三个曲面积分 也称为第二类曲面积分
R( i , i , i )( Si ) xy R( x, y, z )dxdy lim 0 i 1
0 向量为 ni , v i v ( i , i , i ) P ( i , i , i )i Q( i , i , i ) j R( i , i , i )k , 0 ni cos i i cos i j cos i k
vi P ( , , )i Q( , , ) j R( , , )k , [ P ( , , )(S ) Q( i ,i , i )( Si ) xz

1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20