对坐标的曲面积分(课堂PPT)

令 d S n d S ( y d z d , d z d x , d x d y )
A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
14
P d y d z Q d zd x R d x d y
第五节
第十一章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
1
对坐标的曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
2
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
A
n0
流量
A vcos
Av n0
v
A
8
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
v( x ,
y,z)
P(x,
y, z)i
Q(x,
y,z) j
R(x,
y, z)k
给 出 ,Σ 是 速 度 场 中 的 一 片 有 向 曲 面 ,函 数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) z
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
P d ydz Q dzdxR d xdy
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
型
双 侧
n
曲
面
3
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
4
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
5
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ 上 取 一 小 块
曲面 S , S 在 x (o 面 )x上 yy当c的 os ( 投 0S 时 )x为 影 y
• 设 为有向曲面, 其面元 S在 xOy 面上的投影记为
(S)xy, (S)xy 的面积为()xy0,则规定
(S)xy
()xy,
()xy,
0,
当cos0时 当 cos0时 类似可规定 当cos0时 (S)y,z(S)zx
7
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
( 时 1 ) 间 流 流 过 速 A场 的 为 流 常 体 向 的 量 质 v 量 , 有 ( 向 假 v 平 定 面 密 区 度 域 为 1 A) , . 求 单 位
有一阶连续偏导数,
被 积 函 数 R (x , y,z)在
Σ上连续.
z
o
D xy
x
zf(x,y)
y (s)xy
16
n
R (x ,y ,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i) (S i)xy
取,c 上 o 0 ,s 侧 ( S i)x y()x,y
又 i z (i,i)
i1
R(i,i,i) (Si)xy
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
12
三. 定义：设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个
向量场 A ( P ( x ,y , z ) Q ( , x ,y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量 .
o
y
x
9
1. 分割 把 曲 面 Σ 分 成 n小 块 si(si同 时 也 代 表
第 i小 块 曲 面 的 面 积 ),
在 si上 任 取 一 点
(i,i,i),
z Si
ni
vi
(i,i,i)
则该点流速为 vi .
法向量为 ni .
o
y
x
10
v i v (i,i,i)
P (i,i,i) i Q (i,i,i) j R (i,i,i) k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
通 过 s i 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
P dx
d y dz
Q
R
13
Pdydz称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分; Qdzdx 称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分; Rdxdy 称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
P d y d z Q d zd x R d x d y 若记 正侧的单位法向量为 n (co ,cso ,cso )
3. 性质
AndS AdS
k
(1) 若 i , 且i 之间无公共内点, 则
i 1
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AdS
i1
i AdS
(2) 用 ¯表示 的反向曲面, 则
A dS A dS
15
四、对坐标的曲面积分的计算法
设积分曲面Σ是由
方 程 z z(x , y)所 给
出 的 曲 面 上 侧 ,Σ 在
xoy 面 上 的 投 影 区 域 为 D xy , 函 数 z z ( x , y ) 在 D xy 上 具
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
类似地可定义
S 在 y及 ozzo 面 x 上 (S 的 )y和 x( 投 S )zx影
6
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
n
lim 0 i1
R(i
,i,i
)(Si
)xy
n
lim 0 i1
R(i
,i,
z(i,i
))(i
)xy
即 R (x,y,z)dxdR y [x,y,z(x,y)d ] xdy
v in i S i ( i 1 , 2 , ,n ).
n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi niSi
i1
11
n
[P(i,i,i)coisQ(i,i,i)cois
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz