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2 2 2 2
,
,
,
dS 1 z x z y dxdy
故右边 R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
故有 R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若 取下侧 左边
P( x, y, z )dydz P( x, y, z )dydz,
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z )dzdx,
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z )dxdy.
注意：
对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧.
2
介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧 .
规定S在xOy面上的投影(S ) xy 为 : (S ) xy ( ) xy ( ) xy 0 cos 0 cos 0 cos 0
(S ) xy 实际就是S在xOy面上的投影区域的面积附 以一定的正负号;
类似地可以定义S在yOz面及zOx面上的投影(S ) yz 及(S ) zx .
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
即：
P( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
6、 性质
(1) 若 1 2 , 则 :
解：将 分为 1与 2 : z1 1 x 2 y 2 , 1 : z2 1 x 2 y 2 2 (注意方程本身有正负 ) 而 1 取下侧 2 取上侧.(注意曲面也有正负 ， )
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
R( x, y, z )dxdy Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
cos 故右边
1 1 zx2 z y2
R( x, y, z ) cos dS Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy D xy
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS 成立
(2) 若由y y( z, x)给出, 则有 :
Q( x, y, z )dzdx Q[ x, y ( z, x), z ]dzdx
D zx
( y y( z, x)曲面右侧取正, 左侧取负 )
x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy 例1 计算曲面积分
0 i 1
lim R ( i ,i , i )( Si ) xy
n
总存在，则称此极限为函数R ( x, y, z )在有向曲面 上
对坐标x、y的曲面积分.记作：
R( x, y, z )dxdy
n
即： R( x, y, z )dxdy lim R( i ,i , i )(S i ) xy
故所求曲面积分为:
x dydz y dzdx z dxdy
2 2 2
a 2bc b 2 ac c 2 ab (a b c)abc
例2 计算曲面积分 xyzdxdy, 其中 是球面
x 2 y 2 z 2 1，外侧在x 0，y 0的部分.
(1)若 取上侧, 讨论 左边 R( x, y, z )dxdy Rx, y, z ( x, y )dxdy
D xy
右边 cos cos cos
zx 1 zx2 z y2 zy 1 zx z y 1 1 zx2 z y2
( P cos Q cos R cos )dS
其中cos 、 、 为 上点( x, y, z )处的 cos cos 法向量的方向余弦.
例3 计算曲面积分 ( z x)dydz zdxdy 1 2 其中 是旋转抛物面z ( x y 2 ) 2
除 3、 4外, 其余四片曲面在yOz面上投影为零
x 2 dydz x 2 dydz x 2 dydz
3 4
a dydz 0 dydz a bc
2 2 2 D yz
2 2
D yz
2 2
类似地 : y dzdx b ac, z dxdy c ab
其中 是长方体Ω的整个表面的外侧, Ω ( x, y, z ) 0 x a, 0 y b, 0 z c
解: 将有向曲面 分为六部分:
1 : z c (0 x a, 0 y b)的上侧 , 2 : z 0 (0 x a, 0 y b)的下侧 ,
Dxy
推导:由定义得
左边 R( x, y, z )dxdy lim R( i ,i , i )( Si ) xy
0 i 1
n
取上侧， 0, cos
n
(Si ) xy ( i ) xy
又 (i ,i , i )为 上一点 i z (i ,i )
3 : x a (0 y b, 0 z c)的前侧 ,
4 : x 0 (0 y b, 0 z c)的后侧 ,
5 : y b (0 x a, 0 z c)的右侧 , 6 : y 0 (0 x a, 0 z c)的左侧.
上式 R[ x, y, z ( x, y )]dxdy 右边
Dxy
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dxdy
Dxy
成立
注意：
(1) 对坐标的曲面积分 可化为二重积分 计算，其中 z z ( x, y )，Dxy为 在xOy面上的投影区域;
2 2
1
xy 1 x y dxdy xy ( 1 x y )dxdy
2 2 D xy D xy
2 xy 1 x y dxdy
2 2 D
其中Dxy为 1与 2 在xOy面上的投影区域, Dxy : x y 1
2 2
( x 0, y 0),
(2) 若 曲面积分 取 的 下侧, 此时 cos 0， Si ) xy ( i ) xy ( 有 R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dxdy,
Dxy
从而有：
D xy ( z z ( x, y)曲面上侧取正,下侧取负 )
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z ( x, y )]dy, z )给出, 则有 :
P( x, y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz
D yz
( x x( y, z )曲面前侧取正, 后侧取负 )
1、先看一个联系公式:
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z ) cos dS
推导 : 条件为
由z z ( x, y )给出， 在xOy面上的投影区域为
Dxy , z ( x, y )在Dxy上具 一阶连续偏导数, R ( x, y, z ) 在 上连续.
有 : R( i ,i , i )( Si ) xy
i 1
R i ,i , zi ( i ,i )( i ) xy
i 1
n
令 0，则 lim R i ,i , z ( i ,i )( i ) xy
0 i 1
n
符合二重积分定义.
一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧、内侧
之分；
2、有向曲面
可通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧； 例如 : z z ( x, y )如果取法向量n 的指向朝上,
则取定曲面的上侧 . 又例如 : 对于闭曲面，如取法向量的指向朝外, 则认定曲面的外侧 .
3、有向曲面的投影区域
设 为有向曲面, 在 上取一小块曲面S , 将S投 影到xOy面上得一投影区域, 此投影区域的面积记为 ( ) xy , 假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余 弦 cos 有相同的符号.
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
公式(1)可以推广到 分成 1 , 2 ,, n 几部分的情形 .
(2) 设 是有向曲面, 表示与 取相反侧 的有向曲面， 则:
2、类似可推另二个联系公式
P( x, y, z )dydz P( x, y, z ) cos dS
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y, z ) cos dS
3、两类曲面积分的联系公式，三式合并有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
第五节
对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分概念与 性质 二、对坐标曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
1、双侧曲面
假定曲面是光滑的，
z=z(x,y)表示的曲面，有上侧、下侧之分，
x=x(y,z)表示的曲面，有前侧、后侧之分，
y=y(z,x)表示的曲面，有右侧、左侧之分，
0 i 1
其中R( x, y, z )叫做被积函数 ， 叫 积分曲面. 做
