高考数学 专家讲坛 第8讲 三角函数的图象与性质(含试题,含点评)

第八讲 三角函数的图象与性质

真题试做►———————————————————

1．(2013·高考天津卷)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为( )

A．－1 B．－22

C.22 D．0

2．(2013·高考大纲全国卷)

若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )

A．5 B．4

C．3 D．2

3．(2013·高考安徽卷)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．

考情分析►———————————————————

三角共有三部分内容，三角函数的图象及性质是其中的一个内容．对这个内容的考查，以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等作为热点内容．预计在2014年高考中，仍然会把三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的伸缩和平移等作为重点，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇，题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．

考点一 三角函数的性质

三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角恒等变换的方法与技巧的同时，又考查了三角函数的性质，难度为中、低档．

(2013·高考湖南卷)已知函数f(x)＝cos x·cos(x－π3)．

(1)求f(2π3)的值；

(2)求使f(x)<14成立的x的取值集合．

【思路点拨】 (1)利用三角恒等变形公式将f(x)变形为只含一个角的一种三角函数形式后求解．(2)根据余弦函数的性质变形为关于自变量x的不等式求解．

(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．

(2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．值得注意的是，若ω<0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再用换元法求单调区间．

强化训练1 已知函数f(x)＝3sin xcos x＋cos2x＋a.

(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[－π6，π3]上的最大值与最小值的和为32，求a的值．

考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，高考考查的内容不外乎以下三类：

(1)由函数解析式作函数的图象；

(2)利用已给三角函数的图象特点，求三角函数解析式；

(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换． (1)(2013·高考四川卷)

函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A．2，－π3 B．2，－π6

C．4，－π6 D．4，π3

(2)(2013·高考山东卷)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )

A.3π4 B.π4

C．0 D．－π4

【思路点拨】 (1)由图象确定周期，利用T＝2πω求ω，再把(5π12，2)代入求φ；(2)利用平移规律求得解析式，再由偶函数求φ.

(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.

(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为14个周期．

(3)在用图象变换解题时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现在题目中，所以必须熟练掌握，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．

强化训练2

(2013·济南市高三模拟考试)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，0<φ<π2)在区间[－π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点( )

A．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变

B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变

D．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

考点三 三角函数图象与性质的综合应用

近几年关于三角函数综合应用的高考题不断求新求异，但考查的知识方法不变，首先是化简所给式子，然后结合三角函数的性质求解相关问题．

已知函数f(x)＝sin2x＋3sin xcos x＋2cos2x(x∈R)

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？

【思路点拨】 (1)利用恒等变换把f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后再求周期与单调区间．(2)进行平移变换时，要注意x前的系数．

本题三处较为关键：(1)三角函数式的化简；(2)单调区间的求解；(3)图象变换；这三点正好也是三角中的重要的基础内容，在这里都得到了重点考查．

提醒：在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，必要时通过诱导公式先将ω的符号化为正的．

三角函数与三类知识的交汇

三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与数列、圆、线性规划、复数、方程等知识的交汇．

一、三角函数与圆的交汇

(2013·高考江西卷)

如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为(

)

【解析】 圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则α＝x，如图所示，cos α2＝1－t，即cos x2＝1－t，则y＝cos x＝2cos2x2－1＝2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象为开口向上，在[0，1]上的一段抛物线．

【答案】

B

本题巧妙地把三角函数与圆的知识相结合，弧长x因圆动而变，变中关系式不变(α＝x，cosα2＝1－t)，见证了数学中的“以静制动”，求解此类问题的关键是，充分利用图形的几何性质，建立三角函数关系式，熟练运用二次函数关系式判断其图象，求解时应注意t的范围．

二、三角函数与数列的交汇

(2012·高考上海卷)设an＝1nsin nπ25，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )

A．25 B．50

C．75 D．100

【解析】 当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值，∴当1≤n≤100时，均有Sn>0，应选D.

【答案】

D

解决此类问题的关键：①能发现sin nπ25具有周期性；②结合1n，发现在一个“周期”内，正项的和大于其负项之和．

三、三角函数与线性规划的交汇

设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

(1)若点P的坐标为12，32，求f(θ)的值；

(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：x＋y≥1，x≤1，y≤1，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．

【解】 (1)由点P的坐标为12，32和三角函数定义得，sin θ＝32，cos θ＝12，

故f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.

(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)，如图所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，于是0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sinθ＋π6，且π6≤θ＋π6≤

2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f(θ)取到最大值2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f(θ)取到最小值1.

本题的亮点是借助线性规划包装三角命题，平淡中见新奇，通过线性规划应用引来“活水”，注入活力，全题皆活，符合新课程改革要求的命题趋势．求解此类问题的关键：熟练运用二元一次不等式组表示平面区域的方法——“选点法”，直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点．准确作出可行域后，就可以借助图形直观地得出答案.