三大数学流派简介

数学与哲学何晓川材料学院材料1005班 201065041摘要：本文首先介绍了数学与哲学的本源关系，然后讲述了数学与哲学在东西方发展进程中的表现，以及数学的三大危机，接下来介绍了数学与哲学研究所面临的六大问题，最后形象化总结数学与哲学的关系。

一：数学与哲学现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。

从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。

任何一门学问，必然是反映着哲学的探索与诉求，数学作为一种同经验无关的人类思维的结晶，更需要哲学的支撑。

哲学是人类认识世界的先导，哲学关心的首先是科学的未知领域，哲学倾听着科学的发现，准备提出新的问题。

哲学，从某种意义上说，是自然学科的望远镜，数学就产生在哲学已探索的未知领域。

数学本身源于自然哲学，虽然在历史的进程中，数学学科逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍带有浓厚的哲学味道。

柏拉图有句名言：“没有数学就没有真正的智慧。

”智慧是被运用于生活中的哲学，是哲学的生活化、实际化。

历史上，许多著名的学者，如英国的罗素、德国的数学家康托尔，正是踏着数学的阶梯步入哲学堂奥的。

二：数学与哲学在东西方的表现哲学与数学在东西方世界的表现有着不同。

西方哲学与数学有着密切的关系。

追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。

西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。

在古希腊罗马时期，哲学尚未与其他的学科明确分开，许多哲学家本身就是自然数学家，哲学与数学是一个学科，无疑他们是联系在一起的。

这个时期的哲学家探讨的主要是自然哲学和本体论的问题，为了搞清客观世界及其原因和规律究竟是什么，人们创造了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思维的萌芽时期。

《数学原来这么有趣》重点五年级
摘要：
1.数学简介
2.数学的发展历程
3.数学在生活中的应用
4.数学中的趣味性
5.总结
正文：
【数学简介】
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，它是人类文明的重要组成部分，与我们的生活息息相关。

数学不仅是一门科学，同时也是一种思维方式，它能够锻炼我们的逻辑思维和分析问题的能力。

【数学的发展历程】
数学的发展历程可以追溯到远古时代，当时人们为了解决生活中的问题，开始研究数学。

随着时间的推移，数学不断发展壮大，出现了许多重要的数学家和数学流派。

例如，古希腊的欧几里得、阿基米德，我国的祖冲之、刘徽等，他们都为数学的发展做出了巨大贡献。

【数学在生活中的应用】
数学在生活中的应用非常广泛，无论是购物、旅行、建筑、金融还是科学研究，都离不开数学。

例如，我们在购物时需要计算价格，旅行时需要计算路线和时间，建筑师在设计建筑物时需要运用几何学和微积分等数学知识，金融
从业者需要运用概率论和统计学等数学知识进行风险评估和决策。

【数学中的趣味性】
数学虽然是一门严谨的学科，但它也有趣味性的一面。

例如，数学中的谜题和悖论，如著名的“鸡兔同笼”、“费马大定理”等，都具有很强的趣味性和挑战性。

这些谜题和悖论不仅激发了人们的好奇心，也推动了数学的发展。

【总结】
《数学原来这么有趣》这本书通过生动有趣的方式，向我们展示了数学的魅力。

让我们了解到，数学不仅是一门科学，也是一种思维方式，它在我们的生活中无处不在。

人工智能的学科派别从人工智能在1956年正式的成为一门学科算起，这门学科已经经过了60多年的发展。

人工智能在发展中逐渐形成了比较多的学术流派，它们分别从不同的学科背景或者运用不同的研究方法对人工智能进行了探索和发展，目前学界较为认可的，影响力较大的主要为三大学科派别，分别是符号主义学派、联结主义学派和行为主义三大学派。

（一）符号主义：基于逻辑推理的智能模拟方法符号主义（Symbolism）学派，又被称为逻辑主义（logicism）、心理学派（Psychlogism）或者计算机学派（Computerism），是基于物理符号系统的假设和有限合理性原理的人工智能学派。

”符号主义学派是一种早期的人工智能研究方法，该学派崇尚“符号”，因此取名符号主义，他们认为因为数理逻辑是人工智能的起点，所以符号才是我们认识整个客观世界的认知单元。

那么这样一来，人认识客观世界的过程其实就是运算符号和符号表达的过程，人通过不断地输入符号并进行处理，再将处理后的符号进行输出，这才是人认识客观世界的科学过程，从此意义上来说，人必然成为一个符号系统或者符号集成处理系统。

莱布尼茨曾经试图发明一种通用科学语言，想把所有的推理过程都演变成数学公式一样的形式来进行计算，这在当时确实是难以实现的。

直到计算机出现以后，因为数理逻辑和计算机科学具有完全相同的形式化方法，所以符号主义学派又开始寻求在计算机技术的帮助，来用某种符号描述人类的认知过程，并试图将这种符号输入计算机来模拟人类的认知过程，从而达到实现人工智能的目的。

其有代表性的成果为启发式程序，逻辑理论家，西蒙（Herbert A.Simon）、约翰·肖（John Cliff Shaw）和艾纽厄尔（Allen Newell）等几位科学家共同开发了该程序，证明了《数学原理》，其是由英国哲学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）和其老师怀特海（Alfred North Whitehead）合著的一本于1910-1913年出版的关于哲学、数学和数理逻辑的三大卷巨著，该书对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大影响。

传播学三大派别陈力丹摘要：任何学科的发展都以存在若干学派为标志，有争论也有发展。

传播学的学派发展至今至少二十多个学派，但说法很不相同。

若从宏观角度讲，“三大学派”的说法大体得到学界的认可。

本文即从这个角度分析传播学的三大学派的形成、主要观点倾向和代表人物及他们的代表作。

作者认为，在传播科技发展的当今，传播学需要跟随社会实践的发展，说明当代社会传播的特征，传播学的三个学派的任何一个，都难以充分阐释如此丰富和复杂的传播现象。

因此，传播学不同学派的交融成为一种自然的趋势。

关键词：经验－功能学派技术－控制论学派结构主义符号－权力学派传播现象贯穿人类的整个历史与现实，各个学科的学者都可能在自己学科基础上研究传播现象，并产生各自的研究成果，因此关于传播学学派的划分只是一种就其起源、主流特征的学术划分，很难泾渭分明。

此前我国学者曾把传播学划分为两大学派：经验主义学派和欧洲批判学派。

基于传播科技的迅速发展和对社会结构的显著影响，现在通常把传播学划分为三个学派：经验－功能学派、技术控制论学派、结构主义符号－权力学派。

一、传播学经验－功能学派这个学派常被简称为“经验学派”，又称“经验主义学派”、“行政学派”、“管理学派”等。

它与主要以思辨为特征的研究流派相对应，代表了美国主流的传播学研究，重点在于媒介分析、受众研究和传播效果研究等层面，它起源于美国，在北美传播学领域占据主导地位，在欧洲一些国家和发展中国家，也由于美国的学术影响而拥有很大的影响力。

[1]（一）传播学经验－功能学派的奠基者经验－功能学派的主要奠基者有两位：美国政治学家拉斯韦尔（Harold Lasswell，1902－1978）（图1）和美籍奥地利社会学家拉扎斯菲尔德（Paul Lazarsfeld，1900－1976）（图2）。

一战期间协约国对同盟国宣传的有效性引起了官方和社会对宣传问题的关注，拉斯韦尔以此为课题完成了他的博士论文《世界大战中的宣传技巧》（1927）。

第35卷第1期2006年3月内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)Journal o f Inner M ongo lia N o rmal U niversity (Natura l Science Editio n )V ol .35N o .1M ar .2006收稿日期:2005-08-17基金项目:中国科学院吴文俊天文与数学丝路项目(WS F2003-06);天津市教委科研基金资助项目(20011204)作者简介:张建伟(1979-),女,天津市人,天津师范大学硕士研究生,主要从事科学技术史研究.关孝和与关流学派张建伟(天津师范大学数学科学学院,天津300384)摘　要:关孝和是日本江户时代杰出的数学家,是和算的主要奠基人,也是关流(数学学派)的创始人,他对和算发展做出了重要的贡献.介绍并评价了关孝和的生平、业绩及其创立的关流学派.关键词:关孝和;和算;关流学派中图分类号:O 11 文献标识码:A 文章编号:1001--8735(2006)01--0123--041　关孝和的生平关孝和(Seki Takakazu ,1642?-1708)是江户时期(1603-1867)伟大的数学家,日本传统数学———和算的奠基人,也是关流(即关氏及其弟子所建立的数学学派)的创始人,在日本被尊称为“算圣”.关孝和,通称关新助,字子豹,号自由亭,生年不详(1642?),宝永五年(1708)十月二十四日殁,葬于东京都新宿区弁天町净轮寺.关孝和出生于群马县藤岡一武士家庭,本姓内山,是内山永明的第2子,后过继给关五郎左卫门家作养子,继承关家的家业.其父内山永明与养父关五郎左卫门作为藤岡藩大名武田家的遗臣,均受聘于同藩领主芦田家,芦田家没落后,又辗转受聘于幕府德川家.关孝和作为世袭武士跟随甲府(今山梨县)宰相德川纲重及纲重之子纲丰,担任堪定吟味役[江户幕府的职务名称,受老中(幕府的职务名称)支配,检查勘定所中的一切事物,将奉行(幕府的职务名)以下的各官吏的违法行为报告给老中,也对勘定所议定的幕府预算进行审计],负责监督财政官的行为.宝永元年(1703),纲丰成为五代将军德川纲吉的世子,迁入西之丸(即西の丸,江户城西部之一郭,是将军世子的居所以及将军的隐居所,也就是现在东京市内皇居的所在地),关孝和随行并由此成为幕府直属武士,担任御纳户组头,这是德川幕府的一个下级武士职务,管理幕府的生活物品,俸禄为御藏米250俵(1俵等于4斗),再加10人扶持(扶持为口粮单位),后增加到300俵(相当于120石).宝永三年关孝和晋升为小普请,负责管理工程和技工,进入“非役人”的行列[1].2　关孝和的业绩关孝和可以说是日本数学发展史上划时代的数学家,和算自他以后,进入了日新月异、独自发展的阶段,并成为17世纪以来汉字文化圈内最为发达的传统数学.因此,在江户时代就有和算家尊称关孝和为“算圣”.关孝和生前仅有一部《发微算法》(1674)出版,另有《括要算法》(1709)是由他的门徒荒木村英、大高由昌等人在其逝世后将其数学遗稿整理出版的.他的著作主要在关流内部以抄本形式秘传.除这两部著作外,还有早期的数学著作《规矩要明算法》、《阙疑抄答术》和《勿惮改答术》,代表其代数学最高成就的数学著作《解见题之法》(1683左右)、《解隐题之法》(1685)、《解伏题之法》(1683)(后世称之为三部抄),以及《开方翻变之法》(1685)、《题术辨议之法》(1685)、《病题明致之法》(1685)、《方阵之法·圆攒之法》(1683)、《算脱之法·验符之法》(1683)(后世称之为七部书),另有《求积》、《球阙变形草》和《开方算式》.关孝和在和算学术老成之后,将研究兴趣转向天文历学,著有《八法略诀》(1680)、《授时发明》(1680)、《授时历经立成之法》(1680)、《授时历经立成》、《关订书》(1686)、《四余算法》(1697)、《宿曜算法》、《天文数学杂著》(1699)等书[2]. 内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)第35卷　关孝和最突出的数学成就是创立了所谓“傍书法”的文字代数方法,它是在继承中算“天元术”的基础上发展起来的.宋元时期的“天元术”是一种半符号代数,用简单的一个文字“元”来表示未知数,用筹式布列方程或多项式.而傍书法则使用更多的汉字或汉字偏旁部首作为简字代数符号,用以表示代数方程或代数式,是一种具有东方特色的符号代数.这种笔算式代数的使用与盛行堪称和算一大特色,和算之所以在江户时期能够取得许多优秀的成果,与它使用了这种较为先进的代数符号系统是分不开的.在代数学方面,关孝和除独创了傍书法代数方法之外,还给出了高次代数方程的数值解法(现今被称之为秦九韶程序或霍纳(H o rner )法),讨论了方程根的判别式、正负根的存在条件及方程根的变换问题,并使用牛顿迭代法求解方程实数根.在讨论方程根与系数的关系时,关孝和创立了名为“适尽诸级法”的学说,成为极值理论的萌芽,为后来和算极值方法的形成奠定了基础.关孝和在代数学上另一引人注目的成就是在世界数学史上首次引入了行列式.他在《解伏题之法》中,为解多元高次方程组(关氏名之为解伏题),引入了行列式,以方程系数行列式的终结式作为消元的结果.他的这一做法比欧洲莱布尼兹的工作早20余年.这一工作开创了和算行列式展开法研究的新领域,其后,和算家在行列式展开法方面取得了大量成果,在时间上均比欧洲相应的成果早[3].在级数方面,关孝和推广了《授时历》的等间距三次内插法,使招差术一般化,创立了“累裁招差法”与“混沌招差法”两种插值公式,后者就是今天所谓的“牛顿插值公式”.在高阶等差数列求和方面,发展了中国宋元时期的垛积术,给出了求“乘方垛”和的一般性公式(1p +2p +3p +…+n p),并且在推导乘方垛公式中获得了伯努利数.在不定分析方面,为探讨祖冲之约率22/7和密率355/113的由来,关孝和发明了“零约术”,即以和内插方式进行实数的有理逼近[4].为解一次不定方程和同余式组,他发明了与秦九韶“大衍求一术”等价的“剩一术”,并发展了杨辉的“剪管术”,获得了一次同余式组的一般性解法,这一解法与秦九韶的“大衍总数术”相似.圆理是和算的最高成就,是和算家在中国传统数学上发展起来的一种类似于微积分的无穷小算法,主要用来解决曲线长和曲面体体积的计算问题.关孝和为这一方法的形成奠定了基础.他从圆内接正四边形开始,利用割圆术逐次计算内接正2m 边形的边长a m 和周长l m =2m a m ,由l 2,l 3,…,l 17计算差值Δk =l k -l k -1,发现这些差的比值Δk /Δk -1逼近常数1/4,利用“增约术”的等比级数求和公式,求得π的近似值 π≈l 16+(l 17-l 16)(l 16-l 15)(l 16-l 15)-(l 17-l 16)=3.14159265359,使圆周率精确到小数点后第10位.他还指导其弟子建部贤弘(Takebe Katahiro ,1664-1739)创立了“累遍增约术”(Rom beg 算法)的数值逼近方法,从而获得精确到小数点后第40位的圆周率数值[5].关氏创造性地用插值方法求解弧长,把弧长幂表示成矢的七次代数多项式,指导建部贤弘研究弧长的无穷级数展开式,使和算圆理走上微积分的道路.此外,关孝和在椭圆和螺线计算方面也有诸多创造性的工作.在证明球体积公式时,他将球有限分割成50片、100片、200片,并进行叠加,再利用增约术,获得球体积公式.尽管关孝和给出的是切成50片、100片、200片的特殊情况,做的是有限次分割,但这一方法已经很接近积分学方法,蕴涵了微元思想,其孙弟子松永良弼将其发展至无穷分割,并建立了立体求积的积分方法.和算圆理经过一代代的发展,到安岛直圆与和田宁时,形成了多重积分方法.在几何学方面,关孝和证明了勾股定理,获得了椭圆面积公式,研究了如何求阿基米德螺线长的问题,提出了与帕普斯·古尔亭定理相当的求积公式,认识到了作为圆锥截口的圆锥曲线,还开创了关于正多边形计算的新领域———“角术”,即研究正三角形至正二十边形的各正多边形中,内切圆半径、外接圆半径以及边长之间的代数关系.这一课题是中国传统数学中从未出现过的.在组合分析方面,关孝和探讨了各种幻方(即方阵)和圆攒(即圆阵)的构造规律,并对江户初期的数学游戏“继子立”(后称之为算脱)和“目付字”问题予以数学化,进行了一般性理论分析.3　关流的形成日本在安土、桃山时期(1573-1603),随着国家统一以及社会、经济与文化的向前发展,形成了以佛教影·124·　第1期张建伟:关孝和与关流学派 响减弱、突出世俗性与现实性为特征的安土·桃山文化.德川幕府建立后,社会安定,商品经济不断发展,逐渐形成了以京都、大阪和江户为中心的三大经济圈.随着商品经济的发展,町人(商工业者)阶级成长起来,形成了所谓的町人文化,取代了长期以来的贵族、武士文化,尤以元禄(1688-1703)年间最为鼎盛,故元禄文化常被誉为“日本的文艺复兴”.日本传统科学在这一时期也得到了史无前例的迅速发展[6].关孝和所处的时代正是江户町人文化的兴盛期,当时出现了诸如歌仙绘、浮士绘、和歌、剑道、武道和花道等民间艺术,和算也是民间艺能的一种.随着研习这些艺能的低级武士和一般民众的增多,在等级社会的家元①制度下,逐渐形成了各种学艺流派[7].关孝和的弟子颇多,著名且获得秘传的仅有建部贤弘与荒木村英两人.关氏去世后,书稿为其养子关新七以及荒木村英和建部贤弘所继承.新七因品行恶劣,犯事被流放而成为浪人,与关家断绝关系,未能继承父业.建部贤弘的数学能力虽然远在荒木村英之上,但由于任职于幕府,深受将军德川吉宗重用,无暇顾及授徒及门派内的事务,所以荒木村英成为第一代关流宗统传人.荒木村英的弟子松永良弼是关流的第二代宗统传人,经过后来的弟子山路主住、户板保佑等人的组织化工作,关流学派逐渐稳固下来.关流是江户时代最大的和算流派,和算的重要创造大都出自关流,它对江户时期的数学发展发挥了重要作用.和算作为特殊艺能,也形成了类似学历认证和资格认证的免许制度.免许制度不仅对学算者入门后学习数学的阶段做了明确区分,而且成为从形式上判别算学学艺境界的准则.关流数学免许制度由关孝和时代的两段免许制度———算学许符和算学印可,演变为享保初的三段免许———见题、隐题、伏题,松永良弼在此基础上又增添了两个阶段,即别传免许和印可免许,至此关流五段免许制度全部形成[8],尤以山路主住时代的五段免许制度最为完善.从关流六传藤田贞资授予弟子的免许状目录中[9],可概观关流的数学内容.第一见题卷首河图;洛书;三成;大极;四象;大数;小数;诸率.算法草术;加减乘除之法;开除法;九章;平垛解术;圆法玉率及弧矢弦玉欠论;诸法根源;诸法慎始;统术;点窜;筹策;一算盈朒;之分法;统术解;同秘传;同目录之解;单伏点窜;再乘和门;总括;见题蕴奥.第二隐题免许太极;全积门;差分门;因积门;勾股门;互换门;形容门;截积门;收约门;杂式门;诸角门;分合;形写兑换盈缩;勾股变化之法;隐题温奥.第三伏题免许无极;单伏演段;众伏演段;单伏起术;维乘;两式演段;方程演段;交离;商一演段;因府;消长又曰加减反复;起率演段;两义式;潜伏式;造化式;诸角经术;解伏题蕴奥;交式斜乘之解.别传目录经纬式;探差;方步式;直差;脱差;诸约;两一术;剪管演段;剪管;类约经术;垛术;对换式;演段杂式;索术;探术;括术;步术;缀术;廉术;径术;算法变形草;桃李.蹊经;燕尾猿臂两术;无有奇;得商;增约求积;太阴率.算法印可状招差总术;垛叠总术;诸约总术;剪管总术;角法一级演段;平圆率之解;立圆率之解;弧矢弦;方阵;算脱验符法;病题明致;开方翻变;题术辨议;球缺变形草;求积;太阳率.和算每一段免许状都是以序文、传书目录、神文(即血誓)和关流历代宗统传人联名的方式构成.关流算学免许制度是江户数学诸流派中最典型、最完备的.4　结语日本文化是汉字文化的一部分,中国传统数学一直源源不断地传入日本,成为和算发展的基础.关孝和·125·①家元是指那些在传统技艺领域里负责传承正统技艺,管理一个流派事务,发放有关该流派技艺许可证,处于本家地位的家族或家庭. 内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)第35卷　的数学创造与中国传统数学特别是宋元数学有着很深的渊源关系,除《算学启蒙》、《杨辉算法》和《授时历》的直接影响外,也不排除有其他宋代算书的影响.元文年间(1736-1740)的《武林隐见录》[10]称:“关孝和获悉奈良某寺院藏书中有一些内容不明的古书,便以为一定是算书,于是抽暇去奈良,阅读抄写,回江户学习三年,此后学力大增”.会田安明(1747-1817)在《丰岛算经评林》中也说“《龄固斋谈丛》云:关孝和于算学亦巧,然其意甚不仁,为扬己名烧弃古书.由此可见,可能烧弃明人之书而窃其术,盗为己创”[11].《龄固斋谈丛》成书距关孝和去世(1708)时隔30余年,所言是否属实,难以断定.但从以上材料可以看出,关孝和阅读了大量的中国算书.十四五世纪以来,中国传统数学逐渐衰落,宋元时期的学术性数学逐渐失传.16世纪中叶后,由西方传教士传入的西方文化开始影响东亚文化.在明末清初时期,中国的传统数学受到西方数学的猛烈冲击,未能得到很好的发展.17世纪30年代,日本随着禁止基督教传播的禁教政策的扩大化而逐渐转入锁国状态,锁国期间,传播西方学术的南蛮学被终止,东方传统学术(汉学)在江户时期逐渐盛行起来,汉字文化圈的传统科学在这一时期获得较好的发展,而和算家也把宋元数学发展到一个新的高度,其成就足以与十六七世纪欧洲的近代数学相媲美.其中关孝和及其弟子们做的大量的基础性工作具有重要意义.致谢　本文撰写得到徐泽林教授的悉心指导,特此致谢!参考文献:[1]　日本学士院.明治前日本数学史:第二卷[M ].新订版.日本:岩波书店,1979.[2]　平山谛,下平和夫,広濑秀雄.关孝和全集[M ].大阪:大阪教育图书会社,1975.[3]　李文林.数学珍宝[M ].北京:科学出版社,1998.[4]　徐泽林.和算の諸約術とDio phantus 近似及びその中算の源流[J ].数学史研究,2004,通卷180号:1.[5]　徐泽林.建部贤弘的累遍增约术与Ro mber g 算法[J ].自然科学史研究,1998,17(3):240-249.[6]　徐泽林.和算的中算基础及其与清代数学的比较[D ].西安:西北大学数学系,1998.[7]　乌云其其格.和算的发生[D ].北京:中国科学院自然科学史研究所,2000.[8]　远藤利贞.增修日本数学史:第二卷[M ].东京:恒星社厚生阁,1960:259-260.[9]　三上义夫.关流数学的免许阶段的制定与变迁(上)[J ].史学,昭和六年九月,10卷(3号):14-24.[10]　齐东野人.武林隐见录[M ].狩野文体藏抄本,1738(元文三年).[11]　平山谛.关孝和[M ].东京:恒星社,1974:9.Seki T akakazu and the mathem atic school of GuanZHANG Jian -wei(College o f Mathematics ,T ianj in N ormal Univ ersit y ,T ian jin 300384,China )A bstract :Seki Takakazu (1642?-1708)w as a famous m athem atician in Japanese Edo period .As the fo under of Wasan ,the traditional Japanese m athematics ,he m ade great co ntribution to its developm ent .H e w as also the founder of the mathema tic schoo l o f Guan .Seki Takakazu 's life ,contributio n and the math -ematic scho ol o f Guan he created is intro duced and commented in this paper .Key words :Seki Takakazu ;Wasan ;the mathematic schoo l of Guan【责任编辑金淑兰】·126·。

mathematics词根【原创版】目录1.数学简介2.mathematics 词根的含义3.mathematics 的发展历程4.mathematics 的应用领域5.mathematics 的重要性正文1.数学简介数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学。

它是一种严密的符号化语言，以严谨的逻辑推理为基础，可以应用于各种实际问题中，如物理、化学、生物学、经济学等。

2.mathematics 词根的含义"mathematics"这个词来源于古希腊语，其词根"mathema"意为“学习”或“研究”，而"tikos"则表示“秩序”或“规律”。

这两个词组合在一起，代表了数学的本质：对秩序和规律的学习和研究。

3.mathematics 的发展历程数学的发展可以追溯到古代文明，如古埃及、巴比伦、古希腊等。

这些文明都对数学做出了重要的贡献。

随着时间的推移，数学不断发展壮大，出现了许多重要的数学家和数学流派，如欧几里得的《几何原本》、阿基米德的浮力原理、牛顿和莱布尼茨的微积分等。

4.mathematics 的应用领域数学的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学领域。

例如，在物理学中，数学可以用来描述物体的运动和力学现象；在经济学中，数学可以用来建立模型，预测市场行为等。

此外，数学还在工程、计算机科学、生物学等领域发挥着重要的作用。

5.mathematics 的重要性数学的重要性不言而喻。

它不仅是科学研究的基础，也是人类文明进步的重要推动力。

许多现代科技，如计算机、互联网、智能手机等，都离不开数学的支持。

同时，数学也是一种普适的语言，它可以帮助人们更好地理解世界，提高逻辑思维能力。

名师高徒之数学世界史上最牛逼的师徒关系网摘要：无论古今中外，师徒传承是人类文明传承最主要传递方式。

近几百发展起来的科学体系世界，就是建立在一代代师徒关系的传承基础之上的。

今天我们来看数学世界的师徒关系网。

美国数学学会维护了一个网站叫做Mathmatics Genealogy ，The Mathematics Genealogy Project (数学家系谱), 基本涵盖了大部分数学为基础的西方近代科学师承关系，这其中当然也包括物理学、计算机科学、统计学、信息学等其他数学衍生领域。

数百年来，以欧洲大学为学术中心并向全世界辐射，形成了近现代科学传承的“道统”。

从数学家系谱中，我们可以感受到科学是如何随时间而逐渐演进的。

网站首页这张图片就足以例证其中一支伟大科学家的谱系了：数学家系谱从大树的左枝开始说起吧，最上面就是神童高斯，19岁就拿到了博士，成就就不多说了。

他的学生之一古德曼这一支出了魏尔斯特拉斯(1854年哥尼斯堡大学博士,现代数学分析之父）。

魏尔斯特拉斯以其重视培养学生出名，他的学生包括：魏尔斯特拉斯的徒弟1. 富克斯(1858年柏林大学博士)2. 柯尼希贝格(1860年柏林大布伦斯（1871年柏林大学博士，测量学奠基人）3. 施瓦茨（1864年柏林大学博士）4. 布伦斯（1871 年柏林大学博士，测量学奠基人）5. 基灵 (1872年柏林大学博士），6. 柯瓦列夫斯卡娅（1874年柏林大学博士，历史上第一个女数学博士，第一个女科学院院士）7. 龙格（1880年柏林大学博士，数值分析学家），8. 肖特基（1875年柏林大学博士，真空管发明人华特肖特基的父亲），9. 布加耶夫（俄罗斯，1866年莫斯科国立大学博士，1891-1903年俄罗斯数学学会主席）。

魏尔斯特拉斯的徒孙中著名的就更多了。

魏尔斯特拉斯的徒孙1. 富克斯(1858年柏林大学博士) 的徒弟：策梅洛（1894年柏林大学博士），朗道（1899年柏林大学博士）等。

浅析罗素悖论对数学发展的影响标题浅析罗素悖论对数学发展的影响作者冉秋波关键词罗素悖论产生背景逻辑分析认识论的意义方法论的意义指导老师杨红专业数学与应用数学正文1引言数学的发展史同人类社会发展史一样总是充满着矛盾．当矛盾激化到涉及到危及数学的基础时就会产生数学危机．伴随着矛盾的解决也就引发了数学的变革．推动着数学的发展数学也就会增添新的内容和活力．历史上数学曾有三次大的危机．而悖论在数学发展史中占据着非常重要的位置．悖论按弗兰克尔A．A．Fraenkel与巴希勒尔y．Bar-Hillel的说法如果某一理论的公理和推论原则上看上去是合理的但在这个理论中却推出了两个相互矛盾的命题或者证明了这样一个复合命题他表现为两个互相矛盾的命题的等价式那么我们就说这个理论包含了一个悖论．关于悖论的起源．可以追溯到古希腊和我国的先秦哲学时代而悖论对数学的影响却是上世纪的时．特别是上世纪初出现的集合论中著名的罗素悖论．强烈的震撼了数学大厦由此展开了一场长达三十年的数学基础的大论战从推动了数学基础研究数学哲学研究的发展．本文首先介绍罗素悖论的产生背景及其逻辑分析进而简单的介绍了由其导致的三大数学哲学流派关于数学基础的论点著名的歌德尔定理最后试图阐明罗素悖论的认识论和方法论的意义．2简介罗素悖论产生背景及其逻辑分析21罗素悖论的产生和数学第三次危机．十九世纪末到二十世纪初数学发展进入了一个激烈的变革时期．历史上人们多次统一数学的企图均未成功．十九世纪七十年代德国数学家康托尔G．Cantor1845-1918创立无穷集合论为统一数学的尝试提供了新的基础．在十九世纪行将结束之际．数学分析基础注入严密性和精确化因集合论的应用而得以成功柯西建立了严格的极限理论魏尔斯特拉斯引进了语言戴德金康托尔等又将实数理论严密化．分析有了可靠的基础和完整的体系．整个数学界呈现空前繁荣的景象．因而1900年在巴黎召开的国际数学家大会上法国大数学庞卡莱H．Poincare1854-1921宣称今天我们可以宣称完全的严格性已经达到了1902年也就是巴黎大会才两年后罗素悖论出现了它极大的震动了整个数学界逻辑界和西方哲学界只需把罗素悖论的陈述改用逻辑术语替代集合论术语并以逻辑中定义的性质来代替集合论中定义的集合性质．则罗素悖论就可以在最基本的逻辑概念的形式中得出．由此表明罗素悖论不仅触及到数学基础理论而且也触及到逻辑推理的论证他涉及到一向被认为极为严谨的二门学科-数学和逻辑．因而罗素悖论引起西方著名的数学家逻辑学家和哲学家极大的震惊．罗素悖论的发现宣告了数学基础出现了第三次危机围绕这场危机展开的关于数学基础的激烈争论使数学基础的研究中产生了第三大主要学派逻辑主义自觉主义和形式主义．这一点将在后面做详细介绍．22罗素悖论及其逻辑分析我们将罗素悖论表述如下设是这样一个集合它是由所有那些不属于自身的集合所组成．即A∣A A由于自身也是一个集合故可以考虑是否属于自身的问题由排中律必然有∈或但如果∈则由的定义可得知不属于自身即有此自相矛盾．而如果由于不属于自身那么由的定义又可知属于即有∈这由自相矛盾．由此可知矛盾不可避免．这就是著名的罗素悖论．罗素悖论是作为被包含在古典集合论里的一个悖论不仅很快发他可划归为最基本的逻辑概念形式而且进一步发现能用日常语言来表达它的基本原则．罗素本人就在1919年将其改为著名的理发师悖论．将A岛上所有有刮胡子习惯的人分为两类一类自己为自己刮胡子一类则自己不为自己刮胡子．该岛上有一个刮胡子习惯的理发师给自己约定给而且只给岛上那些自己不为自己刮胡子的人刮胡子．人们现在问这个理发师属于那一类如果他属于自己为自己刮胡子的人那一类则按他自己的约定他不有关给自己刮胡子因此他是个自己不为自己刮胡子的人．又如他属于自己不给自己刮胡子的人一类那按他本人的约定他又必须为自己刮胡子．那他又是自己为自己刮胡子的人．两种说法均导出矛盾．此即为所谓理发师悖论．3罗素悖论的意义1902年罗素悖论的提出引发了数学发展史上最为深刻的数学基础的哲学论战．这场涉及数学根本问题并持续三十年之久的论战虽然由于歌德尔不完备性定理的发现而冷淡下来然而这一历史过程却留给人们很重要的深刻的启发．所以将从认识论方法论的角度对罗素悖论的产生的深远意义作一阐述．31从认识的角度看com使人们认识到产生悖论的根本原因是人的认识与客观实际及认识世界发方法与客观规律的矛盾这种直接和间接的矛盾集中在某一点上的表现就是悖论．数学已经广泛的影响着人类的生活和思想是形成现代文化的主要力量数学的发展史同人类社会发展史一样总是充满着危机的当矛盾激化到危及到数学基础时就会产生数学危机罗素悖论以及解决罗素悖论的歌德尔的不完备性定理所揭示的矛盾在于自己不能包含自己．com时间和空间是无限的这就决定了人的认识也是无限的．但是由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性．故在人类认识的各个历史阶段的形成的各个理论体系中均有产生悖论的可能性．在解决罗素悖论的过程中数学哲学形成三大流派鼎立的局面即逻辑主义直觉主义证明主义．三者的共性是认为解决悖论需要某种化归主义的努力来为数学找到可靠的支柱以奠定永恒的牢固的基础．．．．．虽然三派各执一端都以最终的避免悖论为目标．．．．．但是是由于没有进一步探讨三者共同的源泉即整个数学大厦的基础究竟建立在什么样的背景之下歌德尔的不完备定理的出现才结束了这一场长达约三十年的辩论歌德尔的不完备定理指出形式数论系统不完全性的证明不可能在形式系统中实现即．形式算术系统是不完备的他的一致性也不可以用有限方法加以证明．．．．．．不仅是数学的全部甚至是任何一个有意义的分之也不能用一个公理系统概括起来因为任何这样的公理系统都是不完备的．歌德尔的定理指出任何一个数学分支都做不到完全的公理推演而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾．歌德尔的两条定理迫使人们对宇宙和数学地位的认识作出了根本性的改变．数学不在是精确论证的顶峰不再是真理的化身数学有他自己的局限性．因此在绝对意义下去寻求产生悖论的终极原因及创造解决悖论的终极方法都是在理论上都是不符合原则的．不仅对于逻辑数学是这样对于以数学作为重要研究工具的自然科学也是这样．同样的随着人类认识客观世界的深化也具备排除悖论的可能性和现实性．由于人类认识世界的深化过程是没有终结的悖论的产生与排除也是没有终结的．从而也使人们认识到任何事物都只存在着相对性．而不存在绝对的真理．32方法论的意义com对罗素悖论的研究推动了数学哲学的深入和发展这促使人们开始更深层的对数学的本体论认识论方法论及数学真理性及其他数学哲学问题的思考．罗素悖论的出现迫使数学家对集合论的严格化．数学中的概念的构成方式以及数学的论证方法重新进行逻辑上哲学上的思考．于是在本世纪之初便产生了一个新的数学领域数学基础形成了对数学基础研究的三大哲学流派最早出现的罗素和怀特海A．N．Whitehead 1861-1913为代表的的逻辑主义继之而起的是以布劳威尔为代表的直觉主义最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义．他们各自从自己的哲学观点出发解读悖论引起的数学危机从概念的准确性提法的严密性以及推理的合理性等方面加以审查同时对数学的本质数学对象的存在性．数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题----对数学是什么这样一个问题进行哲学的思索尽管由于被错误的哲学思考所支配追求所谓完全的严格的数学基础而宣告失败然而现代数学发展史已表明三大流派关于数学基础的辩论对二十世纪数学的发展有着不同程度的推进作用．罗素等人提出的一些逻辑方法为形成新的数学分支数理逻辑奠定了基础．comehead合作试图用逻辑将全部数学推出来经过十年奋战写成了三大卷的《数学原理》principia mathematica 1910-1913这部著作对数理逻辑的发展有着深远的影响．他们所定型的逻辑及其理论至今仍是数理逻辑的主要课题．而符号逻辑的公理化揭示了数学与逻辑之间的关系对当今计算机的研制和人工智能的研究具有巨大的现实意义．布劳威尔强调数学直觉坚持数学对象必须可以构造被视为直觉主义的创始人和代表人物．他com罗素与J-H庞加莱关于数学的逻辑基础的论战极为关注这反映在他的博士论文《论数学基础》1907之中．这时他常反对罗素和D．希尔伯特的观点但又不同意庞加莱关于数学存在性的看法．1912年他被任命为阿姆斯特丹大学教授同年被选为荷兰皇家科学院院士．从此他完全转向数学基础的研究．他强调数学直觉反对GFP康托尔关于实无穷的讨论坚持数学对象必须可以构造并否定排中律的绝对正确性建立构造主义的数学体系包括可构造连续统集合论的构造基础构造的测度论构造的函数论等．直觉主义为推进构造数学的发展作出了重要贡献今天构造数学已成为数学学科的一个重要方向并与计算机科学有着密切联系．1904年希尔伯特着手研究数学基础问题经过多年酝酿于二十年代初提出了如何论证数论集合论或数学分析一致性的方案．他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统并从不假定实无穷的有穷观点出发建立相应的逻辑系统．然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质从而创立了元数学和证明论．希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明以便克服悖论所引起的危机一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑．然而1930年年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔KGdel1906～1978获得了否定的结果证明了希尔伯特方案是不可能实现的．但正如哥德尔所说希尔伯特有关数学基础的方案仍不失其重要性并继续引起人们的高度兴趣．形式主义的方法论对数学的发展影响是很大的希尔伯特的形式主义计划虽然没有可能全部实现但他创立的元数学已经成为一个重要的数学分支．希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》三卷其中包括他的著名的《数论报告》《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等与其他合著有《数学物理方法》《理论逻辑基础》《直观几何学》《数学基础》．com悖论的研究推动了数学的发展．为了克服悖论人们试图把集合论公理化用公理对集合加以限制．第一个常用的公理com策com等提出的ZF系统．这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈非逻辑公理有外延公理空集公理无序对公理并集公理幂集公理无穷公理分离公理模式替换公理模式正则公理．如果加上选择公理就构成ZFC系统．数理逻辑此外证明论和模型论的形成和发展的切近原因近代数学中的类型论多值逻辑公理化集合论的几个重要系统都直接来自悖论的研究被二十世纪数学巨匠．冯．诺伊曼J．Won．Neumonn1903--1957誉为在现代逻辑中的成就是非凡的不朽的他的不朽甚至超过了纪念碑它是一个里程碑在可以望见的未来中永存的纪念碑的歌德尔不完备性定理其直观背景和证明思想也直接来自悖论的分析．1931年奥地利数学家歌德尔K．Godel1906--1978在《数学物理学刊》上发表了一篇题为论《数学原理》和有关系统中的形式不可判命题的论文歌德尔定理具有深刻的数学和哲学意义歌德尔的论文指出了公理化过程的局限性这是人们所始料未及的．他的论文主要影响有四个方面首先它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念再者它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望．以及它使得人们不得不必须重。

三大数学危机数学危机是数学公理在定义上的不完全或不够严谨，导致在理性推论下，将会得到错误的结论。

例如：在无理数还没被发现之前，在毕氏定理中出现腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟是无法写成有理数的数。

这是第一次数学危机。

第二次数学危机得解决微积分引入无穷小量而产生的极值问题（飞矢不动的悖论）。

第三次数学危机则是因罗素悖论而起，罗素悖论点出了数学集合论中的缺失。

飞矢不动悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论中的一个。

人们通常把这些悖论称为芝诺悖论。

芝诺提出，由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别。

中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”“那还用说，当然是动的。

”“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。

可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”“有的，老师。

”“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。

”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”“不动的，老师”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”“也是不动的，老师”“所以，射出去的箭是不动的？”罗素悖论（Russell's paradox），也称为理发师悖论，是罗素于1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。

罗素悖论当时的提出，造成了第三次数学危机。

理发师悖论”悖论内容一位理发师说：“我只给不给自己刮脸的人刮脸。

”那么他是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸。

于是矛盾出现了。

罗素悖论我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。

但这样的企图将导致悖论：罗素悖论：设性质P(x)表示“”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“”。

数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。

其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。

这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。

一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。

自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。

然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。

这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。

无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。

为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。

无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。

二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。

在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。

然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。

例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。

为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。

19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。

极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。

三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。

19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。

然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。

课程名称：数学教学理论课时：2课时教学目标：1. 理解数学教学理论的基本概念和内涵；2. 掌握数学教学理论的主要流派及其代表人物；3. 分析数学教学理论在实际教学中的应用；4. 培养学生运用数学教学理论解决教学问题的能力。

教学重点：1. 数学教学理论的基本概念和内涵；2. 数学教学理论的主要流派及其代表人物；3. 数学教学理论在实际教学中的应用。

教学难点：1. 数学教学理论在实际教学中的应用；2. 学生运用数学教学理论解决教学问题的能力。

教学准备：1. 教学课件；2. 相关教学案例；3. 教学讨论问题。

教学过程：第一课时一、导入1. 提问：同学们，你们知道什么是数学教学理论吗？请简要介绍一下。

2. 教师简要介绍数学教学理论的概念和重要性。

二、讲授新课1. 数学教学理论的基本概念和内涵- 讲解数学教学理论的定义、研究内容和发展历程；- 分析数学教学理论对提高教学质量和学生素质的意义。

2. 数学教学理论的主要流派及其代表人物- 介绍建构主义教学理论、行为主义教学理论、认知主义教学理论等；- 分析各流派的特点、优缺点及其代表人物。

三、案例分析1. 教师展示一个数学教学案例，让学生分析该案例所体现的数学教学理论；2. 学生分组讨论，总结案例中的教学理论和教学方法。

四、课堂小结1. 教师总结本节课的主要内容；2. 提出课后思考题，引导学生进一步思考。

第二课时一、复习导入1. 回顾上节课的主要内容，提问：同学们，上节课我们学习了哪些数学教学理论？2. 教师简要回顾数学教学理论的基本概念和流派。

二、讲授新课1. 数学教学理论在实际教学中的应用- 分析数学教学理论在实际教学中的具体应用方法；- 讲解如何运用数学教学理论提高教学效果。

2. 学生运用数学教学理论解决教学问题- 教师提供教学问题，让学生运用所学的数学教学理论进行分析和解决；- 学生分组讨论，提出解决方案。

三、课堂讨论1. 教师提出教学讨论问题，引导学生思考；2. 学生分组讨论，分享自己的观点和见解。