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直觉主义逻辑的基本概念与原理直觉主义逻辑是数理逻辑中重要的一个分支，最早由波兰哲学家扬·莱森巴哈（Jan Łukasiewicz）提出，并在后来得到了进一步发展。
直觉主义逻辑强调对个体认知和直觉的尊重，相较于其他传统逻辑系统，强调使用更为严谨的推理规则。
本文将介绍直觉主义逻辑的基本概念与原理。
一、直觉主义逻辑的起源直觉主义逻辑的起源可以追溯到20世纪早期，当时正是哲学界对经典逻辑系统的质疑时期。
波兰逻辑学家瓦列里安·伊斯特文诺夫（Kazimierz Ajdukiewicz）在对经典逻辑进行深入研究的过程中发现，传统逻辑对直觉的反应并不准确。
莱森巴哈继承并继续发展了伊斯特文诺夫的工作，最终形成了直觉主义逻辑的基本概念与原理。
二、直觉主义逻辑的基本概念1. 直觉主义真值理论直觉主义真值理论是直觉主义逻辑的核心概念之一。
它与经典逻辑的真值理论相比，更多地关注命题的证明过程与个体认知的因素。
直觉主义逻辑不认同经典逻辑中的三值真值理论（真、假、不确定），而是引入了"可能"和"不可能"的概念，使逻辑符号的解释更接近直觉。
2. 直觉主义命题逻辑直觉主义命题逻辑是直觉主义逻辑中的基本分支，它对于命题的推理和证明提出了严格的规则。
直觉主义命题逻辑强调以命题的直觉和个体认知为基础，拒绝使用经典逻辑中的排中律和非矛盾原理。
这种逻辑体系要求在推理过程中，只能基于已知的事实进行推断，不能凭空引入新的命题。
3. 直觉主义命题演算直觉主义命题演算是直觉主义逻辑的具体形式系统之一。
它是对直觉主义命题逻辑进行形式化处理的结果，通过符号语言来对命题进行推理和证明。
直觉主义命题演算中包括了一系列规则和公理，用来约束命题的推理过程。
这种演算体系对于分析和研究直觉主义逻辑具有重要意义。
三、直觉主义逻辑的原理1. 构造性证明原理直觉主义逻辑的一个重要原理是构造性证明原理。
它要求证明中必须给出一个实际的构造过程，并确保构造的过程是策略性的和可操作的。
一、直觉主义与非理性思潮直觉主义（叔本华[1788-1860]、尼采[1844-1900]、柏格森[1859-1941]）：哲学思潮无意识理论（弗洛伊德）：心理分析意识流（吴尔芙、乔伊斯、普鲁斯特）：具体到艺术创作手法二、叔本华1、唯意志论：意志(will)是世界的本质，而所谓意志就是人的生存欲望。
而人的欲望根本无法真正得以满足，另外，欲望遮蔽了人对世界的真正认识，即对世界的直觉。
2、解脱之道：一是消灭肉体，或获得宗教上的涅槃；二就是进行哲学和艺术的直观，达到物我两忘。
3、直觉论：直觉就是直观的认识，就是“观审”，这包括两个方面，一是主体放弃自我，成为纯粹的主体；二是放弃客体的个别性，而使其成为纯形式，或“永恒的形式”。
用叔本华自己的话就是：“把对象不当作个别事物而当作柏拉图是理念的认识，亦当作事物全类的常住形式的认识；然后是把认识主体不当作个体而是当作认识的纯粹而无意志的主体之自意识”4、悲剧论：悲剧，展示宇宙和人生的本质。
三种类型，一，恶人从中作梗；二，命运使然；三，不同地位关系。
5、与亚里士多德、黑格尔悲剧论的区别叔本华：通过悲剧来否定意志，获得解脱。
亚里士多德：通过悲剧获得心灵的净化，回归平和中庸的状态。
黑格尔：对各方片面的否定，从而最终永恒正义获得胜利。
6、中西悲剧比较7、总结：王国维与叔本华：《红楼梦评论》鲁迅与叔本华：“绝望之为虚妄，正与希望相同”三、尼采1、上帝死了，重估一切价值（1）反基督教，反理性，反传统……（2）“重估”的标准是广义艺术，其实质是以审美的人生态度反对伦理的人生态度和功利（科学）的人生态度。
基督教对生命作伦理评价，视生命本能为罪恶，其结果是造成普遍的罪恶感和自我压抑，审美的人生要求我们摆脱这种罪恶感，超于善恶之外，享受心灵的自由和生命的欢乐。
2、尼采与叔本华从叔本华出发，走向其反面，否定叔本华对意志世界的彻底否定，强调强力意志，高扬酒神精神。
3、“超人”与“强力意志”超人，是“人之上”或“超越人”之意。
谈学生直觉思维能力的培养作者：邱永生来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2015年第04期摘要：直觉思维，是指对一个问题未经逐步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断、猜想、设想的思维形式。
直觉思维是一种心理现象，它不仅在创造性思维活动的关键阶段起着极为重要的作用，并且具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点。
关键词：直觉思维;创新能力;数学思维;逻辑思维能力中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）04-046-1一、问题的提出长期以来，我们在教学中过多地注重了对学生逻辑思维的培养，而忽视了直觉思维的培养，甚至可以说有些教师在教学中根本无视直觉思维的存在。
因而，我们培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创新能力和开拓精神。
新课程标准提出要在解决问题中发展学生的实践能力、培养学生的创新精神，这要求我们必须转变观念，重视对学生直觉思维能力的培养。
二、直觉思维概述直觉思维是一种客观存在的思维形式，它具体表现为思维主体在解决问题时，运用已有的经验和知识，对问题从总体上直接加以认识和把握，以一种高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题的实质，并迅速解决问题或对问题作出某种猜测。
从上述论述中，我们还可以概括出直觉思维的几个基本特点：非逻辑性、突发性、偶然性。
直觉在科学发现中具有极为重要的作用。
伊恩·斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。
”许多重大的发现都是基于直觉。
欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦;1900年普朗克摒弃了经典物理学的观点，靠直觉思维的帮助，大胆地提出了“量子论”的假说;爱因斯坦更是一个具有极强直觉能力的科学大师，他在26岁和37岁时分别创立的狭义相对论和广义相对论，并不是在已有的理论体系基础上通过逻辑推理产生的，而是在很大程度上靠他自己的丰富的想象力、直觉和灵感。
第9卷第5期2012年5月Journal of Hubei University of Economics(Humanities and Social Sciences)湖北经济学院学报（人文社会科学版）May.2012Vol.9No.519世纪70~80年代，德国数学家康托尔创立了集合论（亦称朴素集合论）。
集合论逐渐为大多数数学家所接受，并成为全部经典数学的理论基础。
但是，与此同时人们相继发现了一系列集合论悖论，特别是1901年由罗素（B.Russell ）发现的罗素悖论，①足以使整座数学大厦倾覆，这是绝对不能允许的。
悖论产生的根源何在，能否最终为数学找到一个可靠的逻辑基础，这些问题困扰着数学家和逻辑学家，由此引发了一场关于数学基础问题的大论战，这场论战中产生了三大数学（哲学）流派，它们分别是以弗雷格（G.Frege ）、罗素为代表的逻辑主义学派、以希尔伯特（D.Hilbert ）为代表的形式主义学派和以荷兰数学家布劳维尔（L.E.J.Brouwer ）为代表的直觉主义学派。
直觉主义学派思想源远流长。
古代的数学家更多地诉诸直觉，侧重直观的图形分析和计算，而较少用纯逻辑的演绎推理。
例如被誉为公理化楷模的欧几里德几何，其基本概念和大部分公理、公设都具有直观的自明性。
直觉主义学派的公认的创始人是布劳维尔（Brouwer ），他认为任何数学对象都是思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性，而自然数是借助于人们的原始直觉创造出来的。
因此在数学哲学和逻辑中，直觉主义者坚持用人类构造性思维活动进行数学研究的方法。
从事这一理论研究的代表人物主要有海廷（Heyting ）、克林（Kleene ）、达米特（Dummett ）和维尔（Weyl ）等。
他们认为：“只有在直觉上得到构造的对象（概念）及推理过程才是真正可靠的，而那些在直觉上无法得到构造的东西则是‘形而上学’的假定，即应当从数学中清除出去。
理性的直觉主义--马利坦美学思想批判本世纪的二三十年代，在法国，兴起了一股诠释中世纪神学集大成者托马斯.阿奎纳思想的宗教存在主义思潮。
这种包装着宗教外衣的诠释被称为“新托马斯主义”，其代表任务就是雅克.马利坦(Maritain.Jacques)。
作为哲学的新拖马斯主义与同时代的其他存在主义流派例如萨特的思想相比，其影响固然不可分庭抗礼，但其在美学上的反思却曾一度被更多的人接受，成为现代人本主义美学的重要流通之一。
一、马利坦和他的时代中世纪以后的欧洲，随着科学的发展，作为与基督教神学相对抗的理性主义逐渐滋长起来。
“从以马斯.阿奎纳，罗吉尔.培根和奥卡姆直到大约十九世纪末，每一件事物都实际上符合于理性的规律，各种形式的唯理论统治了西方思想。
”（1）但这并不说明信仰就不存在了或者说被削弱到多么低的程度，而是滋长起来的理性似的宗教逐渐宽容起来：一方面容忍了理性的部分侵入边的不再过分固执；另一方面，永恒在上的神变的稍微世俗了些，从某种意义上说，使得人与神之间更加亲近起来。
理性主义与科学联系到一起对欧洲的发展无疑起着非常重要的作用，反映到经济、政治、艺术、哲学的各个领域。
但由于人类自身认识能力的局限，理性主义的批判使得宗教失去的仅仅是教条、狂热和蒙昧，正因为“宗教像火一样是人类文化中所固有的某种东西”，（2）理性的批判并没有能威胁到宗教自身的存在。
十九世纪的法国科学和社会都在进步，各种各样的进化论思想让人们变得足够乐观，人们象傅立叶和圣西门一样构造着未来理论世界，陶醉在科学的梦幻之中。
然而历史并没有为人类精神的权威引导人们进入必然的王国，与科学同时俱来的不仅有财富而且也有各种各样的问题与各种各样的矛盾，十九世纪末二十世纪初，理性主义的锋芒开始引退了，人们在正视科学的同时，有返回来更加关注人自身的存在，在叔本华和尼采之后，各种人本主义或者说存在主义有空前发展起来。
1882年11月18日，马利坦出生在巴黎的一个笃信新教的律师家庭，幼小的心灵种上了宗教的种子。
浅析经济理论的直觉主义逻辑毕业论文直觉主义逻辑一、作为经济理论基础的直觉主义数学体系模型的构造是经济学理论体系的重中之重，而数学是这种构造的基础，我们甚至可以理解没有数学理论保障的经济学模型就是空中花园，因而，对数学理论体系的认识是经济学研究中必不可少的内容，是贯穿整个经济理论的主干。
直觉主义是布劳威尔在数学中发展起来的一种观点。
在他看来，康德的那种观点，即我们对连续自然数的概念源于时间直觉是非常值得认可的。
我们对时间的直觉是指我们对一段时间的理解，这是从先验的包含短暂连续性的经验形式中得到的，而不是从特殊的经验细节那得到的。
需要指出的是，布劳威尔接受了康德的空间直觉理论，却拒绝了康德认为的几何是基于我们先验的空间直觉的补充这一主张。
他的这一看法，对数学的直觉主义概念的可接受性而言是非常重要的。
这种重要性在于能将自然数视作为心智的一种构造，在后续的运算符的重复使用到的确定的方法中产生，考虑一个无限的构造，自然数整数N 是唯一确定的：这不是非同构的构造，每一个都有同样好的表征N 的方法。
但一个无限的构造总被认为是一些产生的过程，而不是完全的构造。
因此我们不能理解通过柏拉图式的方法量化对这些构造的元素的，当产生一个确定真值的陈述通过逻辑推导和无限多例子的真值的汇总。
然而，我们必须通过已经被解释的方法去理解，当产生一个陈述，我们提出一个含有确定的了他的证明的标准。
虽然在没有发现可证或不可证之前确定其真值。
埚xA(x)的证明将包含产生证明A(n)的自然数n;坌x A(x)的证明将是可识别的运算当产生对于任意我们所导出的n都有的A(n)的证明。
那意味着N 是确定的不意味着它是单一的、完全的、构造的，第一，没有关于延伸任意给出的有限分段N的选择，第二，给出任意数学对象，我们总是充分地识别他是否能够通过连续运算到0的重复使用而完成，因此它是否属于N。
直觉主义逻辑是阿兰德·海汀为了给布劳威尔的直觉主义数学进行形式化而提出的符号逻辑。
道德直觉主义及其对道德教育的借鉴意义（杨昱然思政专业2012级学号2126902017）摘要：直觉主义伦理学是西方伦理学的一个重要派别。
道德直觉主义又是直觉主义伦理学的核心。
道德直觉主义反对“自然主义的谬误”认为伦理道德最基础，最原初的东西，例如“善”，“义务”等是不可被定义的。
而道德直觉主义也因为它的抽象性和神秘性难免于诘难。
但直觉在道德判断和道德选择过程中的“道德模糊区”又的确发挥着重要作用。
它为道德决策的客观性和慎重性辩护。
这当中积极的因素可以被道德教育借鉴和吸收。
关键词：道德直觉主义、非自然主义、不可定义、道德教育我们做每件事的时候都能够找到充分的理由吗？我们找到的每个理由都具备天衣无缝的逻辑吗？为什么同样经过深思熟虑的考虑，人们会对同一件事情做出不同的选择？或者做了某一个选择，却很难完全说明每一个选择它的原因。
种种生活中的确存在的问题使得我们不得不重新审视道德直觉主义的存在价值。
直觉主义伦理学是现代西方伦理学的一个影响重大的派别, 它是资产阶级形式主义伦理学的开端, 主要流行于英、美等国。
直觉主义者断言, 善、义务、正当等道德概念, 不可能用理性和经验来认识, 而只能用“道德直觉”来认识。
伦理直觉主义就是由此而得名的。
英国的直觉主义源于英国的新柏拉图学派和西季威克的直觉主义思想。
到二十世纪初形成了直觉主义的完整的伦理学体系。
直觉主义伦理学产生于二十世纪初的英国, 是有其历史原因的。
当时流行于英国的伦理学说, 主要是功利主义和进化伦理学。
直觉主义者看到这些伦理学说在人们中已失去其影响, 于是企图另辟蹊径, 寻找维护资产阶级道德价值的更方便更有利的手段。
他们用给善恶、义务、正当等道德概念下定义的“新”方法来巩固资本主义社会的道德基础。
直觉主义伦理学分为价值论直觉主义和义务论直觉主义。
直觉主义伦理学的主要代表人物摩尔、罗斯和普里查德等人在哲学上都是新实在主义者。
新实在主义哲学的理论和逻辑分析方法是摩尔等人伦理学的理论基础和方法论原则。
第9卷第5期2012年5月Journal of Hubei University of Economics(Humanities and Social Sciences)湖北经济学院学报（人文社会科学版）May.2012Vol.9No.519世纪70~80年代，德国数学家康托尔创立了集合论（亦称朴素集合论）。
集合论逐渐为大多数数学家所接受，并成为全部经典数学的理论基础。
但是，与此同时人们相继发现了一系列集合论悖论，特别是1901年由罗素（B.Russell ）发现的罗素悖论，①足以使整座数学大厦倾覆，这是绝对不能允许的。
悖论产生的根源何在，能否最终为数学找到一个可靠的逻辑基础，这些问题困扰着数学家和逻辑学家，由此引发了一场关于数学基础问题的大论战，这场论战中产生了三大数学（哲学）流派，它们分别是以弗雷格（G.Frege ）、罗素为代表的逻辑主义学派、以希尔伯特（D.Hilbert ）为代表的形式主义学派和以荷兰数学家布劳维尔（L.E.J.Brouwer ）为代表的直觉主义学派。
直觉主义学派思想源远流长。
古代的数学家更多地诉诸直觉，侧重直观的图形分析和计算，而较少用纯逻辑的演绎推理。
例如被誉为公理化楷模的欧几里德几何，其基本概念和大部分公理、公设都具有直观的自明性。
直觉主义学派的公认的创始人是布劳维尔（Brouwer ），他认为任何数学对象都是思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性，而自然数是借助于人们的原始直觉创造出来的。
因此在数学哲学和逻辑中，直觉主义者坚持用人类构造性思维活动进行数学研究的方法。
从事这一理论研究的代表人物主要有海廷（Heyting ）、克林（Kleene ）、达米特（Dummett ）和维尔（Weyl ）等。
他们认为：“只有在直觉上得到构造的对象（概念）及推理过程才是真正可靠的，而那些在直觉上无法得到构造的东西则是‘形而上学’的假定，即应当从数学中清除出去。
”[1]这和古典的方法不同，因为根据古典方法，一个实体的存在可以通过否定它的不存在来证明。
对直觉主义者来说，这是不正确的：不存在的否定不表示可能找到存在的构造证明。
正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种，但它不是唯一的一类。
一、直觉主义理论：存在必须被构造直觉主义理论（intuitionism ）是第三次数学危机之后为解决数学基础问题而产生的最重要的理论之一，这一理论把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来。
直觉主义者认为，集合论悖论的出现提醒我们必须依据可信性的要求对整个数学作全面的审查，彻底抛弃那些不符合可信性要求的数学概念和方法。
它的一个突出的特点是强调数学中的一切都必须是构造性的，将非构造的对象排除在外，完全不承认非构造性证明，只有给出一个命题的构造性证明，直觉主义者才承认这个命题被证明了。
因此强调构造性是直觉主义理论的重要特征，其著名口号是“存在必须等于被构造”，即构造性地建立数学理论，也就是说，所有的数学概念和方法都必须是构造性的，按照可操作的固定的方法都可以在有限之内得到定义和施行。
另外，值得一提的是，直觉主义者从构造性的观点出发，承认排中律p ∨劭p 在有穷集合上的有效性，而拒绝排中律p∨劭p 的普遍有效性。
他们认为，排中律是从有限事物中概括出来的，因为对于p 和劭p 我们总可以在有限之内检验完毕，即任何一个涉及有限事物全体的命题，总是可以通过对这些事物逐一地加以验证，来判明该命题的真伪，因此当对象域有穷的时候，排中律是成立的。
但是若将这个规律推广到无穷就是没有根据的，无穷只是处于不停的构造之中，若涉及无穷，排中律就不是有效的。
因此他们反对实无穷，而坚持潜无穷②的观点。
值得指出的是，直觉主义者并不认为排中律假,只是认为它不普遍有效（涉及无穷的时候不有效）。
除直觉主义学派,尚有其它一些不接受排中律的学派，如多值逻辑，特别是三值逻辑，但不接受排中律的原因与直觉主义学派不同。
例如在三值逻辑中，使用{T ，F ，I}作为其真值集,尽管对中间值I 的不同解释导致多种三值系统,但都是由于接受命题真值的三值性（多值逻辑为n 值性，n 为大于等于3的整数），所以它们都不接受排中律。
二、直觉主义逻辑：算子不可互定义直觉主义学派最初是反对形式化方法的，认为数学活动无需借助于形式语言，形式系统也不能正确地表达数学思想。
随着时间的推移,形式化方法在逻辑学研究中被广泛地采用,一些直觉主义学派的代表人物才对形式化方法采取了宽容的态度，发展了自己的逻辑。
直觉主义逻辑的公式的语法类似于命题逻辑或一阶逻辑。
但是直觉主义逻辑的联结词不像经典逻辑那样是可互定义的，因此他们对逻辑初始联结词的选择是慎重的。
在直觉命题逻辑中通常使用→，∨，∧，⊥作为基本连结词，把劭作为劭A=（A →⊥）的简写处理。
在直觉主义一阶逻辑中，量词坌，埚都是需要的。
下面给出海廷在1930年构造的直觉主义思想概述刘佳秋（广东金融学院思想政治理论课教学部，广东广州510521）摘要：一场关于数学基础问题的大论战，产生了三大数学（哲学）流派，它们分别是逻辑主义学派、形式主义学派和直觉主义学派。
直觉主义学派认为任何数学对象都是思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性，因此直觉主义者坚持用人类构造性思维活动进行数学研究的方法。
并且直觉主义者相信理论的真理性最终取决于理论的实际内容，并且只有通过人类的实践活动才能得到检证。
关键词：直觉主义；直觉主义逻辑9··公理化的直觉主义命题演算系统，[2]它由十条公理和一条推理规则构成（φ，ψ，δ为任意公式，他们是由任意命题变元p，q，r，…和逻辑联结词→，∨，∧，⊥组成的合式的符号序列）：在经典命题逻辑中，可以仅用两个初始联结词，有可能选取合取、析取或蕴涵中的一个作为原始的，并依据它和否定来定义另两个，甚至可以依据自足算子比如皮尔士箭头“↓”（析非）或Sheffer竖线“｜”（合非）定义它们四个。
[3]类似的，在经典一阶逻辑中，一个量词可以依据另一个量词和否定来定义。
这是二值原理的推论，它使得这种联结词仅仅是布尔函数。
但是，二值原理在直觉主义逻辑中不成立，致使多数经典恒等式只是直觉逻辑中在一个方向上的定理，尽管某些定理在经典逻辑中是两个方向的。
它们如下：合取与析取：合取与蕴涵：析取与蕴涵：全称量词与存在量词:所以，例如，在直觉主义逻辑中，“p或q”是比“如果非p 则q”更强的陈述，而在经典逻辑中它们是可互换的。
对很多经典有效重言式不是直觉逻辑的定理的观察导致了弱化经典逻辑的证明论的想法。
三、直觉主义逻辑的否定：“劭A”即A不可证实直觉主义逻辑与经典逻辑的另一个显著区别在于对否定的不同理解。
经典逻辑的否定采用的是二值语义：劭p真，当且仅当p假，即如果p真那么劭p假，并且如果p假那么劭p真。
直觉主义者根据构造性观点认为，不仅确定一个命题为真需要构造性的证明，确定一个命题为假也需要构造性的证明，因此直觉主义者对否定采取的是构造性解释：一个命题A的否定“劭A”是指存在这样一个有关A的证明，证明A是不可证的。
[4]或者说劭A的证明是一个结构，这一结构使得假定命题A 为真的构造导致谬误（因为直觉主义者把劭作为劭A=（A→，⊥）的简写处理）。
因此，按照直觉主义的观点，说A或B，是宣称A或B可以被证明，也就是要判定一个命题为真，就必须给出它的构造性证明，要判定一个否定命题为真，就必须有一个构造，这一构造将任何一个假定原命题为真的证明转换为一个虚假命题的证明，例如推出一对矛盾的命题B和劭B。
正如海廷说：“命题‘C不是有理数’意味着我们能够得到‘C是有理数’的矛盾命题”。
[5]因此有些哲学家认为直觉主义逻辑是用肯定词项定义否定范畴的逻辑理论。
总之，两种不同的语义解释分别赋予了经典否定和直觉主义否定不同的涵义，如，在经典逻辑中，p的否定的意义是p为假，而直觉主义逻辑中，p的否定的意义是指p不可证或p是可反驳（refutable）的。
在经典逻辑和经典数学中，人们经常不是直接去证明一个命题为真，而是使用反证的间接证明的方法，先假定要证命题不真，然后推出逻辑矛盾，以此来证明此命题为真。
显然，反证法这种间接证明是直觉主义者所不能接受的，因为直觉主义者不承认排中律，而反证法用的仍是排中律（A∨劭A），并且从构造性的角度看，假定要证命题不真，推出逻辑矛盾，并不意味着为此命题找到一个构造性证明，即证明了劭A将导致矛盾，这并没有提供A的一个构造性证明。
相应地，涉及否定的双重否定律在经典逻辑中是有效式，但在直觉主义逻辑中不再是普遍有效的。
因为证明了劭A不可证，并没有实际地给出A的证明，从而劭劭A→A在直觉主义逻辑中不成立，但直觉主义者承认双重否定律的另一方向，即A→劭劭A。
可见，很多经典逻辑的重言式在直觉逻辑中不再是可证明的。
例子不只包括排中律p∨劭p，还有反证法，甚至还有双重否定消去规则。
在经典逻辑中，p→劭劭p和劭劭p→p二者都是定理，在直觉主义逻辑中，只有前者是定理：双重否定可以介入但不能消去。
逻辑主义认为逻辑是全部数学的基础，经典逻辑是绝对可靠的，只要构造合适的逻辑系统，就可以推出全部经典数学。
因此把数学化归为逻辑，是逻辑主义学派的基本纲领，避免悖论，维护集合论和已有的一切数学成果则是其基本出发点。
和逻辑主义一样，形式主义学派也坚信经典逻辑的有效性，都持“实无穷”的观点（即承认无限集合是一个完成了的实体），并捍卫一切已有的数学成果。
但是形式主义并不赞同逻辑主义“把数学归约为逻辑”的纲领，形式主义学派认为，数学有着与逻辑无关的内容，决不可能单靠逻辑建立起来，应对逻辑和数学同时加以研究。
对于形式主义学派方案的反对意见来自直觉主义阵营，直觉主义派则以“直觉上的可构造性”作为“可信性”的标准对全部已有数学进行彻底的审查和改造。
直觉主义学派认为，任何一门科学理论都是形式与内容的统一体，理论形式固然重要，形式化方法也有着严格、精密、高度概括与抽象的独特优点，但理论的真理性最终取决于理论的10··实际内容，并且只有通过人类的实践活动才能得到检证。
（注：本论文得到2008年国家社科基金项目《更新语义与动态认知逻辑研究》的资助，项目批准号：08BZX050）注释：①集合可以分为两类：第一类集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如“所有集合所成的集合”；第二类集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。
显然，一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。
现在假定R是所有第二类集合所成的集合。
那么，R是哪一类的集合呢？如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R 又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。
