利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

1 利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

张晓东（桐乡市高级中学 浙江桐乡 314500）

椭圆是到两定点21,FF距离之和等于定值|)|2(221FFaa的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）距离之比等于常数)10(ee的点的轨迹，是到两定点斜率之积为常数)1,0(KKK的点的轨迹．

而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷的解题并看到问题的本质．

定义压缩变换：'''yox平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的),0,0(nmnmmn得到xoy平面．

显然在压缩变换下，'''yox平面上的圆22'2'':myxC就压缩为xoy平面上的椭圆12222nymx，于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究三类问题．

一．研究横坐标（或纵坐标）之间的关系．

在压缩变换下，xoy平面上点P与原来'''yox平面上对应点'P的横坐标相同，即'PPxx．

例1.（2009清华大学自主招生）如图1-1，已知椭圆)0(12222babyax，过椭圆左顶点)0,(aA的直线l与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与l平行的直线与椭圆交于P。

求证：AROPAQ,2,成等比数列。

证明：把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的ba倍，得到'''yox平面，于是椭圆)0(12222babyax还原成圆22'2'ayx，如图1-2。

因为AROP//，所以AROP，即),(),(RAPPyxyx,

所以),(),(RAPPybaxybax，即''''RAPO，所以''''//RAPO

于是AROPAQ,2,成等比数列

2||2||||OPARAQ

2222|)|1(2||1||1PAQxkxkaxk

2||2||||PAQxxax

2''''''||2||||PORAQA① xyOQRAP图1-1

'x'y'O'Q'R'A'P图1-2 2 设dRO||''，由圆幂定理22''''||||adRARQ，

又22ad2''||RA||||''''RAQA||||''''RARQ=||||''''RAQA22ad,

所以2''''2||||aRAQA，即①成立。

评注：把椭圆还原成圆后并可利用圆幂定理。

例2.（2012全国高中数学联赛贵州省预赛）如图2-1，已知BA,是椭圆)0(12222babyax的左右顶点，QP,是椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP与QB、PB与AQ分别交于点NM,。

（1）求证：ABMN；

（2）若弦PQ过椭圆的右焦点2F，求直线MN的方程。

解：把椭圆所在平面xOy上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的ba得到''Oyx平面，于是椭圆)0(12222babyax还原成圆22'2'ayx，如图2-2。

（1）NMxxABMN''''BANM,

显然，因为''BA是直径，

所以''''MAPN，''''NAQM，

所以'B是△'''NMA的垂心，

所以''''BANM。

(2)设''NM与'x轴交于'R，

并设弧''QA为弧度，弧''PB为弧度，

于是2'''BMP，2'2''FPO,

又'''',,,MRBP四点共圆，所以''''''BMPBRP，

所以'2''FPO'''BRP，所以△'2''FPO∾△'''PRO，

所以||||||'''2'2''ROFOPO,所以caRO2''||，

所以直线''NM的方程为'xca2，所以直线MN的方程为xca2。

评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中的角的关系证明相似。

二．研究直线的斜率． ABPQMNO图2-1 xy2F'A'B'P'Q'M'N'O图2-2 'x'y2F'R 3 在压缩变换下，xoy平面上直线的斜率k变为原来'''yox平面上对应直线斜率'k的mn倍，即'kmnk．

例3．（2011年全国联赛） 如图3-1，作斜率为31的直线l与椭圆1436:22yxC交于BA,两点，且)2,23(P在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若60APB，求△PAB的面积．

解：作xPQ轴交椭圆于另一点Q，连结OQ．

把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到'''yox平面，如图3-2．于是椭圆1436:22yxC还原成圆36:2'2''yxC。

（1）点'Q的坐标为)23,23(，直线''BA的斜率为1331，

所以1''''BAQOkk，所以''''BAQO，由垂径定理知点'Q平分弧''BA，所以''QP平分'''BPA，因为xQP''轴，所以''AP与''BP斜率互为相反数．

所以xoy平面上直线PA与PB的斜率也互为相反数，即PQ平分APB，所以△PAB的内切圆的圆心在定直线23x上．

（2）易得△PAB的面积为493117

评注：把椭圆还原成圆后可利用垂径定理。

例4．（2013全国高中数学联赛湖北省预赛）如图4-1，设),(00yxP为椭圆1422yx内一定点（不在坐标轴上），过点P的两条直线分别与椭圆交于CA,和DB,，若CDAB//。

（1）证明：直线AB的斜率为定值；

（2）过点P作AB的平行线，与椭圆交于FE,两点，证明：点P平分线段EF。

证明：把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到'''yox平面，如图4-2．于是椭圆1422yx还原成圆42'2'yx。

(1)连结 '''',CBDA，因为CDAB//，所以''''//DCBA， 'O'P'A'B'x'y'Q图3-2 OABxyP图3-1

QOPABxy图4-1 CDEF 4 所以''''CBDA,即''''DCBA为等腰梯形

所以''''PBPA,又''''OBOA,

所以直线''PO垂直平分弦''BA，

因为)2,(00'yxP，所以002''xykPO，

所以002''yxkBA，所以004yxkAB。

（2）直线''PO垂直弦''BA，//''FE''BA,

所以''PO垂直弦''FE，所以点'P平分线段''FE，

所以点P平分线段EF。

评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中平行弦所夹弧相等。

例5．（2012卓越联盟）如图5-1，设椭圆)2(14222ayax的离心率为33。斜率为k的直线l过点)1,0(E，且与椭圆交于DC,两点。

（1）求椭圆方程；

（2）若直线l与x轴交于G，且DEGC，求k的值；

（3）设A是椭圆的下顶点，ADACkk,分别为直线ADAC,的斜率。证明：对任意k，恒有2ADACkk。

解：（1）易得椭圆方程为14622yx；

（2）把xoy平面上所有点横坐标变为原来的36，纵坐标不变，得到'''yox平面，如图5-2．于是椭圆14622yx还原成圆42'2'yx。

取GE的中点M，因为DEGC，所以M平分弦CD，

所以''''DCMO，又''''''GOMOGM,

设'l的斜率为'k，所以'''kkGM，所以1)(''kk，

得1'k，所以36k；

（3）2ADACkk3''''DACAkk，

设圆与'y轴的交点为'B，连结'''',DBCB，直线''CA交'x轴于'P，直线''DA交'x轴于'Q 'O'x'y图4-2 'A'B'C'D'E'F'POMAGxy图5-1 CDE'O'x'y图5-2 'A'M'C'D'E'B'P'Q'G 5 ''''''''''tantan''CBCACBAOPAkCA,

''''''''''tantan''DBDADBAxQDkCA

所以3''''DACAkk''''CBCA3''''DBDA

||21||21''''CBCA3sin||sin||''''''''''DBCDBDACDA

3''''''DBCDACSS3||||''''EBEA,此式显然成立。

评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中的直角把斜率进行转化，从而把斜率乘积化为三角形面积之比。

三．在压缩变换下，xoy平面上封闭图形的面积S是原来'''yox平面对应封闭图形面积'S的mn倍，即'SmnS．

例6．（2013全国高中数学联赛山东省预赛）已知椭圆13422yx内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点21,FF，求该平行四边形面积的最大值．

解：把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得到'''yox平面，如图6．于是椭圆13422yx还原成圆4:2'2''yxC，先求'''yox平面上相应平行四边形''''DCBA面积的最大值。

显然''''DCBA面积等于4个三角形'''BAO的面积S，

作''BA边上的高''NO，设dNO||''

24ddS（)102d

显然当1d时，S取最大值3，

所以''''DCBA面积最大值为43，

相应椭圆平行四边形面积最大值为6。

评注：把椭圆还原成圆后并可得到以半径为腰的等腰三角形。

例7．（2011全国高中数学联赛河南省预赛）以原点O为圆心，分别以)0(,baba为直径作两个圆。点Q是大圆半径OP与小圆的交点，过点P作OxAN垂足为N，过点Q作PNQM，垂足为M，记当半径OP绕点O旋转时点M的轨迹为曲线E。

（1）求曲线E的方程； 'O'x'y图6 'A'B'C'D'2F'1F'N 6 （2）设CBA,,为曲线E上三点，且满足0OCOBOA,求△ABC的面积。

解：（1）易得曲线E的方程为12222byax；

（2）把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的ba倍，得到'''yox平面，

于是椭圆12222byax还原成圆22'2'ayx，如图7.

因为0OCOBOA，所以△ABC的重心是原点O，

相应的，△'''CBA的重心是原点'O，

由垂径定理得△'''CBA是正三角形，

所以△'''CBA得面积为2433a，

所以△ABC的面积为ab433。

评注：把椭圆还原成圆后便可发现以原点为重心的三角形就是圆内接正三角形。

'O'x'y图7 'A'B'C