有理数的乘法与除法
一、有理数的定义与性质
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数和零。有理数的乘法与除法是数学中重要的基本运算，它们有一些特殊的性质。
1. 有理数的定义
有理数是整数和分数的统称，它们可以表示为两个整数的比值。整数是没有小数部分的数，包括正整数、负整数和零；分数是整数与整数的比值，其中分母不为零。
2. 有理数的性质
有理数的乘法和除法满足以下性质：
• 乘法的封闭性：两个有理数的乘积仍然是有理数。
• 乘法的交换律：两个有理数的乘积与它们的顺序无关。
• 乘法的结合律：三个有理数相乘的结果与先后顺序无关。
• 乘法的分配律：有理数的乘法对加法具有分配性质。
• 除法的定义：有理数a除以非零有理数b的商是一个有理数c，满足a = b
* c。
• 除法的乘法逆元：有理数a除以非零有理数b的商是有理数c，那么a等于b乘以c的结果。
二、有理数的乘法
有理数的乘法是指两个有理数相乘的运算。有理数的乘法可以通过以下步骤进行：
1. 将两个有理数的绝对值相乘，得到结果的绝对值。
2. 判断两个有理数的符号，如果符号相同，则结果为正数；如果符号不同，则结果为负数。
有理数的乘法可以通过以下示例来说明：
示例1：计算(-3/4) * (2/3)
步骤1：计算绝对值的乘积：(3/4) * (2/3) = 6/12
步骤2：判断符号，由于两个有理数的符号不同，结果为负数。
所以，(-3/4) * (2/3) = -6/12 三、有理数的除法
有理数的除法是指一个有理数除以另一个非零有理数的运算。有理数的除法可以通过以下步骤进行：
1. 将除数的倒数乘以被除数，得到商的绝对值。
2. 判断商的符号，如果除数与被除数的符号相同，则商为正数；如果符号不同，则商为负数。
有理数的除法可以通过以下示例来说明：
示例2：计算(-3/4) / (2/3)
步骤1：计算倒数的乘积：(-3/4) * (3/2) = -9/8
课 题：§2.10 有理数的除法
教学目标：
（一）知识目标：使学生理解有理数除法的意义和法则，初步掌握有理数除法的运
算，并了解倒数在有理数中的运算.
（二）能力目标：通过寻找除法运算向乘法运算转化，培养学生的观察、分析、归
纳、概括的能力，向学生渗透转化类的思想，进一步了解将新问题转化成老问题，用
已有知识探求新知识的学习方法.培养学生运用数学思想指导思维活动的能力，感知数
学知识具有普遍联系性，相互转化性.
（三）情感目标：通过对有理数除法的探索发现，培养学生转化类比的思想，合作
交流的意识，.体验矛盾着的双方，在一定条件下相互转化的辩证唯物主义思想.
教学重点：熟练进行有理数的除法运算.
教学难点：理解有理数除法的法则.
教学方法：本节课我主要采用探究式、类比法教学.引导学生通过对已学知识的复习来猜想，用已学知识的学习方法来类比新知并得到新知，发挥学生的主体性.
教学准备(教具)：彩色粉笔、多媒体课件.
课 型：新授课.
教学过程
（一）创设情境，复习导入
师：我们已经学习了有理数的三种运算：有理数的加法、减法和乘法，还有哪一种基本的运算方法我们没学？
[学生齐答：有理数的除法，教师板书]
师：上节课我们学习了有理数的乘法，有理数乘法的法则是什么？
[学生举手回答]
师：同学们回想一下：有了有理数的加法后，我们是怎样研究和学习有理数的减法的？
生1：把减法变成加法.
师：减法变成加法的条件是什么？
生1：减去一个数等于加上这个数的相反数.
师：为什么能实现这样的转化？其根本原因是什么？
[同学们思考一会儿] 生2：因为加法和减法有密切关系，他们互为逆运算.
师：我们已经有了学习减法的经验，又掌握了乘法的运算，同学们想一想，怎样来研究有理数的除法？
[这时，有不少同学接茬：和减法一样，想办法把除法变成乘法]
师：有同学已经说了，也用转化的思想，把除法变成乘法.那能不能这样转化？如果能，转化的条件是什么？我们大家一起来探索一下.
海陵中学初一数学 教学案 第一章《有理数》
1 有理数的除法
【目标导航】
1. 理解除法是乘法的逆运算；
2. 掌握除法法则，会进行有理数的除法运算；
3. 经历利用已有知识解决新问题的探索过程．
【预习引领】
1．有理数的减法法则是什么？
2．两个有理数的乘法法则是什么？
3．在小学我们已经学习了除法运算，小学数的运算范围是怎样的？
4．在有理数范围内又怎样进行除法运算呢？这节课共同研究有理数的除法.
5．怎样计算8÷(－4)呢？
【要点梳理】
知识点一:有理数的除法法则
∵(－2)×(－4)＝8
∴8÷(－4)＝－2
∵841＝－2
∴8÷(－4)＝841
同样可得：－9÷23＝－9×32
(－12)÷(－4)＝(－12)41
换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a0)可以转化为乘a1
归纳有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.
baba10(b因为一个数与它的倒数的符号相同，所以有理数的除法法则还有另一种说法：
两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相 .0除以任何一个不等于0的数,都得 .
例1 计算：
1936 ； 2 ；
3 4
注：一般被除数的绝对值能整除除数的绝对值时用第二个除法法则较简便.
练习：计算：
7631 802
1 有理数的除法与乘方
【要点提示】
一、有理数除法
1．倒数的定义
（1）乘积为1的两个数互为倒数，即如果1ab，则ba,互为倒数。反之，两数互为倒数，则两数的乘积为1，即若a、b互为倒数，则1ab，ba1
（2）数)0(aa的倒数就是a1
（3）0没有倒数
（4）负倒数的定义：乘积为－1的两个数互为负倒数，数a的负倒数为)0(1aa
2．有理数除法法则
（1）法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数
（2）符号确定：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数！
3．1和1的倒数等于它本身，即倒数等于它本身的有两个，是1。
4．1除以非零数，得到它的倒数。
二、有理数乘方
1．n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂；用字母表示anaaaa个记作na，其中a叫做底数，n叫做指数，na的结果叫做幂；读法：na读作a的n次方。
2．正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
3．科学计数法：把一个大于10的数记作na10的形式，其中101a，n比整数部分的位数少1，这种记数法叫科学记数法。
【典型例题】
例1 求下列各数的倒数和负倒数。
（1）2 （2）431 （3）04.0 （4）20%
例2 计算：
2 （1）)16()256( （2）03.0)009.0( （3）313)3.3(
