一、填空题
1.21
2
x y x x -=+-有
个间断点
2.()y f x =在0x 点连续，则0
lim ()x x f x →=
3．设2(2)1,f x x +=+则)(x f 4．n =
5．若10
5lim 1,kn
n e n --→∞
??
+= ?
??
则k =
6．2352
lim
sin 53n n n n
→∞++= 7．极限1
2sin
lim 2+∞
→x x
x x = . 8. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0
x f x f
x x =______
9. =→x
x
x 5sin lim 0___________； 10. =-
∞
→n
n n
)21(lim _________________； 11. 若函数2
31
22+--=x x x y ，有几个间断点_________
12. 绝对值函数 =
=x x f )(??
???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是
13符号函数 ==x x f sgn )(??
?
??<-=>.0,1;0,0;0,1x x x
其定义域是 ，值域是三个点的集合
14. 无穷小量是 15、21lim(1)x
x x
→∞
-=
16、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A= 17、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2
1()2
x f x -=，则函数值(0)f =
18、111lim[
]1223(1)
n n n →∞+++??+ =
19．设()??
?
??≤≤-<≤<≤-=3
1,110,
20
1,
2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。 20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()
2x f 的定义域是 。 21．若()x
x f -=
11
，则()[]=x f f 22．函数1
+=x e
y 的反函数为 。
23．函数()x y πsin 5=的最小正周期=T 。 24．设211x x x f ++=??
? ??，则()=x f 。 25．(
)
=--+∞
→13lim
n n
n x 。
26．=++++++++
∞→n
n n 3
1
9131121
41211lim 。 27．函数()???
??≥-<≤-<=2,321,11,
x x x x x x x f 的不连续点为 。
28．=∞→n n
n x
3sin
3lim 。 29．函数()1
1
2-=x x f 的连续区间是 。
30．设()()?
??<++≥+=0
,0,
2
x x x b a x b ax x f ()0≠+b a ，()x f 处处连续的充要条件是=b 。
31．若01lim 2=???
?
??+-+∞→b ax x x x ，a ，b 均为常数，则=a ，=b 。
32．=??? ??+++∞→22221
lim n n n n n 。
33．若31122++=??? ?
?
+x x x x f ，则()=x f 。
34．已知22
35
lim
22=-++∞→n bn n a n ，则=a ，=b 。 35．212lim e x x ax
x =?
?
?
??++∞→，则=a 。
36．函数()x
e x
f 1
=的不连续点是
37．函数()x
x f 1
sin =的不连续点是
38．已知
()()
x x x f 1
1-=，为使
()x f 在0=x 连续，则应补充定义()=0f 。
39．若函数()1=x f 与函数()x
x x g =
的图形完全相同，则x 的取值范围是 。
40．设()3
x x x f -=，若()0=x f ，则=x ；若()0>x f ，则∈x ；若()0 ∈x 。 41．设10≤ sin 2 x a 等价，a 应等于 。 43．=-→x x x x cos cos 1lim 2 0 。 44．若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 45.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______ )(lim 1=-→x f x 46. 设2 3,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 47. 设 cos 0()0 x x f x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 48. y = __________ 49. 1 253lim 22 -+∞→n n n n = _______ 50. 考虑奇偶性，函数 ln(y x = 为 ___________ 函数 二、选择题（单选） 1．设f x ()的定义域是[0,4]，则f x ()2的定义域是( ) A. [,]04 B. [-2,2] C. [0,16] D. [0,2] 2．设函数y f x =()的定义域为[0,2]，a >0，则y f x a f x a =++-()() 的定义域为( ) A.[,][,]--?+a a a a 22 B. ? C. 当a ≤1时，定义域：a x a ≤≤-2；当a >1，?； D. [,][,]--?+a a a a 22 3．若Z y f x = +-()31，且已知当y =1时，z x =.则f x ()=（ ） A.()x +-113 B.x -1 C.()t +-113 D.t -1 4．当0x →+时，（ ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 5．设f x ()的定义域为(-∞,+∞)，则g x f x f x ()()()=--是( ) A. 偶函数 B. g x ()≡0 C. 非奇非偶函数 D. 奇函数 6．反函数保持原来函数的( )性质。 A. 单调性 B. 奇偶性 C. 周期性 D. 有界性 7．当n →∞时，2 1sin n 与1 k n 为等价无穷小，则k = （ ） A 1 2 B 1 C 2 D -2 8．函数ln(2)x -的定义域（ ）。 A （0，2） B （2，+∞） C （-2，0） D （-∞，2） 9．当x →∞时，sin ()x f x x = 是（ ）。 A 无界 B 无极限 C 极限为1 D 无穷小量 10． { ()f x =12x e x k -+ 00 x x ≥ 在0x =连续，则k =（ ）。 A 0 B 1 C 2 D 3 11．当0x →时，sin ()x f x x =是（ ）。 A 无界 B 无极限 C 极限为1 D 无穷小量 12．当0→x 时，下列变量是无穷大量的是（ ）。 A 2x B 3x C x x 21+ D x 2 13．设函数f x ()为定义在(,)-∞+∞的任何不 恒等于零的函数，则（ ）必是偶函数。 A.F x f x f x ()()()=--； B ．F x f x f x ()()()=+-； C.F x f x f x ()()()=--； D.F x f x f x ()()()=-+- 。 14．设f(x)=x 3 -x 2 -1，则f(f(1))=( )。 Ａ －１ Ｂ －３ Ｃ ０ Ｄ １ 15．设()sin f x x x =，则()f x 为（ ）函数。 A 奇 B 偶 C 非奇非偶 D 不确定 16．下面函数与y x =为同一函数的是（ ） 2 .A y = .B y = ln .x C y e = .ln x D y e = 17．lim sin sin x x x x →02 1 的值为（ ） A.1; B.∞ ; C.不存在； D.0 。 18．当x →0时，与sin x 2 等价的无穷小量是( )。 A. ln()1+x ; B tan x ; C. 21(cos )-x ; D. e x -1。 19．设()f x 在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（ ） ()().A y f x f x =+-()().B y x f x f x =--???? ()32.C y x f x = ()().D y f x f x =-? 20．下列各式正确的是 ( ) A ） x x x )11(lim 0++ →=1 B ）e x x x =++ →)1 1(lim 0 C ） x x x )11(lim 0-+ →=-e D ）e x x x =+-→+ )1 1(lim 0 21．极限：=+-∞ →x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 22．函数() f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（ ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 23．极限2 01lim cos 1 x x e x →--等于（ ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 24．极限: x x x x sin sin tan lim 30 -→ =（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 25．当0→x 时,Sinx x -是2 x 的（ ） (A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但非等价的无穷小. 26．极限：)(lim 2x x x x -+∞ + →=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 27．函数 3 x 2 x y --= 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞ 28．当的是时 sin tan , 0x x x →（ ） 等价无穷小同阶非等价无穷小低阶无穷小高阶无穷小 (D) )( (B) )(C A 29．x y 1 sin =在定义域内是（ ） A 单调函数 B 周期函数 C 无界函数 D 有界函数 30．当 0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ． x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2 x x 31．函数 233 )(2 +--=x x x x f 的间断点是（ ） A ． 2,1==x x B ． 3=x C ． 3,2,1===x x x D ．无间断点 32．若极限a x f x x =→)(lim 0 （常数），则函数)(x f 在点0x ( ) A 有定义且a x f =)(0 B 不能有定义 C 有定义，但)(0x f 可以为任意数值 D 可以有定义也可以没有定义 33．设n 是整数，则n n x x x f --=)(是（ ）。 A 偶函数 B 既是奇函数又是偶函数 C 奇函数 D 非奇非偶函数 34．极限：∞ →x lim 3 32 x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2 35．x x a x sin lim -∞→ 等于 ( ) （A ） a (B) 0 (C) -a (D) 不存在 36．已知当0→x 时，)(x f 是无穷大量，下列变量当0→x 时一定是无穷小量的是[ ]. （A ）)(x f x ? （B ）)(x f x + （C ）)(x f x （D ）x x f 1 )(- 37．=+-+∞→x x x x x x sin 2sin 2lim 22( ) A.2; B.1/2 ; C.不存在； D.0 38．2 | 2|lim 2--→x x x 的值为（ ）。 A.1; B.∞ ; C.不存在； D.0 39．下列函数为偶函数的是( ) A.x x y 23sin = B. x x y 5cos = C. x x y 5cos sin = D. x x y -+=22 40．下列各对函数不相等的是( ). A.55 --=x x y 与???<->=5 151x x y B. 24 2--=x x y 与2+=x y C. 2 4 2--=x x y 与2+=x y )2(≠x D. x x y 22cos sin +=与1=y 41．函数)(x f 在点0x 处有定义是函数)(x f 在点0x 处极限存在的( )条件 A.充分 B.必要 C.充要 D.无关 42．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2 43.函数ln(2)x -的定义域（ ）。 A （0，2） B （2，+∞） C （-2，0） D （-∞，2） 44．当x →∞时，sin ()x f x x = 是（ ）。 A 无界 B 无极限 C 极限为1 D 无穷小量 45．x x 1 sin lim 0→ ( ) A. 0= B. 1= C. 1-= D.不存在但函数有界 46． { ()f x =12x e x k -+ 00 x x ≥ 在0x =连续，则k =（ ）。 A 0 B 1 C 2 D 3 47．已知函数1 1 )(2--=x x x f 和1)(+=x x g ( ) A. )(x f 与)(x g 为同一个函数 B. )(x f 在1=x 处无定义，)(lim 1 x f x →∴不存在 C. )(x f 与)(x g 函数不同，但1→x 时的极限值相同 D. )(x f 与)(x g 都无间断点 48．已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（）。 A -1 B 0 C 1 D 2 49．已知4 1 32lim 23 =--+→x x a x x ，则常数=a ( ) A.3 B.3- C.1 D.1- 50．已知41 21 lim =+-∞→x ax x ，则常数=a ( ) A.2 B.4 C.6 D. 8 三、计算题 1.2 2 011lim x x x --→ 2．设sin 1cos 2x f x ? ?=+ ?? ? 求()f x 3．设()f x ln x =，()g x 的反函数()() 1 211 x g x x -+= -，求()()f g x 4．判别()f x ( ln x =的奇偶性。 5 ． 1 x →6. x x x )31(lim -∞→ 7. x x x 2)11(lim -∞→ ８. 求 2 21lim n n n ++++∞→ ９. 3 1 lim 3+→x x 10. 9 3 lim 23--→x x x 11. x x x 1 1lim --→ 12. 求当x →∞时，下列函数的极限11 2323+-+-=x x x x y 13. 求当x →∞时，下列函数的极限11 232+-+-=x x x x y 14. x x x 3sin lim 0→ 15. 20cos 1lim x x x -→ 16. 3 11lim -∞ →? ? ? ??+n n n 17. x x x x n ---→3211 2lim 18. )1 2 11( lim 21 ---→x x n 19. x x x ?? ? ??-∞ →11lim 20. 试确定常数a ，使得函数21sin 0()0 x x f x x a x x ?>?=??+≤? 在(,)-∞+∞内连续 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0( 班级：_______________ 学号：______________ 姓名：________________ 第十三章 多元函数的极限与连续性 §1. 平面点集 1.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)(){}2 ,|E x y y x =<； (2)(){}2 2,|1E x y x y =+≠；(3)(){},|0E x y xy =≠； (4)(){},|0E x y xy ==；(5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+；(6)()1,|sin ,0E x y y x x ?? ==>???? ； (7)(){}2 2,|10,01E x y x y y x =+==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 2．证明：平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数 N ，使得当n N >时，对一切正整数p ，都有(,)n n p P P ρε+<. （其中(,)n n p P P ρ+表,n n p P P +之间的距离） §2. 多元函数的极限和连续性 1.求下列极限（包括非正常极限）： (1) 2200lim x y x y x y →→++； (2) ()332200 sin lim x y x y x y →→++； (3) 2200 x y →→； (4) ()22 00 1 lim sin x y x y x y →→++； (5) ()2 2 2 2 lim ln x y x y x y →→+； (6) 00lim cos sin x y x y e e x y →→+-； (7) 3 2 2 4200 lim x y x y x y →→+； (8) ()02 sin lim x y xy x →→； (9) 10 ln y x y x e →→+ (10) 12 1 lim 2x y x y →→-； (11) 4400 1 lim x y xy x y →→++； (12) 2222001lim x y x y x y →→+++； 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x 第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有． 注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< 函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x + 3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→ 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、 对数函数、 幂函数、 三角函数和反三角函数经 过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题： （ 1）若 f (x) 在 x 0 点连续，则 f ( x) 在 x x 0 点必有极限 （2）若 f ( x) 在 x x 0 点有极限，则 f ( x) 在 x 0 点必连续 （3）若 f ( x) 在 x x 0 点无极限，则 f ( x) 在 x x 0 点一定不连续 （4）若 f ( x) 在 x x 0 点不连续，则 f (x) 在 x x 0 点一定无极限。 其中正确的命题个数是（ B ） A 、 1 B 、2 C 、 3 D 、 4 2、若 lim f ( x) a ，则下列说法正确的是（ C ） x x 0 A 、 f ( x) 在 x x 0 处有意义 B 、 f ( x 0 ) a C 、 f ( x) 在 x x 0 处可以无意义 D 、 x 可以只从一侧无限趋近于 x 0 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点 x 0 处连续的充要条件是在点 x 0 左、右连续 B 、函数 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 lim f ( x) f ( lim x) x x 0 x x 0 C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数 f (x) 有 lim f ( x) f ( x 0 ) x x 0 4、已知 f ( x) 1 ，则 lim f ( x x) f ( x) 的值是（ C ） x x 0 x 1 1 B 、 x D 、 x A 、 C 、 x 2 x 2 5、下列式子中，正确的是（ B ） x x 2 1 x 1 x A 、 lim 1 B 、 lim 1 C 、 lim D 、 lim 0 1 x 0 x x 1 2(x 1) x1 x 1 x 0 x 6、 lim x 2 ax b ，则 a 、 b 的值分别为（ A ） 1 x 5 x 1 A 、 7和 6 B 、 7和 6 C 、 7和 6 D 、 7和 6 7、已知 f (3) 2, f (3) 2, 则 lim 2x 3 f ( x) 的值是（ C ） x 3 x 3 A 、 4 B 、 0 C 、 8 D 、不存在 8、 lim x a （ D ） 3 3 x a x a 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ） 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
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