第十六章多元函数的极限与连续习题集课

第十六章 多元函数的极限与连续 练习题一、选择题1、 下列说法错误的是（ A ） A ．界点一定是聚点 B 内点一定是聚点 C 孤立点一定是界点D 界点不一定是聚点.2、 平面点集()}2,2,2,{>+<<y x y x y x 是（ B ）A. 有界闭区域B. 有界开区域C.无界集D. 无界开区域.3、平面点集),0()1,0(+∞⨯是（ B ）A. 有界区域B. 开集C.闭集D. 非开非闭的集合 4、设d c b a ,,,是不相等的实数，平面点集),[),[d c b a ⨯是（ A ）. A. 有界区域 B. 开集 C. 闭集 D. 无界区域 5、已知xy y x y x f ++=)cos(),(，则(,)+-=f x y x y （ B ） A. xy y x ++)cos( B. 222cos y x x -+ C. 22)cos(y x y x -++ D. xy x +2cos 6、 设=),(y x f xyyx +，则(,)+-=f y x y x （ B ） A.222x y x - B.222x y y - C.222y x x - D. 222yx y-7、设极限()()00,,lim (,)→=x y x y f x y A ，=ρ（ C ）.A.对,0>∀δ ，总,0>∃ε，当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(;B. 若,0>∃ε，对 ,0>∀δ ，当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(;C. 对每个,10<<ε总,0>∃δ 当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(;D. 若,0>∃δ，,0>∀ε当 δρ<<0 时，有 ε<-A x f )(.8、下列说法错误的是（ C ） A. 若),(lim lim 00y x f x x y y →→与()()00,,lim (,)→x y x y f x y 都存在，则两者相等.B. 若),(lim lim 00y x f y y x x →→与),(lim lim 00y x f x x y y →→ 都存在但不相等，则()()00,,lim (,)→x y x y f x y 不存在.C. 若),(lim lim 00y x f y y x x →→与),(lim lim 00y x f x x y y →→ 都存在且相等，则()()00,,lim (,)→x y x y f x y 必存在.D. 若),(lim lim 00y x f y y x x →→、),(lim lim 00y x f x x y y →→与()()00,,lim (,)→x y x y f x y 都存在，则三者相等.9、函数xy y x y x f 1sin 1sin),(+=在点)0,0(的二重极限与累次极限的情况为 （ D ）. A. 两个都存在. B. 两个都不存在. C. 累次存在，二重不存在. D. 累次不存在，二重存在.10、(,)(0,0)limx y →=（ D ）A.21 B. 1 C. 2 D. -4111、22)0,0(),(limy x xyy x +→ （ D ）A. 等于21 B. 等于0 C. 等于21kk + D. 不存在 12、(,)lim →=x y （ B ）.A. ;1B. .0;C. ;21D. 不存在 13、下列错误的是（ B ） A.01sin)(lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x B. 0lim 22)0,0(),(=+→yx xyy x C. 0limlim 2200=+→→y x xy y x D.0lim lim 2200=+→→y x xyx y 14、=++→2222)0,0(),()sin(lim y x y x y x （ A ）A. ;1B. .0;C. ∞D. 不存在也不是∞15、设22220(,)00+≠=+=⎩x y f x y x y ，则下列结论正确的是（ D ）.A.(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 不存在. B.(,)(0,0)lim (,)1→=x y f x yC. (,)f x y 在()0,0不连续.D. (,)f x y 在2R 上连续.二、填空题1、点集{}10),(22<+<=y x y x E 的聚点集合为 答案：(){}22,1+≤x y xy2、 函数)2ln(),(x y y x f -=的定义域为 . 答案：()1,:2⎧⎫>⎨⎬⎩⎭x y y x 3、函数(,)f x y =的定义域是_____________. 答案：{}y x y x y x ≥<+41:).(22且4、函数(,)=f x y 的定义域是_____________. 答案：(){}2222,124，且+>+≠≤x y xy x y y x5、1142222-++--=y x y x z 的定义域是__________________.答案：(){}22,14<+≤x y xy6、)4ln(92222-++--=y x y x z 的定义域是______________答案：(){}22,49<+≤x y xy7、函数2222),(yx y x y x f -+=的定义域为_____________. 答案：(){},:≠x y x y8、11lim)0,0(),(-+→xy xy y x ＝__________.答案：2 9、22)0,1(),()ln(limyx e x y y x ++→=________.答案：2ln10、=++→2222)0,0(),()sin(lim yx y x y x ________.. 答案：1 11、()()()=→y xy y x sin lim0,2,_____________.答案：2 12、(,)(0,0)11lim sin sin x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = . 答案：0 13、()()()=++→220,0,1sinlimyx y x y x _____________. 答案：014、已知xy y x y x f ++=)cos(),(，则_________________),(=-+y x y x f . 答案：222cos y x x -+ 15、11sin),(22-+=y x y x f 的间断点是_____________.答案：(){}22,1x y xy +=三、证明题和计算题1、证明22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→ 不存在.证明：因为 ()()()22442222,0,00limlim 1→→===+-x y x y xx y x x x y x y 而 ()()()222222,0,00lim0→==+-x y y x y x y x y故22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在. 2、证明y x yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.证明: 因为()(),0,000limlim 1→→=+==-x y x y x y xx yx 而()(),0,000limlim 1→→=+==---x y x x x y yx yy 所有y x yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.3、用定义证明()()222,0,0lim0→=+x y xy x y 证明 222220-≤⋅≤++xy xyy y x y x y所以对0∀>ε，取=δε，则当,(,)(0,0)且<<≠x y x y δδ时，有2220-<+xy x y ε由定义知()()222,0,0lim0→=+x y xy x y 4、用定义证明()()2222,0,0lim0→=+x y x y x y 证明()222222222220+-≤≤+++x y x y x y x y x y所以对0∀>ε，取=δ则当0<<δ时，有22+<x y ε从而22220-<+x y x yε，由定义知()()2222,0,0lim 0→=+x y x y x y 5、设2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y xy x y f x y x y x y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩，， 证明(,)(0,0)lim (,)0.x y f x y →=证明： 222222222202x y x y x y xy x y x y -+--≤++222211(),22x y x y =-≤+可知0,ε∀>0,δδ∃=<<当时有22220,x yxy x y ε--<+ 所以(,)(0,0)lim (,)0.x y f x y →=6、求极限.42lim)0,0(),(xy xy y x +-→解(,)(0,0)(,)limlimx y x y →→=(,)1lim4x y →==7、求极限.11lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x解22(,)(,)(0,0)limlimx y x y →→==(,)(0,0)lim 1)2x y →=8、求极限()()2222,0,01lim →+++x y x y x y解 因为()()2222,0,0lim01→+=++x y x y x y 所以()()2222,0,01lim→++=+∞+x y x y x y 9、求极限()()()22,0,01limsin→++x y x y x y解：()221sin+≤+≤++x y x y x y x y，而()()(),0,0lim 0→+=x y x y ()()()22,0,01limsin0→+=+x y x y x y ，从而()()()22,0,01lim sin 0→+=+x y x y x y10、求极限()()()2222,0,0sin 2lim→++x y x y x y解：令22=+t x y ，则()(),0,0→x y 等价于0→t所以()()()2222,0,000sin 2sin 2sin 2limlim2lim 22→→→+===+x y t t x y t tx y t t。

第十六章 多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1.叙述0lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ．lim ()0,0,P P f P A εδ→=⇔∀>∃>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-<（方形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<（圆形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=∞的定义．000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有0,0,0(,)G f x y Gδδ⇔∀>∃><<>当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞⇔∀>∃>-<-<≠<-当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有．3.叙述0(,)(,)lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=⇔∀>∃>∃>>-<-<当时，有4.叙述0(,)(,)lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞⇔∀>∃>∃>-<<->当时，有5. 叙述(,)(,)lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义．(,)(,)lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞⇔∀>∃><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,)lim(,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，∆取0,,,x ∞+∞-∞，W 取0,,,y ∞+∞-∞．6.叙述f 在点0P 连续的定义．f 在点0P 连续⇔ε∀， 0δ∃>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-<⇔ε∀， 0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<⇔ε∀，0δ∃>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．7.叙述f 在D 上一致连续的定义．f 在D 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<8.叙述f 在D 上不一致连续的定义．f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥二 疑难问题与注意事项1. 00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<表示空心邻域吗？答：不是．0000{(,)|,,(,)(,)}x y x x y y x y x y δδ-<-<≠只是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉一点00(,)x y ，而00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉了两条线段，000{(,)|,}x y x x y y y δδ=-<<+，000{(,)|,}x y y y x x x δδ=-<<+．2. E 的界点是E 的聚点吗？答：不一定，E 的界点还可能是E 的孤立点．3. E 的聚点一定属于E 吗？答：不一定，例如，22{(,)|14}D x y x y =≤+<，满足224x y +=的一切点也是D 的聚点，但它们都不属于D ．注 E 的内点，孤立点一定属于E ，E 的聚点，界点可能属于E ，也可能不属于E ，E 的外点一定不属于E ．4.区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．5. 12x x -1212x x y y -+-之间有什么关系？答：()12121212x x y y x x y y --≤≤-+-或．6.用方形邻域证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=的思路是什么？答：证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=怎么证呢？------关键也是找δ.（用方形邻域的思路0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.）当00(,)(,)x y x y →，有00(,)(,)x y x y ≠，把(,)f x y A -化简为下述形式:()()00(,),,f x y A x y x x x y y y ϕψ-=-+-（注意一定要出现0x x -，0y y -）.然后将()(),,,x y x y ϕψ适当放大，有时先要限定01x x δ-<，01y y δ-<,估算得()(),,,x y M x y N ϕψ≤≤,则（最综化简到00(,)f x y A M x x N y y -≤-+-这个形式）；0>∀ε，要使(,)f x y A -<ε，只要()00M x x N y y M N -+-<+δ<ε，即要M N εδ<+，取1min(,)M Nεδ=δ+，于是0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.7. 证明判断二元函数(),f x y 在(,)(0,0)x y →时二重极限不存在？ 答：1）当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim (,)x y y mxf x y →=值与m有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．2）令cos x r θ=，sin y r θ=，0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．注意 若0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ无关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在．3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同． 4）证明两个累次极限存在但不相等．8. 当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0) lim (,)x y y mxf x y →=值与m 无关，能说明二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指(,)x y 以任何方式趋于(0,0)时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数，动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式．9.计算二元函数极限有哪些方法？1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++． 解 因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin1x y≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y→+=+． 2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++． 解 利用变量替换．令22ux y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y ux y u→→+==+． 3）利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，如果(cos ,sin )f r r θθ沿径向路径关于[]0,2θπ∈一致成立，则(,)(0,0)lim (,)lim (cos ,sin )x y r f x y f r r θθ→→=；例 求222(,)(0,0)lim x y x yx y →+．解 利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,0)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 4）利用不等式，使用夹逼准则．例 2244(,)(,)limx y x y x y →+∞+∞++ 解 因为2222442222110222x y x y x y x y y x ++≤≤≤++，而22(,)(,)11lim 022x y yx →+∞+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因此2244(,)(,)lim 0x y x y x y →+∞+∞+=+．5）初等变形求极限，如1∞极限，凑()1e +→WW 1，0→W． 例2(,)(,0)1lim1x x yx y x +→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 2(,)(,0)lim(,)(,0)(,)(,0)11lim 1lim 1x y x x xxx yx yx yx y x y ee x x →+∞+++→+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=+==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭．10．重极限与累次极限有什么关系？ 答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等； （3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．11.二元函数(),f x y 在()00,x y 连续，与一元函数()0,f x y 在0x 连续，一元函数()0,f x y 在0y 连续有什么关系？ 答反例 二元函数1, 0,(,)0, 0xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩在原点处显然不连续．但由(0,)(,0)0,f y f x ==因此在原点处f 对x 和对y 分别都连续． 三 典型例题1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．（1）()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+<⎨⎬⎩⎭； （2）()[]{},,0,1E x y x y =都是中的有理数； （3）(){},,E x y x y =都是整数；（4）()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭． 解：（1）E 的内点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=<+<⎨⎬⎩⎭，边界点集合是()2222,1444y y E x y x x ⎧⎫=+=+=⎨⎬⎩⎭或，聚点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭．没有孤立点．（2）E 没有内点，（因为E 中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）； 边界点集合是[][]0,10,1⨯．聚点集合是[][]0,10,1⨯，没有孤立点．（3）E 没有内点，（因为E 中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点） 边界点集合是E ，没有聚点，孤立点集合是E ． （4）E 没有内点，聚点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤，没有孤立点，界点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤．2． 证明0000(,)(,)(),()n n n n x y x y n x x y y n →→∞⇔→→→∞．证：（⇒）由于00(,)(,)()n n x y x y n →→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时ε<，因此有0||n x x ε-<，0||n y y ε-<，即00,()n n x x y y n →→→∞．（⇐）由于00,()n n x x y y n →→→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时有0||2n x x ε-<，0||2n y y ε-<，从而有00n n x x y y ε≤-+-<，即 00(,)(,)()n n x y x y n →→∞．3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子． （2）举出两个累次极限存在，且相等的例子． （3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子． （4）举出两个累次极限都不存在的例子． 解：（1）例如(,)x yf x y x y-=+在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等． 000lim limlim11x y x x y x y →→→-==+，()000lim lim lim 11y x y x yx y →→→-=-=-+． （2）例如22(,)xyf x y x y =+在(0,0)点的两个累次极限存在，且相等．22000limlimlim00x y x xy x y →→→==+，2200lim lim 0y x xyx y→→=+． （3）例如1(,)sinf x y x y=在(0,0)点只有一个累次极限存在． 001limlim sin x y x y →→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在，001limlim sin 0y x x y →→⎛⎫= ⎪⎝⎭． （4）例如11(,)sinsin f x y x y y x=+在(0,0)点两个累次极限都不存在． 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．4．试作函数(),f x y ，使当0x →，0y →时(1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在． 解（1）22(,)xyf x y x y=+，两个累次极限存在（见上题），但()()2222222,0,00 lim lim 1x y x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++， 因为与k 有关系，因此重极限不存在． （2）11(,)sinsin f x y x y y x=+，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在 ()(),0,011lim sin sin =0x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （3）2211(,)f x y x y =+，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在． （4）1(,)sinf x y x y =或1(,)sin f x y y x=． 变形：当x →∞，y →∞时，有10x→，10y →，（1）222211(,)11xyx y f x y x yx y ==++； （2）11(,)sin sin f x y y x x y=+； （3）22(,)f x y x y =+； （4）1(,)sin f x y y x=． 5. 讨论二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0),x x y f x y x y x y α⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)点的连续性．解 令cos x r θ=，sin y r θ=，222(,)(0,0)0cos lim lim x y r x r x y rαααθ→→=+ 当2α>，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知()22(,)(0,0)lim00,0x y x f x y α→==+，因此(,)f x y 在(0,0)点连续；当2α=，由极限值与θ有关，二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续；当2α<，由20cos lim r r r ααθ→不存在，则二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续．6．设(,)f x y 定义在闭矩形域[,][,].S a b c d =⨯若f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续.证明f 在S 上处处连续.分析：要证f 在S 上处处连续，只要证()00,x y S ∀∈，f 在()00,x y 连续，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε-+-<（因为条件是f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，因此插入0(,)f x y .证明：因为f 对y 在[,]c d 上处处连续，则()0,f x y 在0y 连续，于是ε∀，0δ∃>， 当0y y δ-<，就有000(,)(,)2f x y f x y ε-<.因为对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，则有ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<（对任意y 就有0(,)(,)2f x y f x y ε-<.因此ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ε-+-<-+-<.7. 设00lim ()()y y y y A ϕϕ→==，00lim ()()0x x x x ψψ→==，且在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，证明()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.分析：要证()()00,,lim(,)x y x y f x y A →=，只要证0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.而(),f x y 与()y ϕ有关系，因此就要插入()y ϕ，即证(,)()()f x y y y A ϕϕε-+-<.证 由00lim ()()y y y y A ϕϕ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0y y δ-<，有()2y A εϕ-<.由00lim ()()0x x x x ψψ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，有()2x εψ<.因为在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，于是当0x x δ-<，0y y δ-<有(),()2f x y y εϕ-<.因此0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<有(,)()()(,)()()f x y y y A f x y y y A ϕϕϕϕε-+-≤-+-<，因此()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.8. f 在E 上一致连续的充要条件是：对E 中的每一对点列{}{},k k P Q 如果()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，便有()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 证 必要性 f 在E 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<()lim ,0k k k P Q ρ→∞=⇒对上述δ，(),,,k k N k N P Q ρδ∃∀><有，因此()().k k f P f Q ε-< 即()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 充分性 反证法，设f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥则取1,1,2,,k k δ==L 总有相应的k k P Q D ∈、，虽然1(,)k k P Q kρ<，但是 0()().k k f P f Q ε-≥即()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，()()lim 0k k k f P f Q →∞-≠⎡⎤⎣⎦，矛盾.因此f 在E 上一致连续.。

（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.第十六章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<="">二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内点E ∈, 外点E ?, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确定集} 4)2()1(1|),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.7. 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.定义0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 四. 2R 中的完备性定理:1. Cauchy 收敛准则:先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.2. 闭集套定理: [1]P 89.3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:4. n 元函数:Ex [1]P 92—93 1—8 .§2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限:1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或A y x f y y x x =→→),(lim 00例1 用“δε-”定义验证极限7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x .[1]P 94 E1.例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3 设??=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.Th 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f DP P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .2 方向极限:方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等?/ 二重极限存在( 以下例5 ).例4 设??=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.例5 设+∞<<-∞<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f yx →不存在. [1]P 95 E4.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222yx y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(yx y x +++. 3．极限),(lim),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设22),(yx xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设xy y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.Ex [1]P 99 2§3 二元函数的连续性 (2 时 )一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.2.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 设=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例1 设+∞<<∞-<<=., 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101)证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性: 定义.三.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性. ( 证)2.3.一致连续性. ( 证)4.介值性与零点定理. ( 证)Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.。

第十六章多元函数的极限与连续1．证明: 对任何, 它的导集必为闭集.2．设是中两个不相交的开集, 证明.3．证明: 对任何, 它的边界必为一闭集.4．证明闭域必为闭集.5．讨论下列函数在时的极限不存在:(1); (2) ;(3).6. 设在点的某邻域内有定义, 且满足:(1) 在中, 对每个, 存在;(2) , 关于中的一致.试证明:.7. 设. 证明:(1) , 使得在或上, 有;(2) .8. 设. 证明:(1) ;(2) 不存在.9. 证明: 在上一致连续.10. 设是上的实值函数. 证明: 在上连续的充要条件是对于中的每个开集, 集合亦必为开集.11. 证明: 若为一有界开集, 则在上一致连续的充要条件是:在上连续, 且对任何点, 极限都存在(即在上的连续性能延拓到).12. 设为连续函数. 试证: 存在(), 则在上一致连续.13. 设, . 试证在上一致连续的充要条件是: 对中每一对点列, , 如果, 便有.第十六章多元函数的极限与连续一、选择题（每小题2分）1、极限的涵义是（）A、对，总，当时，有。

B、若，对，当时，有。

C、对每个，总，当时，有。

D、若，，当时，有。

2、设，则（）A、存在且等于0B、不存在C、存在可能不为0D、可能存在，也可能不存在3、函数在间断，则（）A、函数在处一定无定义B、函数在处极限一定不存在C、函数在处可能有定义，也可能有极限D、函数在处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值4、（）A、 1B、不存在C、D、05、函数在处存在二重极限是函数在该点连续的（）A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件6、函数在原点（0，0）间断，是因为（）A、在原点无定义B、在原点无极限C、在原点有极限，无定义D、在原点有极限但不等于其函数值7、下面断语正确的是（）A、点集的界点一定是其聚点B、开集一定是开域C、闭域一定是闭集D、闭集一定是闭域8、下面断语正确的是（）A、区域上的连续函数必有界B、区域上的连续函数必有最大值和最小值C、区域上的连续函数必一致连续D、在区域上连续，为 D 的内点，且，则对必，使二、判断题（每小题2分）1、若函数在连续，则其二重极限必存在。

第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。

(1)[,)[,);a b c d ´ (2){(,)0};x y xy ¹(3){(,)|0};x y xy = (4)2{(,)|}x y y x > (5){(,)|2,2,2}x y x y x y <<+> (6)22{(,)|10,01}x y x y y x +==＃或； (7)22{(,)|10,12};x y x y yx +?＃或(8){}N +Î（x,y）|x,y ; (9)1{(,)|sin };x y y x=解：（1）有界集、区域，其聚点为{(,)|,}.E x y a x b c y d =＃＃(2)开集，聚点为2,E R =界点为{(,)|0};x y xy = (3)闭集，{(,)|0},E x y xy ==界点为{(,)|0}.EE x y xy ?==（4）区域，开集，其聚点为2{(,)|},E x y x y = 界点为2{(,)|}.x y y x = （5）有界集，区域，开集，其聚点为{(,)|2,2,2},E x y x yxy =＃?界点为{(,)2,02{(,)|2,02}{(,)|2,02}x y x yx y y xx y x y x=＃=＃+=＃（6）有界集，闭集，其聚点为22{(,)10,01},E x y x y y x =+==＃或界点为EE ?。

（7）有界集、闭集，其聚点为22{(,)|10,12};E x y x y yx =+?＃或界点为22{(,)|10,12}.Ex y x y y x ?+==＃或（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(,)|,}.x y x y z Î （9）闭集1{(,)|sin ,0}{(0,)1}E x y y x y y x==> ，界点为.EE ?2.试问集合{(,)|0,0}x y x a y b d d <-<<-<与集合{(,)|,},(,)(,)x y x a y b x y a b d d -<-< 是否相同？ 解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。

第十六章 多元函数的极限与连续一、 选择题（每小题2分） 1、极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →= 的涵义是（ ）A 、 对 0δ∀> ，总 0ε∃>，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。

B 、 若0ε∃>，对 0δ∀> ，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。

C 、 对每个01ε<< ，总 0δ∃>，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。

D 、 若0δ∃>， 0ε∀>，当 0ρδ<< 时，有 (,)f x y A ε-<。

2、设 0lim (,0)0,lim (0,)0,lim (,)0x x y y kx f x f y f x y →→→=→===，则(,)(0,0)lim (,)x y f x y →（ ）A 、存在且等于0B 、不存在C 、存在可能不为0D 、可能存在，也可能不存在 3、函数 (,)f x y 在 000(,)P x y 间断，则（ ） A 、 函数在 000(,)P x y 处一定无定义 B 、 函数在 000(,)P x y 处极限一定不存在C 、 函数在 000(,)P x y 处可能有定义，也可能有极限D 、 函数在 000(,)P x y 处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值 4、(,)limx y →=（ ）A 、 1B 、不存在C 、12D 、0 5、函数 (,)f x y 在 000(,)P x y 处存在二重极限是函数在该点连续的（ ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件6、函数 2222220(,)00xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在原点（0，0）间断，是因为(,)f x y （ ）A 、在原点无定义B 、在原点无极限C 、在原点有极限，无定义D 、在原点有极限但不等于其函数值 7、下面断语正确的是 （ ）A 、点集的界点一定是其聚点B 、开集一定是开域C 、闭域一定是闭集D 、 闭集一定是闭域 8、下面断语正确的是 （ ） A 、 区域上的连续函数必有界B 、区域上的连续函数必有最大值和最小值C 、区域上的连续函数必一致连续D 、f 在区域2D R ⊂上连续， 12,P P 为D 的内点，且12()()f P f P <， 则对12:()()f P f P μμ∀<< 必 0P D ∃∈ ，使0()f P μ=二、 判断题 （每小题2分）1、若函数 (,)f x y 在00(,)x y 连续，则其二重极限必存在。