函数、极限与连续 复习题
一.填空题: 1. 函数1
1ln
+-=x x
y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1
2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1
1x -.
3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-.
4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+.
5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e
6. =∞→x
x
x sin lim
0 .
7. =-∞→n n n
)1
1(lim 1e -
8. 5
432lim 42-+-∞→n n n n =0
9. 设43
2lim
23=-+-→x k
x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+=
1
3
4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1
2
__，=b __3__. 12. 函数3
21
2
--=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1)
y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）
A 、x
1sin B 、x 1
cos C 、x e 1
D 、)
1ln(2x +
3、A x f x x =→)(lim 0
（A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ）
A 、一定有定义
B 、一定无定义
C 、有定义且A x f =)(0
D 、不一定有定义
4、设⎩⎨⎧≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ）
A 、0
B 、1
C 、—1
D 、2
1 5、函数)(x f =
3
2
-x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞
→
解：)1(lim 2
x x x x -++∞
→
=lim x
lim x =
lim x =1
2 2. 3
tan sin lim
x x x
x
→- 解：30tan sin lim x x x x →-=32
00
sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x
x x x x x →→--= =20
1cos lim x x x →-=2
202lim x x x →=12
3. x
x x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-∞→11lim
解：x
x x x ⎪⎭⎫
⎝⎛+-∞→11lim =11lim 11x
x x x →∞⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
+⎝
⎭=1e e -=2e - 4. x
x x
x x 3sin 2sin lim
0-+→
解：x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→=0sin 21lim
sin 31x x
x x x
→+
-
=123132+=-- 5. 5
21sin
lim
2+∞→x x x x 解：521sin lim
2+∞→x x x x =1sin
lim()1
25x x x x x
→∞⋅+=11122⨯= 6.
lim
x x x x
x
∆→+∆-∆
解
：
00()()lim
lim lim ()2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+===∆+∆++∆+ 四.讨论函数⎩⎨⎧=≥-<+=00,2,
0,1)(x x x x x x f 在点处的连续性,并作出它的图像.
解：在点x=0处
0(00)lim(1)1x f x -
→-=+=，0(00)lim(2)2x f x +
→+=-=
(00)(00)f f -≠+
()f x ∴函数在点x=0处不连续
函数的图形如下
五.设⎪⎩⎪⎨⎧
+∞-∞≤+>=),()(.
0,,
0,1sin )(2
在要使x f x x a x x
x x f 内连续,应当怎样选择数a. 解：1
0,()sin x f x x x
>=时是初等函数，连续
