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高中数学复习专题讲座(第22讲)曲线轨迹方程的求法

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第1页 共8页 题目 高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法

高考要求

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点

重难点归纳

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程

(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求

(3)相关点法

根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念

典型题例示范讲解

例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程

知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程

错解分析 欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题

技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程

解 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=22)4(yx

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 BQRAPoyx

第2页 共8页 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx,

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

244)2()24(22xyx－10=0

整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

例2设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程

知识依托 直线与抛物线的位置关系

错解分析 当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论

技巧与方法 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系

解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)

直线AB的方程为x=my+a

由OM⊥AB，得m=－yx

由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0

所以y1y2=－4pa, x1x2=22122()(4)yyap

所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2

所以244apaap

故x=my+4p,用m=－yx代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法二 设OA的方程为ykx，代入y2=4px得222(,)ppAkk

则OB的方程为1yxk，代入y2=4px得2(2,2)Bpkpk

∴AB的方程为2(2)1kyxpk，过定点(2,0)Np，

由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外） NAMBoyx

第3页 共8页 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法三 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为ykx，

代入y2=4px得222(,)ppAkk

则OB的方程为1yxk，代入y2=4px得2(2,2)Bpkpk

由OM⊥AB，得

M既在以OA为直径的圆 222220ppxyxykk„„①上，

又在以OB为直径的圆 222220xypkxpky„„②上（O点除外），

①2k+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

例3某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力

知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点

错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键

技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程

解 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则

|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5－r)=2 5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为

3225)41(1622yx=1 ①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 QPBAoyx

第4页 共8页 (x－21)2+34y2=1 ②

由①、②可解得)1412,149(),1412,149(QP，

∴r=73)1412()149(2322

故所求圆柱的直径为76 cm

例4已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线

解 建立坐标系如图所示，

设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)

设M(x,y）是轨迹上任意一点

则由题设，得||||MBMA=λ,坐标代入，得2222)()(yaxyax=λ,化简得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0

(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)

(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+221)1(2ax+a2=0 点M的轨迹是以(－221)1(a，0）为圆心，|1|22a为半径的圆

学生巩固练习

1 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )

A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线

2 设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )

A 14922yx B 14922xy M(x,y)B(a,0)A(-a,0)oyx

第5页 共8页 C 14922yx D 14922xy

3 △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________

4 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________

5 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程

6 双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程

7 已知双曲线2222nymx=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q

(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率

8 已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值

参考答案

1 解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,

∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,

即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆

答案 A O'FEDCBAMPQA2A1oyxRPQF2F1oyx

第6页 共8页 2 解析 设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)

∵A1、P1、P共线，∴300xyxxyy

∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy

解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得

答案 C

3 解析 由sinC－sinB=21sinA,得c－b=21a,

∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax

答案 )4(1316162222axayax

4 解析 设P(x,y），依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0

答案 4x2+4y2－85x+100=0

5 解 设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P 由切线的性质知 |BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为728122yx=1(y≠0)

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高中数学椭圆双曲线练习卷(含答案)

高中数学椭圆双曲线练习卷(含答案)

高中数学 高二数学练习卷一 （椭圆、双曲线）

班级 姓名

一、填空题

1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都在坐标轴上，过点(3,0)A，则椭圆的方程是2219xy或221981xy．

2．双曲线的渐进线方程为xy21，且焦距为10，则双曲线方程为 221205xy或221520yx

3．与圆22(3)1xy及圆22(3)9xy都外切的圆的圆心轨迹方程为22118yxx．

4．过点（2，-2）且与双曲线22xy2=1有相同渐近线的双曲线方程是22124yx

5．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是0,152，则椭圆的标准方程是2218020xy。

6．若方程axay31lg22表示两个焦点都在x轴上的椭圆，则a的取值范围是

31101a.

7．已知椭圆19822yax的离心率21e，则a的值等于544或-．

8．椭圆221123xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，那么1||PF=732．

9．已知点P在双曲线22259xy=1上,满足|PF1| =12，则|PF2| =2或22.

10．双曲线1422kyx的离心率(1,2)e，则k的取值范围是(4,0)

高中数学 11.已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 xy43

12．曲线C的方程为431222ykxk （Rk），

当1k时，曲线C为圆；当k1,11,3时，曲线C为椭圆；当k

3,13,时，曲线C为双曲线；当1k或3k时，曲线C为两直线.

13．P是椭圆14522yx上的一点，1F和2F是焦点，若1230FPF，则12FPF的面积等于843

高中数学会考复习资料基本概念和公式

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高中数学会考基础知识汇总

第一章 集合与简易逻辑：

一．集合

1、 集合的有关概念和运算

（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；

（2）元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；

2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB，

注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

3、真子集定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：BA；

4、补集定义：},|{AxUxxACU且；

5、交集与并集 交集：}|{BxAxxBA且；并集：}|{BxAxxBA或

6、集合中元素的个数的计算： 若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

二．简易逻辑：

1．复合命题： 三种形式：p或q、p且q、非p；

判断复合命题真假：

2.真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。

3.四种命题及其关系：

原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；

否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p；

互为逆否的两个命题是等价的。

原命题与它的逆否命题是等价命题。

4.充分条件与必要条件：

若qp，则p叫q的充分条件；

若qp，则p叫q的必要条件；

若qp，则p叫q的充要条件；

第二章 函数

一． 函数

1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，

记作f：A→B，若BbAa,，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。

2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），

高中数学寒假专题复习资料第二讲解析几何新人教A版必修2(2021学年)

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1 高中数学 寒假专题复习资料 第二讲 解析几何 新人教A版必修2

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第二讲 解析几何 新人教A版必修２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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2 第二讲 解析几何

一．直线与圆

1.直线的倾斜角

(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。

(２)范围：直线l倾斜角的取值范围是［0，π）．

2.斜率公式

(1)直线l的倾斜角为α≠90°,则斜率k=tａn_α。

(2)P1（ｘ1，ｙ1)，P２(x2,y2)在直线ｌ上，且x1≠ｘ２,则l的斜率k=＼f（y2-y１，x2-x1)。

3．直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 y－ｙ0＝k（x-ｘ0)

不含直线x=x0

斜截式 y=ｋx+b 不含垂直于ｘ轴的直线

两点式 错误!＝错误! 不含直线x＝x1(x1≠x2）

和直线y=ｙ1（y1≠y2）

截距式 错误!＋错误!=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By+Ｃ＝0,

A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用

4．两条直线平行与垂直的判定

(１)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l１，l2，若其斜率分别为ｋ1，ｋ2,则有l1∥l2⇔k1=k２． 3 ②当直线l１，l２不重合且斜率都不存在时,l１∥ｌ2。

(２）两条直线垂直:

2019-2020年高中数学 第二第9课时《等比数列的概念和通项公式》教案 (学生版)苏教版必修5

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（学生版）苏教版必修5

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学习要求

1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；

2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；

3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.

【自学评价】

1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）

注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛｝成等比数列=q（,q≠0）

⑵ 隐含：任一项

⑶______________时，{an}为常数列.

2.等比数列的通项公式：

⑴ ______________________

⑵

3．既是等差又是等比数列的数列：_______．

4.等比中项的定义：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且

5．证明数列为等比数列：

⑴定义：证明=常数；

⑵中项性质：212121nnnnnnnaaaaaaa或；

【精典范例】

【例1】判断下列数列是否为等比数列：

（１）１，１，１，１，１；

（２）０，１，２，４，８；

（３）1，，，，.

【解】

【例2】求出下列等比数列中的未知项：

（１）２，ａ，８；

（２）－４，ｂ，ｃ，．

【解】

【例3】在等比数列{an}中，

（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；

（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．

【解】

【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．

【解】

追踪训练一

1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：

（1）２，６，１８，５４，…；

（2）7，，，

（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；