高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算

高二数学《极限的求解》知识点梳理2023极限是数学分析中非常重要的概念之一，它不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在其他学科如物理、经济学等领域也都得到了广泛的运用。

而在高二数学学习中，对于极限的求解，我们需要系统地掌握各种方法和技巧。

下面将对高二数学《极限的求解》的知识点进行梳理，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数值的变化趋势。

数学上可以用极限符号来表示，即lim。

对于函数f(x)，x趋于a时的极限可以表示为lim(x→a) f(x) = L。

其中，a为趋近的特定值，L为极限值。

极限的计算需要根据不同的情况采用不同的方法，下面将介绍几种常用的计算方法。

二、极限的计算方法1. 无穷大与无穷小在极限的计算中，无穷大与无穷小是经常会遇到的概念。

当x趋于无穷大时，我们可以利用无穷大与无穷小的性质来计算极限。

例如，当x趋于无穷大时，如果f(x)是一个无穷大量，而g(x)是一个无穷小量，那么极限lim(x→∞) (f(x) ± g(x)) = ± ∞。

这个性质在实际计算中非常有用。

2. 有理函数的极限有理函数是指多项式相除得到的函数，例如f(x) = (ax^2 + bx +c)/(dx + e)。

在计算有理函数的极限时，可以采用分子分母同时除以最高次幂的方法，将有理函数化简为一种更容易计算的形式。

例如，对于函数f(x) = (x^2 + 2x + 1)/(x + 1)，可以将分子分母同时除以x，得到f(x) = (1 + 2/x + 1/x^2)/(1 + 1/x)。

当x趋于无穷大时，我们可以忽略掉分式中低次项的影响，从而计算极限。

3. 三角函数的极限三角函数在极限的计算中也经常会出现。

对于常见的正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)，当x趋于0时，可以利用它们的性质进行极限的计算。

例如，lim(x→0) sin(x)/x = 1，lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2。

高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。

本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。

一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。

即极限是函数在某一点附近的局部性质。

2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。

3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。

二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。

2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。

3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。

4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。

三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。

2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。

四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。

2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。

3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。

五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。

x 2 - x + 1 + ax + b导考生深入地理解极限的概念并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限0 高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算极限的概念及其渗透的思想 在数学中占有重要的地位 它是人们研究许多问题的工 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一本节内容主要是指重难点归纳运算法则中各个极限都应存在无限个lim(-1)n= 0,lim a n= 0(| a |< 1)⎧ a 0 ⎪ b,当k = l 时 n →∞nn →∞a x k + a x k -1 + + a ⎪⎪ 0 1k lim n →∞ b 0 x + b 1 xl -1 + + b 1 = ⎨0,当k < l 时 ⎪不存在,当k > l 时⎪ ⎪⎩例 1 已知 lim (－ax －b )=0,确定a 与b 的值 x →∞在数列与函数极限的运算法则中都有应遵循的规则也有可利用的规律因而本题重 点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能解决本题的 闪光点是对式 子进行有理化处理这是求极限中带无理号的式本题难点是式子的整理过程繁琐稍不注意就有可能出错 有理化处理lim (- ax - b ) =lim ( x 2 - x + 1) - (ax + b )2x →∞x →∞= lim (1 - a x →∞)x 2 - (1 + 2ab )x + (1 - b 2 )要使上式极限存在则 1－a 2=0,当 1－a 2=0 时- (1 + 2ab ) + 1 - bx 2 - x + 1 x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 + ax + b高考要求具 1 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 在商的运算法则中要注意对式子的恒等变形有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧如 典型题例示范讲解命题意图 既有章可循 有法可依 力知识依托 子常用的一种方法错解分析技巧与方法解 l 22上式= limx→∞ - (1 - 2ab)x + (1 - b2 ) =x2=- (1 + 2ab)1 + a由已知得- (1 + 2ab)= 01 + ax 2 - x + 1+ ax + b⎨ 1 2 n n n n n(3)当 0＜b ＜1 时求极限 lim S n⎧1 - a 2 = 0 ⎪⎨- (1 + 2ab ) ⎪ = 0 ⎧a = 1解得 ⎪ 1 ⎪b = - ⎩ 1 + a⎩ 2 例 2 设数列 a ,a ,…,a ,…的前 n 项的和 S 和 a 的关系是 S =1－ba － 1(1 + b )n,其中 b (1)求 a n 和 a n －1 的关系式； (2)写出用 n 和 b 表示 a n 的表达式；n →∞历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式 前n 项和 S n等有紧密的联 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限 或先求出前 n 项和S n再求极限 错解分析本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及 n =1 与 n =2 时的式子不统一性抓住第一步的递推关系式去寻找规律(1)a =S －S=－b (a －a)－1+1 n n n －1 nn －1(1 + b )n(1 + b ) n -1bb b=－b (a n －a n －1)+(1 + b )n (n ≥2)解得 a n = a n -1 + 1 + b (1 + b )n +1(n ≥2)(2) a = S = 1 - ba - 1 ∴a =b1 1 1, 1 + b 1(1 + b )22∴a = b [ b a + b ] + 1 = b 2 a + b + b n 1 + b 1 + b n -2 (1 + b )n (1 + b )n +12( ) 1 + b n -2 (1 + b )n +1= ( b )2 1 + b [ b 1 + b a n -3 +b ] + (1 + b )n -12 3b + b (1 + b )n +1= ( b )2 a + b + b + b ,1 + b n -3 (1 + b )n +12 3n -1由此猜想a= ( b)n -1 a + b + b + b + + bn1 + b1(1 + b )n +1把a 1=b (1 + b )2代入上式得 ∴ 是与 n 无关的常数且 b ≠－1命题意图 系 本题考查学生的综合能力技巧与方法 解2n 2+ n - 1 =⎧ b - b n +1 n ⎪(b ≠ 1) a n = b + b 2 + + b (1 + b )n +1 ⎪(1 - b )(1 + b )n +1= ⎨ ⎪n⎪⎩ 2n +1 (b = 1)n +1 (3)S n = 1 - ba n - 1 (1 + b )n n +1= 1 - b ⋅ b - b (1 - b )(1 + b )n +1 - 1 (1 + b )n = 1 - 1 (1 + b )n- b (b - b 1 - b ) ( 1 1 + b )n +1 (b ≠ 1), 0 < b < 1时, lim b nn →∞= 0, lim ( n →∞ 1 )n 1 + b= 0,∴ lim S n n →∞= 1.例 3 求 n n -1n →∞ 2n + an +1a n + 2n -1 解 :当a > 2或a < -2时, lim 21+ 1 ( 2 ) = lim a a 2n -1= 1 ; n →∞n+ a n +1n →∞( )n + a aa当- 2 < a < 2时, lima n + 2n -1 += ( a )n +1 2 2 a = 1 ; n →∞ 2n + a n 1n →∞ 2 + a ( )n 4 2当a = 2时, lima n + 2n -1 = lim3⋅ 2n -1 = 1 ; n →∞ 2n + a n +1 n →∞ 6 ⋅2n -12a n + 2n -1 (-2)n+ 2n -1⎧-2n+ 2n -1⎪⎪ 2n + 2n +1-2n -1 = 3⋅ 2n = - 1 (n 为奇数) 6 当a = -2时,= = ⎨2n + a n +1 2n + (-2)n +1 ⎪2n + 2n -1 ⎪⎩ - 3⋅ 2n -1 = - = - 3 (n 为偶数) 2n 2n +1 2n 2a n 是(1+x )n 展开式中含 x 2 的项的系数则1 1lim ( + n →∞ a 1 a 2+ + 1 ) 等于 a n2B0 C1D－1若三数 a ,1,c 成等差数列且 a ,1,c 又成等比数列则( a + c )n 的值是( )2 2 limn →∞ a 2 + c 2不存在lim ( n →+∞若 lim (a- nb ) =1,则ab 的值是 x + x + x x 学生巩固练习1A 2 A 0B 1 C0 或 1 D 34- )n →∞5在数列{a }中 已知 a = 3 ,a = 31 ,且数列{a － 1 a }是公比为 1的等比数列n 1 2 5 100 n +1 n10 2x (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求 lim S n1 ) =lim 2(1- 1 ) = 2 答案x1lim= . 答案C 2 1数列{lg(a n +1－ 2(1)求数列{a n }的通项公式；n →∞a n = n = n (n -1) ,∴ 1 2 a n= 2( 1 - 1 ) n -1 n∴ lim ( 1 + 1 + + n →∞ a 1 a 2 a n n →∞ n2解析⎧a + c = 2 , 得 ⎧a + c = 2⎧a + c = 2 或⎨ a 2c 2⎨a 2 c 2 ⎨a 2 c 2 ⎩= 1⎩ += 2⎩ += 63lim ( - ) = limx →+∞1+ 1x →+∞x →+∞1+ 1+1 + 12 x3 x 224原式= lim a 2 (2n 2 + n -1) - n 2b 2 = lim (2a 2 - b 2 )n 2 + a 2 n - a 2= 1 ⎪⎧2a 2 - b 2= 0 n →∞⎧a = 2 n →∞⎨ ⇒ ⎨ ∴a ·b =8 ⎩⎪ 2 + b = 1解⎩b = 4 1 13 315(1)由{a n +1－ a n }是公比为的等比数列且 a 1=,a 2= ,110 2 1 1 31 3 1 15 1001 1 n -1 1 ∴a n +1－ 10 1 a n =(a 2－ 10 1a 1)( )n -1=(2 － × 100 5 10 )( )n -1= ( ) 2 4 2 = , 2n +1∴a n +1= 10 a n +① 2n +11又由数列{lg(a n +1－ a n )}是公差为－1 的等差数列2 1 且首项 lg(a 2－ 2 a 1)=lg(1 31 100 － 1 ×3 2 5 )=－2,∴其通项 lg(a n +1 －x + x + x x + x + x - x x + x + x + xa 2n 2 + n -1 + nb a 2n 2+ n -1 + nb2 2 2a n }是公差为－1 的等差数列参考答案1 解析 答案 解析解析答案 AC= 1 81 a n)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1),21∴a n+1－a n=10－(n+1),即a n+1=2a n+10－(n+1) ②2n ①②联立解得 a n = 5［( 2 1 )n +1－( 1 2 10)n +1］( 1 )2( 1 )2n 5 n 1 k +1 1 k +1 5 2 611 (2)S n = ∑a k = [∑( ) - ∑( ) ] ∴ lim S n = 2 [ - ] =k =1 2 k =1 2 k =1 10n →∞ 12 1 9 10。

高考数学极限运算方面精讲在高考数学中，极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。

在这篇文章中，将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点，帮助学生更好地掌握这一难点。

一、极限的概念首先，我们需要了解什么是极限。

极限是指函数在自变量趋近于某个值时，相应的函数值也趋近于某个确定的值。

通俗地说，如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。

通常用符号“lim”表示。

例如：lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候，函数值的极限是2。

在高中数学课程中，我们已经学习了一些基础的极限运算，包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。

这里我们不再赘述。

二、常用的极限公式除了基本的极限运算，高中数学还有一些常用的极限公式，下面分别介绍。

1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。

它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。

具体而言，如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时，我们可以对这个不定式进行求导，再重新计算极限，如果新的极限存在，那么它就是原不定式的极限。

例如：lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。

我们对它求导得到：lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此，原不定式的极限为1。

需要注意的是，洛必达法则是一种常用的方法，但并不是所有的不定式都可以用它来求解。

对于其他类型的不定式，我们需要采取不同的方法。

2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式，它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。

具体而言，如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候，它的面积趋近于某个确定的值，那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。

例如：lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n，等差为1/n的序列。

高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算高考要求极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110ΛΛ 典型题例示范讲解例1已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理解 bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→aab a ab ax b xx x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a例2设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力知识依托 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系错解分析 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性技巧与方法 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律解 (1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2)解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-ΛΛΘ),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n Λ.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时Θ例3求1122lim +-∞→++n n n n n aa 111121()21:22,;lim lim 22()n nn n n n n n a a a a a a a a a--+→∞→∞++><-==++解当或时 111()212222,;lim lim 242()2n n n n n n n n a a a a a a -+→∞→∞++-<<==++当时 1112123212,;lim lim 262n n n n n n n n a a a --+-→∞→∞+⋅===+⋅当时 2,a =-当时11111111112221()2(2)22232622(2)22323()2222n n n n n n n n n nn n nn nn n n n n n a a n ----+++--+⎧-+-==-⎪+-+⎪+⋅==⎨++-+⋅⎪==-⎪⎩--为奇数为偶数 学生巩固练习1 a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→Λ等于 A 2 B 0 C 1 D －12 若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn c a c a )(lim 22++∞→的值是( ) A 0B 1C 0或1D 不存在3 )(lim x x x x n -+++∞→ =_________4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________5 在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n6 设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值 (a 为非零常数)7已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值8 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *) (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n参考答案 1 解析 )111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n Λ答案 A 2 解析 ⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案 C二、3 解析 xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案214 解析 原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a Θ ∴a ·b =82 答案 825 解 (1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6 解 由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ②由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1 ③同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1 ④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a pp b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8 解 (1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n －1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1-- ∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd dd nd n nd n d nd n nd d n nd n n n T 课前后备注。

极限知识点高三数学在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。

它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。

本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。

一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。

例如lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。

二、常见的极限运算法则1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。

2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则：(1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)(3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)(4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0)3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有lim(x→a)f[g(x)]=L。

4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。

例如，如果lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。

三、例题分析为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题：例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。

解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰勒级数展开来计算该极限。

高中数学中的函数极限计算详细解析与计算函数极限在高中数学学习中占据非常重要的地位。

它不仅是理解数学概念的基础，还在应用数学和其他学科中起到重要的作用。

本文将详细解析和计算高中数学中的函数极限，帮助读者深入理解和掌握相关知识。

1. 极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一值时，函数值的变化趋势。

根据定义，对于函数 f(x)，它的极限可以用以下方式表示：lim(x→a)f(x) = L其中，x→a表示x趋近于a，L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。

2. 极限的性质函数极限具有以下基本性质：- 唯一性：函数在某一点的极限是唯一确定的。

- 有界性：如果函数在某一点的极限存在，则函数在该点附近有界。

- 保号性：如果函数在某一点的极限为正（负），则函数在该点的右邻域（左邻域）内的函数值也为正（负）。

3. 极限的计算方法在计算函数极限时，可以运用以下的计算方法：- 直接代入法：当函数在某一点连续时，可以直接将该点的值代入函数并计算函数值，得到极限值。

- 合并因子法：将复杂的函数分解为简单的因子，然后运用极限的性质进行化简和计算。

- 夹逼准则法：对于一个函数，如果它夹在两个极限已知的函数之间，那么它的极限也可以简单地确定。

- 等价无穷小代换法：当函数的极限形式无法直接计算时，可以通过等价无穷小的代换将其转化为可以计算的形式。

4. 函数极限的应用函数极限在图像的分析和应用问题中有着重要的作用。

以下是一些常见的应用：- 导数和微分的计算：导数的定义本质上就是一个函数极限，通过计算函数在某一点的极限，可以得到该点的导数。

- 泰勒展开和函数逼近：利用函数的极限，可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，用于简化计算和分析。

- 无穷级数和收敛性分析：通过函数的极限，可以判断无穷级数是否收敛，并计算其收敛值。

5. 实例解析为了更好地理解函数极限的计算和应用，我们通过以下实例进行解析。

例题：计算函数lim(x→2)(3x^2 - 8x + 4) / (x - 2)解析：首先，我们可以应用直接代入法。