空间向量知识点总结ppt
一、空间向量的概念
空间向量是指具有大小和方向的有序数组，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。空间向量可以用分量表示，在直角坐标系下，一个向量可以表示为(x, y, z)，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
二、空间向量的运算
1. 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是以这两个向量为两条边的三角形的第三条边。
2. 向量的减法：向量的减法等于向量的加法的负数，即a - b = a + (-b)。
3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的模的乘积再乘以这两个向量之间的夹角的余弦值。表示为a·b = |a| |b| cosθ。
4. 向量的叉积：向量的叉积等于一个新的向量，其大小等于两个向量的模的乘积再乘以这两个向量之间的夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量的平面。表示为a×b = |a| |b| sinθ n。
三、空间向量的线性相关与线性无关
1. 线性相关：如果存在一组不全为零的实数k1、k2、k3，使得k1a + k2b + k3c = 0，那么称向量a、b、c线性相关。
2. 线性无关：如果向量a、b、c不是线性相关的，那么这组向量就是线性无关的。
四、空间向量的基
1. 空间向量的线性组合：给定一组向量a1、a2、a3，任意向量可以表示为这组向量的线性组合，即x = k1a1 + k2a2 + k3a3。
2. 基向量：如果一组向量能够表示空间中的任意向量，并且这组向量是线性无关的，那么这组向量就是空间的一组基向量。
3. 维数：空间中的一组基向量的个数就是该空间的维数，通常用n表示。
五、空间向量的坐标表示
1. 坐标表示：在n维空间中，任意向量都可以表示为n个数的有序组合(x1, x2, ..., xn)，这n个数就是向量在基向量上的投影。
2. 坐标变换：不同的基向量可以表示同一个向量，这时需要进行坐标变换，通过坐标变换矩阵可以将一个向量在一个基下的坐标表示转换为另一个基下的坐标表示。 六、空间向量的应用
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8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算
1．空间向量的有关概念
(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量．
(2) _________________________ 零向量：规定 的向量叫做零向量．
(3) __________________ 单位向量： 的向量称为单位向量．
(4) ___________________________________ 相反向量：与向量 a 的向量，称为 a 的相反向量，记为－ a.
(5) _________________________ 相等向量： 的向量称为相等向量．
(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：
a+ b=__________ ; (a + b) + c = _______________ .
2．空间向量的数乘运算
⑴向量的数乘：实数 入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.
① 当X _ 0时，入a与向量a方向相同；
当X __ 0时，入a与向量a方向相反.
② 入a的长度是向量a的长度的 ________ 倍.
(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
① 分配律： X(a＋b)= __________ ．
② 结合律：X宙)= _________ .
(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 _____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行
向量．
⑷共线向量定理：对空间任意两个向量 a, b(bz 0), a // b的充要条件是 ______________________ .
⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.
⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，对空间任意一点 0,点P在直线 I上的充要条件是 ___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为 OP = 0A + tAB，或
1 一、空间向量及其加减与数乘运算
1.定义：在
，我们把
，叫做空间向量.____________叫做向量的长度或模.
2.几个概念：
零向量、单位向量、相反向量、相等的向量
3.向量的运算
1、类似于平面向量，定义空间向量的加法运算如下：三角形法则、平行四边形法则
推广: .
2.实数λ与a的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：
(1)长度是
.
(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， .
二．【典例分析】
例1.判断下列命题的真假
（1）若空间向量||||ba，则ba （2）零向量没有方向。
（3）零向量与任意向量共线。 （4) 若空间中向量cba,,，满足cbba//,//，则ca//
（5）若空间向量,,,pnm满足pnnm,，则pm （6）若0a，则0或0a
例2.已知平行六面体ABCD－DCBA,化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.
①ABBCAA； ② ABADAA；
③12ABADCC； ④ 1()3ABADAA
例3. M，N分别是四面体ABCD的棱AB，CD的中点，求证：1()2MNADBC
变式：在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，△BCD的重心为G，求证：1()3AGABACAD.
结论:三个不共面的向量的和等于一这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。 nnAAAAAAAA1433221 2 二、空间向量基本定理
卧龙学案 数学（必修5） 身心健康 厚德崇礼 志向高远 博学多才
1 第一章 空间向量与立体几何
§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算
班级：_____姓名：__________ 编号：_____
【预习·基础知识】学习目标
1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义
2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题
3、掌握空间向量的数乘运算
4、理解共线向量、共面向量的定理及推论
5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示
自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）
1、空间向量的有关概念
（1）定义：在空间，把具有_____和_____的 量叫做空间向量;
（2）长度：向量的___叫做向量的长度或__
（3）表示法：①几何表示法：空间向量用_____表示②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为_____或_____。
2、几类特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为___的向量 0
单位向量 模为_____的向量
相反向量 与a向量长度___而方向___的向量 a
相等向量 方向___且模___
3、空间向量的加法和减法运算
空间向量运算 加法 图像为
减法
加法运算 （1）交换律：a+b=_____
（2）结合律：（a+b）+c=_____
4、空间向量的数乘运算：实数与空间向量a的乘积____，成为向量的数乘运算。
5、向量a与向量a的关系
的范围 方向关系 模的关系 0 方向_____ 模的关系
0 方向_____ a的模是a的模的_____ 0
a=_____，其方向是任意的
6、空间向量的数乘运算：
（1）分配律：（a+b)=________
