朗伯-比尔定律

一、朗伯-比尔定律

1、推导

当一束单色光垂直射到均匀的溶液时，一部分被器皿表面反射，一部分被溶液中的吸光质点吸收，一部分透过溶液。设入射的单色光强度为I0。，反射光强度Ir。吸收光强度为Ia，透过光强度为It，则它们之间的关系为

I0 = Ir + Ia + It

当入射光垂直于介质表面射入，Ir很小，（约为入射光强度的4%），又由于进行光度分析时，都采用同质料、同厚度的吸收池盛试液和空白溶液，然后让强度同为I0的单色光分别通过这两个吸收池，再测量其透过光的强度。此时Ir基本上是不变的,且其影响可以抵消。故上式可简化为：

I0 = Ir + It

单色光通过溶液时，光的强度减弱的主要原因是溶液中的吸光质点吸收了一部分光能。

图8-3 单色光通过溶液示意图

如上图所示，当一束强度为I0的平行单色光垂直照射到长度为b的液层时，由于溶液中吸光质点的吸收，通过溶液后光的强度减为I，如将液层分为厚度为无限小的相等薄层db，设其截面积为S，则每一薄层的体积为dV，即Sdb，又设此薄层溶液中吸光质点数为dn，照射到薄层溶液上的光强度为Ib，光通过薄层溶液后，强度减弱dlb，则dlb与dn成正比，也与Ib成正比，即 -dlb = K · lb · dn (1)

负是表示光温度减弱，K 为比例常数。

设吸光物质浓度为C，则上述薄层溶液中的吸光质点数dn为：

dn = K2 . C .dV = K2 . C . S . db (2)

K2与所取浓度、面积及长度的单位有关，式中S为光束截面积，对一定仪器为定值。

将式（2）带入式（1）中，合并常数项，得到

-dIb = K1 . Ib. K2 . C . S . db

-dIb = K3 . Ib . C . db

K3 = K1 . K2 . S

这个关系式称为光吸收定律或比耳定律的数学表达式。lgI0/I称为吸光度，用符号A表示，其物理意义表示有色溶液吸收单色入射光的程度。它表示当入射光的波长、溶液的温度一定时，如果溶液不吸收单色入射光，即I=I0，则lgI0/I=0，这表明溶液的吸光度未零。如果溶液全部吸收单色入射光时，I=0，则lgI0/I=∞，在一般情况下，I

T = I/I0 = 10-Kbc

透光率的取值在0至1或100之间。

吸光度与透光率之间的关系为：

A = - lgT 2、吸光系数、mol吸光系数及桑德尔灵敏度

K为吸收系数，表示吸光质点对某波长光的吸收本领。与吸光物质的性质、入射光波长及温度、仪器测量的精密度有关。K值随和的单位不同而不同，当c的单位为g.L-1,b的单位为cm时，K以表示，称为吸光系数。其单位为L.g-1.cm-1,此时上式变为：

A = a . b . c

如果浓度c的单位为mol.L-1，b的单位为cm，这时K用另一符号ε表示。ε称为mol吸光系数，其单位为L.mol-1.cm-1，它表示物质的浓度为1mol/L，液层厚度为1cm时，溶液的吸光度。这时

A = ε . b . c

探讨

（1）显然ε越大表示吸光质点对某波长的光的吸收能力越强，故光度测定的灵敏度就越高。因此，ε是吸光质点特性的重要参数，也是衡量光度分析方法灵敏度的重要指标。

（2）应当指出，溶液中吸光物质的浓度因离解等化学反应而改变，故计算其mol吸光系数时，必须知道吸光物质的平衡浓度。在实际工作中，通常不考虑这种情况，而以被测物质的总浓度计。故测得的实为条件mol吸光系数（ε')。

（3）ε值也与分光光度计的质量有关。但对某一定的物质来说，在某固定条件下测量是，ε值主要与吸光的波长有关，它是吸收光波长的函数，即ε=f（λ）

由于ε值与入射光波长有关，故表示ε时，应注明所用入射光的波长。例如上述Cd－双硫腙有色化合物的ε值应表示为

ε520 ＝ 8.8 × 104 L . mol-1 . cm-1

(4)ａ和ε反映光物质对光的吸收能力。也可反映用分光光度法测定该物质的灵敏度。例如，用二乙基胺二硫代甲酸钠（铜试剂）DDTC分光光度法测定Cu，ε438＝1.28×104,而用双硫腙分光光度法测定铜，ε495=1.58×10５，显然后者的灵敏度高很多。光度分析法的灵敏度还常用桑德尔灵敏度S来表征。S也称为灵敏度指数，桑德尔灵敏度本来是指人眼对有色质点在单位截面积液柱内能够检出物质的最低量，以表示。将此概念推广到各种光度仪器，则现定当仪器所能测出的最小吸光度A=0.001时，单位截面积光程内所能检测出来吸光物质的最低量也可以ug.cm-2表示。

b与ε之间有一定的关系，推导如下

A = 0.001 = εbc

bc = 0.001/ε

b的单位为cm，c的单位为mol·L-1，即为mol(1000cm3)-1，则bc的单位为cm·mol·(cm3)-1，即mol(1000cm2)-1，再乘以吸光物质的mol质量，M(g·mol-1)就是单位截面积光程内吸光物质的量即S，所以

S = bc/1000×M×106 = bcM × 103（ug.cm-2)

bc以0.001/ε带入

S = 0.001/ε × M × 103 = M/ε(ug.cm-2)

二、偏离朗伯-比耳定律的原因

在分光光度分析中，通常固定吸收池的厚度不变，用分光光度计测量一系列标准溶液的吸光度，根据朗伯比耳定律

A = Kbc = K'c

吸光度应与吸光物质的浓度成正比，故以吸光度为纵坐标，浓度为横坐标作图，应得到一通过原点的直线，称为标准曲线或工作曲线。但在实际工作中，常常遇到偏离线性关系的现象，即曲线向下或向上发生弯曲，产生负偏离或正偏离。如图8-4：

偏离朗伯-比耳定律的因素很多，但基本上可分为物理与化学两方面的原因。现分别说明如下：

1、物理原因

（1）单色光不纯引起的偏离

在实际工作中使用的是一个有限宽度的光谱而不是真正的单色光，因而导致了对朗伯-比耳定律的偏离，单色光不纯引起的偏离可证明如下：

测定在总温度为I0的入射光未包含有λ1，λ2和两种波长的复合光，其强度分别为I01、I02。 它们在总入射光强度I0中所占的百分数分别减少为I1、I2，如左图所示。

设检测器（光电池或光电管）对两种的波长的光的灵敏度相同，则根据朗伯-比耳定律得到，对光λ1，

A1= logI01/I1= K1bc

I1 = I0110-K1bc

对光λ2，

A2 = logI02/I2 = K210-K2bc

I2 = I0210-K2bc

I01 = f1I0

I02 = f2I0

I = I1 + I2

故复合光通过溶液后的吸光度为

工作曲线是吸光度A与的关系曲线，其斜率可通过上式对微分求得

若在此范围内吸光系数相等K1=K2=K

即当入射光为单色光时

可见在这种情况下，标准曲线的斜率为一定值（Kb）即吸光率与吸光物质的浓度呈直线关系，符合朗伯—比耳定律。如果K1K2，吸光度对浓度的变化就不是一个常数，工作曲线就不再是一条直线，而是发生弯曲，其弯曲的方向可从吸光度对浓度的二级微商求得，如果二级微商等于零，工作曲线就是直线，如果二级微商小于零，工作曲线向下弯曲如果大于零，则工作曲线向上弯曲。为此将求二次微商。得

上式f1、f2、K1、K2、b及c恒正，故方程式右边恒负，说明单色光作入射光时，工作曲线总是向横轴（浓度轴）弯曲，且当K1与K2相差越大，被测物质浓度越大，曲线弯曲越厉害，测定时单色光愈纯，即选用的波长范围愈窄，浓度愈小，工作曲线的弯曲越小。

例6

（2）非平行光入射光散射引起的偏离。

若入射光不垂直通过吸收池，就使通过吸收溶液的实际光程大于吸收池的厚度，但这种影响较小，有时溶液中存在胶粒或不溶性悬浮微粒时，使一部分入射光产生散射，这两种因素都使得实测吸光度增大，导致偏离朗伯-比耳定律，工作曲线向上弯曲。

2、化学因素

（1）平衡效应 有时有些有色的化合物在溶液中发生离解，缔合与溶剂反应，产生互变异构体，光化分解等平衡效应，会使吸收光谱曲线改变形状，使最大吸收波长、吸收强度等发生变化，从而导致对朗伯-比耳定律的偏差。

如重铬酸钾在水溶液中发生的平衡效应：

当用水稀释K2Cr2O7溶液时，由于二聚平衡平衡效应，平衡向右移动，最大吸收波长发生变化，这样以重铬酸钾作工作曲线，就会产生严重弯曲。

（2）酸效应

如果酸度对有色化合物的形成、分解和性质产生影响，而使吸收光谱的形状和最大吸收波长发生变化，也会导致对朗伯-比耳定律的偏离，如上例，当酸度减小时，会增加Cr2O72-离解的倾向。

（3）溶剂效应

溶剂对被测组分、试剂、吸光物质的组成及其光谱特性有显著影响。例如碘在CCl4中呈紫色，在乙醇中呈棕色，因而吸收光谱也不同。

A

1--I2在乙醇中的吸收光谱曲线

2--I2在四氯化碳中的吸收光谱曲线

图8-6 碘在不同溶剂中的吸收曲线

设检测器（光电池或光电管）对两种的波长的光的灵敏度相同，则根据朗伯-比耳定律得到，对光λ1，

A1= logI01/I1= K1bc

I1 = I0110-K1bc

对光λ2，

A2 = logI02/I2 = K210-K2bc

I2 = I0210-K2bc

I01 = f1I0

I02 = f2I0

I = I1 + I2

故复合光通过溶液后的吸光度为

工作曲线是吸光度A与的关系曲线，其斜率可通过上式对微分求得

若在此范围内吸光系数相等K1=K2=K

即当入射光为单色光时 可见在这种情况下，标准曲线的斜率为一定值（Kb）即吸光率与吸光物质的浓度呈直线关系，符合朗伯—比耳定律。如果K1K2，吸光度对浓度的变化就不是一个常数，工作曲线就不再是一条直线，而是发生弯曲，其弯曲的方向可从吸光度对浓度的二级微商求得，如果二级微商等于零，工作曲线就是直线，如果二级微商小于零，工作曲线向下弯曲如果大于零，则工作曲线向上弯曲。为此将求二次微商。得

上式f1、f2、K1、K2、b及c恒正，故方程式右边恒负，说明单色光作入射光时，工作曲线总是向横轴（浓度轴）弯曲，且当K1与K2相差越大，被测物质浓度越大，曲线弯曲越厉害，测定时单色光愈纯，即选用的波长范围愈窄，浓度愈小，工作曲线的弯曲越小。

例6

（2）非平行光入射光散射引起的偏离。

若入射光不垂直通过吸收池，就使通过吸收溶液的实际光程大于吸收池的厚度，但这种影响较小，有时溶液中存在胶粒或不溶性悬浮微粒时，使一部分入射光产生散射，这两种因素都使得实测吸光度增大，导致偏离朗伯-比耳定律，工作曲线向上弯曲。

2、化学因素

（1）平衡效应

有时有些有色的化合物在溶液中发生离解，缔合与溶剂反应，产生互变异构体，光化分解等平衡效应，会使吸收光谱曲线改变形状，使最大吸收波长、吸收强度等发生变化，从而导致对朗伯-比耳定律的偏差。

如重铬酸钾在水溶液中发生的平衡效应：