圆管相贯节点计算

计算机计算圆管相贯节点偏角在计算机科学和数学领域中，计算圆管相贯节点偏角是一项常见的任务。

它通常用于计算两个圆管在三维空间中的交点，以及两个交点之间的偏角。

这个问题在许多应用中都具有重要意义，例如计算机辅助设计（CAD）、机器人路径规划和计算机图形学等领域。

我们需要了解什么是圆管。

圆管是由两个圆柱体表面构成的一个空间几何体。

每个圆柱体都有一个中心点和一个半径值。

当两个圆柱体的轴线相交时，我们可以计算出它们的交点。

计算圆管相贯节点偏角的方法有多种。

以下是其中一种常用的方法：1. 确定两个圆柱体的参数：首先，我们需要知道两个圆柱体的位置和大小。

每个圆柱体由一个中心点和一个半径值确定。

我们可以通过输入这些参数来定义两个圆柱体。

2. 计算两个圆柱体的轴线方程：根据圆柱体的中心点和方向，我们可以获得它们的轴线方程。

轴线方程描述了圆柱体的轴线在三维空间中的位置。

3. 计算两个圆柱体的交点：通过求解两个圆柱体的轴线方程，我们可以得到它们的交点。

交点是两个圆柱体的轴线在三维空间中的相交点。

4. 计算交点的偏角：偏角是交点相对于两个圆柱体的位置的角度。

我们可以使用向量运算或三角函数来计算偏角。

具体的计算方法取决于所使用的数学模型和算法。

值得注意的是，计算圆管相贯节点偏角的精度和效率是计算机计算的重要考虑因素。

在实际应用中，我们需要选择合适的算法和数据结构来提高计算的速度和精度。

除了上述方法，还有其他一些方法可以计算圆管相贯节点偏角。

例如，我们可以使用几何投影方法来计算交点的偏角。

这种方法将圆柱体投影到二维平面上，并计算它们在平面上的交点和偏角。

这种方法在计算机图形学中经常使用。

计算机计算圆管相贯节点偏角是一项重要的任务，它在许多应用中都有广泛的应用。

通过选择合适的算法和数据结构，我们可以高效地计算出圆管的相贯节点偏角，并在计算机辅助设计、机器人路径规划等领域中发挥重要作用。

中欧规范关于圆管相贯焊接节点承载力对比分析
圆管相贯焊接节点是一种常见的结构连接方式，在中、欧规范中也有
相关的规定和要求。

本文将对中、欧规范中的圆管相贯焊接节点的承载力
进行对比分析。

在欧洲标准《钢结构设计规范》EN1993-1-8中，对圆管相贯焊接节
点的承载力也有相关规定。

该标准将焊接节点分为R型节点和K型节点两
种形式，分别针对轴向受力和偏向受力情况进行了计算。

根据规范的要求，R型节点的设计原则是通过对节点区域进行适当加强来提高承载能力，而
K型节点则是在R型节点的基础上加入剪力连接来增加节点的抗剪承载能力。

规范中给出了详细的计算方法和公式，通过按规范进行计算，可以满
足节点的承载要求。

综上所述，中、欧规范中对圆管相贯焊接节点的承载力有不同的规定
和要求。

针对具体结构的设计，应根据中、欧规范的要求选择合适的计算
方法和节点形式，以满足节点的承载要求。

同时，还需要进行相关的验算
和试验，确保设计的安全可靠性。

两相贯的圆管之相贯线尺寸计算
刘次宁
【期刊名称】《中国自行车》
【年(卷),期】2000(000)001
【总页数】2页(P39-40)
【作者】刘次宁
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TG444.2
【相关文献】
1.水平圆管油水两相变质量分层流压降计算 [J], 魏建光;汪志明;王小秋
2.垂直上升圆管气液两相流气泡运动模型及计算 [J], 罗洪斌;李根生;黄中伟;牛继磊
3.两两相贯的圆孔相贯线计算机自动处理研究 [J], 吴新友
4.圆管与圆台相贯线的展开计算及其推广 [J], 郑其标;郭士先
5.圆管相贯线展开图的计算机辅助绘制 [J], 董晓辉;付继飞;吴耀华
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圆筒节上三维向接管相贯端的展开计算
展开计算是指将三维物体的表面展开成一个平面上的二维图形。

在计算圆筒节上三维向接管相贯端的展开时，需要考虑以下几个步骤：
1. 确定圆筒节和向接管的几何参数，包括直径、高度、开口角度等。

2. 将圆筒节和向接管相贯端的三维图形进行建模，可以使用CAD软件等常见的设计工具。

3. 在建模过程中，需要添加展开命令，将三维模型展开成平面二维图形。

4. 在展开过程中，需要将圆筒节和向接管的表面分割成多个小面，并确定每个小面的展开方式。

5. 最终得到展开图形后，可以进行制作和生产，将二维图形折叠成三维的实物。

在展开计算中，需要精确计算每个小面的展开方式，以确保最终展开的图形与实物一致。

同时，还需要考虑材料的厚度和成型工艺等因素，以确定最终展开后的材料面积和形状。

1.1.4 相贯节点1 相贯节点的定义相贯节点又称简单节点无加劲节点或直接焊接节点在节点处有一根杆件是直接贯通的其余杆件通过端部相贯线加工后直接焊接在贯通杆件的外表面上非贯通杆件在节点部位可能互相分离也可能部分重叠2 相贯节点的分类相贯节点按几何形式分类可以分为平面节点和空间节点两大类所有杆件轴线处于同一平面或几乎处于同一平面内的节点称为平面节点否则便是空间节点在节点处贯通的杆件通常称为主管或弦杆其余的称为支管或腹杆空间节点中非主承重面内的杆件称为支杆以区别于腹杆弦杆截面为圆管的节点通常称为圆管节点弦杆截面为方管或矩形管的节点则称为方管节点包括弦杆为方管或矩形管而腹杆为圆管的节点工程中较多遇到的平面节点见图1-4 包括T 形或Y 形X 形K 形YK 形即在弦杆一侧有三根腹杆的情况此外还有KK 形方管主要形式亦然[2]本文仅讨论主管和支管均为圆管的相贯节点图1-4 平面相贯节点示意图Figure 1-4 In-plane tubular joints空间节点在英文文献中一般称为多平面节点工程中常见的节点形式见图1.5 从左到右从上到小分别是TT 形XX 形KK 形KT 形和KX 形右下角是主管为方管而支管为圆管的空间KK 形相贯节点- 3 -图1-5 空间相贯节点示意图Figure 1-5 Multi-planar joints1.1.5相贯节点的设计方法简介[4]目前在相贯节点的设计中采用的方法主要有试验研究方法理论研究方法薄壳理论解析法和有限单元法这几种方法各有自己的特点和适用的范围不过随着数值计算技术的飞速发展和有限元理论的不断完善有限单元法逐渐成为了一种行之有效并且易于普遍采用的相贯节点设计方法1.2.1 试验研究试验是进行相贯节点性能研究的基本方法通过试验可以了解节点的应力应变状态以及塑性区的发展情况由此而得到节点极限承载力的经验公式近20 年以来世界各国的研究者针对不同的节点类型进行了大量的试验研究积累了丰富的试验资料在此基础上根据试验结果得出了大量的承载力公式有些已经被各国规范所采用但是由于试验手段的局限性试验结果缺乏准确性和稳定性并且试验所需经费较多管节点的试验应用受到了限制近几年来仅依靠试验数据进行承载性能的研究越来越少但试验作为检验理论计算结果的标准其意义依然存在1.2.2 理论研究理论分析方法是相贯节点研究的一种重要手段虽然力学模型都经过不同程度的简化但仍能反映相贯节点的主要力学特性理论分析不受试验设备的限制因而可大量进行- 4 -1.1.6 薄壳理论解析法由于圆钢管相贯节点是由几个圆形钢管直接焊接而成的节点相当于一个空间薄壳体系因此许多学者利用弹性薄壳弯曲理论来分析但是相贯节点的边界条件和荷载条件复杂这些给求解偏微分方程带来了很大的困难因而采用薄壳理论解析法只能分析T 型相贯节点国内外不少学者在这方面做了大量的工作薄壳理论解析法仅限于分析最简单的节点形式而且解题复杂工程上不便采用并且只限于弹性分析对于弹塑性问题还有待于研究1.1.7 有限单元法对相贯节点进行静荷载作用下的受力分析有限单元法是一种比较理想的分析手段有限单元法有其突出的优点它对复杂结构和边界条件不同材料特性动静力问题线性和非线性问题以及各种荷载情况都能适用众多专家学者采用这种方法进行相贯节点的应力和应变分析以及承载力分析取得了不少成果这些研究成果表明有限单元法经济有效精度好值得应用推广具体的说来采用有限单元法对相贯节点进行受力分析有下列两种不同的分析手段1 线性静力分析该分析不考虑材料及几何非线性在节点建模完成后直接加上荷载及约束条件进行线弹性分析对所得应力结果进行分析处理然后依据工程实际情况选择一种合适的强度理论或者某个验算指标如根据主管中面内膜应力的Von Mises 等效应力来检验节点强度是否足够本文就是在有限元线性静力分析的基础上对圆钢管相贯节点进行分析研究的分析借助于作者自己编制的板壳有限元静力分析程序进行2 非线性静力分析这种分析手段考虑了节点的几何非线性和材料非线性因此分析结果更接近节点的实际受力变形及应力应变发展过程更能反映相贯节点的力学特性但采用该方法对管节点进行分析也存在一些不便之处主要是分析的时间比较长而一个实际工程中很可能存在成千上万个节点如果对所有这些节点一一进行非线性弹塑性分析以验算节点强度是否足够不仅费时而且费力因此要将这种分析方法应用到实际工程当中去是不太可能的实际上从实际工程设计的角度看也没有必要本文借助该方法对实际工程中的相贯节点进行非线性分析目的是和线性静力分析的结果进行对比以考察本文所提出的分析方法和验算指标的实际可操作性- 5 -1.1.8相贯节点的研究现状及有限元分析设计软件的开发情况[2] 1.3.1 相贯节点的研究现状当前世界各国学者对相贯节点的研究在不断地深入目前的研究对象已经从二十世纪七八十年代的平面相贯节点T Y X K 形逐步向空间相贯节点XX TT KK TX KT KX 形等发展所研究的内容包括节点局部应力应变分析破坏机理研究弹塑性分析设计参数研究作用荷载和支管约束的影响和疲劳寿命等课题在需要进一步研究的课题中比较典型的有以下两个问题1 规范尚未覆盖的节点形式杆件以承受轴力为主时的静力强度计算问题例如平面节点中对3 根腹杆交汇于弦杆同侧或KK 形节点其强度计算公式未引入现行钢结构设计规范此外空间节点中常见的KX KT 形等节点还无强度计算实用公式2 节点在腹杆轴力弯矩联合作用下的承载强度问题包括规范已经和尚未覆盖的节点形式现行钢结构设计规范尚未提出这方面的计算公式本文试着对以上两个问题进行了一些研究探讨工作[4] 1.3.2 国内外钢管结构成套有限元分析设计软件的开发研制情况国外对相贯节点的研究起步比较早相应的钢管结构有限元成套分析和设计软件的研制开发也比较早Clough 和Greste 于1967 年就开发了第一个专门用于相贯节点有限元分析的计算机程序可对两支管相同的K 形节点进行自动网格剖分Kuang 于1975 年完成了适用于各种相贯节点的专用程序TKJOINT 并根据程序计算结果提出了一套应力集中系数SCF 参数公式Reimer 采用三维等参单元分析相贯节点1981 年开发了PMBSHELL 程序该程序可以对X 形T 形K 形93 支管的KT 形节点进行自动网格划分主管和支管使用16 节点的曲壳单元焊缝和焊脚使用三维块单元我国著名学者陈其业梁乃刚于1985 年应用有限元法在线弹性范围内对几个多支相贯节点进行了分析设计对复杂荷载情况下的节点应力分布做了探讨认为复杂边界条件下的相贯节点应力可以采用叠加法求出与世界先进水平相比尽管到目前为止无论在理论上还是在设计方面我国都已经有了自己的一整套完整的理论技术储备但在钢管结构相贯节点有限元分析程序方面的差距是很明显的不过令我们高兴的是国内已经有众多的专家学者意识到了这个局面并在带领自己的学生同行们致力于这方面的研究并且取得了一些丰硕的成果这其中上海交通大学结构工程研究所研制开发的管结构计算机辅助设计制造系统STCAD 是进行钢管桁架结构优化设计相贯节点验算施工图绘制加工图绘制加工数据自动生成的系统软件STCAD 包括建模模块建立管结构模型- 6 -优化设计模块管结构杆件截面优化相贯节点强度验算焊接球等节点设计施工图设计模块管结构施工图加工图杆件放样图杆件加工数据三大部分可实现从管结构快速建模到杆件下料全过程一体化分析设计生成的杆件加工图及数据不仅可以进行手工下料还可以直接接到相贯线数控切割机进行杆件下料避免了管结构由施工图转化为加工图的繁琐过程STCAD 提供四种单元类型即杆单元梁单元索单元及膜单元可以进行由上述四种单元任意构成的空间结构(如网架索结构膜结构张弦梁弦支穹顶等)的线性非线性内力分析截面校核圆钢管截面自动优化设计建模模块STPREP 的主要功能包括管结构图形的生成荷载的施加边界条件的处理分析数据的生成等优化设计模块STANA 的主要功能是进行管结构在各种荷载组合作用下的内力分析(线性非线性) 杆件截面的优化设计相贯节点的强度验算及其它球节点的设计施工图设计模块STDRAW 的主要功能是进行管结构施工图绘制包括结构平立面图安装图安装简图结构布置图材料表该软件已经通过上海市科委专家鉴定达到国际先进水平填补了国内成套专业钢管结构设计软件的空白1.1.9钢结构设计规范中所做规定的局限性以及本课题的主要任务1.2.3 钢结构设计规范中圆管相贯节点设计所作规定的局限性目前国内针对钢管结构相贯节点方面的研究在不断深入总的来说目前平面相贯节点静力性能的研究略为成熟而工程中大量出现的空间节点的研究尚待进一步展开而承载能力的计算现有的规范虽已有一些明文规定但仅限于部分简单的节点形式并仅限于支管在轴心力荷载作用下因而不能解决所有的工程实际问题钢结构设计规范GBJ17 88 中就已经有了部分相贯节点的强度计算公式规范中对保证管节点处主管强度的支管轴心承载力设计值的公式是在比较分析国外有关规范和国内外有关资料的基础上根据数百个各类型管节点的承载力极限值试验数据通过回归分析归纳得出承载力极限值经验公式然后采用校准法换算得出的现行钢结构规范GB50017 2003 中则明确规定直接焊接钢管结构中支管和主管的轴心内力设计值不应超过该规范第5 章确定的杆件承载力设计值此外为了保证节点处主管的强度支管的轴心内力设计值亦不得大于某一个承载力设计值该规范对原规范GBJ17 88 中圆钢管节点强度计算公式作了修正修正是对照新建立的管节点数据库一个包含1546 个圆钢管节点试验结果和790 个圆钢管节点有限元分析结果的数据库中的试验结果比较了原规范中平面管节点强度公式的计算结果得出的同时又将GBJ17 88 公式日本建筑学会AIJ 公式国际管结构研究和发展委员会CIDECT 公式和本规范修订后的公式与试验数据进行了比较后得出的- 7 -从规范以上规定可看出圆钢管相贯节点承载力设计值计算公式或者是通过节点试验采用回归分析归纳确定的或者是在试验数据的基础上通过对节点进行弹塑性有限元分析来确定得出的但是现行钢结构规范有关圆管结构相贯节点承载力设计方法的规定存在着一定的局限性就本文作者看来主要有以下三个方面1 节点形式方面的局限性承载力设计公式仅限于部分简单的节点形式即K 形X 形T 形Y 形空间TT 形和KK 形如图1-6 所示但是目前实际工程中出现了大量规范所没有规定的节点形式其中尤以空间节点居多没有规定的平面节点如前面提到的平面YK 形还有常见的平面双K 形空间节点如空间XX 形KX 形空间KT KY 形显然现行规范所规定的节点形式是远远不够的不能解决所有的工程实际问题图1-6 钢结构规范中规定的相贯节点形式Figure 1-6 Tubular joints specified in the current steel structure design code- 8 -2 对节点偏心受力强度验算支管既有轴力又有弯矩作用的情况所作规定的局限性规范公式仅限于相贯节点支管在轴心力荷载作用下的承载力计算但不少实际工程中管节点支管受力会不可避免的存在不同程度的偏心受力情况即支管处于轴力和弯矩联合作用的受力状态目前规范尚无该情况下的节点承载力计算公式规范中仅规定若支管与主管连接节点偏心不超过某一限制在计算节点和受拉主管承载力时可忽略因偏心引起的弯矩的影响但受压主管必须考虑此偏心弯矩的影响至于如何将这一影响考虑进承载力设计值计算公式则没有明确的规定3 支管受力不均的情况欠考虑现行钢结构设计规范中圆钢管相贯节点已有承载力计算公式对支管数大于一的多支管节点没有考虑不同支管受力不均的情况以K 形节点为例当受拉支管所受轴向力很小而受压支管所受轴向力很大时节点的受力接近于支管受压的Y 形节点受力情况而根据规范公式在各项参数相同的情况下Y 形节点受压支管的承载力设计值通常比K 形节点受压支管的承载力设计值要低也就是说K 形节点在此情况下其受压支管的承载力设计值将达不到规范公式的计算值应在此基础上予以降低换个角度说在这种情况下该节点是按照K 形节点计算还是按照Y 形节点计算更能反映节点的实际受力状态很自然的成为了一个问题但现行规范对此尚未考虑综上所述现行钢结构设计规范对圆管结构相贯节点设计所作的规定存在不同方面和不同程度的局限性不能解决所有的工程实际问题1.1.10本课题的主要任务1 对圆管相贯节点进行大量应力应变分析从分析结果中寻找共性总结提出比较实用的节点强度验算方法供工程设计人员参考我们知道从工程设计的角度看不可能对所有规范没有覆盖的节点形式或在轴力弯矩联合作用下的已有节点形式一一进行弹塑性有限元分析并参照试验结果来确定极限承载力然后考虑安全系数进而确定承载力设计值为了便于进行这类形式相贯节点的设计完成节点强度的校核本课题依据弹性薄壳理论采用有限单元法编制有限元静力分析程序对规范中已经覆盖的节点形式在轴力作用下的受力情况进行线弹性分析并且采用其他通用有限元分析软件对这些节点形式进行静力非线性分析通过对结果的分析和比较总结归纳出一种适合工程设计采用的简便实用的节点强度验算方法接着利用该方法对工程实际中出现的而规范中没有规定的节点形式在轴力和弯矩联合作用下的受力情况进行节点强度验算同时也采用通用有限元分析软件对该节点进行非线性分析并对比分析结果此外还结合STCAD 和本文的有限元分析程序对工程节点实例进行静力强度校核目的是检验本文程序运算结果的准确性和该方法的可行性希望该方法可推广应用于上述节点形式的强度验算问题以供工程设计人员参考- 9 -2 配合钢管结构成套设计软件的研制开发工作为了完成相贯节点的线弹性静力分析本文作者依据弹性薄壳理论采用有限单元法编制分析程序程序包括部分相贯节点的网格划分程序本体计算程序和后处理程序可完成相贯节点的三维模型生成约束条件和荷载条件的施加单元刚度矩阵和总体刚度矩阵的生成刚度方程的建立方程的求解应力应变分析结果的处理和单元内力的求解等等这些分析程序的编写成为了配合钢管结构设计软件研制开发工作的一部分也是本课题所要完成的一项重要任务本章小结本章简单介绍了钢管结构的定义钢管结构的应用场所和其主要采用的节点形式随后重点介绍了本课题所研究的节点形式圆钢管相贯节点的分类及在工程中的应用情况接着介绍了钢管结构相贯节点采用的一些设计方法试验研究法理论研究法薄壳理论解析法和有限单元法随后介绍了相贯节点的研究现状和研究动向接着介绍了国内外有关采用相贯节点的钢管结构的成套设计软件的研制开发情况然后重点介绍了现行钢结构设计规范中规定的相贯节点的设计方法以及这些方法所适用的节点形式和荷载形式指出了规范的不足和局限性最后引出了本课题的主要任务本章参考文献[1] 中华人民共和国建设部,GB50017-2003 钢结构设计规范北京中国建筑工业出版社2003[2] 陈以一陈扬骥钢管结构相贯节点的研究现状建筑结构2002 32 7 pp52-55[3] 吴昌栋陈云波钢管结构在建筑工程中的应用工业建筑1997 27 2 pp10-2[4] 刘建平钢管相贯节点的研究现状和动向钢结构2003 18 4 pp14-15- 10 -第二章 钢管结构相贯节点有限元分析相关理论1.1.11 概述有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个 且按一定方式 相互联结在一起的单元的组合 有限单元法发展至今天 已成为工程数值分析的有 力工具 特别是在固体力学和结构分析的领域内取得了巨大的进展 利用它已成功 地解决了一大批有重大意义的问题 很多通用程序和专用程序投入了实际应用 本 课题在壳体有限元理论的基础上 采用由平面应力单元和平板弯曲单元组合而成的 平板壳体单元 编制分析程序 实现了圆钢管相贯节点的有限元分析[1]1.1.12 平面应力单元的表达格式本课题采用的平面应力单元有两种形式 分别是三结点三角形平面应力单元和 四结点任意四边形等参数平面应力单元[1] 2.2.1 三结点三角形平面应力单元的表达格式1.2.4 单元位移模式及插值函数典型的3 结点三角形单元结点编码为i , j ,m 以逆时针方向编码为正向 如图2-1 所示每个结点有2 个位移分量ì üua = í ý(i , j ,m ) 2-1i i vî þ i每个单元有6 个结点位移即6 个自由度ìüai ï ïé ù Ta = í a ý = ëu v u v u v û e j i i j j m m ï ï a î þm2-2- 11 -上海交通大学硕士学位论文ym x y( , )mmi x y( , )ii(,)j x yjjx 图2-1 三结点三角形平面应力单元Figure 2-1 Three-node triangular plane stress element3 结点三角形单元的位移模式选取一次多项式 u = + x + y® ®®123v = + x + y®®®4562-3单元内的位移是坐标x , y 的线性函数 ® : ® 是待定系数 称之为广义坐标616个广义坐标可由单元的6 个结点位移来表示 A 是三角形单元的面积 广义坐标 ® : ®为161® =+ +(a u a u a u ) 1i i j j m m2A1 ® = + + 2-4(b u b u b u ) 2i ij jm m2A 1 ® =+ +(c u c u c u ) 3 i i j j m m2A 1® =+ +(a v a v a v) 4i i j j m m2A1®=++2-5 (b v b v b v) 5i i j j m m2A1®=++(c v c v c v) 6i i j j m m2A- 12 -上海交通大学硕士学位论文在式 2-4 和式 2-5 中 a ,b ,c K , ,c 是常数 取决于单元的三个结点坐标iiimx ya == x y ­ x yjjij mmjxymm1 yb = ­= y ­ y(i , j ,m )2-6jijm1 ym1 x c = = ­ x + xji jmm1 x(i , j ,m )表示下标轮换 如i ® j , j ® m , m ® i将广义坐标 ® : ® 代入式 2-3可将单元内任意一点的位移表示成如下所示的16结点位移的函数u N u N u N u = + + üi ij jm mýv N v N v N v=++þi ij jm m2-7其中1N =(a +b x +c y ) (i , j ,m )2-8iiii2AN , N , N 称为单元的插值函数或形函数 它们是坐标x , y 的一次函数ijm(i , j ,m )表示下标轮换 如i ® j , j ® m , m ® i式 2-4 2-5 以及 2-8 中的单元面积A 可表示为 1 1A = (a + a + a )= (b c ­ b c )2-9ijmi jj i2 2 式 2-7 的矩阵形式是- 13 -上海交通大学硕士学位论文uì u üiïïv ïïiì üï ï u éN 0 N0 N0 ùï uïijmj= í ý = ê úí ý v 0 N0 NN v î þ ëûï ïijmjï ï umï ï ïï vmîþì a üiï ï = ë ûí ý éI NI NI N ù aijmjï ï a îþm= ë û = éNNN ùa e Na eijm2-10N 称为插值函数矩阵或形函数矩阵1.1.13 应变矩阵和应力矩阵3 结点三角形单元的应变矩阵是éb0 b0 b0 ùijm1 êúB = éëBBB ûù = ê0 c0 c0 c ú2- 11ijmijm2A êú c bcbcb ëûiijjmm当单元的结点坐标确定后 式中b , b , b , c , c , c 都是常量 因此应变矩阵B 是常量ijmijm阵单元应力可以根据物理方程求得 即⎛ìüxïï⎛⎛=íý=DåD=Ba S=a2-12e e yïï⎜îþxy其中S=DB=DëéB B Bûù2-13i j m=ëûéS S Sùi j mS称为应力矩阵将平面应力问题的弹性矩阵代入式2-13 可以得到计算平面应力问题的单元应力矩阵S的分块矩阵为- 14 -上海交通大学硕士学位论文é ù ê úbc∝iiEê ú S = DB = ê ú(i , j ,m )2-14∝bciiii∝ ∝ ∝ ( ­ 2 ) ê ­ ­ ú112 1A êúc b ë 22ûii其中 E 为材料的弹性模量 ∝ 为材料的泊松比 (i , j ,m ) 表示下标轮换 如i ® j , j ® m , m ® i利用最小位能原理建立有限元方程可得3 结点三角形单元的单元刚度矩阵为 K eB DB tdxdy 2-15= òTeW由式 2-15 定义的单元刚度矩阵 由于应变矩阵B 对于3 结点三角形单元是常量阵 因此有éK K K ù iiijimê úKB DBK KKetA=T= ê ú jijjjmê úK KKëûm im jmm2-16 代入弹性矩阵D 和应变矩阵B 后 它的任一分块矩阵可表示成EtéK K ù K = B DB=êú= 2-17T13tA(r ,s i , j ,m )rsrs∝4 1 A( ­2) ëK K û24其中1­∝K=b b+c c1 r s r s2∝K=c b+b c2-18 ∝1­2 r s r s2∝­1∝K=b c+c b3 r s r s2 1­∝K=c c+b b4 r s r s2这样就得到了3 结点三角形平面应力单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵[2] 2.2.2 四结点任意四边形等参数平面应力单元的表达格式3 结点的三角形单元较容易进行网格划分和逼近边界形状应用比较灵活但由于单元内的应力和应变是常数故精度不够理想4 结点矩形单元的单元内应力和应变是线性变化的所以计算精度比简单三角形单元有较大提高但它不能适应曲线- 15 -上海交通大学硕士学位论文边界和斜边界 其适用性非常有限 而任意四边形的等参单元 既能有效提高计算 精度又能很好地适应几何形状不规则的区域和边界1.1.14 单元位移模式 应变矩阵及雅可比矩阵等参有限元公式推导采用两套坐标系 一套是整体坐标系 用于单元实际空间 的描述 另一套是局部坐标系 局部坐标系中的单元是一个标准化了的正方形 局 部坐标中的正方形单元又被称为母单元图2-2 四结点任意四边形平面应力单元Figure 2-2 four-node quadrilateral plane stress element如图2-2 所示的4 结点任意四边形单元 其母单元为图2-2 右侧所示的边长为2 的正方形单元 实际单元中任意一点的坐标与结点坐标有如下关系4üåx =N x ïi iï i =1 ý 4åï y =N y i i ïi =1þ2-19其中x y (i =1: 4)为单元结点坐标 而ii1 N = +⎩⎩ +  (i =1,2,3,4)2-20(1 )(1) iii4式中 ⎩ 分别表示编号为i 的结点的局部坐标iiN 是局部坐标⎩ 的函数 也称为形函数 实际上它是用局部坐标表示的插值i函数根据式2-19 当单元结点产生位移后单元内部的位移为- 16 -上海交通大学硕士学位论文4üåu =N u ïi iï i =1 ý4åïv =N vi i ïi =1þ2-21式中 u v 分别为单元结点沿坐标轴x 向和y 向的位移ii有了位移分布函数 就可以得到单元内的应变和位移的关系式 由几何方程可 得ì ¶ ü é¶ ùuNï ïêú i0 ¶x ê ¶xú ∑ ïï ì üxvê N ú u ï ï ï ¶ ï ¶ì ü åB =äí ý = íý = êúí ý == : 2-22∑ 0i1 4i(i) y¶y ¶y î v þï ∑ ï ïï ê úiîþ ï ¶ ¶ ï궶 úxyu v N N ï ¶¶ ïê ¶¶ ú+iiy x y xî þ ë û式中B 称为应变矩阵根据复合函数的求导公式 可得ìü é ùì ¶ üì ¶ ü¶N ¶x¶y NNiiiï ¶ ï ê¶ ¶ úï ¶ ï ï ¶ ï⎩⎩ ⎩ïï = êúïï = ïï。