1.1-1.4-微分方程概念及一阶微分方程.ppt

2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区 间I . 定义2 设函数 y ( x)在区间 I 上连续，且有直到 n 阶导 ( n) y, y ' ,, y后， ( x), ( x),, ( n ) ( x) 数,若用 分别代替方程(1.8)中的 使(1.8)在 内为关于x的恒等式，即 I
称(1.16)是初值问题
y '' g ' y (0) y0 , y (0) v0
(1.17)
的解，初值问题又叫柯西问题. 由以上简单实例可以看出： 1． 微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方 程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方 程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数， 因此仅从微分方程本身求解（不考虑定解条件），则 n 阶微分方程的 n 个任意常数. 解应该包含 2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是 从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动 的一个初始状态（即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未 来，同时也可以追朔它的过去. 3． 一般对 n 阶微分方程的初值问题的提法是：
在(1.12)两侧对 t 积分一次，得
y' (t ) gt C1
(1.13) (1.14)
其中 C1 是一个任意常数，再把(1.13)对 t 积分一次，就得
1 y (t ) gt 2 C1t C2 2
其中 C2 是另一个任意常数.可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解. 通解(1.14)就表示自由落体的运动规律，在(1.14)中含有两个任意 常数.这说明微分方程(1.12)有无穷多个解. 为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什 么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件： (1.15) y(0) y0 ，y' (0) v

齐次方程化为可分离变量的方程去求解.
x
例1.4 求微分方程 y' y 1 的通解. x
解 令 y ux
则有 整理得 两边积分得 得
u x du u 1 dx
du dx x
u ln x ln C ln C x
y x ln C x
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
高等数学
常微分方程的基本概念
1.1 定义
定义1.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.
如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称这种方程为常微分方程.
如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称方程为偏微分方程.
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.n 阶微分方程
的一般形式是
1.2 可分离变量的微分方程
定义1.3 如果一阶微分方程 经整理后能写成如下形式
F x, y, y' 0
g( y)dy f (x)dx 则称式(6-7)为可分离变量的微分方程.
(6-7) (6-8)
可分离变量方程解法是,对变量分离方程式(6 - 8),两边取
不定积分,即
g( y)dy f (x)dx
1.3 一阶齐次微分方程
定义1.4 如果一阶微分方程能化为
dy dx
f
y x
的形式,就称为一阶齐次微分方程,简称为齐次方程.
(6-10)
对于齐次方程,解法是令u y y xu 得
x
dy u x du f u
dx
dx
分离变量得
f
du
u u
dx x
这就是可分离变量的方程,也就是说,通过代换 u y , 可以把

高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。

取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较
解：据后向欧拉法 yn＋1
yn
2 h(
t n1
yn1
t n2＋1e tn＋1 )
即 : yn＋1
yn
ht e 2
t n＋1
n＋1
2
1 h
t n＋1
又
y0 y(1) 0
tn t0 nh 1 0.1n
计算结果列表（yn为后向欧拉法计算近似值，
y(为tn )精确值）
yk1 yk hf (tk1 , yk1 )
y(t)
y3
在任一步长内，用一段直线
代替函数 y(的t)曲线，此直
线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。
y2
y1
y(t3)
y(t2)
y(t1)
y0
y(t0) h
h
h
t
0
t0
t1
t2
t3
例2. 应用后向欧拉法解初值问题
y' 2 y t 2e t ,1 t 2, y(1) 0 t
二、后向欧拉法
对于给定初始条件 y(t0 ) y0的微分方程
y'(t) f ( y(t), t)
用一阶差商近似代替 y(在t) 一个步长终点的一阶导数， 则原微分方程化为：
其近似值：
y(tk1 ) h
y(tk )
y'(tk1 )
yk1 yk y'k1 h 欧拉隐式公式
后向欧拉法的几何意义：
n
tn
0 1.0
1 1.1
2 1.2
3 1.3
4 1.4
5 1.5
6 1.6
7 1.7
yn
0 0.271828183 0.684755578 1.276978344 2.093547688 3.187445122 4.620817846 6.466396378