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简明高等数学教程教材答案第一章：函数与极限1. 函数在数学中，函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
2. 极限极限是描述函数在自变量趋近某个值时的性质。
记作lim(x->a)f(x)=L，表示当x趋近于a时，f(x)趋近于L。
极限有一些基本的运算规则，如极限的和差、常数乘以极限等。
3. 连续性函数在某个点上连续表示它在该点的函数值与极限值相等。
一个函数在某个区间上连续，则该函数在该区间内的每个点都连续。
4. 导数与微分导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
微分是指函数在某点附近的变化量与自变量变化量的比值。
第二章：微分学1. 函数的导数函数的导数表示函数在某一点上的变化率，记作f'(x)或者dy/dx。
导数具有一系列的性质，如和差的导数、数乘的导数、乘法法则、除法法则等。
2. 高阶导数一个函数的高阶导数表示它的导数的导数。
记作f''(x)或者d^2y/dx^2。
高阶导数可以帮助我们研究函数的曲线特性。
3. 微分中值定理微分中值定理是微分学的重要定理之一，它描述了函数在某个区间内必然存在一个点，使得该点的导数等于该区间内的平均斜率。
4. 泰勒展开泰勒展开是将函数在某一点附近用无穷个项的有限和来表示的方法。
泰勒展开可以用来近似计算函数的值。
第三章：积分学1. 定积分定积分是Riemann和的极限形式，表示函数在某个区间上的累积效应。
定积分可以用来计算曲线下面的面积或者描述某个变化量的累积。
2. 不定积分不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
不定积分的结果通常用∫f(x)dx表示。
3. 定积分的应用定积分在科学与工程中有广泛的应用，如计算物体的体积与质量、求解曲线长度与弧长、计算功与能量等。
4. 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是定积分与不定积分之间的基本联系，它指出了一个函数的不定积分与定积分之间的关系。
微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。
通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。
一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。
微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。
根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。
2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。
它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。
常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。
三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。
根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。
1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。
例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。
2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。
通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。
四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。
以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。
第一节 微分方程的基本概念教学目的： 理解微分方程的概念，理解微分方程的通解的概念，区分特解与通解。
教学重点：微分方程的概念 通解的概念教学难点：区分特解与通解教学时数：2教学内容：一、 两个引例例1：一条曲线过点()0,1，且在该曲线任意点(,)M x y 处的切线斜率都为2x ，求该曲线的方程。
解： 设所求曲线方程为()y f x =根据题意和导数的几何意义，得2dy x dx= 且当0x =时，1y =。
例2：一质量为m 的物体只受重力作用由距地面h 米处开始下落，试求物体下落的运动方程。
解 ：设物体下落距离s 与时间t 的关系为 ()s s t =依题意和二阶导数的物理意义，得g td s d 22=（其中g 为重力加速度） 且当0t =时,0s =且0v =。
以上所列举两例的方程中，都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
二、基本概念定义 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程。
定义 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。
能使微分方程变成恒等式的函数，称为微分方程的解。
求微分方程解的过程叫做解微分方程。
如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
在通解中若使任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解。
为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定条件，这些条件叫做初始条件。
例如，例1的初始条件记为01x y ==；例2的初始条件记为000,0t t ds s dt ==== 评注：⑴.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.⑵一般情况下，如果微分方程是一阶的，其初始条件是00x x y y ==；如果是二阶的，其初始条件是00x x y y ==，00x x y y =''=，其中0,0,0x y y '都是给定的值。
微分方程基本概念微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。
一、微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
形式上，微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。
二、微分方程的类型根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。
常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。
一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为：dy/dx = f(x, y)二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)三、微分方程的解解微分方程的过程被称为求解微分方程。
根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。
1. 可分离变量法对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。
将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^mf(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微分方程法求解。
通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通过积分求解。
4. 变量分离法、公式法、特征值法等对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。
第四章常微分方程§4．1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令u x y=， 则()u f dxdu x u dx dy =+=()c x c x dxu u f du +=+=-⎰⎰||ln（2）()()0,0≠≠++=b a c by ax f dxdy令u c by ax =++， 则()u bf a dxdu+=()c x dx u bf a du+==+⎰⎰（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy①当02211≠=∆b a b a 情形，先求出⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02211==∆b a b a 情形，令λ==1212b b a a 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dxdy λ令y b x a u 11+=， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dyb a dx du λ 属于变量可分离方程情形。
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
在初中数学中，我们主要学习常微分方程。
1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。
1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。
高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。
二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。
2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。
2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。
2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。
第四章 微分方程§4. 1 微分方程的基本概念导入：(8分钟)函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.引例 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解):y =x 2+1.几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0. y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.§4. 2 一阶微分方程导入：（8分钟）1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdxdy y 212=, 两边积分, 得C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 一、可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xyy x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21,即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+.因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dtdM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt . 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m-=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv ,1)ln(1C m t kv mg k +=--, 即t m k Ce k m g v -+=(ke C kC 1--=),将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km gv --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan .于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例5 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律. 解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh . 通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h gdt )200(262.02321--=π.两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π,其中C 是任意常数. 由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π,5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ.因此)310107(262.0252335h h gt +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.二、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程. 提问：下列方程各是什么类型方程？ (1)y dxdy x =-)2(⇒021=--y x dx dy是齐次线性方程.(2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dxdy+=10, 不是线性方程.(5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 1、齐次线性方程的解法: 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程. 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例6 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dxx P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-,或 dx e x Q e Ce y dxx P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例7 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 例8 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dtdi L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dtdi LE , 即LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t LE t Q m s i n )(ω=.由通解公式, 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R+⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C mωω+=,因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 总结：1、微分方程的相关概念a 、微分方程的阶b 、微分方程的通解与特解 2、可分离变量的微分方程a 、可分离变量的微分方程b 、可转化为可分离变量的微分方程 3、一阶线性微分方程a 、一阶线性齐次微分方程b 、一阶线性非齐次微分方程c 、常数变易法 教学后记：作业：。
微分方程的基本概念和解法技巧微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。
了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。
一、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。
2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。
常见的阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。
一般来说，一个微分方程可以有无穷多个解。
4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些条件确定方程的解。
初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。
5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程则涉及到多个自变量。
常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
二、微分方程的解法技巧1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。
通过将方程两边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。
2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。
齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。
3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。
4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y =g(x) 的常系数线性微分方程。
通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。
微分方程的基本概念1. 概念定义微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^n-1y/dx^n-1) = 0其中，x是自变量，y是因变量，dy/dx是y对x的导数，依此类推。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
2. 重要性微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中有着广泛的应用。
通过建立物理规律或实验数据与数学模型之间的联系，可以利用微分方程来预测和解释自然现象和工程问题。
它是现代科学研究和工程技术应用的基础。
具体而言，微分方程在以下几个方面具有重要性：(1) 描述动态过程微分方程可以描述许多动态过程，如运动物体的运动轨迹、电路中电流和电压随时间的变化、化学反应速率等。
通过求解这些微分方程，可以得到关于系统行为的详细信息。
(2) 预测未来行为通过已知的初始条件和微分方程，可以求解出函数在未来某个时间点的值。
这使得微分方程成为预测和规划问题的重要工具，如天气预报、金融市场预测等。
(3) 优化问题求解许多优化问题可以归结为微分方程的求解。
例如，在物理中常常需要找到使某个物理量最小或最大的条件。
这些问题可以通过求解微分方程获得最优解。
(4) 建模与仿真通过将实际问题建模成微分方程，可以进行数值模拟和仿真。
这对于工程设计、新产品开发等领域非常重要。
例如，在飞机设计中，可以使用微分方程来模拟空气动力学效应，从而改进飞机性能。
3. 应用举例微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用举例：(1) 物理学中的运动描述经典力学中，牛顿第二定律描述了物体运动与作用力之间的关系：m * d^2x/dt^2 = F(x, dx/dt)其中，m是物体的质量，x是位置，t是时间，F(x, dx/dt)是作用力。
(2) 生物学中的生长模型生物学中，许多生物体的生长过程可以用微分方程来描述。
微分方程的基本概念微分方程是数学中重要的研究对象，它在自然科学、工程技术和社会科学等各个领域中有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、分类、解、初值问题以及一些重要的定理和应用。
一、微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为：$\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)$。
其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\frac{{dy}}{{dx}}$表示$y$关于$x$的导数，$f(x,y)$是已知函数。
微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数的阶数和自变量的个数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
常微分方程可进一步分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程中未知函数及其导数的次数均为一次，形如$\frac{{d^ny}}{{dx^n}}+a_1 \frac{{d^{n-1} y}}{{d x^{n-1}}} + \ldots + a_n y =f(x)$。
非线性微分方程中未知函数及其导数的次数不一定为一次。
偏微分方程根据方程中涉及到的导数阶数和未知函数的类型又可以进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型方程。
三、微分方程的解求解微分方程的过程称为解微分方程。
解分为显式解和隐式解。
显式解是能直接从微分方程中解出未知函数表达式的解。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以通过分离变量、定积分等方法求得$y$的显式解。
隐式解是无法用解析式表示的解。
例如，二阶非线性微分方程$y''+y^2=0$的解无法用初等函数表示，只能通过级数或数值方法求得近似解。
四、初值问题初值问题是求解微分方程时常见的问题形式。
给定微分方程和一个特定的条件，例如$y(0)=y_0$，即在$x=0$处给出函数$y$的取值，然后求出该条件下的解。
第四章第一节微分方程的基本概念基本内容1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数)(xyy=称为微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。
习题选解1.试指出下列各微分方程的阶数（1）220 x dy y dx-=解：一阶（2）43()0 y y y y''''''-=解：二阶（3）220 d Q dQ QL Rdt Cdt++=解：二阶。
（4）(76)()0 x y dx x y dy-++=解：一阶（5）2sin ddρρθθ+=解：一阶（6）(5)20 y y y y''''-++=解：5阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解（1）30dy xy dx +=，3C y x = 解：因为343()dy C Cdxx x '==-，代入微分方程，得： 左边=333330dy C C xy dx x x +=-+==右边，所以3C y x =是微分方程的解。
（2）222220d y dyx x y dx dx -+=， 223y x x =-解：因为2(23)26dy x x x dx '=-=-，22(26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得： 左边222222262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以223y x x =-是微分方程的解。
（3）0222=+dt dS dt S d ω，t C t C S ωωsin cos 21+=解：因为1212(cos sin )sin cos dSC t C t C t C t dt ωωωωωω'=+=-+，22212122(sin cos )cos sin d SC t C t C t C t dt ωωωωωωωω'=-+=--，代入微分方程，得： 左边22222212122cos sin (sin cos )d S dSC t C t C t C t dt dt ωωωωωωωωω=+=--+-+ 22112[()cos ()sin ]0C C t C C t ωωω=--+≠=右边，所以t C t C S ωωsin cos 21+=不是微分方程的解。
（4）0)(=++xdy dx y x ，x x C y 22-=解：由x x C y 22-=，得：22x C xy -=，两边微分，得：2)(2dx xy d -=，即xdx xdy ydx 2)(2-=+。
从而得0)(=++xdy dx y x ，所以x x C y 22-=是微分方程的解。
（5）02=-'xy y ，⎰-+=xt x x dteee y 0222解：因为22222222222()22221xxxx xt x xt x x x xt y e e e dt xe xe e dt e e xe xe e dt ----''=+=++=++⎰⎰⎰，代入方程，得到 左边22222222212()10xxx xt x x t y xy xe xe e dt x e ee dt --'=-=++-+=≠=⎰⎰右边，所以⎰-+=xt xx dte e e y 0222不是方程的解。
（6）y x y y x -='-2)2(，C y xy x =+-22解：方程C y xy x =+-22两边对x 求导，得：022='+'--y y y x y x ，解得x y xy y --='22，代入微分方程，得：左边=y x -2=右边，所以C y xy x =+-22是方程的解。
3.在下列各题中，确定函数关系中的常数，使函数满足所给的初始条件（1）,1)1(22=--x C y 2-==x y解：将2,0-==y x 代入方程，得：14=-C ，所以3=C 。
函数为223(1)1y x --=。
（2）x e x C C y 221)(-+=，==x y ，10='=x y解：由xex C C y 221)(-+=，得：xe C y 22-='x e x C C 221)(2-+-，将0,0==y x 代入原微分方程，1,0='=y x ；代入x e C y 22-='xe x C C 221)(2-+-，得：⎩⎨⎧-==121210C C C ，所以1,021==C C 。
函数为x xe y 2-=。
（3）)sin(21C x C y -=，1==πx y，='=πx y ；解：将1,==y x π代入原方程，得：=1)sin(21C C -π，所以01≠C ，又='y )c o s (21C x C -将0,='=y x π代入，得：=0)cos(21C C -π，从而0)cos (2=-C π，22ππ=-C ，22π=C ，代入=1)sin(21C C -π，得：11=C 。
函数为)2sin(π-=x y ，即x y cos -=。
4.设函数)()1(2x u x y +=是方程2)1(12+=+-'x y x y 的通解，求)(x u 。
解：由)()1(2x u x y +=，得：++=')()1(2x u x y )()1(2x u x '+，代入微分方程，得： 左22222(1)()(1)()(1)()11y y x u x x u x x u x x x ''=-=+++-+++22(1)()(1)x u x x '=+=+=右，从而1)(='x u ，C x dx x u +==⎰1)(。
5.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，令0=Y ，得切线在x 轴上的截距为y y x X '-=，即切线过)0,(y yx '-点，由题意，切点),(y x 是),0(y x y '-和)0,(y yx '-两点的中点，所以有：x y y x ='-)(21（或y y x y ='-)(21），即所求微分方程为0='+y x y（2）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的纵截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，由题意有：2x y x y ='-。
（3）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标与纵坐标的平均值；解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的纵截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，由题意，有：2yx y x y +='-。
（5）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1。
解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，令0=Y ，得切线在x 轴上的截距为y y x X '-=，即切线过)0,(y y x '-点，由题意，有：1|()()|12yy xy x y '--='。
第四章第二节一阶微分方程 基本内容1. 可分离变量方程：如果一个一阶微分方程能写成dx x f dy y g )()(=的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
可分离变量方程求解方法为等式两边同时积分。
2. 齐次方程：如果一阶微分方程化为⎪⎭⎫⎝⎛=x y dxdy ϕ，则称此方程为齐次微分方程。
齐次方程求解方法为引入变量替换x yu =，代入齐次方程,到可分离变量方程。
3. 一阶线性方程：)()(x Q y x P dx dy=+称为一阶线性微分方程，如果 0)(≡x Q ，方程称为齐次的;如果)(x Q 不恒等于零，则方程称为非齐次的。
齐次线性方程求解公式为⎰-=dxx P Cey )(；非齐次的线性方程求解公式为[]dxe x Q C e y dx x P dxx P ⎰⎰-+⎰=)()()(。
4. 贝努利方程：形如()()ndyP x y Q x y dx +=(0,1)n ≠的方程称为贝努利方程。
当0=n 时,它是一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dx dy=+；当1=n 时,它是一阶线性齐次微分方程0)]()([=-+y x Q x P dx dy。
贝努利方程求解方法为等式两边同除以ny ，得到111()()()(1)()(1)()n nnn dy d y yP x y Q x n P x y n Q x dx dx----+=⇒+-⋅=-。
令n y z -=1 ，方程转化为关于z 的一阶线性非齐次微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+。
求出这方程的通解后,以代z ，便得到伯努利方程的通解。
习题选解1.求下列微分方程的通解 （1）0ln =-'y y y x解：原微分方程为0ln =-y y dx dy x，分离变量，得：x dx y y dy =ln ，两边积分⎰⎰=x dx y y dy ln ，得到1ln ||ln |ln |ln C x y +=，即|||ln |1x C y =，x C y 1ln ±=。
