1第一节微分方程

第一章一阶微分方程1.1学习目标：1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.1.2基本知识： (一) 基本概念1. 什么是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是 指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22t f cy dt dyb dt y d =++, 0)(2=++y dt dy t dt dy . (2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T , t T x T ∂∂=∂∂422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程. 3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数. 例如，)(22t f cy dt dyb dty d =++ 是二阶常微分方程； 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T 与t T x T ∂∂=∂∂422是二阶偏微分方程. 4. n 阶常微分方程的一般形式：(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=,这里(,,,...,)n n dy d y F t y dt dt 是,,,...,n n dy d y t y dt dt 的已知函数，而且一定含有n n d ydt的项；y 是未知函数，t 是自变量. 5. 线性与非线性：（1） 如果方程(,,,...,)0n n dy d y F t y dt dt =的左端是y 及,...,n n dy d ydt dt的一次有理式，则称(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=为n 阶线性微分方程. （2） 一般n 阶线性微分方程具有形式：1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a t a t a t y f t dt dt dt---++++= 这里1()a t ,…, ()n a t ,()f t 是t 的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程. （4） 举例：方程)(22t f cy dt dyb dt y d =++是二阶线性微分方程； 方程0sin 22=+φφl gdtd 是二阶非线性微分方程；方程0)(2=++y dtdy t dt dy 是一阶非线性微分方程. 6. 解和隐式解：如果将函数()y t ϕ=代入方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=后，能使它变为恒等式，则称函数()y t ϕ=为方程的解. 如果关系式,0t yΦ=（）决定的隐函数()y t ϕ=是方程的解，则称,0t y Φ=（）为方程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n 个独立的任意常数n c c c ,...,,21的解 12(,,,...,)n y t c c c ϕ=称为n 阶方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的通解. 其中解对常数的独立性是指，对ϕ及其 1n -阶导数11,...,n n d d dt dtϕϕ--关于n 个常数 n c c c ,...,,21的雅可比行列式不为0, 即 1212(1)(1)(1)120n n n n n nc c c c c c c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---∂∂∂∂∂∂'''∂∂∂∂∂∂≠∂∂∂∂∂∂.为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件, n 阶微分方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的初始条件是指如下的n 个条件： 1(1)(1)00001,,...,n n n dy d y t t y y y y dt dt---====，，这里(1)(1)0000,,,...,n t y y y -是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(二) 解析方法1．变量分离方程 形如()()dyf t y dtϕ=的方程为变量分离方程，其中(),()f t y ϕ分别为,t y 的连续函数.方程解法如下：若()0y ϕ≠，则()()()()dyf t dt y dyf t dt cy ϕϕ==+⎰⎰上式确定方程的隐式通解. 如果存在0y ，使得()00y ϕ=，则0y y =也是方程的解. 2. 可化为变量分离方程的方程(1) 齐次方程形如 ()dy yg dt t=的方程为齐次方程，()g u 为u 的连续函数. 解法如下：做变量替换y u t =，即y ut =，有dy dut u dt dt=+，从而原方程变为 ()du t u g u dt +=，整理有()du g u u dt t-=，此为变量分离方程，可求解. (2) 形如111222a tb yc dy dt a t b y c ++=++的方程, 其中121212,,,,a a b b c c , 为常数. ●111222a b c k a b c ===的情形. 此时方程化为,dyk dt=可解得y kt c =+. ●11220,a b a b =即1122a b k a b ==的情形: 令 22,u a t b y =+ 则有 122222ku c du dya b a b dt dt u c +=+=++ 此为变量分离方程. ●11220a b a b ≠的情形对120c c ==的情况, 直接做变量替换yu t=. 当12,c c 不全为零, 求 11122200a t b y c a t b y c ++=⎧⎨++=⎩的解为t y αβ=⎧⎨=⎩. 令 T t Y y αβ=-⎧⎨=-⎩, 则方程组化为112200a T bY a T b Y +=⎧⎨+=⎩. 原方程化为12()a T bY dY Yg dT a T bY T+==+的齐次方程可求解. 3．一阶线性微分方程(1) 一般形式：()()()0dya tb t yc t dt++=，若()0a t ≠，则可写成()()dyP t y Q t dt=+的形式. (2) 一阶齐次线性微分方程：()dyP t y dt =，通解为(),P t dt ce c ⎰ 为任意常数. (3) 一阶非齐次线性微分方程：()()dyP t y Q t dt=+，()0Q t ≠. (4) 齐次线性微分方程的性质性质1 必有零解 0y =;性质2 通解等于任意常数c 与一个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分方程的解. (5) 非齐次线性微分方程的性质性质1 没有零解;性质2 非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解; 性质3 任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解. (6) 一阶非齐次线性微分方程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 ()P t 为常数, 此时方程为()dyay Q t dt=+, a 为常数. 对应齐次方程的通解为atce , 只需再求一个特解, 这时根据()Q t 为特定的函数,可猜测不同的形式特解. 事实上, 当()BtQ t Ae =, ,A B 为给定常数, 且B a ≠时可设待定特解为Bt Ce , 而当B a =时, 可设特解形式为BtCte , 后代入方程可确定待定常数C . 当()Q t 为cos ,sin At At 或它们的线性组合时, 其中A 为给定常数. 这时可设待定特解为cos sin B At C At +代入方程后确定,B C 的值. 当()Q t 具有多项式形式1011n n n n a t a t a t a --++++, 其中01,,n a a a 为给定常数且00a ≠, 这时可设待定特解为1011nn n n b t bt b t b --++++代入方程可求得,0,1,,i b i n = 的值. 对于()Q t 有上述几种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令()()P t dty c t e ⎰=，代入方程，求出()c t 后可求得通解为()()(())P t dtP t dty e Q t e dt c -⎰⎰=+⎰.(iii) 积分因子法: 方程改写为()()dyP t y Q t dt-=, 将()P t dt e μ-⎰=, 乘方程两端得 ()()()()()P t dt P t dtP t dt dy e e P t y Q t e dt---⎰⎰⎰-= 即 ()()()()P t dtP t dt d ye Q t e dt --⎰⎰=, 从而通解为 ()()()P t dt P t dt ye Q t e dt c --⎰⎰ =+⎰，即 ()()(())P t d t P t d ty e Q t ed t c-⎰⎰= +⎰. 注意, 非齐次线性微分方程通解的结构是: 非齐次线性微分方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解.4. 伯努利(Bernoulli)方程. 形如()()n dyP t y Q t y dt=+的方程, 其中 n 是常数且0,1,(),()n P t Q t ≠ 是连续函数, 称为伯努利方程. 伯努利方程可通过变量替换 1n z y -=化为(1)()(1)()dyn P t z n Q t dt=-+-, 这是关于未知函数z 的线性方程, 可求其通解.(三) 定性方法与数值方法：1. 斜率场：一阶微分方程(,)dyf t y dt =的解()y t ϕ=代表ty 平面上的一条曲线，称之为微分方程的积分曲线. 微分方程(,)dyf t y dt=的通解()y t ϕ=，c 对应于ty 平面上的一族曲线，称之为微分方程的积分曲线族. 满足初始条件00()y t y =的特解就是通过点00(,)t y 的一条积分曲线. 方程(,)dy f t y dt =的积分曲线上的每一点(,)t y 处的切线斜率dydt刚好等于函数(,)f t y 在这点的值. 也就是，积分曲线的每一点(,)t y 以及这点上的切线斜率dydt恒满足方程；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数(,)f t y 在这点的值，则这一条曲线就是方程的积分曲线. 这样，可以用(,)f t y 在ty 平面的某个区域D 内定义过各点的小线段，其斜率为(,)f t y ，一般称这样的小线段为斜率标记. 而对ty 平面上D 内任一点(,)t y , 有这样一个小线段与之对应, 这样在D 内形成一个方向场, 称为斜率场. 斜率场是几何直观上描述解的常用方法2. 欧拉方法：求微分方程初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解，可以从初始条件00()y t y =出发，按照一定的步长t ∆ 依照某种方法逐步计算微分方程的近似解()n n y y t =, 这里0n t t n t =+∆这样求出的解称为数值解. 利用欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+∆ =+∆,可求初值问题的近似解，这种方法称为欧拉方法.欧拉方法具有一阶误差精度 .如果我们先用欧拉公式求出近似解,再利用梯形公式进行校正, 得到的近似解将具有2阶误差精度, 具体为 预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+∆, 校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++∆, 这种方法称为改进的欧拉方法.(四) 解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性1. 利普希茨（lipschitz ）条件: 函数(,)f t y 称为在区域2D ⊆R 内关于y 满足利普希茨条件，是指如果存在常数0L >，使得不等式1212(,)(,)f t y f t y L y y -≤-对于所有的12(,),(,)t y t y D ∈都成立, 其中L 称为利普希茨常数. 2. 基本定理(1) 解的存在性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续.如果00(,)t y D ∈, 那么，存在0ε> 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解. (2) 解的唯一性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈并且12(),()y t y t 是初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩在区间00(,)t t εε-+内的两个解，那么对任意的00(,)t t t εε∈-+,12()()y t y t =,即解是唯一的.注记1: 存在性定理和唯一性定理结合在一起称为初值问题解的存在唯一性定理，叙述如下：设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈, 那么，存在0ε> 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的唯一解. 因而当我们判断初值问题解的存在唯一性时，要检查(,)f t y 需要满足的条件.注记2: 由于利普希茨条件较难检验，常用(,)f t y 在2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ ≤≤ ≤≤R上对y 有连续偏导数来代替. 事实上，如果在D 上y f ∂∂存在且连续，则yf∂∂在D 上有界. 设在D 上L yf≤∂∂, 这时 2121212(,())(,)(,)f t y y y f t y f t y y y yθ∂+--=-∂21y y L -≤, 其中 12(,),(,),01t y t y D θ∈ <<. 但反过来满足利普希茨条件的函数(,)f t y 不一定有偏导数存在. 例如(,)||f t y y = 在任何区域内都满足利普希茨条件，但它在0y =处没有导数.(3) 解对初值的连续相依性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ϕ=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩在区间00(,)t h t h -+内的解，其中 0h >,那么，对任意给定的0>ε，必能找到正数(,)0h δδε=>，使得 当2220000t t y y δ-+-<（）（）时，初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩的解00(,,)y t t y ϕ=在区间00(,)t h t h -+内也有定义，并且0000|(,,),,|,t t y x t y ϕϕε-<（） 00(,)t t h t h ∈-+. (4) 解对初值的连续性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ϕ=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩的解, 那么00(,,)t t y ϕ作为00,,t t y 的三元函数在它存在的范围内是连续的.3. 初值问题的适定性当一个微分方程初值问题的解存在, 唯一并且解连续的依赖于初始条件时, 我们称该问题是适定的. 那么, 对于常微分方程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩, 只要在00(,)t y 所在的区域内,(,)f t y 连续并且关于y 满足利普希茨条件, 则该初值问题是适定的.(五) 自治方程的平衡点与相线1. 自治方程 当一阶微分方程(,)dy f t y dt =的右端项只是y 的函数而与自变量t 无关, 即()dy f y dt=时, 称为自治方程.2. 平衡解与平衡点 对自治方程()dyf y dt=而言, 若()0f y =有解0y y =, 则称 0()y t y ≡ 是方程的平衡解, 而点0y 称为方程的一个平衡点. 3. 相线相线是仅仅对自治方程()dyf y dt=而言的一种简化的斜率场. 自治方程的斜率场在水平直线上的斜率标记是一样的, 这样只要知道一条竖直直线上的斜率标记, 我们就可以知道整个斜率场. 因而, 在一个竖直的直线上, 我们用向上的箭头表示正的导数, 用向下的箭头表示负的导数. 对于导数为零的点, 用实心圆点来标记它, 则形成该自治方程的相线. 4. 画相线的基本步骤 (1) 画出y -线(竖直线),(2) 找到并在y -线上标记平衡点,不连续点或定义域外的点 (3) 找到()0f y >的区间, 在这些区间上画上向上的箭头, (4) 找到()0f y < 的区间, 在这些区间上画上向下的箭头.5. 初值问题0(),(0)dyf y y y dt= =解的渐近行为 (1) 趋向于平衡点, 如01()(1),2f y y y y =- =;(2) 在无限时间内趋于无穷, 如0(),1f y y y = =; (3) 在有限时间内趋于无穷(爆破), 如20(),1f y y y = =; (4) 在有限时间内停止(导数趋于无穷), 如 01(),1f y y y=- =. 6. 平衡点的分类对于自治方程()dyf y dt=, 如果()f y 在(,)-∞+∞ 内连续, 那么它的解当t 增加时要么(在有限或无限时间里)趋于+∞或-∞, 要么渐近趋于平衡点. 因而,平衡点在自治方程的研究中起着重要的作用. (1) 汇对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都渐近趋于0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为汇, 它是稳定的. (2) 源对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都远离0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为源,它是不稳定的. (3) 结点既不是源也不是汇的平衡点, 我们称之为结点,它也是不稳定的. 7. 判断平衡点类型的线性化方法 1. 如果0y 是自治方程()dyf y dt=的一个平衡点, 即0()0f y =, 那么 (1) 0y 是源当且仅当()f y 在0y 附近严格单调增加; (2) 0y 是汇当且仅当()f y 在0y 附近严格单调递减. 2. (线性化定理) 如果0y 是自治方程()dyf y dt=的一个平衡点, 即0()0f y =, 并且()f y 是连续可微的, 那么 (1) 若0()0f y '> 则0y 是源; (2) 若0()0f y '<, 则0y 是汇;(3) 若0()0f y '=, 则需要进一步的信息决定其类型.(六) 分歧一阶微分方程解的渐近行为随参数变化发生了类型的变化, 我们称之为分歧现象(或分支, 分叉).1. 分歧发生的条件 对于单参数微分方程族()(,)dy f y f y dtμμ==, 0μμ=是一个分歧值的必要条件是: 存在平衡点0y , 使得 0000(,)(,)0f f y y yμμ∂==∂. 这样我们要找分歧点可以通过求解方程组 (,)0(,)0f y f y y μμ=⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩, 得到解 00(,)y μ,0μ为可能的分歧值, 而0y 是可能发生分歧的平衡点. 2. 分歧图解与分歧类型分歧图解是y μ 平面上方程在分歧值附近的所有相线的图, 用以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化.(1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当μ从左到右经过分歧值0μ时, 方程的平衡点从两个变为一个再变为不存在, 这种分歧一般称之为鞍结点分歧. 这类分歧图解在分歧值附近是抛物线的形状(2) 在分歧图解(图1-2)中,当μ从右到左经过分歧值0μ=时, 方程的平衡点由三个变为一个, 这种分歧一般称之为音叉分歧.图 1-1 鞍结点分歧 图 1-2 音叉分歧图 1-3 跨越分歧 图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当0μ= 时, 方程有一个平衡点; 当0μ≠ 时, 方程有两个平衡点. 0μ=是一个分歧值. 虽然在分歧值的两侧方程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变. 当0μ> 时, 0y =是一个汇,它是稳定的; 当0μ<时, 0y =是一个源,它 是不稳定的. 这类分歧一般称为跨越分歧.(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当 μ从左到右变化时,相应的方程平衡点依次由一个变为两个,三个,两个再变回一个, 这种分歧一般称之为复合分歧.(七) 一阶微分方程的应用1. 增长和衰减问题设 ()S t 为正在增长或衰减的某研究对象的总量. 如果假设它随时间的变化率dS dt与当前数目成正比, 其比例系数为 k , 则有 dS kS dt =, 或 0dS kS dt-=. 设()S t 可微, 因而是连续函数. Malthus 人口模型满足上述微分方程, 虽然对人口问题, ()S t 是离散的, 只能取整数值, 但该模型系统在一定情况下提供了很好的近似对某一生物种群进行研究时, 该生物种群的增长往往受资源和环境的限制, 引进参量N , 称为最大承载量, 用以表示自然资源和环境条件所能容纳的最大数量, 并且假定 （1）当基数很小时，增长率与当前数成正比；（2）当基数很大，达到资源和环境不能承受的时候，数量开始减少，即增长率为负的. 此时方程可改写为(1)dS S k S dt N=-, 称为具有增长率k 和最大承载量N 的Logistic 模型，该模型最早由荷兰生物学家 Verhulst在1838年提出.2. 温度问题牛顿冷却定律(亦适应于加热的情况)说明物体的温度随时间的变化率与物体所处的周围环境的温差成正比, 设 T 是物体的温度, T 是所处环境的温度, 那么物体温度随时间的变化率为dT dt, 牛顿冷却定律可表示为 ()dT k T T dt=--, 其中k 是正的比例系数, 而负号表示在冷却过程中, 物体温度 T 大于周围环境温度T , 变化率0dT dt <. 在加热过程中0dT dt>, 此时T T <. 3. 稀释问题一容器最初容纳0V 升盐水溶液, 其中含盐 a 克. 每升含盐 b 克的盐水溶液以e 升/分的速度注入,同时, 搅拌均匀的溶液以f 升/分的速度流出, 问在任何时刻 t , 容器中的含盐量.设Q 为任何时刻容器中的含盐量. Q 的变化率dQ dt等于盐的注入率减去流出率. 盐的注入率是 be 克/分. 要决定流出率, 首先计算在时刻t , 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积0V 加上注入的体积 et 后减去流出的体积ft . 因此, 在任一时刻t , 盐水的体积是 0V et ft +-. 在任何时刻的浓度是 0Q V et ft +-, 由此得流出率为 0Qf V et ft+-/分. 于是得到微分方程 0dQ Qf be dt V et ft =-+-, 即 0dQ f Q be dt V et ft+=+-, 这是一个一阶线性方程.4. 电路一个简单的 RC 回路是包含有电阻R (欧姆), 电容C (法拉)和电源V (伏特),如图1-5.图1-5 RC 电路 图1-6 RL 电路由电路学知识，C 的电压()v t 与电阻R 的电压之和应为电源的电压()V t . 电路中的电流I (安培)为 ()dQ dCv t dv I C dt dt dt ===, 其中 Q 为电量从而R 处的电压为 dv RI RC dt=, 由此我们可以建立RC 电路的模型如下：()dv RC v V t dt +=, 即 ()dv V t v dt RC-=. 对于一个包含有电阻R (欧姆), 电感L (亨利)和电源V (伏特)的RL 回路,如图1-6. 电路中的电流应满足的基本方程为 dI R V I dt L L +=.(八) 种群生态学中的模型设()y t 表示一个生物种群的数量, t 为时间, 最简单的种群模型是 Malthus 模型dy ky dt=. Malthus 模型的解()(0)kt y t y e =预测了种群数量的指数增长.由于种群数量大的时候，对资源的竞争加剧，因此单位增长率会随种群数目增大而减小，因此更为合理的假设是()dy yf y dt= (*) 这里()f y 是单位增长率，因为dy dt 为增长率，y 是种群数量, 而()/dy f y y dt =. 当考虑种群数量的变化时.对()f y 而言, 其代数形式并不重要, 而关键是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进行大致分类:(1) 若()f y 在[0,)+∞上是递减的，称(*)为 Logistic 型；(2) 若()f y 在[0,)+∞上是先增后减的，称(*)为 Allee 效应型；(3) 若()f y 在[0,)+∞上是递减再递增最后递减的，称(*)为 Hysteresis 型.1.3典型例题：例1 考虑微分方程 3220dy y y y dt=--, 问 (1) y 为何值时, ()y t 将保持不变?(2) y 为何值时, ()y t 将增加?(3) y 为何值时, ()y t 将减少?解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt<时, ()y t 将减少. 由3220dy y y y dt=--知, (1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变.(2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加.(3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少.例2 假定在鄱阳湖中一种鱼类的数量()S t 随时间的变化按Logistic 模型增长, 增长率为k , 最大承载量为N , 即有 (1)dS S k S dt N=-. 如果每年要从湖中捕获一定量的鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量的三分之一?(3) 捕获量与总量的平方根成正比?解: (1)(1)10dS S k S dt N=--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--. (3) (1)dS S k S l S dt N =--, 其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 例3 求解方程dy t dt y=- 解：变量分离得 ydt tdy =-.两边积分 22222y t c =-+. 通解为 22t y c +=, c 为任意正常数.例4 求解方程231dy y dx xy x y+=+ 解：变量分离得221(1)ydy dx y x x =++, 两边积分 2221()1(1)1ydy dx x dx y x x x x ==-+++⎰⎰⎰.即 22111ln(1)ln ||ln(1)22y x x c +=-++, 1c 为任意常数, 整理得222(1)(1)y x cx ++=, 12c c e =为任意正的常数.例5 求解方程tan dy y xy dx x-=. 解: 将方程改写为 tan dy y y dx x x=+, 这是齐次方程, 做变量替换y u x =，即y ux =，有dy du x u dx dx=+，从而原方程变为 tan du x u u u dx +=+ 即tan du u dx x= 利用分离变量法求得 s i n u c x =, 代回原变量得通解为sin y cx x=, c 为任意常数 例6 求解方程22dy x y x y dx=+-. 解: 方程改写为2s g n 1()d y y y x d x x x =+⋅- 令u =y x ，则y u x =，从而2sgn 1du x u u x u dx+=+⋅- 当210u -≠时，2sgn 1dux dx xu =-, arcsin sgn ln u x x c =⋅+, 即 arcsin sgn ln y x x c x=⋅+, c 为任意常数．此外，还有解210u -=，即22y x =．例7 求解方程 13dy x y dx x y -+=+- 解: 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解 为 12x y =⎧⎨=⎩. 令 12X x Y y =-⎧⎨=-⎩ , 则原方程化为 dY X Y dX X Y -=+.令 Y u X = ,则可化为变量分离方程 21,12dX u du X u u +=-- 解得 222Y XY X c --=, 代回原变量 有22262y xy x y x c +---=, c 为任意常数.例8 求解方程 2()dy y b t dt-=, 其中 (1) 2()1b t t t =++,(2) 4()t b t e =(3) 2()3t b t e =(4) ()cos3b t t =(5) 422()3cos31t t b t e e t t t =+++++解: 对应齐次方程的通解为 2t y ce =, 下面用猜测-检验法求特解(1) 设 21y At Bt C =++ 代入 221dy y t t dt-=++, 有 2222()1At B At Bt C t t +-++=++解得 1,1,12A B C =- =- =-, 从而21112y t t =---, 原方程的通解为 22112ty ce t t =---, c 为任意常数. (2) 设 42t y Ae = 代入 42t dy y e dt -=, 有 44442t t t Ae Ae e -=解得 12A =, 从而4212t y e =, 原方程的通解为 2412t t y ce e =+, c 为任意常数. (3) 不能设2t Ae 形式的特解, 因为它是相应齐次方程的解,不可能是非齐次方程的解, 设 23t y Ate = 代入 22t dy y e dt-=, 有 2222223t t t t Ate Ae Ate e +-=解得 3A =, 从而233t y te =, 原方程的通解为2223(3)t t t y ce te c t e =+=+, c 为任意常数.(4) 设 4cos3sin3y A t B t =+ 代入 2cos3dy y t dt-=, 有 3sin33cos32(cos3sin3)cos3A t B t A t B t t -+-+=有 2310320A B A B -+-=⎧⎨ --=⎩, 解得 23,1313A B =- =, 从而423cos3sin 31313y t t =-+, 原方程的通解为 223cos3sin 31313t y ce t t =-+, c 为任意常数.(5) 根据叠加原理, 由前面4个小题知方程有特解422512313cos3sin 31213132t t y e te t t t t =+-+--- 原方程的通解为242212313cos3sin 31213132t t t y ce e te t t t t =++-+---,c 为任意常数. 例9 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解: 将方程改写为222dx x y x y dy y y-==-. 求齐次线性微分方程 2dx x dy y=, 得通解为2x cy =. (常数变易法) 令 2()x c y y =代入原方程 得()1,()ln ||dc y c y y c dy y=- =-+, 从而可得原方程的通解为2(ln ||)x y y c =-+, c 为任意常数.例10 求方程26dy y ty dt t=-的通解. 解: 此为 2n =的伯努利方程. 令 1z y -=可得6dz z t dt t =-+，此为线性方程可求通解为 268c t z t =-+, 代回原变量得 2618c t y t =-+, 即 688t t c y -=, c 为任意常数. 此外, 原方程还有解0y =.例11 用积分因子法求解方程 32(1)1dy y t dt t =+++. 解: 方程改写为 32(1)1dy y t dt t -=++, 积分因子为 221()(1)dt t t e t μ- -+⎰==+, 乘方程两端得 23(1)2(1)1dy t t y t dt--+-+=+, 即 2(1)1d t y t dt-+=+, 有 421(1)(1)2y t c t =+++, c 为任意常数.例12 若()f t 连续且0()()10t f t f s ds t = , ≠⎰, 试求函数()f t 的一般表达式. 解: 设0()()tF t f s ds =⎰, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dF FFdF dt dt = =, 得 2()2,()2F t t c F t t c =+ =±+, 又(0)0F =, 得0c =. 从而 ()2F t t =±, 进而 1()()2f t F t t'==±. 例13 求具有性质 ()()()1()()y t y s y t s y t y s ++=- 的函数 ()y t , 已知(0)y '存在. 解: 首先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-, 化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义00202002()()()lim()()()1()()lim ()(1())lim (1()())()1()lim lim 1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = + 变形为 2(0)1()dy y dt y t '=+, 积分得 arctan ()(0)y t y t c ' = +, 由(0)0y =, 知 0c =, 所以满足条件的函数为 ()tan (0))y t y t '= (.例14 下面给定8个微分方程和4个斜率场, 请选出斜率场相应的微分方程, 并说明理由. (1) 2dy t dt =- (2) 24dy y dt =- (3) 2dy y t dt=- (4) 2dy t dt =- (5) 24dy y dt =- (6) 2dy y dt =- (7) dy yt t dt =+ (8) 2dy y t dt=+图1-7 图1-8图1-9 图1-10解: 图1-7对应于(4),图1-8对应于(3),图1-9对应于(2),图1-10对应于(7). 这是因为图1-7的斜率场竖直方向上的斜率标记一样, 知方程的右端项仅是自变量t 的函数()f t , 且当 2t >, ()0f t <, 当2t <时, ()0f t >, 只有(4)满足要求. 图1-8的斜率场知方程右端项为(,)f t y 是 ,t y 的函数, 且当 0y <时,(,)0f t y <, 只有(3)满足.图1-9的斜率场知方程为自治方程有平衡点 2,2y y ==-, 且在 22y -<<时,()0f y <, 知只有(2)满足要求.图1-10的斜率场知方程右端项为(,)f t y 是 ,t y 的函数, 且有平衡解 1y =-, 只有(7)满足要求.例15 利用欧拉方法和改进的欧拉方法, 对步长 0.1t ∆=, 在区间[0,1]上求初值问题21,(0)0dyy y dt=+ =的近似解. 解: 这里 200(,)1,0,0f t y y t y =+==. 利用欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+∆ =+∆,和 改进的欧拉方法,预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+∆, 校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++∆,分别计算如下表:欧拉方法改进的欧拉方法n n tn y(,)n n f t y 预测的n y校正的n y 真 解tan y t =0 010 0 1 0.1 0.1000 1.0100 0.1000 0.1005 0.1003 2 0.2 0.2010 1.0404 0.2015 0.2030 0.2027 3 0.3 0.3050 1.0930 0.3072 0.3098 0.3093 4 0.4 0.4143 1.1716 0.4194 0.4234 0.4228 5 0.5 0.5315 1.2825 0.5413 0.5470 0.5463 6 0.6 0.6598 1.4353 0.6769 0.6849 0.6841 7 0.7 0.8033 1.6453 0.8318 0.8429 0.8423 8 0.8 0.9678 1.9366 1.0140 1.0299 1.0296 9 0.9 1.1615 2.34911.2360 1.2592 1.2602 10 11.39642.94991.51791.55371.5574例16 讨论微分方程 233dyy dt=在怎样的区域内满足存在唯一性定理的条件,并求通过点(0, 0) 的一切解.解: 由 23(,)3f t y y =, 知它在全平面内连续, 又由于13(,)2f t y y y-∂=∂, 在除去0y =的区域内连续, 从而在除去0y =的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方程满足初始条件00()0y t y =≠的解在充分小的邻域内存在并且唯一. 当 0y =时, 函数0y =是方程过 (0,0) 的解.当0y ≠时, 方程可变形为 2313y dy dt - =, 积分得 3()y t c =+, c 为任意常数.当0c =时, 得特解 3y t = 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩,3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩, 31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩,其中12,c c 是满足10c ≤,20c ≥的任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞, 但本质上在充分小的邻域 (,)εε-内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,即 函数30,y y t = =, 3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩及30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩.例17 举例说明一阶微分方程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩解的存在唯一性定理中, 关于(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续,关于y 满足利普希茨条件是保证解的存在唯一的非必要条件.解: (1) 当连续条件不满足时, 解也可能是存在唯一的. 如方程1,(,)0,y t dyf t y y t dt =⎧==⎨≠⎩, 显然, (,)f t y 在以原点为心的任何矩形区域内不连续, 间断点为直线y t =, 但过原点的解存在唯一, 这个解就是y t =.(2) 当利普希茨条件不满足时, 解也可能是唯一的. 如ln ||,0(,)0,y y y dyf t y y t dt ≠⎧==⎨=⎩, 由于 11111|(,)(,0)||ln ||0||ln ||||0|f t y f t y y y y -=-=⋅-,当 110,ln ||y y → →-∞无界, 因而(,)f t y 在以原点为心的任何矩形领域内不满足利普希茨条件. 然而方程的所有解为 xce y e =±,c 为任意常数, 及 0y =.过原点(0,0)有唯一解 ()0y t =. 例18 对微分方程(2)(5)dyy y y dt=--而言, 利用存在唯一性定理, 说明满足下列初始条件的解是否存在, 如果存在你能否知道这个解或有关这个解的一些性质.(1) (0)6y =， (2) (0)5y =， (3) (0)1y =, (4) (0)1y =-.解: 由方程的右端项为 ()(2)(5)f y y y y =--仅为 y 的函数在全平面上连续可微,从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由()(2)(5)f y y y y =--知方程有()0,()2,()5y t y t y t = = =三个平衡解.(1) 初始条件为 (0)6y =, 初值位于()5y t =的上方, 由唯一性, 满足这个初始。

常微分方程1第一章绪论[教学目标]1．理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。

2．掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。

3．理解积分曲线和方向场的概念。

[教学重难点] 重点微分方程的基本概念，难点是积分曲线和方向场。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 4学时[教学内容] 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场；建立常微分方程模型的具体方法。

[考核目标] 常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。

§1 微分方程模型1、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。

该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。

300多年前，Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念.17世纪末到18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式.19世纪末到20世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.20世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.解析方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数.几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族.数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。

牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。

后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

微分方程引例1：设曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ，y ）处切线的斜率为2X ，求此曲线方程。

解：设曲线 )(x f y = x y 2='x dxdy 2= x d xdy 2= c xy +=2一、基本概念：1、微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。

⎩⎨⎧偏微分方程常微分方程2、常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。

3、偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程。

一般形式：0......,,='）（）（n y y y x F4、微分方程的阶：方程中求未知函数导数的最高阶数。

5、微分方程的解：如果函数)(x f y = 满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解。

通解：)(x f y =包含任意常数的个数与微分方程的阶数相同。

特解：在通解里把任意常数确定,这种解称为特解。

6、解的几何意义：一阶0),,='y y x F （ 通解),(c x y y = 含有一个参数C 的一族曲线。

00,y y x x == 特解是过),(00y x 的一条曲线。

二阶0),,,='''y y y x F （ 通解),,(21c c x y y =含有二个参数的一族曲线。

00,,y y y y x x '='==特解是过),(00y x 的一条曲线，在),(00y x 处的斜率为0y ' 7、初始条件：在通解里，用某一种条件来确定特解，这种条件称为初始条件（用来确定任意常数）。

例2：验证kt c kt c x sin cos 21+= 是方程0222=+x k dtx d 的通解。

解：首先验证是解：kt k c kt k c dtdx cos sin 21+-=kt kc kt kc dtx d sin cos 222122--=)cos sin (212kt c kt c k +-=x k 2-=又在解中，阶数与常数的个数相同，所以是通解。

第一章 线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题。

一个一维粒子，初始时刻处于点0x x =，初始速度为0v ，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。

解：用()x t 表示粒子在任意时刻t 的位置，根据牛顿第二定律F ma =，有mx F =对于阻尼作用F kx =-，于是，粒子的运动方程mx kx =-这是关于时间t 的常微分方程，非常简单。

求解得12()ek t mx t c c -=+结合初始条件0(0)x x =，0(0)x v =，则010mv c x k =+，02mvc k=- 代入得粒子的运动轨迹0()(1e )kt m mv x t x k-=+-这就是这门课程的第二部分——数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。

1.1 常系数齐次线性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。

线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。

齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项。

例如 u = 4 u xx ; 二阶线性，x 2u = u xx ; 二阶线性，(u x )2 + u 2 = 1; 一阶非线性。

一、二阶常系数齐次线性微分方程求解 二阶线性微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=若()0f x ≡为齐次，()0f x ≠为非齐次。

方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数。

能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解。

第9章微分方程与差分方程第1节微分方程的根本概念我们已经知道，利用函数关系可以对客观事物的规律性进展研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即使经过分析、处理和适当的简化后，我们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式就是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的过程就叫解微分方程.本章主要介绍微分方程的一些根本概念和几种常用的微分方程的解法.实际问题中的数据大多数是按等时间间隔周期统计的.因此，有关变量的取值是离散变化的，处理他们之间的关系和变化规律就是本章最后的容——差分方程.含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增长，琴弦的振动，电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.例9.1 质量为m 的物体只受重力作用由静止开场自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积，即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开场下落的时间0t =，则物体下落的距离x 与时间t 的函数关系()xx t =满足22d xg dt=， (9.1) 其中g 为重力加速度常数.这就是一个2阶微分方程。

例9.2 产品的月产量为x 时的边际本钱1()82c x x '=+， (9.2) 就是一个1阶微分方程.在微分方程中，假设未知函数是一元函数就称为常微分方程；假设未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。

n 阶微分方程的一般形式是()(,,,,,)0n F x y y y y '''=，(9.3)其中x 为自变量，()yy x =是未知函数，上式(9.3)中，()n y 必须出现，而其余变量〔包括低阶导数〕可以不出现.如果能从式(9.3)中解出最高阶导数得到微分方程的如下形式()(1)(,,,,,)n n y f x y y y y -'''= (9.4)以后我们只讨论姓如式(9.4)的微分方程，并假设式(9.4)右端的函数f在所讨论的围连续.特别地，式〔9.4〕中的f 如果能写成如下形式()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y g x --'++++= (9.5)则称式(9.5)为n 阶线性微分方程.其中1(),,()n a x a x 和()g x 均为自变量x 的函数.把不能表示成形如式(9.5)的微分方程称为非线性微分方程.例9.3 试指出以下方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. (1)3dy x y dx =+ (2)sin (cos )tan 0dyx x y x dx++= (3)32235d y dy x y dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(4)33ln d y dy x xy x dx dx ++= 解方程(1)是一阶线性微分方程.因为dydx和y 都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方程.因为两边除以sin x 就可看出.方程(3)是2阶非线性微分方程，因为其中含有3dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭.方程(4)是3阶线性微分方程.因为33,,d y dyy dx dx都是一次式. 如果一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解. 例如，(a)212x gt =,(b)21212x gt c t c =++都是例9.1中的微分方程9.1的解，其中12,c c 为任意常数.通常，称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解〔一般解〕.这里所说的相互独立的任意常数，是指它们取不同的值时就得到不同的解.从而不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.上面的解中，(a)和(c)分别是方程(9.1)和(9.2)的特解，(b)和(d)分别是方程(9.1)和(9.2)的通解.在实际问题常都要求寻找满足*些附加条件的解.此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数.这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.一般地，一阶微分方程(,)y f x y '=的初始条件为 00x x y y == (9.6)其中00,x y 都是常数.二阶微分方程(,,)y f x y y '''=的初始条件为00,x x x x y y y y ==''== (9.7)带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例9.4 验证函数3()cos y xc x =+〔c 为任意常数〕是方程的通解，并求出满足初始条件00x y ==的特解.解要验证一个函数是否是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数一样.对3()cos y x c x =+，求一阶导数把y 和dydx代入方程左端，得 因为方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，方程又是一阶的，故3()cos y x c x =+是题设方程的通解.把初始条件00x y ==代入通解3()cos y x c x =+中，得0c =.从而所求特解为3cos y x x =.习题9-11、 指出以下微分方程的阶数〔1〕220xy yy x '''-+=〔2〕235()sin 0y y x x ''-+=〔3〕22(3)(45)0xdx x y dy +++=2、指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解. 〔1〕22,5xy y y x '== 〔2〕2122220,yy y y c x c x x x'''-+==+ 〔3〕12121212()0,xx y y y y c e c e λλλλλλ'''-++==+3、验证1y cx c=+〔c 为任意常数〕是方程2()10x y yy ''-+=的通解，并求满足初始条件02x y==的特解.4、设曲线在点(,)x y 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试建立曲线所满足的微分方程，并求出通解.习题9-1答案1、〔1〕2阶〔2〕2阶〔3〕1阶2、〔1〕是〔2〕是〔3〕是3、特解为122yx =+ 4、微分方程为3dyx dx =，通解为414y x c =+ 第2节一阶微分方程微分方程没有统一的解法，必须根据微分方程的不同类型，研究相应的解法.本节我们将介绍可别离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.一、可别离变量的微分方程. 在一阶微分方程(,)dyF x y dx=中，如果右端函数能分解成(,)()()F x y f x g y =， x 与y 别离，x 的一个函数()f x 与y 的一个函数()g y 相乘的形式，即()()dyf xg y dx= (9.8) 其中()f x ，()g y 都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可以通过积分的方法来求解.设()0g y ≠.用()g y 除方程(9.8)的两端，用dx 乘以方程的两端，使得未知函数y 的*函数及其微分与自变量x 的*函数及其微分置于等号的两边〔又一次别离了x 与y 〕得 再对上述等式两边积分，即得1()()dy f x dx g y =⎰⎰ (9.9)积分出来以后就说明y 是x 的一个〔隐〕函数〔关系〕，就是方程(9.8)的解. 如果0()0g y =，则易验证0yy =也是方程(9.8)的解.上述求解可别离变量的微分方程的方法，称为别离变量法. 例9.5 求微分方程 的通解.解先合并,dx dy 的各项得 设210,10y x-≠-≠,别离变量得两端积分211dy xdx y x =--⎰⎰ 得2111ln |1|ln |1|ln ||22y x c -=-+于是221(1)(1)y c x -=±-记1cc =±，则得到题设方程的通解为22(1)(1)y c x -=-例9.6 求微分方程x dye y dx=的通解. 解别离变量后两边积分 得1ln ||ln ||x y e c =+从而1xe y c e =±记1cc =±，则得到题设方程的通解为xey ce =例9.7 一曲线通过点(3,2)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求曲线的方程.解设曲线的方程为()yy x =.曲线上任一点(,)x y 的切线方程为由假设，切点(,)x y 的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点分别是0X=时，2Y y =和0Y =时，2X x =.将这两个端点代入切线方程都得到曲线所满足的微分方程别离变量后积分，得到通解为xyc =将初始条件3|2x y ==代入通解得6c =. 从而所求的曲线方程为6xy =.二、齐次方程 如果一阶微分方程 中的函数(,)f x y 可以写成y x 的函数，即(,)y f x y x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是 dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭(9.10) 这称为齐次方程.齐次方程可以通过引进新的未知函数的方法化成为可别离变量的微分方程.令y u x =，u 是x 的一个新的未知函数.则,dy duy ux x u dx dx==+，原齐次方程变成()duxu u dxϕ+= 别离变量后积分得ln ||()du dxx c u u x ϕ==+-⎰⎰记()u Φ为1()u uϕ-的一个原函数，则得通解为()ln ||u x c Φ=+再以y x 代替u ,就得所给齐次方程的通解ln ||y x c x ⎛⎫Φ=+ ⎪⎝⎭例9.8 求微分方程22()()0xy x dx y xy dy ---=的通解.解原方程变形为 就是一个齐次方程 令y ux =，则,dy du y ux x u dx dx==+ 代入齐次方程得21du u x u dx u u-+=- 别离变量，0,0ux ≠≠时，得211u du dx u x=- 两边积分211u du dx u x=-⎰⎰ 得211ln |1|ln ||ln ||2u x c --=+ 以y x 代替u 就得到原方程的通解11ln |1|ln ||ln ||2yx c x--=+ 记211cc =±得21y c x x-= 从而2x xy c -=.注.此题也可以直接别离变量法求解.0y x -≠时，ydy xdx =-积分得22111222y x c =-+ 即22yx c +=为原方程的通解.这样此题得到两个通解形式2x xy c -=和22y x c +=.说明微分方程的通解并不一定要包含所有解！三、一阶线性微分方程 方程()()dyp x y Q x dx+= (9.11) 叫做一阶线性微分方程，它对于未知函数y 及其导数y '都是一次的.如果()0Q x ≡，则方程(9.11)称为齐次的，否则就称为非齐次的.对于齐次一阶线性微分方程()0dyp x y dx+= (9.12) 通过别离变量积分，可得它的通解()p x dxy Ce -⎰= (9.13)而对于非齐次一阶线性微分方程(9.11)，我们可以利用它相应的齐次一阶线性微分方程(9.12)的通解(9.13)，并使用所谓常数变易法来求非齐次方程(9.11)的通解，这种方法是把齐次方程(9.12)的通解(9.13)中的任意常数C 变易换成x 的未知函数()u x ，即作变换()p x dx y ue -⎰= (9.14)假设(9.14)是非齐次方程(9.11)的解，代入(9.11)中进而求出()u x ，再代入(9.14)就得到非齐次方程(9.11)的解.为此，将(9.14)对x 求导，注意u 是x 的函数，得()()()p x dxp x dx dy du e up x e dx dx--⎰⎰=- (9.15) 将(9.15)和(9.14)代入(9.11)，得 别离变量后积分得()()p x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰ (9.16)将(9.16)代入(9.14)就得到(9.11)的通解()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰(9.17)易见，一阶非齐次线性方程的通解(9.17)是对应的一阶齐次线性方程的通解(9.13)与其本身的一个特解((9.17)中取0C =的解)之和.此后还可看到，这个结论对高阶非齐次线性方程也成立.例9.9 求方程1cos xy y x x'+=的通解.解题设方程是一阶非齐次线性方程，这时1cos (),()xp x Q x x x==. 于是，按公式(9.17)，所求通解为 例9.10 求方程38dyy dx+=的通解. 解这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式(9.17)，而采用常数变易法来求解. 先求解相应的齐次方程的通解.由 别离变量后积分得相应齐次方程的通解31xy c e-=，其中1c 为任意常数.利用常数变易法，将1c 变易为()u x ，即设原非齐次方程的通解为3x yue -=求导得333xx dy du e ue dx dx--=-代入原非齐次方程得38xdu e dx-= 别离变量后积分得338()83xxu x e dx e C ==+⎰从而得到原非齐次方程的通解为383x yCe -=+ 习题9－21、求以下微分方程的通解 〔1〕22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=〔2〕3x y dydx+= 2、求以下微分方程的通解〔1〕0xy y '--=〔2〕2222()()0y xxy y dx x x xy y dy -++++=3、求以下微分方程的通解 〔1〕x y y e -'+=〔2〕sin xy y x '+=4、求以下微分方程的初值问题： 〔1〕0cos (1)sin 0,|4xx ydx e ydy y π-=++==〔2〕20(1)(1),|1x x x y y x e y ='+-=+=5、*产品生产的总本钱C 由可变本钱与固定本钱两局部组成.可变本钱y 是产量x 的函数，且y 关于x 的变化率等于222xy x y +，当10x =时，1y =；固定本钱为100.求总本钱函数()c c x =.习题9－2答案1、〔1〕22(1)(1)xy C --=；〔2〕33x yC -+=2、〔1〕2y Cx+=；〔2〕arctan y x xy Ce⎛⎫- ⎪⎝⎭=3、〔1〕()xy x C e -=+；〔2〕1(cos )y C x x=-4、〔1〕(1)sec xey +=〔2〕(1)xy x e =+5、99()1001)2C x =+- 第3节可降阶的二阶微分方程本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解. 一、()y f x ''=型这种简形的方程，其解法就是屡次积分. 在()y f x ''=两端积分，得1()y f x dx C '=+⎰再次积分，得1212[()]()yf x dx C dx C f x dxdx C x C =++=++⎰⎰⎰⎰注：对于n 阶微分方程()()n y f x =，显然也可以连续积分n 次，就得到含有n 个任意常数的通解.例9.11 求方程2sin x y ex ''=+的通解. 解连续积分两次，得这就是所求通解.二、(,)y f x y '''=型这种类型的特征是不显含y ，求解方法是：令()y p x '=，则()y p x '''=，则原二阶方程化成了一阶方程利用上一节的方法求出它的通解1(,)p x C ϕ=，再根据1(,)dy y p x C dx ϕ'===也是一阶方程.直接积分得12(,)y x C dx C ϕ=+⎰，就是原二阶微分方程的通解.注：由于一阶微分方程(,)p f x p '=，我们并不都会求解.因此本类型(,)y f x y '''=方程的求解还不能说都可求出.例9.12 求方程1x y y xe x '''=+的通解. 解令p y '=，原方程化成的一阶线性微分方程.从而即1x p y c x xe '==+因此，原方程的通解为三、(,)y f y y '''=型这种类型的特征是不明显地含x .这时我们把x 看成自变量y 的函数，令p y '=，从而p 也是y 的函数.再利用复合函数的求导法则，把对x 的导数y ''化为对y 的导数，即于是，(,)y f y y '''=就变成了 这样就得到一个关于,y p 的一阶微分方程.设1(,)y p y c ϕ'==是它的通解，则别离变量再积分就得到原方程的通解为21(,)dy x c y c ϕ=+⎰.注.一阶微分方程1(,)dp p y c dyϕ=不一定会求解，因此本类型(,)y f y y '''=也不一定能求出解来.例9.13 求方程y yy '''=的通解. 解令p y '=，将x 看作是y 的函数. 这时dpdpdydpy p dx dy dx dy ''==⋅=代入原方程就得到一个一阶方程 别离变量再积分得2112p y c =+ 再解一阶微分方程2112y p y c '==+别离变量再积分得就是原方程的通解.习题9－31、 求以下方程的通解〔1〕cos y x x ''=-〔2〕y x y '''=+〔3〕(1)y y y '''=+2、求以下微分方程初始问题的特解. 〔1〕300,|0,|0x x x y e y y =='''=== 〔2〕111,|0,|2x x y y y y x ==''''=== 〔3〕200()0,|2,|1x x yy y y y y =='''''--===习题9－3答案1、〔1〕3121cos 6y x x c x c =+++〔2〕12xx y c e xe c =-+〔3〕2x c +=2、〔1〕3111939x y e x =--〔2〕21y x =- 〔3〕1x y e =+。

第十三章常微分方程在研究客观现象时，常常遇到这样一类数学问题，即其中某个变量和其他变量之间的函数依赖关系是未知的，但是这个未知的函数关系以及它的某些阶的导数（或微分）连同自变量都由一个已知的方程联系在一起,这样的方程称为微分方程.如果未知函数是一元的，那末对应的微分方程称为常微分方程;如果未知函数是多元的，那末对应的微分方程称为偏微分方程. 这一章介绍常微分方程，第十四章介绍偏微分方程. 本章主要内容是介绍几类可以用分析方法求解的方程，如某些一阶微分方程，常系数线性微分方程，某些高阶微分方程和微分方程组.对于那些不能用分析方法求解的方程，介绍研究解的某些性质的方法（稳定性理论大意），或者用一些特殊的方法求出常微分方程的近似解（主要是数值解法）.§1 微分方程的一般概念微分方程是联系自变量x ，未知函数y 和它的某些阶导数n n x y x y x y d d ,...,d d ,d d 22的关系式：0d d ,...,d d ,d d ,,22n n x y x y x y y x F [微分方程的阶数]方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶.例如: y y x 24是二阶常微分方程.[微分方程的次数]如果能把微分方程化作对所有导数的有理整式，则其中最高阶导数的次数，称为微分方程的次数.并不是所有微分方程都有次数.例如：yy 112是一个二阶二次方程，因有理化后可得y y 12，而211y y 是二阶一次方程，方程ln yy 1没有次数可说.[微分方程的解]使常微分方程成为恒等式的变量之间的关系式都是该常微分方程的解.如果关系式是隐式，这种解又称为积分.微分方程的解的求法也可称为微分方程的积分法.微分方程的每一个解的图形又称为微分方程的积分曲线.[微分方程的通解]如果在微分方程的解式中,所含的独立的任意常数（如果一个解中的常数可取任意值，称它为任意常数）的个数等于这个微分方程的阶数，那末这解式称为微分方程的通解.n 阶微分方程的通解表达式中含有n 个彼此独立的任意常数.[微分方程的特解]相对于通解而言，微分方程的每一个解称为特解.[初值问题]如果在自变量某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为初值问题.[边值问题]如果在自变量一个以上的值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为边值问题.。

常微分方程重点第一章 初等积分法1、什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。

2、微分方程的分类''(,)f x y ⎧=⎪⎨⎪⎩显式方程：y 隐式方程：F(x,y,y ）=0。

3、解的分类1212,,...(,,,...)n n n n C C y x C C ϕ⎧⎪=⎨⎪⎩通解：阶常微分方程的含有个任意常数C 的解使C 。

特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。

4、初值问题：00(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(也叫柯西问题)例1：求下列方程满足所给初始条件的解：2'2(1)20(0)1x y xy y ⎧-+=⎨=⎩5、变量可分离方程：()*(),()()()()0dy f x y dx M x N y dx P x Q y dy ϕ⎧=⎪⎨⎪+=⎩或例2：求解方程(1)2211y dy dx x -=- (2)22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 6、齐次方程：()dy y f dx x = (类似于11111****()()****dy a x b y c d a b f f dx a x b y c d a b ηξηξξη+++=⇒=+++) （变量代换）例3：求解1-3dy x y dx x y -+=+ 7、一阶线性微分方程：()*()dy p x y q x dx =+（采用常数变易法） ()()()0, y=c*e ()0, y=(()*)*e p x dx p x dx p x dx q x q x q x e c -⎧⎰=⎪⎨⎰⎰⎪≠+⎩⎰ 定积分形式：000()()0(()*)s s x x p d p s ds x x y q s e ds y e ττ-⎰⎰=+⎰例4：21*2(2)2(0)2dy y x dx x x ⎧=+-⎪-⎨⎪=⎩例5：（证明题）设函数f(t)在[0,]+∞上连续且有界，试证明：方程()dx x f t dt+=的所 有解解在[0,]+∞上有界。

第一讲 微分方程的基本概念教学目的：了解微分方程的有关概念难 点：微分方程解的分类与判定重 点：常微分方程、通解与特解、初始条件与初值问题我们先通过具体的例子来说明微分方程的有关概念．例1 设曲线y = f (x )在其上任一点(x ，y )的切线斜率为3x 2，且曲线过点(0，-1)，求曲线的方程．解 由导数的几何意义知在点(x ，y )处，有23x dx dy =． (1) 此外，曲线满足条件 .10-==x y (2) (1)式两边积分，得.332c x dx x y +==⎰ (3)其中c 为任意常数．(3)式表示了无穷多个函 数图(6–1)，为得到满足条件(2)的具体曲线，以条件(2)代入(3)，得c = -1．故所求曲线的方程为.13-=x y (4)例2 质量为m 的物体在离地面高为0s 米处，以初速0v 垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程s 与时间t 的函数关系．解 因为物体运动的加速度是路程s 对时间t 的二阶导数，由于物体运动只受重力的影响，所以由牛顿第二定律知所求函数)(t s s =应满足g dts d -=22． (5) 这里g 为重力加速度，取垂直向上的方向为正方向．此外，)(t s 还应满足条件：00(0),(0).s s s v =⎧⎨'=⎩ (6)(5)式两端对t 积分，得1C gt dtds +-=．(7) 再对t 积分，得21221C t C gt s ++-=． (8) 把条件(6)代入(7)和(8)，得0201,s C v C ==，于是有00221s t v gt s ++-=． (9) 关系式(1)与(5)都含有未知函数的导数，它们都称为微分方程．一般地有 定义1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．本章只介绍常微分方程，在不致混淆的情况下，也称常微分方程为微分方程或简称为方程．可以看出，方程(1)是一阶微分方程，方程(5)是二阶微分方程．而x y y x y 2sin 4='-''+'''． (10)+'''y x 256)(x y ='． (11)都是三阶微分方程．n 阶常微分方程的一般形式为0),,,;()(=⋅⋅⋅'n y y y x F ． (12)其中x 为自变量，y 为未知函数; ),,,;()(n y y y x F ⋅⋅⋅'是)(,,,n y y y x ⋅⋅⋅'的已知函数，且)(n y 的系数不为0．如果方程(12)的左端函数F 为)(,,,,n y y y y ⋅⋅⋅'''的线性函数，则称方程(12)为n 阶线性微分方程．否则称(12)为非线性的．n 阶线性微分方程的一般形式为 )()()()()1(1)(0x f y x a y x a y x a n n n =+⋅⋅⋅++-． (13) 其中)(),(,),(),(10x f x a x a x a n ⋅⋅⋅均为x 的已知函数，且0)(0≠x a ．例如方程(1)为一阶线性方程，方程(5)是二阶线性方程，而方程(11) 是三阶非线性方程．定义2 如果将已知函数)(x y ϕ=代入方程(12)后，能使其成为恒等式，则称函数)(x y ϕ=是方程(12)的解．如果由关系式0),(=Φy x 确定的隐函数)(x y ϕ=是方程(12)的解，则称0),(=Φy x 为方程(14)的隐式解．为今后叙述简便起见，将对微分方程的解和隐式解都不再加以区别，统称为方程的解．定义3 若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．例如，函数(3)、(8)分别是方程(1)、(5)的通解，函数(4)、(9)分别是方程(1)、(5)的特解，它们都由通解得到．通常，为确定n 阶方程(12)的某个特解，需给出该特解应满足的附加条件，称之为定解条件．一般地，n 阶微分方程应有n 个定解条件，才能从通解中确定某个具体的特解．n 阶微分方程(14)常见的定解条件是如下形式的条件：10)1(1000)(,,)(,)(--=='=n n y x y y x y y x y ．其中1100,,,,-n y y y x 为1+n 个给定的常数，通常称这样的定解条件为初始条件．例如，方程(1)满足初始条件(2)的特解是函数(4)，而方程(5)满足初始条件(6)的特解是函数(9)．求微分方程满足某定解条件的解的问题，称为微分方程的定解问题; 求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为初值问题．例3 验证： 函数at C at C x sin cos 21+=是微分方程x a dtx d 222+= 0． (14) 的通解．解 求出函数at C at C x sin cos 21+=的导数：,cos sin 21at a C at a C dtdx +-= .sin cos 222122at a C at a C dtx d --= 将以上两式代入方程(14)的左端，得(14)．因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的解，又此函数中含有两个任意常数，而方程(14)为二阶微分方程，因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的通解．例4 验证： 由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程y x y y x -='-2)2(． (15) 的解，并求出满足初始条件11==x y 的特解．解 在方程C y xy x =+-22两边对x 求导，得022='+'--y y y x y x ．即y x y y x -='-2)2(．所以由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程(15)的解． 以初始条件11==x y 代入方程C y xy x =+-22，得1=C ．于是，所求特解为122=+-y xy x ．小结：微分方程的概念：阶、解、通解、特解、初始条件与初值问题．第二讲 一阶微分方程教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解方法难 点：一阶线性非齐次微分方程的通解重 点：可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．一阶微分方程的一般形式0),,(='y y x F ，或),(y x f y ='．本节将介绍某些特殊类型的一阶微分方程的解法，包括可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．1．可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能化为dx x M dy y N )()(=(1)的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程．要解这类方程，先把原方程化为(1)式的形式，称为分离变量，再对(1)式两边积分，得⎰⎰=dx x M dy y N )()(，便可得到所求的通解．如果需要求其特解，可由初始条件00y y x x ==代入通解中定出任意常数C 的值，即可得到相应的特解．例1 求解微分方程xy dxdy 2=． 解 原微分方程可以分离变量，分离变量后得xdx dy y21=． 两边积分 ⎰⎰=xdx dy y21． 12ln C x y +=． 2112x c C x e e e y ⋅==+．21x C e e y ⋅±=．因为1C e ±仍是任意常数，把它记作C ，便得原方程的通解为2x Ce y =． 以后为了运算方便起见，把y ln 写成y ln ，以上解答过程简写为：.ln ln 2C x y += 2x Ce y =．只要记住最后得到的任意常数C 可正可负即可．例2 求微分方程0)1()1(22=+-+dy x xy dx y满足初始条件2)1(=y 的特解．解 分离变量，得dx x x dy y y )1(1122+=+． 即dx x x x dy y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+22111． 两边积分，得 C x x y ln 21)1ln(21ln )1ln(2122++-=+． 即 )ln(1)(1ln(222Cx y x =++）． 因此，通解为222)1)(1(Cx y x =++．这里C 为任意常数．把初始条件2)1(=y 代入通解，可得10=C ．于是，所求特解为22210)1)(1(x y x =++．例3 实验得出，在给定时刻t ，镭的衰变速率(质量减少的即时速度)与镭的现存量M = M (t )成正比．又当t = 0时，M = M 0，求镭的存量与时间t 的函数关系．解 依题意，有.0),()(>-=k t kM dt t dM (2) 并满足初始条件.00M M t ==方程(2)是可分离变量的，分离变量后得kdt MdM -=． 两边积分，得C kt M ln ln +-=．即kt Ce M -=． 将初始条件00M M t ==代入上式，得0M C =，故镭的衰变规律可表示为.0kt e M M -=一般地，利用微分方程解决实际问题的步骤为：① 利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件；② 利用数学方法求出方程的通解；③ 利用初始条件确定任意常数的值，求出特解．2．齐次方程可化为形如 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy ． (3) 的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称为齐次方程．例如方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy可化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=x y x y x y xy x y xy dx dy 212222． 它是一阶齐次微分方程．一般地，形如0),(),(=+dx y x N dy y x M 的方程，若),(y x M 与),(y x N 均为x ，y 的m 次齐次函数，则它是可化为形如(3)的齐次方程．齐次方程(3)中的变量x 与y 一般是不能分离的，如果作变量替换xy u =． (4) 就可以把方程(3)化为可分离变量的方程，这是因为ux y =，dxdu x u dx dy +=．将其代入方程(3)，便得)(u f dxdu x u =+． 这是变量可分离的方程，分离变量，并两边积分，得dx x du u u f ⎰⎰=-1)(1． (5) 求出积分后，将u 还原成xy ，便得所给齐次方程的通解． 例4 解微分方程 .tan 2xy x y y =-' 解 原方程可写成 .tan2x y x y y +=' 这是齐次方程．令xy u =，f (u ) = 2tan u + u ．代入(5)得 .tan 2⎰⎰=x dx u du积分得.ln ln ln 2sin ln 2cx c x u =+=.sin 2cx u = 将xy u =代入上式，便得原方程的通解为 .sin 2cx xy = 在微分方程中，一般习惯上把x 看作自变量，但有时若将y 看作自变量，求解时会很简便，如下例．例5 求微分方程023(22=--xydx dy x y ）． 满足初始条件10==x y 的特解．解 原方程可化为y x y x xy x y dy dx ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=23123222．令yx u =，即uy x =，则dy du y u dy dx +=，代入上式，得 uu dy du y 2512-=． 分离变量，并两边积分，得dy y du u u ⎰⎰=-15122．注左=⎰---2251)51(51u u d (凑微分)即 C y u ln 51ln )51ln(512-=--． 将yx u =代入，得到原方程的通解为 C y x y =-3255 将初始条件10==x y 代入通解中，得到1=C ．于是，所求特解为15325=-y x y ．与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．例6 求解微分方程11+-=yx dx dy ． 解 令u y x =-，则u x y -=，dx du dx dy -=1，于是 111+=-u dx du ．udx du 1-=． 分离变量，并两边积分，得 C x u +-=22．以y x u -=代回，得C x y x +-=-2)(2．3．一阶线性微分方程可化为形如)()(x Q y x P dxdy =+． (6) 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 均为x 的已知函数．当0)(≡x Q 时，称方程(6)是齐次的; 当)(x Q 不恒为零时，称方程(6)是非齐次的．设方程(6)是线性非齐次微分方程，把)(x Q 换成零而写出0)(=+y x P dx dy ． (7) 称为对应于方程(6)的线性齐次微分方程．方程(7)是可分离变量的，分离变量后，得dx x P ydy )(-=． 两边积分，得 C dx x P y ln )(ln +-=⎰．于是，方程(7)的通解为⎰=-dx x P Ce y )(． (8)下面求方程(6)的通解．由于方程(7)是(6)的特殊情况，那么方程(6)的通解中必包含着方程(7)的通解．它们的解之间必有某种内在联系，下面我们分析一下方程(6)的解的形式．把方程(6)改写为dx y x Q x P y dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)()(． 两边积分，得1ln )()(ln C dx yx Q dx x P y ++-=⎰⎰． 即⎰⋅⎰=-dx x P dx y x Q e eC y ))(1（． 因为积分dx yx Q ⎰)(中的被积函数含有未知函数y ，因此还不能说得到了方程(6)的解．但是，由于y 是x 的函数，则积分dx yx Q ⎰)(的结果是x 的函数．故可设 )()(1x C eC dx y x Q =⎰．从而有⎰=-dx x P e x C y )()(． (9) 再求未知函数)(x C ．因为(9)式是方程(6)的解，所以(9)式应满足方程(6)，将y 及它的导数⎰-⎰'='--dx x P dx x P e x P x C e x C y )()()()()(． 代入方程(6)，得)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x P x C e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---．即)()()(x Q e x C dx x P =⎰'-．⎰='dx x P e x Q x C )()()(． 两边积分，得C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(.把上式代入(9)式，便得方程(6)的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(． (10) 这种将线性齐次方程(7)的通解(8)中的任意常数换成待定函数)(x C ，然后求得线性非齐次方程(6)的通解的方法，叫做常数变易法．将(10)式写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的线性齐次方程(7)的通解，第二项是线性非齐次方程(6)的一个特解(即在通解(10)中令0=C ，便得此特解)．因此，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．例7 求解微分方程x x x y y sin 2cot =-'．解法1 常数变易法对应齐次方程为.0cot =-'x y y分离变量，得.cot 1xdx dy y =两边积分，得.sin sin ln cot x C Ce Ce y x xdx ⋅==⎰=用常数变易法，把C 换成新的未知函数)(x C ，即令.sin )(x x C y =则.cos )(sin )(x x C x x C y +'='代入原非齐次方程，得x x C 2)(='．两边积分，得C x x C +=2)(．故所求通解为.sin )(2x C x y +=解法2 公式法.sin 2)(,cot )(x x x Q x x P =-=故).(sin )2(sin )sin 1sin 2(sin )sin 2()sin 2(2sin ln sin ln cot cot C x x C xdx x C dx xx x x C dx e x x e C dx xe x e y x x xdx xdx +⋅=+⋅=+⋅⋅=+⋅=+⎰⎰=⎰⎰⎰⎰-- 例8 求微分方程 02)6(2=+'-y y x y 满足初始条件12==x y 的特解． 解 这个方程不是未知函数y 与y '的线性方程，但是可以将它变形为yy x dy dx 262-=． 即23y x y dy dx -=-． (11) 若将x 视为y 的函数，则对于)(y x 及其导数dydx 而言，方程(11)是一个线性方程，由通解公式(10)得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰=⎰-C dy e y e x dy y dy y 332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C y y 213． 以条件2=x 时，1=y 代入，得23=C . 因此，所求特解为 2232y y x +=． 例9 求解微分方程.)(ln 2y x a xy dx dy =+ 解 原方程不是线性方程，但通过适当的变换，可将它化为线性方程．将原方程改写为.ln 112x a y xdx dy y =+-- 即 .ln 111x a y xdx dy =+--- 令1-=y z ，则上式变为.ln 1x a z xdx dz -=- 这是z 关于x 的一阶线性方程．由通解公式(10)，得通解].)(ln 2[2x a C x z -= 所以，原方程通解为.1])(ln 2[2=-x a C xy 一般地，形如 n y x Q y x P dxdy )()(=+ ( 1,0≠n ) (12) 的方程，称为伯努利方程．这类方程可经过变换化为线性方程，方程(12)两边同除以n y 得)()(1x Q y x P dxdy y n n =+--． 再令n y z -=1，则上式化为)()(11x Q z x P dxdz n =+-． 即)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+． 这是函数z 关于x 的一阶线性方程，从而可用常数变易法或公式法得出z ，再用n y -1代换z ，即得伯努利方程(12)的解．小结：1．可分离变量的方程：x x f y y g d )(d )(=，两边积分得通解．2．一阶齐次方程：)(x yy ϕ='，令u xy =，得⎰⎰=-x x u u u d )(d ϕ． 注 形如)(c by ax f y ++='的方程可令u c by ax =++转化为可分离变量的方程．3．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'的通解为]d e )([d )(d )(C x x Q e y x x P x x P +⎰⎰=⎰-． 4．伯努利方程：n y x Q y x P y )()(=+'，令u yn =-1可转化为一阶线性方程．第三讲 可降阶的高阶微分方程教学目的：掌握三种可以降阶的微分方程求解方法重 点：第二类可以降阶的微分方程难 点：第三类可以降阶的微分方程从这节起我们讨论二阶和高于二阶的微分方程，这类方程称为高阶微分方程．有些高阶微分方程可以通过代换化成较低阶的方程来求解．以二阶微分方程而论，如果我们能设法作代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能用第二节所讲的方法来求解．下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法．1．)()(x f y n = 型的微分方程微分方程)()(x f y n = (6-18)的右端仅含有自变量x ，对于这种方程，两端积分便使它降为一个1-n 阶的微分方程()11d )(C x x f y n +=⎰-．再积分可得()[]212d d )(C x C x x f y n ++=⎰⎰-． 依此继续下去，连续积分n 次，便得方程(6-18)的含有n 个任意常数的通解．例 1 求微分方程x y x cos e 2-='''的通解．解 对所给方程连续积分三次，得12sin e 21C x y x +-=''， 212cos e 41C x C x y x +++='， 3221221sin e 81C x C x C x y x ++++=， 这就是所求的通解．2．()y x f y '='',型的微分方程微分方程()y x f y '='', (6-19)中不显含未知函数y ．如果设p y ='，则p xp y '==''d d ，方程(6-19)变成 ),(p x f p ='．这是关于x 和p 的一阶微分方程，设其通解为()1,C x p ψ=． 由于xy p d d =，因此又得到一个一阶微分方程 ()1,d d C x xy ψ=． 对它积分即得(6-19)的通解 ()21d ,C x C x y +=⎰ψ．例 2 求方程()1212='+''+y x y x 的通解．解 所给方程不显含变量y ，令y p '=，则p y '=''，代入原方程得()1212=+'+xp p x ． 它是一阶线性微分方程，化为标准形式221112xp x x p +=++'， 其通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰++⎰=⎰++-x x C p x x x x x x d e 11e d 1221d 1222 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎰x x x C x d 111112212 211xC x ++=． 将y p '=代入上式，并再积分一次得所求方程的通解()212arctan 1ln 21C x C x y +++=． 例 3 求方程()y x x y '=+''212满足初始条件1|0==x y ，3|0='=x y 的特解． 解 此方程不显含y ，令y p '=，则p y '=''，代入方程得()xp x p 212=+'．分离变量后两边积分得()211x C p +=， 由3|0='=x y 得31=C ，从而()213d d x x y +=． 两边积分得233C x x y ++=，由1|0==x y 得12=C ．故所求特解为133++=x x y ．3．()y y f y '='',型的微分方程微分方程()y y f y '='',中不显含自变量x ，对于这类方程，令y p '=，两边对x 求导得yp p x y y p x p y d d d d d d d d =⋅==''． 则方程(6-20)变成),(d d p y f yp p =． 这是一个关于变量p 和y 的一阶微分方程，设它的通解为()1,C y p y ϕ=='．分离变量并积分，即可得方程(6-20)的通解()21d ,y x C y C =+ϕ⎰．例4 求微分方程()02='-''y y y 的通解． 解 方程中不显含自变量x ，设p y ='，则y p py d d =''，代入原方程得 0d d 2=-p y p yp．如果0≠p ，那么方程中约去p 并分离变量得yy p p d d =． 两端积分并化简，得y C p 1=，即y C y 1='．再分离变量并积分，得21ln ln C x C y +=，即x C C y 1e 2=．如果0=p ，那么C y =，显然它也满足原方程，但C y =已包含在上述解中(令01=C 即得)，所以原方程的通解为x C C y 1e 2=．小结：1．)()(x f y n =型，连续积分n 次，便得方程的含有n 个任意常数的通解．2．()y x f y '='',型（不显含未知函数y ）．令p y ='，方程变成),(p x f p ='．3．()y y f y '='',型（不显含自变量x ）.，令y p '=，方程变成),(d d p y f yp p =．第四讲 二阶常系数线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数线性方程的求解方法重 点：二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难 点：二阶常系数非齐次线性方程的特解二阶常系数线性微分方程的一般形式为)(x f qy y p y =+'+''．这里p 、q 是常数，)(x f 是x 的已知函数．当()f x 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1．二阶常系数齐次线性微分方程定理1 设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y(1)的相互独立的两个特解(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．证 按假设)(1x y 与)(2x y 为方程(1)的解，所以有下式成立0111=+'+''qy y p y ，0222=+'+''qy y p y ． 又 2211y C y C y +=， 2211y C y C y '+'='， 2211y C y C y ''+''=''． 代入(1)式左端，得()()()221122112211y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'+'+''+''=+'+'' 0)()(22221111=+'+''++'+''=qy y p y C qy y p y C ． 即2211y C y C y +=为方程(1)的解． 在)()(12x y x y 不恒等于常数的条件下，2211y C y C y +=中含有两个相互独立的任意常数1C 和2C ，所以2211y C y C y +=是方程(1)的通解．由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数rx y e =和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用rx y e =来尝试．设rx y e =为方程(1)的解，则rx r y e ='，rx r y e 2=''，代入方程(1)得.0)(2=++rx e q pr r由于0e ≠rx ，所以有.02=++q pr r (2) 只要r 满足(2)式，函数rx y e =就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．(ⅰ) 当042>-q p 时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r 和2r ，此时可得方程(1)的两个特解：x r y 1e 1=， x r y 2e 2=，且≠=-x r r y y )(1212e /常数，故x r x r C C y 21e e 21+=是方程(1)的通解．(ⅱ) 当042=-q p 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21r r =，此时得微分方程(1)的一个特解x r y 1e 1=．为求(1)的通解，还需求出与x r 1e 相互独立的另一解2y ．不妨设)(/12x u y y =，则)(e 12x u y x r =， )(e 121u r u y x r +'='， )2(21121u r u r u e y x r +'+''=''． 将22,y y '及2y ''代入方程(1)，得 0])()2[(e 12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u x r ．将上式约去x r 1e 并合并同类项，得0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u ．由于1r 是特征方程(2)的二重根，因此，0121=++q pr r ，且021=+p r ，于是得0=''u ．不妨取x u =，由此得到微分方程(1)的另一个特解x r x y 1e 2=，且≠=x y y 12/常数，从而得到微分方程(1)的通解为x r x r x C C y 11e e 21+=，即)(e 211x C C y x r +=．(ⅲ) 当042<-q p 时，特征方程(2)有一对共轭复根βαi r +=1，βαi r -=2．于是得到微分方程(1)的两个特解x i y )(1e βα+=，x i y )(2e βα-=．但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式θθθsin cos e i i +=将1y 和2y 改写成)sin (cos e 1x i x y x ββα+=，)sin (cos e 2x i x y x ββα-=．于是得到两个新的实函数x y y y x βαcos e )(21211=+=， x y y iy x βαsin e )(21212=-=． 可以验证它们仍是(1)的解，且≠=x y y βtan /12常数，故微分方程(1)的通解为)sin cos (e 21x C x C y x ββα+=．综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：第一步 写出微分方程(1)的特征方程02=++q pr r ，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1 特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+=两个相等实根21r r = x r x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )sin cos (e 21x C x C y x ββα+=例 1 求微分方程043=-'+''y y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 2 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解．解 所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ．特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x +=．求导得x x C x C C y 22212e )(e 2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e 2x y x -=．例 3 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 00d )(d )(21)(． 试求函数)(x f .解 由上述方程知(0)1f =．方程两边对x 求导得⎰-='xt t f x f 0d )(2)(． 由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得)()(x f x f -=''．这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-= 于是，所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+由此得.cos sin )(21x C x C x f +-='由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．例 4 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 其特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-= 于是得方程的通解).3sin 3cos (e e 43221x C x C C C y x x +++=-2．二阶常系数非齐次线性微分方程从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质．定理2 设()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''(3)的一个特解，而Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为方程(3)的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求：①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ；②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+．求齐次线性微分方程的通解Y 的方法前面已讨论过，所以只要研究一下如何求非齐次方程(3)的一个特解就行．限于篇幅, 这里只讨论)(x f 为以下两种形式的情形．I.,e )()(x m x P x f λ=其中λ是常数，)(x P m 是x 的m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++++=--1110)( ；II ．[]()e ()cos ()sin x t n f x P x x P x x λ=ω+ω，其中λ和ω是常数，)(x P t 、)(x P n 分别是x 的t 次和n 次多项式，其中有一个可为零．对于以上两种情形，下面用待定系数法来求方程(3)的一个特解，其基本思想是：先根据)(x f 的特点，确定特解y *的类型，然后把y *代入到原方程中，确定y *中的待定系数．I.x m x P x f λe )()(=型因为方程(3)右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x λe 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数，因此，我们推测()e x y Q x *λ=(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程(3)的一个解，把y *、()y *'及()y *''代入方程(3)，求出)(x Q 的系数，使()e x y Q x *λ=满足方程(3)即可．为此将()e x y Q x *λ=，[]()e ()()x y Q x Q x *λ''=λ+，2()e ()2()()x y Q x Q x Q x *λ'''''⎡⎤=λ+λ+⎣⎦代入方程(3)并消去x λe ，得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ． (4))1( 如果λ不是方程(3)的特征方程02=++q pr r 的根，由于)(x P m 是一个m 次多项式，要使方程(4)的两端恒等，可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m ，即设)(x Q m 为,)(1110m m m m m b x b x b x b x Q ++++=--其中m b b b ,,,10 为待定系数，将)(x Q m 代入(4)，比较等式两端x 同次幂的系数，可得含有m b b b ,,,10 的1+m 个方程的联立方程组，解出),1,0(m i b i =得到所求特解m )2( 如果λ是特征方程02=++q pr r 的单根，即02=++q p λλ，但,02≠+p λ 要使(4)式的两端恒等，)('x Q 必须是m 次多项式，此时可令),()(x xQ x Q m =并且可用同样的方法确定)(x Q m 的系数),1,0(m i b i =．)3( 如果λ是特征方程02=++q pr r 的重根，即02=++q p λλ且,02=+p λ要使式(4)的两端恒等，)(x Q ''必须是m 次多项式，此时可令),()(2x Q x x Q m =并且利用同样的方法可以确定)(x Q m 的系数),1,0(m i b i =．综上所述，我们有以下结论：如果x m x P x f λe )()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)具有形如()e k x m y x Q x *λ=的特解；其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．例 5 求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解．解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如x m x P λe )(，其中,0=λ.2106)(2+-=x x x P m先求对应齐次方程065=+'-''y y y的通解，其特征方程是0652=+-r r ．特征根,3,221==r r 对应齐次方程的通解为x x C C Y 3221e e +=．因为0=λ不是特征根，因而所求方程有形如的特解．由于()2,y Ax B *'=+()2,y A *''= 将它们代入原方程中得恒等式.2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax比较上式两端x 的同次幂的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解方程组得.0,0,1===C B A 故所求方程的一个特解为2.y x *=从而所求方程的通解为.e e 23221x C C y x x ++=例 6 求方程x x y y y 2e 24'4=+-''的通解．解 所求方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如x m x P λe )(，其中,2=λ.2)(x x P m =所求解的方程对应的齐次方程044=+'-''y y y 的通解为).(e 212x C C Y x +=由于2=r 是二重特征根，所以设所求方程有形如22()e x y x Ax B *=+的特解．将它代入所求方程可得622.Ax B x +=比较等式两端x 的同次幂的系数，得0,31==B A ．于是得所求方程的一个特解为321e .3x y x *= 最后得所求方程的通解为).31(e 3212x x C C y x ++=II ．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型可以推证，如果]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)的特解可设为e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．例 7 求方程)sin 7(cos e 2x x y y y x -=-'+''的通解． 解 所求解的方程对应的齐次方程02=-'+''y y y 的特征方程为022=-+r r ，特征根2,121-==r r ，齐次方程的通解为x x C C Y 221e e -+=．因为i i ±=±1ωλ不是特征根，故所求方程具有形如(cos sin )x y e A x B x *=+的特解，求得()e [()cos ()sin ]x y A B x B A x *'=++-，()e [2cos 2sin ]x y B x A x *''=-．代入所求方程并化简得恒等式.sin 7cos sin )3(cos )3(x x x A B x A B -=+--比较上式两端x cos 和x sin 的系数，可得⎩⎨⎧-=--=+-.73,13B A B A 因此,1,2==B A 故e (2cos sin ).x y x x *=+所求通解为.e e )sin cos 2(221x x x C C x x e y -+++=小结：1．特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+= 两个相等实根21r r = xr x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )sin cos (e 21x C x C y x ββα+=2．x m x P x f λe )()(=型，特解形式()e k x m y x Q x *λ=，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．3．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型，特解形式e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．4．二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ；②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+．。